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陕西师大附中高三年级第九次模考答案
选择填空答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A B D A D AD ACD
题号 11
答案 ABD
2
12． 15 13. 14．0 a 1
6
一、选择题详解
1．【答案】B
【详解】因为U = 1,2,3,4,5,6 , A = 1,2,3,4 ，所以 (CU A) = 5,6 ，
又 B = 1,3,5 ，所以 (CU A) B = 5 。
2．【答案】C
7 i (7 i)(3 i)
【详解】因为 z(3+ i) = 7 i，则 z = = = 2 i，
3+ i (3+ i)(3 i)
所以 z = 2+ i .
3．【答案】D
【详解】对 ，有T = Cr 14 r
r
( 2 +3x)4 r+1 4
(3x) = 3r Cr r 4 x ，
令 r = 2，则T 2 2 2 2
，
3 =C4 ( 2) (3x) =108x
故 ( 2 +3x)4 的展开式中 x2 的系数为108 .
4．【答案】A
9 1
【详解】因为 f (x)是周期为 2 的函数，所以 f ( ) = f ( ) .
2 2
5
因为 f (x)是奇函数，当 1 x 0时， f (x) = log2 x + ，
2
1 1 1 5
所以 f = f = log2 + = log2 2 = 1，
2 2 2 2
9
故 f ( ) = 1.
2
5．【答案】B
【详解】法 1：设 an 的公差为 d，由a5 + a = 20 ，得 2a = 207 6 ，即 a6 =10 .
陕西师大附中高三年级第九次模考 数学答案第 1 页，共 13 页
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由 S9 = 63 ，得 S9 = 9a5 = 63，所以a5 = 7 .
所以 d = 3，所以a11 = a6 +5d =10+15 = 25 .
6．【答案】D
2
【详解】若圆柱的底面周长为 4cm，则底面半径 r = ，h = 2，
π
2
2 8
此时圆柱的体积V = πr2h = π 2 = cm
3，
π π
1
若圆柱的底面周长为 2cm，则底面半径 r = ， h = 4，
π
2
1 4
此时圆柱的体积V = πr2h = π 4 = cm
3
π π
8
∴圆柱的最大体积为 cm3.
π
7．【答案】A
1 π
【详解】因为直线PF1， PF2 的斜率之积为2 ( ) = 1，所以PF1 ⊥ PF2， F1PF2 = ，
2 2
PF2
由直线PF1的斜率为 2，可知 = 2，所以 PF2 = 2 PF1 ，
PF1
2a 4a
因为 PF2 + PF1 = 2a，所以 PF1 = , PF2 = ，
3 3
2
2 2 2 2a 2 4a 2 20a
因为 PF1 + PF2 = F1F2 ，所以 ( ) + ( ) = (2c)
2
，即 = 4c2，
3 3 9
5
所以e = .
3
8．【答案】D
sin + 2cos = 1 sin2 + 4sin cos + 4cos
2 =1
【详解】由题设 ，则 2 ，
cos 2sin = 2 cos 4cos sin + 4sin
2 = 2
1
所以4sin cos 4cos sin +5 = 3，可得sin cos cos sin = sin( ) = ，
2
π 3π 7 7
由 ，则 = π，故 = π，
2 2 6 6
7
代入cos 2sin = 2，则cos 2sin π = 2 ，
6
7 π
所以cos + 2sin π = 2 ，则cos + 2sin = 2 ，
6 6
试卷第 2 页，共 13 页
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π π 6
所以cos + 2sin cos 2cos sin = 3 sin = 2 sin = ，
6 6 3
π 7 π 6
所以sin + = sin π + = sin = .
6 6 6 3
二、多选题详解
9．【答案】AD
【详解】A 选项，甲组数据的极差为 xmax xmin ，则乙组样本数据的极差是
(3xmax + 2) (3xmin + 2) = 3(xmax xmin )，
乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的 3 倍，故 A 正确；
B 选项，设甲组数据的中位数为 x，则乙组数据的中位数为3x + 2，故 B 错误；
C 选项，设甲组数据的平均数为 x，则乙组数据的平均数为3x + 2 ，故 C 错误；
D 选项，甲组数据的标准差为 s，则乙组数据的标准差为 9s2 = 3s，故 D 正确.
