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内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A．10种 B．种 C．种 D．45种
2．某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ）
A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7
5．为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表：
x 300 350 400 450 500
y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1
若y关于x的回归直线方程为，则（ ）
A．2.82 B．2.86 C．2.88 D．2.92
6．某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表：
年研发费用 5 4 6 3 4 2
年利润 12 10 13 9 11 5
若与的回归直线方程为，则（ ）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
7．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（）
A．
B．（为正整数且）
C．
D．满足方程的值可能为或
10．下列说法正确的是（ ）
A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
B．经验回归方程为时，变量x和y负相关
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则
11．对于函数以及它的图象，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点成中心对称
C．存在极值
D．在上单调递减
三、填空题
12．的二项展开式中，系数最大的项为__________.
13．从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种.
14．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则______．
四、解答题
15．某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下：
月份
销售额万元
(1)根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程；
(2)为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：．参考数据：，．
16．某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值；
(2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
17．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值．
18．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表．
性别 健康状况
感冒 不感冒
男 8 14
女 4 24
(1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望；
(2)依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
参考数据：参考公式：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)当时，求证：
参考答案
1．B
【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，
问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种.
故选：B.
2．A
【详解】依题意从9款设计稿中任选3款的试验有个基本事件，
被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有个基本事件，
所以所求概率为.
故选：A
3．A
【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，；
②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，.
所以乙取到玩具盲盒的概率为．
4．A
【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，，
，所以这组数据的分位数为第位数字，即，
即，所以.
故选：A.
5．B
【详解】由题意，得,，
所以，解得．
故选：B．
6．D
【详解】由表可知，，
则样本中心点为，代入回归直线方程得：
，解得．
故选：D.
7．C
【详解】因为，
所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为.
故选：C
8．D
【详解】由，得，函数至少有3个不同的零点，
等价于直线与函数的图象至少有3个交点，
直线过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，
当直线与曲线相切时，直线与函数的图象有3个交点，
由，求导得，设切点坐标为，则切线方程为，
而切线过原点，则，解得，此时切线的斜率，
当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象最多有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：D
9．BD
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，，
所以（为正整数且），故B正确；
对于C：，又，
所以，故C错误；
对于D：因为，所以或，
解得或或或
经检验或符合题意，故满足方程的值可能为或，故D正确.
故选：BD.
10．BCD
【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确；
对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确.
故选：BCD
11．AD
【详解】对于A：要使函数有意义，则，即，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，故选项A正确；
对于B：，选项B错误；
对于C和D：当时，，
则，
当时，，则，
所以在上单调递减，不存在极值，故选项C错误，选项D正确．
12．
【详解】的二项展开式的通项公式为：，
各项的系数即为各项的二项式系数，
因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数，
所以系数最大的项为第项.
13．
【详解】2名男生1名女生：，
1名男生2名女生：，
故共有种，
故答案为：
14．1
【详解】，设直线与相切于点
所以切线方程为，切线过点，
则，整理为，
设，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
所以方程的根为，
所以切线方程为，
联立，得，，得.
故答案为：1
15．(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，
又，，
则，，
所以回归方程为；
（2）当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
当时，，残差；
则这个月中残差为负的月份有个，残差为非负的月份有个，
则这个月中随机抽取个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率.
16．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由题知，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
∴X的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望.
17．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由求导得：，
由可得，由可得或，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增，
因，则函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
故当时，函数取得最大值为.
18．(1)分布列见解析，
(2)答案见解析
【详解】（1）解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）解：提出零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关，
根据列联表中的数据，得到，
因为，不能拒绝零假设，
所以没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关.
19．(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，不合题意，舍去，
当时，，不合题意，舍去，
当时，由（1）知的最大值为，
由已知解得.
所以.
（3）由（2）可得，当时，，
所以（当且仅当取等号）.
设，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
所以（当且仅当取等号）.
（），
.

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