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2025-2026学年北京市朝阳区陈经纶中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，在平行四边形中，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
4.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点则满足的是( )
A. B.
C. D.
5.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
7.设、是空间中两个不同的平面，是一条直线，且则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.如图，在正三棱柱中，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点含边界，若，，且，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，是的中点，是上一点，且，其中所有正确结论的序号是( )
；
；
过点作一条直线与边，分别相交于点，，若，，则；
若是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.是虚数单位，则的值为 ．
12.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为 ．
13.已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标 ．
14.在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ．
15.如图，某湖泊沿岸有，，，四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则，两镇之间的距离为 ．
16.已知是单位向量，向量满足，且，其中，，且则下列结论中，正确结论的序号是 ．
；
；
存在，，使得；
当取最小值时，．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知且．
求；
若，求的面积．
18.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，且．
求的大小；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长．
条件：，；
条件：，；
条件：，．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
19.本小题分
如图，在长方体中，，，点为棱的中点．
证明：平面；
取、中点、，若平面交于，证明：为中点；
求异面直线与所成角的大小．
20.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．
求证：平面；
求点到平面的距离；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
设，，已知由自然数组成的集合，集合，，，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，
设，令是，，中的最大值．
Ⅰ若，，且，求，，及；
Ⅱ若，集合，，，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
Ⅲ若，，集合，，，中的元素个数均为，且，求证：的最小值为．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或．
14.答案不唯一
15.
16.
17.解：方法一：因为且，
由正弦定理，
所以，
由余弦定理，，
即，
化简得，
由可得，
可得，
即，
又，
所以；
方法二由题意，所以，
又由，得，
故，
解得，
从而；
由知，，，
的面积为．
18.解：在中，因为，
由正弦定理可得，
因为，则，
即，
可得，即，
且，则，可得，
又因为，所以；
选条件：因为在中，，
且，则，
可得，
设边上高线的长为，所以；
选条件：由正弦定理可得，
且，，可得或，
检验可知均符合题意，即不唯一，不合题意；
选条件：由余弦定理得，
即，可知为等腰三角形，则，
设上高线的长为，所以．
19.证明：设，连接，则是的中点，
因为点为棱的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：因为，，分别为，，的中点，
所以，，
又，，、平面，、平面，
所以平面平面，
而平面平面，平面平面，
所以，
又，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以为中点．
解：由知，
所以或其补角即为异面直线与所成角，
因为，，
所以，，
又是的中点，
所以，
所以，
所以，
故异面直线与所成角的大小为．
20.解：证明：因为为中点，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
由可得平面，
过作于点，连接，
则根据三垂线定理可得平面，又平面，
所以平面平面，
过作，又平面平面，
所以平面，
所以垂线段即为所求，
又易知，所以
所以，
故G到平面的距离为；
存在点，使得平面，且，
过点作交于点，则：：，
过点作交于点，连接，则：：，
又因为，平面，平面，
所以平面，
同理平面又因为，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，
由：：，
可得．
21.解：Ⅰ根据和，
可得，，，，，，，，，
所以，，，；
Ⅱ设使得，
则，
所以，
所以至少有个元素个数相同的非空子集，
当时，，其非空子集只有自身，不符题意；
当时，，其非空子集有，，，不符题意；
当时，，其非空子集有，，，，，，，
当时，，不符题意；
当，，时，，不符题意；
当时，，
令，，，
则，，
所以的最小值为；
Ⅲ证明：由题意可知，，
记为集合中的元素个数，
则为数表的第列之和，
因为为数表的第行之和，
所以，
因为，
所以，
所以；
当，，，，，，时，
，
．
所以的最小值为．
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