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(共25张PPT)
19.1二次根式及其性质
(课时1)
第十九章 二次根式
人教版(2024)
02 探究二次根式有意义的条件；
01 理解二次根式的概念；
03 能够利用二次根式的非负性解决相关问题.
素养目标
知识回顾
算术平方根的性质
正数只有____个算术平方根
0 的算术平方根是_____.
负数_____算术平方根
非负数 a 的算术平方根表示为 .
没有
0
1
知识回顾
平方根的性质
正数有 个平方根且互为 数
0 的平方根是_____.
负数_____平方根
非负数 a 的平方根表示为 .
没有
0
2
±
相反
新知导入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么共同特征：
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为　 　 m.
130
(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______.
a
1
新知导入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么共同特征：
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位:s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______．
h = 5t2
你发现这些结果有哪些共同特征？
探究新知
【问题1】这些式子分别表示什么意义？
分别表示65，a2+1， 的算术平方根．
【问题2 】这些式子有什么共同特征？
②被开方数为非负数.
①含有“ ”，根指数都为2；
归纳总结
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，“ ”称为二次根号.
二次根式也是代数式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数 a ≥ 0
根号a
二次根号
被开方数
随堂练习
C
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
探究新知
【思考】在二次根式中，为什么a不能是负数？
因为实数范围内，负数没有算术平方根.
当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由 x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
探究新知
只有在满足条件 a≥0 时才叫二次根式．即 a≥0 是为二次根式的前提条件.
1.二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即：
有意义 a ≥ 0
2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即：
无意义 a＜0．
二次根式有意义的条件
探究新知
当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
解：由 x2 ≥ 0，得 x 是任意实数，
∴当 x 为任意实数时， 都有意义.
由 x3 ≥ 0，得 x ≥ 0，
∴当 x ≥ 0 时， 有意义.
探究新知
二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当 a>0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 > 0；
当 a=0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则= 0；
当a≥0时， 是非负数，即 ≥ 0.
归纳总结
二次根式的双重非负性
a 为被开方数，为保证二次根式有意义，可知 a≥0；
表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
对于任意一个二次根式 ，我们知道：
C
B
A
D
D
A
C
小结
二次根式有意义的条件
二次根式的概念
二次根式
二次根式的双重非负性
谢谢 聆听

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