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江苏省南通市2024-2025学年高二下学期6月期末质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，且，则（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查空间向量平行（共线）的坐标表示，核心是利用向量平行时对应坐标成比例的性质求解未知参数。
2．已知随机变量，且，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量，且，则，求得，故C正确.
故答案为：C.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态曲线关于均值对称的性质，结合概率相等的条件求解a+b。
3．若一质点的位移（单位：m）关于时间（单位：s）的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；瞬时变化率
【解析】【解答】解：求导可得，
因为，
所以该质点在时的瞬时速度为.
故答案为：A
【分析】本题考查导数的物理意义，核心是利用位移函数的导数表示瞬时速度，通过求导并代入时间值计算。
4．将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（　　）
A．24 B．36 C．64 D．72
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意得，4本不同的书可以分成2，1，1三组，有种分组方法，再分给3名学生，有种分配方法，
所以，不同的分配方法数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查排列组合中的分组分配问题，核心是采用先分组后分配的策略，先将4本不同的书按“2，1，1”分组，再将分好的三组全排列分给3名学生。
5．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据：
3 4 5 6
标准煤 2.5 3 m 4.5
根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（　　）
A．x与y负相关 B．
C．回归直线过点 D．时的残差为0.05
【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误；
B、C：由，所以，所以回归直线过点，又，解得，故C正确，B错误；
D：时，，则残差为：，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：通过回归方程的斜率判断变量相关性；B、C：利用回归直线过样本中心点 求解 并验证中心点；D：根据残差定义（实际值 - 预测值）计算残差。
6．已知m，n，l表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，则或，故A错误；
B，若，，则或，故B错误；
C，若，，，，且直线相交于一点，则，故C错误；
D，若，，，则，且，又，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系及判定定理，逐一分析选项：
A：判断直线与平面的位置关系；
B：判断直线与平面的位置关系；
C：判断线面垂直的判定条件；
D：利用线面平行的性质判断线线平行。
7．某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（　　）
A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：利用全概率公式计算，即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是，
故答案为：B.
【分析】本题考查全概率公式的应用，核心是将 “学生喜欢篮球” 的事件按性别拆分为互斥的两部分，再分别计算概率并求和。
8．平面四边形中，，，．现将沿翻折至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设，
因，，则是等边三角形，
因，，则，
因，则与全等，则，
则，为中点（三线合一），则，，
在中利用余弦定理得
因平面，则平面，
因为线段的中点，则三棱锥的外接球球心平面，
设的外心为，则为线段上靠近点的三等分点，
因的外心为，则平面，平面，
因平面，平面，则，
因，则，
因，则在中，，
则在中，，
三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：C
【分析】平面四边形ABCD中，△ABC为等边三角形、△ACD为等腰直角三角形，沿AC翻折后利用线面垂直与余弦定理确定外接球球心位置，求得半径平方，故可三棱锥的外接球表面积。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A：利用全概率公式计算：，故A正确；
B：由，，而，故B错误；
C：由，故C正确；
D：由，故D正确；
故答案为：ACD
【分析】A：用全概率公式计算 ；B：通过计算 与 判断事件独立性；C：用条件概率公式计算 ；D：利用互斥事件的条件概率和公式计算 。
10．已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（　　）
A． B．点P到平面的距离为
C．二面角的正切值为1 D．的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为2，则，，，因为点P在棱上，所以设，
所以，，则，所以，所以A正确；
因为平面，所以点P到平面的距离即为点到平面的距离，
因为为正方形，连接，，使，所以，
因为正方体中，平面，所以，
所以平面，所以点到平面的距离为，所以B正确；
由题知，平面的一个法向量，
又，所以，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，所以，
所以，设二面角的平面角为，则，
所以，所以C错误；
作点关于面的对称点，所以，因为点Q在面内，
所以的最小值为，所以D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题以正方体为载体，考查空间线线垂直、点面距离、二面角及折线段最小值问题，核心是通过建立空间直角坐标系，利用向量法逐一分析选项。
11．已知实数a，b满足，则（　　）
A．当时， B．当且时，
C．当时， D．当时，
【答案】A,D
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A，时，恒成立，故，A正确；
B，当且时，两边取对数，，
即，令，则，
令，，则，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，故，所以在上单调递增，
且趋向于0时，趋向于，当时，，
故，B错误；
C，当时，两边取对数，，，
不妨令，则，C错误；
D，时，由B知，，令，则，
下面证明，即证，
令，，
故在上单调递增，且，
所以，故，D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查指数方程与函数单调性的综合应用，核心是通过对数变形将参数a表示为关于t=b2的函数，再利用导数分析函数单调性，进而判断各选项的正确性。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为　 　．
【答案】8
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：
如图，由底面边长为2，高为的正四棱锥可得：，
由勾股定理得：斜高，
所以正四棱锥的侧面积为，
故答案为：8
【分析】本题考查正四棱锥侧面积的计算，核心是先求出侧面三角形的斜高，再利用三角形面积公式计算单个侧面面积，最后乘以 4 得到总侧面积。
13．函数在区间上的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，，
所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增.
