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2025-2026学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是函数的导函数，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，满足，则的值为( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
4.在下列各图中，两个变量具有相关关系的是( )
A. B. C. D.
5.已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则( )
A. 经验回归直线必过点 B.
C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为
6.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为( )
A. B. C. D.
7.向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 当时，取得极大值
C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值
10.下列结论正确的是( )
A. 随机变量服从二项分布，，则
B. 相关系数的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱
C. 在线性回归分析中，若值越小则模型的拟合效果越好
D. 随机变量服从正态分布，且，则
11.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为中点，则( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C.
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为和，乘火车迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人迟到的概率为 ．
13.如图，在长方体中，，，，点，分别在，上，且，则平面与平面夹角的余弦值为 ．
14.已知，若函数有两个零点，则正数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极值．
求的值；
求在上的最值．
16.本小题分
为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对名用户男女用户各占一半进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的．
性别 最佳舒适温度 合计
男
女
合计
完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关；
从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取人，求这人中至少有名女性的概率．
附：．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
求函数的单调增区间；
若存在极大值点，求证：．
19.本小题分
开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达年，是当时世界上最大的都市，清明上河图描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目某旅行社组织了一个人的“宋文化研学团”，其中人购买了景点联票深度体验游客，人只购买了部分景点门票精选游览游客为增强文化体验，旅行社准备从人中随机抽取人，赠送珍贵的大宋御河夜游船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动．
Ⅰ求抽到的人中恰有人为“深度体验游客”的概率；
Ⅱ如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为，且是否参与相互独立设“抽到的人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求的分布列及数学期望．
Ⅲ该旅行社对某天位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据：
景点编号 一 二 三 四
景点名称 清明上河园 开封府 大相国寺 龙亭公园
游览人数人
假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用表示第个景点得到游客喜欢，用表示第个景点没有得到游客喜欢结合上表数据，写出方差，，，的大小关系结论不要求证明
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，，
因为函数在处有极值，所以，解得，
此时，
则时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处有极值，所以．
由可知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以函数的最小值为，最大值为．
16.解：依题意可知，女性用户共有人，“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，
所以“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人，
因为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的，
所以男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为，
列联表如下：
性别 最佳舒适温度 合计
男
女
合计
零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关．
根据表中的数据，计算得到．
因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关
由得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有人，女性有人，
故抽取人至少有名女性的概率为．
17.解：证明：因为，，分别为，，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
同理平面，，平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面；
因为平面，底面为正方形，
所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，所以，
令，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.若，则，
故，，
所以曲线在处切线的斜率，
所以曲线在处的切线方程为；
定义域为，因为，
所以，
当时，令，得或，
所以函数的单调增区间为和；
当时，，当且仅当取“”，
所以函数的单调增区间为；
当时，令，得或，所以函数的单调增区间为和．
综上，当时，增区间为和，
当时，增区间为，
当时，增区间为和；
证明：由可知，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
由于，所以，从而，故，
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意，
综上，若存在极大值点，则．
19.解：Ⅰ记事件“抽到的人中恰有人为“深度体验游客””，
由古典概型的概率公式可得；
Ⅱ由题意可知，，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：


故；
Ⅲ设表示第个景点得到游客喜欢的概率，则服从两点分布，
则，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
由表格中的数据可知，，，，
因为，
即，
故D．
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