10．【答案】ACD
【详解】设 an 的公比为q (q 0) .，
a = a q910 1 = 8 = 2
3
对于 A，由题意可得 ，
T = a a ...a = a17q1+2+...+16 = a17 136 17 17 1 2 17 1 1 q = 2
a1 = 2
15
解得 ，故 A 正确； 2
q = 2 = 4
对于 B，T = 2 15 2 13 ... 22n 17
2
n = 2
n 16n，
y = n2 16n是开口向上的抛物线，其对称轴为n = 8，所以当n = 8时，Tn取得最小值，
选项 C 的表述未包括“n = 9 ”，故 B 错误；
对于 C，a = a q
n 1 = 2 15 4n 1 = 22n 17 ，故 an 1 n 是递增数列，故 C 正确；
对于 D，令Tn 1，即n
2 16n 0 ，解得n 16或n 0，
因为n *N ，所以使Tn 1的 n的最小值为 17，故 D 正确.
11．【答案】ABD
【详解】对于 A，不妨设C与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，
令 x = 0，则 y | y |=1，解得 y = 1，即B(0, 1)，
令 y = 0 ，则 x | x |=1，解得 x =1，即 A(1,0)，易得直线 AB : y = x 1，
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2
则 AB = (0 1) + ( 1 0)2 = 2 ，故 A 正确；
对于 B，当 x 0, y 0时，C : x2 y2 =1，C在第一象限内有图象（双曲线的一部分），
当 x 0, y 0时，C : x2 + y2 =1，C在第四象限内有图象（圆的一部分），
当 x 0, y 0时，C : x2 + y2 =1，C在第三象限内有图象（双曲线的一部分），
当 x 0, y 0时，C : x2 y2 =1，此时等式不成立，故C在第二象限内没有图象，
设 (x, y)在C上，因为 (x, y)关于 y = x的对称点 ( y, x)也在C上，
所以C关于直线 y = x对称，C为轴对称图形，故 B 正确；
y = x
对于 C，联立 ，得0 =1，无解，故 C 错误；
x x y y =1
1 2
对于 D，若 PAB的面积为 ，且 AB = 2 ，则 P到 AB的距离为 ，
4 4
若 P在第四象限，此时C的轨迹是圆心为 (0,0)，半径为 1 的圆在第四象限的部分图像，
0+ 0 1 2
圆心 (0,0)到 AB : x y 1= 0的距离为 =
2 21 + ( 1) 2
，
2
则 P到 AB的距离的最大值为1 ，
2
2 1 2 1
则 PAB面积的最大值为 1 2 = ，
2 2 2
2 1 1
因为 ，所以不存在满足条件的点 P，
2 4
因为曲线C : x2 y2 =1(x 0, y 0)，C : y2 x2 =1(x 0, y 0)的渐近线为 y = x，
1 0 2
直线 y = x与直线 y = x 1的距离为 =2 ，
12 + ( 1) 2
1
若 PAB的面积为 ，且 AB = 2 ，
4
2
则 P到直线 AB : y = x 1和渐近线 y = x的距离都为 ，
4
如图，满足题意的点 P恰有两个，故选项 D 正确.
三、填空题详解
12．【答案】 15
试卷第 4 页，共 13 页
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2 1【详解】 a + b = a + 2a b + b 2 = 4+ 2 2 3 + 9 = 15 .
6
2
13．【答案】
6
【详解】作 AD ⊥ BC，因为 AB = AC = 3，所以D是BC的中点，
过D作DD1 //BB1，由直三棱柱性质得DD1 ⊥面 ABC，
如图，作出符合题意的图形，以D为原点建立空间直角坐标系，
因为BC = BB1 = 2，所以BD =CD =1，由勾股定理得 AD = 2 2 ，
则 A(2 2,0,0)，B(0, 1,0)，B1(0, 1,2)，C(0,1,0) ，

可得 AB = ( 2 2, 1,0)， B1C = (0, 2, 2) ，
设异面直线 AB与B1C所成角为 ，

AB B1C 2 2
则 cos = = = .
AB BC 3 2 2 61
14．【答案】0 a 1
【详解一】因为 f (x)的极小值为0 ，令 f (x) = 0，则 x = a或 x =1，
故 x = a或 x =1为 f (x)的极小值点.
若 a =1，即 x =1为 f (x)的极小值点.