又，，
所以，函数在区间上的最大值为.
故答案为：.
【分析】本题考查闭区间上函数的最大值求解，核心是利用导数研究函数的单调性与极值，再通过比较极值与端点值的大小确定最大值。
14．随机变量．若，则　 　；若，则p的最大值为　 　．
【答案】4；
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由，得，，又，
因此；
又，，则，
解得，而，所以当时，.
故答案为：4；
【分析】本题考查二项分布的期望、方差性质，核心是利用方差的线性运算性质，结合二项分布的公式求解与p的最大值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了解高中生的体育成绩（优秀与非优秀）和性别是否有关，对某高中在校学生进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
　 优秀 非优秀 合计
男 s 30 50
女 5 t 50
合计 25 75 100
（1）求的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为体育成绩与性别有关？
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由表格数据可知，，
所以．
（2）解：提出零假设：成绩与性别无关．
根据列联表中的数据可以求得
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为成绩与性别有关．
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 根据列联表中的合计数据，分别求出 和 的值，再计算 ；
(2) 提出零假设 ，根据列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较，判断是否能认为体育成绩与性别有关。
（1）由表格数据可知，，
所以．
（2）提出零假设：成绩与性别无关．
根据列联表中的数据可以求得
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为成绩与性别有关．
16．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求的长．
【答案】（1）证明：
在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以．
因为是正三角形，D是中点，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解：
在中过点D作，垂足为F．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又平面，所以．
由（1）知，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
设，则，，，，
由勾股定理得，即，解得或，
所以或2．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1) 利用正三角形的性质和线面垂直的判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线；
(2) 利用面面垂直的性质，得到线线垂直关系，再通过勾股定理列方程求解 的长度。
（1）在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以．
因为是正三角形，D是中点，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解法一：
在中过点D作，垂足为F．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又平面，所以．
由（1）知，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
设，则，，，，
由勾股定理得，即，解得或，
所以或2．
解法二：
在正三棱柱中，取中点，连结，
则，，两两垂直，以为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，得．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即
解得，，
取，则，，
得．
因为平面平面，
所以，解得或，
所以或2．
17．已知函数，．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若存在极大值点，求证：．
【答案】（1）解：若，则，
，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为.
（2）解：，定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，
函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和，
综上所述，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和.
（3）证明：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，
，
；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意，
综上所述，若存在极大值点，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出曲线在处的切线的方程.
（2）先求导，再结合导数的正负，从而分情况讨论出函数的单调递增区间.
（3）利用函数的单调性求出函数的极大值，再根据的取值范围证出不等式成立.
