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2026年河北省石家庄市第十二中学等校高考数学联考试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复数范围内，方程的解集为( )
A. B. C. D.
2.“不是整数”是“不是奇数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径单位：数据，得到如下的表格：
直径
频数
由表可知这个零件的直径的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.下列双曲线的焦点必在轴上的是( )
A. B.
C. D.
5.若随机变量，且，，则( )
A. B. C. D.
6.若抛物线：的焦点为，且为上一点，则当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
7.当函数的零点个数最多时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，，均为其图象上的点，且线段的中点在轴上，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正四棱台中，，分别为，的中点，则( )
A. B.
C. 平面 D. 平面
10.在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则( )
A. B.
C. D. 数列的前项和大于
11.对于定义在上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数，下列函数为理想函数的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是奇函数，且，则 ．
13.如图，现有边长为的正方形纸片，，分别为，的中点，，，将沿折起，沿折起，使得点与点重合于点，则六棱锥的高为 ．
14.已知实数，满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
求．
设平分，且与交于点．
证明：．
若，求的长．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别为棱，上一点，，，延长交于点，且，，．
求的值；
求与平面所成角的正弦值；
求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积．
18.本小题分
如图，椭圆的长轴长为，椭圆：的长轴长为，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等．
求，的方程．
设，分别为的上、下顶点，为上异于，的任意一点，过点作轴，垂足为，线段与交于点，证明：为的垂心．
设为上一点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点；过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点；依此类推，得到，，，，，，已知，均位于第一象限，设，若，证明：．
19.本小题分
某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满元的消费者均可参与抽奖抽奖箱内有张奖券面值为元、元、元、元、元的奖券各一张，抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券设每名抽奖者共抽取次，记为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数例如抽到次元奖券和次元奖券，则．
求．
若抽奖者所抽次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率．
假设一次性购物满元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到张元奖券，即获得元的购物券，此时抽奖结束设获得元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为，求的期望．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.．
14.．
15.解：由题意，，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
若恒成立，则，
由得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，解得，即的取值范围是．
16.解：因为，，，
，
所以．
证明：如图，作出符合题意的图形，
，
平分，，
，
，即，．
(ⅱ)解：如图，作出符合题意的图形，
，，
是边上的中点，，
而平分，由角平分线定理得到，
且，
由(ⅰ)知，故．
17.解：直三棱柱中，，所以∽，所以，
因为，，，
所以，所以；
取的中点，连接，因为，所以，
在直三棱柱中，，
因为，所以平面，
作，交于点，以为坐标原点，、、为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，；
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，得，，所以，
所以与平面所成角的正弦值为，；
设交于点，交于点，连接，
因为∽，所以，同理可得，
所以几何体为三棱台，其下底面面积是，上底面面积为，
所以三棱台的体积为，
因为四棱锥与直三棱柱公共部分为几何体，
其体积为直三棱柱于三棱台的体积差，
所以，
即四棱锥与直三棱柱的公共部分体积为．
18.解：由题意可知，，
解得，，
则的方程为；
因为这两个椭圆的离心率相等，所以，
即，则，
所以的方程为；
证明：设，
由，得，
将代入，得，
易知，在轴同侧，所以，则，
则，
则，又，
所以为的垂心；
将代入，得，则，
将代入，得，
即，即，
又，所以数列为等比数列，
故，即，
所以，
设，则，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
令，得，
则，
故．
19.解：包含两种情况：和，
计算：次都抽到同一张奖券，共有种奖券选择，
每次抽中该奖券的概率为，
所以，
计算：先选种奖券出现次，再选种其他奖券出现次，
共有种情况，所以，
因此：．
题目中条件为“甲、乙的相等且”，包含两种情况：
：满足的序列有种，甲、乙都取这类序列的基本事件数为，
：满足的序列有种，
甲、乙都取这类序列的基本事件数为，
样本空间的基本事件总数为：，
当时，
甲、乙都在种序列中选择，甲奖金多于乙的情况数为组合数从种中选种，甲选更优的种，乙选另种，
当时，
总事件数为，其中甲、乙奖金相等的情况有种，
那么甲奖金多于乙和甲奖金少于乙的情况数相等，
因此：，
则总计事件数为，
故所求的概率为．
设为已连续抽中张元奖券时，
到结束还需抽取的期望次数．
每次抽到元奖券的概率为，没抽到的概率为，
，
，
，
由得，
代入，
再代入，解得：．
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