2(x 1) ln x ln x (x ln x + 2x 2)
由题设 f (x) = (ln x)2 + = ，
x x
令 g(x) = x ln x + 2x 2， x 0，则 g (x) = ln x +3，
当 x (0,e 3) 时， g (x) 0，当 x (e 3 ,+ )时， g (x) 0，
故 g(x)在 (0,e 3)上递减， (e 3 ,+ ) 上递增，
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而 e 3 1且 g(1) = 0，故 x (e
3 ,1) 时 g(x) 0， x (1,+ )时 g(x) 0，
而 x (e 3 ,1) 时， ln x 0， x (1,+ )时 ln x 0，
故 x (e 3 ,1) 时， f (x) 0， x (1,+ )时 f (x) 0，
此时 x =1不是 f (x)的极小值点，与题设矛盾；
若 a 1 ,
若 x = a为 f (x)的极小值点，故 f (a) = 0 ，
2(x a) ln x ln x (x ln x + 2x 2a)
由题设 f (x) = (ln x)2 + = ，
x x
因 ln a 0，故必有a ln a + 2a 2a = 0，故a ln a = 0即a =1，与a 1矛盾；
若 x =1为 f (x)的极小值点，
ln x (x ln x + 2x 2a)
因为 f (x) = ，且0 x 1时， ln x 0 ， x 1时 ln x 0 ，
x
故 v (x) = x ln x + 2x 2a在 x =1的附近总有v (x) 0，
由局部保号性可得v (1) = 2 2a 0即0 a 1.
综上，0 a 1.
【详解二】
由 f (x) = (x a)(ln x)2 = 0 得， x1 = a, x2 =1。由于 x2 =1是方程的二重根，所以可以分
为三类。
当 a =1时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图
试卷第 6 页，共 13 页
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观察图像，不满足极小值为0 ，故舍去。
当 a 1时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图
观察图像，不满足极小值为0 ，故舍去。
当0 a 1时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图
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观察图像，满足极小值为0 ，故0 a 1。
综上，0 a 1.
四、解答题详解
15．【详解】（1）a2 b2 = ac c2变形为：a2 + c2 b2 = ac，
a2 + c2 b2 1
所以cosB = = ，.....................................................................................................3 分
2ac 2
π
因为 B (0,π) ，所以B = ；.......................................................................................................6 分
3
7 2
（2）因为 2 2cosC = ，且C (0,π) ，所以sinC = 1 cos C = ，............................... 9 分
10 10
5 c
b c = 7 6
由正弦定理得： = ，即 π 7 2 ，解得：c = ．..................................13 分.
sin B sinC sin
3 310
1+ 2+3+ 4+5+ 6+ 7
16．【详解】（1）由题意，得 x = = 4，
7
1.5+1.8+ 2+ 2.5+3.2+ 4+ 4.6
y = = 2.8 ...........................................................................3 分
7
7
2
(x x ) = (1 4)2 + (2 4)2 + (3 4)2 + (4 4)2i + (5 4)
2 + (6 4)2 + (7 4)2 = 28
i=1
7 7
(xi x)(yi y) = xi yi 7xy = 93.3 7 4 2.8 =14.9 ...........................................6 分
i=1 i=1
7
(xi x )( yi y )
i=1 14.9 14.9
所以 r = = 0.98，..............................................8 分
7 7
2 2 28 8.26 15.21
( xi x ) ( yi y )
i=1 i=1
所以样本 (xi , yi )(i =1,2, ,7)的相关系数约为 0.98.