（1）若，则，，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为；
（2），定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和．
综上，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和；
（3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，，；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意；
综上，若存在极大值点，则．
18．如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为．
（1）求圆台的体积；
（2）设，分别是圆台的两条母线．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
【答案】（1）解：因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
（2）（ⅰ）证明：由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M，所以A，，，B四点共面．
又因为圆面圆面O，平面圆面，平面圆面，
所以．
（ⅱ）解：在圆面O内作，垂足为O．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，，得．
设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当，即，时，取“”，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 先求圆台的高，再用圆台体积公式计算；
(2)(i) 利用圆台的定义和线面平行的性质证明 ；
(ii) 建立空间直角坐标系，通过向量法求直线与平面所成角的正弦值的最大值。
（1）因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
（2）（ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M，
所以A，，，B四点共面．
又因为圆面圆面O，
平面圆面，
平面圆面，
所以．
（ⅱ）在圆面O内作，垂足为O．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，，得．
设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当，即，时，取“”，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为
19．一节阅读课，共有n位读者围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书．
（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率；
（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为．用表示“编号为i的书未被选”，表示“编号为i的书被选”．
（ⅰ）求的概率分布；
（ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为，第二节课后编号为i的书选择情况取值为．记，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：当时，样本空间包含个样本点，
记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含8个样本点，
所以；
（2）（ⅰ）解：，，
则的分布列为
0 1
P
（ⅱ）解：随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n，
对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．
数组的结果共个，所以．
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 n
P
所以随机变量X的数学期望为．
下面计算：
设，
两边求导得，，
两边乘以x后得，，
令，得，
所以．
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；组合数公式
【解析】【分析】(1) 计算 时的样本空间总数与“每人都不选自己面前的书”的样本数，求概率；
(2)(i) 分析 的取值及概率，写出分布列；
(ii) 分析 的可能取值与对应概率，计算数学期望。
（1）当时，样本空间包含个样本点，
记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含8个样本点，
所以；
（2）（ⅰ），，
则的分布列为
0 1
P
（ⅱ）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n，
对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．
数组的结果共个，所以．
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 n
P
所以随机变量X的数学期望为．
下面计算：
方法1：设，
两边求导得，，
两边乘以x后得，，
令，得，
所以．
所以．
方法2：先证，
得，
所以．
1 / 1江苏省南通市2024-2025学年高二下学期6月期末质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，且，则（　　）
A． B． C．1 D．2
2．已知随机变量，且，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若一质点的位移（单位：m）关于时间（单位：s）的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为（　　）
A． B． C． D．
4．将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（　　）
A．24 B．36 C．64 D．72
5．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据：
3 4 5 6
标准煤 2.5 3 m 4.5
根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（　　）
A．x与y负相关 B．
C．回归直线过点 D．时的残差为0.05
6．已知m，n，l表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则
7．某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（　　）
A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20
8．平面四边形中，，，．现将沿翻折至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（　　）
A． B．
C． D．
10．已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（　　）
A． B．点P到平面的距离为
C．二面角的正切值为1 D．的最小值为
11．已知实数a，b满足，则（　　）
A．当时， B．当且时，
C．当时， D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为　 　．
13．函数在区间上的最大值为　 　．
14．随机变量．若，则　 　；若，则p的最大值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了解高中生的体育成绩（优秀与非优秀）和性别是否有关，对某高中在校学生进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
　 优秀 非优秀 合计
男 s 30 50
女 5 t 50
合计 25 75 100
（1）求的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为体育成绩与性别有关？
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求的长．
17．已知函数，．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若存在极大值点，求证：．
18．如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为．
（1）求圆台的体积；
（2）设，分别是圆台的两条母线．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
19．一节阅读课，共有n位读者围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书．
（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率；
（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为．用表示“编号为i的书未被选”，表示“编号为i的书被选”．
（ⅰ）求的概率分布；
（ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为，第二节课后编号为i的书选择情况取值为．记，求X的分布列与数学期望．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查空间向量平行（共线）的坐标表示，核心是利用向量平行时对应坐标成比例的性质求解未知参数。
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由随机变量，且，则，求得，故C正确.
故答案为：C.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态曲线关于均值对称的性质，结合概率相等的条件求解a+b。
3．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则；瞬时变化率
【解析】【解答】解：求导可得，
因为，
所以该质点在时的瞬时速度为.
