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2025-2026学年山西省长治学院附属太行中学高二（下）考练
数学试卷（四）
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.具有相关关系的变量与的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则去掉其中某对样本数据，样本相关系数不会发生改变的是( )
参考公式：相关系数
A. B. C. D.
3.设样本数据，，，的平均数为，方差为，设，，，，，样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列选项错误的是( )
A. B.
C. D.
4.下列说法错误的是( )
A. 数据，，，，，，的第百分位数为
B. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
C. 在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取份
D. 若，，的平均数为，方差为，则，，的平均数和方差分别为，
5.某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高单位：与体重单位：的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”关于“身高”的回归方程，则该回归方程( )
A. 表示与之间的函数关系
B. 表示与之间的不确定关系
C. 反映与之间的真实关系
D. 反映与之间的真实关系的一种最佳拟合
6.为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间单位：小时，表示语文成绩单位：分经计算得回归直线方程为下列说法正确的是( )
A. 该样本数据的相关系数为
B. 当阅读时间每增加小时，语文成绩平均增加分
C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上
D. 若某学生每日阅读时间为小时，则他的语文成绩一定为分
7.已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列说法正确的是( )
A. 样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强
B. ，，，，，，，的分位数是
C. 随机变量的方差，期望，则
D. 某班个男生的数学平均分为，方差为，个女生的数学平均分为，方差为，则全班个学生的数学成绩的方差为
9.对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是( )
A. 越大，与的线性相关性越强
B. 若，则
C. 若，则
D. 若样本点都在回归直线上，则
10.多选某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为万人，每晚最多能接纳的客流量为万人，主办公司决定通过微信公众号和其他软件进行广告宣传提高营销效果通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市街投入的广告费单位：万元与每晚增加的客流量单位：千人存在如下关系：
万元
千人
现用曲线：拟合变量与的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，精确到，以所求线性回归方程为预测依据，则( )
参考数据：，，，，，．
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：，．
A.
B. 曲线经过点
C. 广告费每增加万元，每晚客流量平均增加人
D. 若广告费超过万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
三、填空题：本题共3小题，共19分。
11.下列关系中，属于相关关系的是 填序号
扇形的半径与面积之间的关系；
农作物的产量与施肥量之间的关系；
出租车费与行驶的里程；
降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
12.如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程为已知，，则 ．
13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验得到数据如右表：根据如表可得经验回归方程中的，则经验回归方程中 ；据此估计，加工的零件个数为时所花费的时间为 ．
零件个数
加工时间
四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量单位：万元，并计算得，．
求样本的相关系数精确到，并推断销售金额单位：万元和月份编号是否线性相关当时，即可认为线性相关；
已知这个月中有个月的销售金额高于平均数，从这个月中随机抽取个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列．
附：相关系数．
15.本小题分
某地环境部门监测了条河流的污染物主要指磷和氨氮浓度单位：和下游湿地某种水鸟的观测数量单位：只监测数据如下：
污染物浓度
水鸟数量
污染物浓度
水鸟数量
已知Ⅲ类河流的标准是污染物浓度不高于，估计这条河流中Ⅲ类河流的比重用百分数表示，结果保留两位有效数字；
已知关于的线性回归方程为，污染物浓度平均数，预测在下游湿地观测到只水鸟时河流的污染物浓度结果精确到；
某摄影师在这条河流中随机选取条不同的河流，前往下游湿地拍摄水鸟照片，每次拍摄张，求至少有张照片中出现不少于只水鸟的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.．
12.
13.
．
14.解：，
由于相关系数，故销售金额单位：万元和月份编号具有很强的正相关性；
的可能取值为，，，
个月中有个月的销售金额高于平均数，
所以，
，
，
所以的分布列为：
15.根据表格数据，条河流中污染物浓度的有条，比重为．
水鸟数量的平均数，
所以样本中心点为，得，得，
即，当时，，得．
由表格可知，在这条河流中，水鸟数量“不少于只”的共有条，
设“至少有张照片中出现不少于只水鸟”为事件，
则包含两种情况：恰好有张照片中的水鸟不少于只，有种情况；
张照片中的水鸟均不少于只，有种情况，
．
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