7 7
2
（2）因为 (xi x )( yi y ) =14.9, (xi x ) = 28，所以
i=1 i=1
试卷第 8 页，共 13 页
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7
(xi x )( yi y )
b = i=1
14.9
= 0.53
7 ..........................................................................................11分
2 28
( xi x )
i=1
1.5+1.8+ 2+ 2.5+3.2+ 4+ 4.6
又 x = 4, y = = 2.8，
7
所以a = y b x = 2.8 0.53 4 = 0.68，.....................................................................................14 分
所以回归方程为 y = 0.53x+ 0.68，
当 x = 8时， y = 0.53 8+0.68 = 4.92，所以预测第 8 天的销售额为 4.92 万元..................15 分
17．【详解】（1）因为双曲线C的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线C为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程 x2 y2 = m (m 0) ，............................................................................2 分
又双曲线C经过点P(2, 2)，
所以4 2 = m，即m = 2 ，
2 x
2 y2
所以双曲线的方程为 x y2 = 2 ，即 =1．.................................................................4 分
2 2
（2）
法一：
根据题意可知直线 l的斜率存在，又直线 l过点Q(0,2)，
所以直线 l的方程为 y = kx + 2，
2
所以原点O到直线 l的距离d = ，.................................................................................6 分
k 2 +1
y = kx + 2
联立 2 2 ，得 (k
2 1)x2 + 4kx + 6 = 0，
x y = 2
设点E(x1, y1),F (x2 , y2 )
4k
x1 + x2 = k 2 1
6
x1x2 =
k 2 1
所以 k 2 1且 =16k
2 24(k 2 1) = 24 8k 2 0，
所以 k 2 3，且 k 2 1，...............................................................................................................9 分
2 (4k)
2 4(k 2 1) 6 2 2 2 3 k
2
所以 | EF |= 1+ k = 1+ k ，
| k 2 1| | k 2 1|
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1 1 2 2 3 k 2 2
所以 OEF的面积为 | EF | d = 1+ k 2 = 2 2 .....................................12 分
2 2 | k 2 1| k 2 +1
3 k 2
所以 =1，解得 k 2 = 2，所以 k = 2 ，.....................................................................14 分
| k 2 1|
所以直线 l的方程为 y = 2x + 2或 y = 2x + 2 ....................................................................15 分
法二：根据题意可知直线 l的斜率存在，又直线 l过点Q(0,2)，
所以直线 l的方程为 y = kx + 2，
y = kx + 2
联立 2 2 ，得 (k
2 1)x2 + 4kx + 6 = 0，
x y = 2
设点E(x1, y1),F (x2 , y2 )
4k
x1 + x2 = k 2 1
6
x1x2 =
k
2 1
所以 k 2 1且 =16k
2 24(k 2 1) = 24 8k 2 0，
所以 k 2 3，且 k 2 1，...............................................................................................................7 分
由 S OEF = S OEQ + S OFQ ,所以
1 1 1 1
S OEF = OQ x1 + OQ x2 = OQ x1 x2 = 2 (x + x )
2
1 2 4x1x2
2 2 2 2
....................................................12 分
4k 6 3 k 2
= ( )2 4 = 2 2 = 2 2
k 2 1 k 2 1 k 2 1
解得 k 2 = 2，所以 k = 2 ，....................................................................................................14 分
所以直线 l的方程为 y = 2x + 2或 y = 2x + 2 ....................................................................15 分
试卷第 10 页，共 13 页
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b 2
18．【详解】（1） f (x) = a + ， .....................................................................................1
x2
分
x
1
则 f (1) = a +b 2 = , f (1) = a b =1，.................................................................................2 分
2
5 1
则 a = , b = ..............................................................................................................................4 分
4 4
1 2lnx 1
（2）当b =1时，依题意有ax 2lnx 0对于任意 x 1恒成立，则a + ，
x x x2
2lnx 1 2x 2xlnx 2
设m(x) = + 2 (x 1) ,m (x) = ， x x x3
设 h (x) = 2x 2xlnx 2,h (x) = 2lnx，
由 x 1得：h (x) 0，则h (x)在 (1,+ )上单调递减，..........................................................7 分
且 h (1) = 0，则h (x) 0在 (1,+ )上恒成立，即m (x) 0,m (x)在 (1,+ )上单调递减，
m (1) =1，则m (x) 1，则a 1 ..................................................................................................9 分
1
（3）由（2）可知，当 x 1时， x 2lnx = lnx
2
，
x
1 2n +1
令 x = t ，则 t lnt (t 1)，因为 1，
t 2n 1
2n +1 2n +1 2n 1 2n +1
令 t = ，则 ln ，
2n 1 2n 1 2n +1 2n 1
1 2n +1
ln
即 2 1 2n 1 ，..............................................................................................................13 分 n
4
1 1 1 3 5 2n +1
+ + + ln + ln + + ln = ln (2n+1)
累加得： 2 1 2 1 2 1 1 3 2n 1 ， 1 2 n
4 4 4
n 1
ln (2n +1) ,(i =1,2 n,n *N )