故答案为：A
【分析】本题考查导数的物理意义，核心是利用位移函数的导数表示瞬时速度，通过求导并代入时间值计算。
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意得，4本不同的书可以分成2，1，1三组，有种分组方法，再分给3名学生，有种分配方法，
所以，不同的分配方法数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查排列组合中的分组分配问题，核心是采用先分组后分配的策略，先将4本不同的书按“2，1，1”分组，再将分好的三组全排列分给3名学生。
5．【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误；
B、C：由，所以，所以回归直线过点，又，解得，故C正确，B错误；
D：时，，则残差为：，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：通过回归方程的斜率判断变量相关性；B、C：利用回归直线过样本中心点 求解 并验证中心点；D：根据残差定义（实际值 - 预测值）计算残差。
6．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，则或，故A错误；
B，若，，则或，故B错误；
C，若，，，，且直线相交于一点，则，故C错误；
D，若，，，则，且，又，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系及判定定理，逐一分析选项：
A：判断直线与平面的位置关系；
B：判断直线与平面的位置关系；
C：判断线面垂直的判定条件；
D：利用线面平行的性质判断线线平行。
7．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：利用全概率公式计算，即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是，
故答案为：B.
【分析】本题考查全概率公式的应用，核心是将 “学生喜欢篮球” 的事件按性别拆分为互斥的两部分，再分别计算概率并求和。
8．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设，
因，，则是等边三角形，
因，，则，
因，则与全等，则，
则，为中点（三线合一），则，，
在中利用余弦定理得
因平面，则平面，
因为线段的中点，则三棱锥的外接球球心平面，
设的外心为，则为线段上靠近点的三等分点，
因的外心为，则平面，平面，
因平面，平面，则，
因，则，
因，则在中，，
则在中，，
三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：C
【分析】平面四边形ABCD中，△ABC为等边三角形、△ACD为等腰直角三角形，沿AC翻折后利用线面垂直与余弦定理确定外接球球心位置，求得半径平方，故可三棱锥的外接球表面积。
9．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A：利用全概率公式计算：，故A正确；
B：由，，而，故B错误；
C：由，故C正确；
D：由，故D正确；
故答案为：ACD
【分析】A：用全概率公式计算 ；B：通过计算 与 判断事件独立性；C：用条件概率公式计算 ；D：利用互斥事件的条件概率和公式计算 。
10．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为2，则，，，因为点P在棱上，所以设，
所以，，则，所以，所以A正确；
因为平面，所以点P到平面的距离即为点到平面的距离，
因为为正方形，连接，，使，所以，
因为正方体中，平面，所以，
所以平面，所以点到平面的距离为，所以B正确；
由题知，平面的一个法向量，
又，所以，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，所以，
所以，设二面角的平面角为，则，
所以，所以C错误；
作点关于面的对称点，所以，因为点Q在面内，
所以的最小值为，所以D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题以正方体为载体，考查空间线线垂直、点面距离、二面角及折线段最小值问题，核心是通过建立空间直角坐标系，利用向量法逐一分析选项。
11．【答案】A,D
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A，时，恒成立，故，A正确；
B，当且时，两边取对数，，
即，令，则，
令，，则，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，故，所以在上单调递增，
且趋向于0时，趋向于，当时，，
故，B错误；
C，当时，两边取对数，，，
不妨令，则，C错误；
D，时，由B知，，令，则，
下面证明，即证，
令，，
故在上单调递增，且，
所以，故，D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查指数方程与函数单调性的综合应用，核心是通过对数变形将参数a表示为关于t=b2的函数，再利用导数分析函数单调性，进而判断各选项的正确性。
12．【答案】8
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：
如图，由底面边长为2，高为的正四棱锥可得：，
由勾股定理得：斜高，
所以正四棱锥的侧面积为，
故答案为：8
【分析】本题考查正四棱锥侧面积的计算，核心是先求出侧面三角形的斜高，再利用三角形面积公式计算单个侧面面积，最后乘以 4 得到总侧面积。
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，，
所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增.
又，，
所以，函数在区间上的最大值为.
故答案为：.
【分析】本题考查闭区间上函数的最大值求解，核心是利用导数研究函数的单调性与极值，再通过比较极值与端点值的大小确定最大值。
14．【答案】4；
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由，得，，又，
因此；
又，，则，
解得，而，所以当时，.