即 i=1 1 成立.................................................................17 分
i2
4
19．【详解】（1）由于 f (C )、 f (D)是从 8 个数字中选取两个不同的数字，
若 f (C ) =1，则 f (D)有7 种；若 f (C ) = 2，则 f (D)有7 种；依此类推，
可得样本空间的个数为 56 个....................................................................................................1 分
又因为满足 |f (C ) f (D)|=2的基本事件有
(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)，(5,7)，(7,5)，(6,8)，(8,6)，
共 12 个样本点，..........................................................................................................................3 分
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根据古典概率知识得：
12 3
P1 = = ；...............................................................................................................................4 分
56 14
（2）用M1表示“ f (C )、 f (D)均为奇数”的事件，
若 f (C ) =1，则 f (D)有3种；若 f (C ) = 3，则 f (D)有3种；依此类推，
可知事件M1包含 12 个样本点，
用M 2 表示“ f (C )、 f (D)均为偶数”的事件，
同上可知，事件M 2 也包含 12 个样本点，................................................................................7 分
又从 1 8 个数字中任取两个数字标签贴在 C D 顶点的样本空间有 56 个样本点，
12 3 12 3
根据古典概率知识得：P (M1 ) = = ,P (M 2 ) = = ，
56 14 56 14
记“ f (C )+ f (D)为偶数”为事件Q，则Q =M1 +M 2 ，
3 3 3
故P2 = P (M1 )+ P (M 2 ) = + = ；...................................................................................9 分
14 14 7
（3）如图，取边CD的中点F，连结BF , AF ,EF，
因为△BCD 、 ACD均是边长为a的正三角形，
所以 AF ⊥CD,BF ⊥CD，
因 AF BF = F， AF ,BF 平面 ABF，因此CD ⊥平面 ABF，
因EF 平面 ABF，则CD ⊥ EF，从而 AFE是二面角 E CD A的平面角 ，..........11 分
3 π
又 AF = BF = a = AB，则 AFB = FBA = BAF = ，
2 3
AE EF EF sin
在△AEF中利用正弦定理得 = ，则 AE = ，
sin sin BAF sin BAF
π
EF sin
同理在△BEF中利用正弦定理得， 3
BE =
，
sin ABF
试卷第 12 页，共 13 页
{#{QQABIQat4wg4gFRACL6bAUEEC0kYspISLCgGARCeKA4KCRFABAA=}#}
π π π
当二面角E CD A的平面角 大于 时， ，则1 tan 3 ，.......................13 分
4 4 3
f (A) AE sin sin 2 2
= = = = = 3 +1
则 f (B) BE π 3 1 3 3 1 ，
sin cos sin 1
3 2 2 tan
当 f (B) =1时， f (A) 3，则 f (A)可取 3,4,5,6,7,8 共六个值；
当 f (B) = 2时， f (A) 6，则 f (A)可取 6,7,8 共三个值；
当 f (B) 3时， f (A) 9，则 f (A)不存在，
从 1 8 个数字中任取两个数字标签贴在 A,B顶点的样本空间有 56 个样本点，..............16 分
π 9
其中使得二面角E CD A的平面角 大于 的样本点有 9 个，所以P3 = ..................17 分
4 56
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{#{QQABIQat4wg4gFRACL6bAUEEC0kYspISLCgGARCeKA4KCRFABAA=}#}数学试题
注意事项：
1．本考试满分分，时间分钟．
2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整．
3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．
4．只交答题纸，不交试题卷．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若全集，集合，，则（ ）
2．已知复数满足，则（ ）
3．的展开式中的系数为（ ）
4．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ）
5．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
6．若用长为，宽为的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ）
7．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
8．若，则（ ）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知甲组样本数据，由这组数据得到乙组样本数据，其中，则（ ）
乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的3倍
乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的3倍
乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的3倍
乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的3倍
10．记正项等比数列的前项积为，若，则下列结论正确的是（ ）
当取得最小值时，
是递增数列 使的的最小值为17
11．已知曲线与坐标轴交于两点，点在上，则（ ）
为轴对称图形
直线与有两个公共点 使得的面积为的点恰有2个
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________．
13．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为________．
14．设，函数的极小值为，则的取值范围是_______.
四、解答题（本题共5小题, 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，求．
16．小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备 房租 生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下：
第天 1 2 3 4 5 6 7
销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6
(1)求样本的相关系数（精确到0.01；
(2)用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）.
附：①相关系数；
②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；
③
17．已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程.
18．已知函数．
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
19．在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点.
(1)求事件“”的概率；
(2)求事件“为偶数”的概率；
(3)若，求“二面角的平面角大于”的概率

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