故答案为：4；
【分析】本题考查二项分布的期望、方差性质，核心是利用方差的线性运算性质，结合二项分布的公式求解与p的最大值。
15．【答案】（1）解：由表格数据可知，，
所以．
（2）解：提出零假设：成绩与性别无关．
根据列联表中的数据可以求得
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为成绩与性别有关．
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 根据列联表中的合计数据，分别求出 和 的值，再计算 ；
(2) 提出零假设 ，根据列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较，判断是否能认为体育成绩与性别有关。
（1）由表格数据可知，，
所以．
（2）提出零假设：成绩与性别无关．
根据列联表中的数据可以求得
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为成绩与性别有关．
16．【答案】（1）证明：
在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以．
因为是正三角形，D是中点，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解：
在中过点D作，垂足为F．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又平面，所以．
由（1）知，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
设，则，，，，
由勾股定理得，即，解得或，
所以或2．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1) 利用正三角形的性质和线面垂直的判定定理，证明 垂直于平面 内的两条相交直线；
(2) 利用面面垂直的性质，得到线线垂直关系，再通过勾股定理列方程求解 的长度。
（1）在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以．
因为是正三角形，D是中点，所以．
又，，平面，所以平面．
（2）解法一：
在中过点D作，垂足为F．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又平面，所以．
由（1）知，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
设，则，，，，
由勾股定理得，即，解得或，
所以或2．
解法二：
在正三棱柱中，取中点，连结，
则，，两两垂直，以为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，得．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即
解得，，
取，则，，
得．
因为平面平面，
所以，解得或，
所以或2．
17．【答案】（1）解：若，则，
，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为.
（2）解：，定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，
函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和，
综上所述，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和.
（3）证明：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，
，
；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意，
综上所述，若存在极大值点，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出曲线在处的切线的方程.
（2）先求导，再结合导数的正负，从而分情况讨论出函数的单调递增区间.
（3）利用函数的单调性求出函数的极大值，再根据的取值范围证出不等式成立.
（1）若，则，，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为；
（2），定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和．
综上，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和；
（3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，，；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意；
综上，若存在极大值点，则．
18．【答案】（1）解：因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
（2）（ⅰ）证明：由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M，所以A，，，B四点共面．
又因为圆面圆面O，平面圆面，平面圆面，
所以．
（ⅱ）解：在圆面O内作，垂足为O．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，，得．
设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当，即，时，取“”，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为
【知识点】平面与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 先求圆台的高，再用圆台体积公式计算；
(2)(i) 利用圆台的定义和线面平行的性质证明 ；
(ii) 建立空间直角坐标系，通过向量法求直线与平面所成角的正弦值的最大值。
（1）因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
（2）（ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M，
所以A，，，B四点共面．
又因为圆面圆面O，
平面圆面，
平面圆面，
所以．
（ⅱ）在圆面O内作，垂足为O．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，，得．
设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当，即，时，取“”，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为
19．【答案】（1）解：当时，样本空间包含个样本点，
记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含8个样本点，
所以；
（2）（ⅰ）解：，，
则的分布列为
0 1
P
（ⅱ）解：随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n，
对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．
数组的结果共个，所以．
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 n
P
所以随机变量X的数学期望为．
下面计算：
设，
两边求导得，，
两边乘以x后得，，
令，得，
所以．
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；组合数公式
【解析】【分析】(1) 计算 时的样本空间总数与“每人都不选自己面前的书”的样本数，求概率；
(2)(i) 分析 的取值及概率，写出分布列；
(ii) 分析 的可能取值与对应概率，计算数学期望。
（1）当时，样本空间包含个样本点，
记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含8个样本点，
所以；
（2）（ⅰ），，
则的分布列为
0 1
P
（ⅱ）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n，
对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．
数组的结果共个，所以．
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 n
P
所以随机变量X的数学期望为．
下面计算：
方法1：设，
两边求导得，，
两边乘以x后得，，
令，得，
所以．
所以．
方法2：先证，
得，
所以．
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