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贵州省遵义市余庆县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．化简的结果是（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的的性质化简即可．
2．下列各点中，在正比例函数的图像上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，不在正比例函数的图像上，故A不符合要求；
当时，，在正比例函数的图像上，故B符合要求；
当时，，不在正比例函数的图像上，故C不符合要求；
当时，，不在正比例函数的图像上，故D不符合要求；
故选：B．
【分析】将各选项中点坐标的横坐标代入解析式求出y的值并判断即可.
3．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【分析】利用二次根式及分式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可.
4．已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当和为直角三角形的两条直角边时，
第三边长为；
当为直角边，为直角三角形的斜边时，
第三边长为，
这个直角三角形的第三边长为或．
故选： C．
【分析】分情况讨论：当和为直角三角形的两条直角边时，当为直角边，为直角三角形的斜边时，根据勾股定理即可求出答案.
5．甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
因此身高比较整齐的篮球队是乙，
故答案为：B．
【分析】方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定。本题根据方差的意义，先对三个方差进行大小比较，然后分析得出乙的方差最小，即身高比较整齐的篮球队是乙；而丙的方差最大，即身高差别比较大的篮球队是丙。从而得出答案。
6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：B。
【分析】本题先根据B点的坐标，利用勾股定理求出，然后结合矩形的性质“对角线相等”，即可得出。
7．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：
甲：如果是直角三角形，那么一定成立；
乙：在中，如果，那么不是直角三角形．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．两人都错 D．两人都对
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：中，不确定谁是直角边和斜边，
所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误；
在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误，
∴两人都错，
故选：C．
【分析】利用勾股定理以及勾股定理的逆定理（确定斜边和直角边）分析求解即可.
8．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限.
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此求解即可.
9．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直
B．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线相等的菱形是正方形
D．平行四边形一定是轴对称图形
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A：逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”不成立．
B：逆命题为“一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形”不成立．
C：逆命题“正方形是对角线相等的菱形，成立．
D：逆命题“轴对称图形是平行四边形”不成立．
故答案为：C．
【分析】本题先写出各选项的逆命题，其中A的逆命题可以用“梯形、菱形”来否定，B的逆命题可以用“等腰梯形”来否定，D的逆命题依据平行四边形的形状以及轴对称图形的特点即可否定。
10．已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数，k=-3＜0，
随的增大而减小，
点，在一次函数上，且，
．
故答案为：A．
【分析】本题结合一次函数的性质，即“随的增大而增大；随的增大而减小”，因为，因此得出随的增大而减小，再结合，即可得出．当然，本题也可以将点，代入一次函数中，分别求出y1和y2，然后比较大小亦可。
11．已知实数满足，那么的值是（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；化简含绝对值有理数；算术平方根的实际应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：中，
，则，
，
，即，
，则，
故选：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件可求出，则，再去掉绝对值，化简可得，最后求出即可.
12．如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，，，，
四边形、是平行四边形，
在和中，
，
，
即和的面积相等；
同理和的面积相等，和的面积相等，
故四边形和四边形的面积相等，即．
故答案为：B．
【分析】本题根据平行四边形的性质“两组对边分别平行且相等”和判定“两组对边分别平行”，即可先得出平行四边形、，然后利用SSS证明，结合全等三角形的性质得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，因此得出四边形和四边形的面积相等，即，从而得出答案。
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．当　 　时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，
则，
解得：，
∵是整数，
∴10-x是一个完全平方数，
∴x可以等于1，当x=1时，是整数.
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式得出x的取值范围，再根据该二次根式的值是整数，可得10-x是一个完全平方数，据此在x的取值范围内取值求解即可.
14．实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按5：2：3的比例确定成绩，则小林的最终成绩是　 　分.
【答案】63
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
故答案为：63.
【分析】直接利用加权平均值计算公式计算即可，即各成绩乘以对应占比的和除以各占比的总和.
15．如图所示的程序框图，当分别输入x的值为和7时，输出y的值相等，则b的值是　 　．
【答案】2
【知识点】列一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x=-1时，y=3×（-1）+b，
当x=7时，y=6-7，
∵当分别输入x的值为和7时，输出y的值相等，
即，
解得，
故答案为：2．
【分析】本题程序框图，分别列出当x=-1和x=7对应的y的值，然后根据条件得出一个关于b的一元一次方程，求解b即可。
16．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是　 　．
【答案】1.5
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接、，与交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，，
又∵，
∴，
∵点G是线段上的动点，，
∴，
∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接、，与交于点O，先利用勾股定理求出AO的长，再利用三角形中位线的性质可得，最后求出即可.
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式

【知识点】最简二次根式；分母有理化；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】（1）二次根式的乘法，得到；二次根式的除法得到，完全平方公式计算得到，然后进行加减计算即可；
（2）二次根式的乘法，得到；二次根式的除法得到，分母有理化得到，二次根式的化简得到，然后进行加减计算即可。
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共600名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下：
抽取的八年级学生的竞赛成绩 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8， 8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______，______；
（2）估计该校七、八年级这600名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
【答案】（1）；；8；7
（2）解：（人），
即估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上有150人；
（3）解：题中七年级的中位数是7.4，即七年级学生的一般水平在7.4分；八年级的中位数是8，即八年级学生的一般水平在8分。
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级的平均数，
将七年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是7，第11的是8，因此中位数，
七年级20名同学成绩中7出现次数最多，因此众数，
将八年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是8，第11的是8，因此中位数；
故答案为：（1）；；8；7；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，所得的结果就是平均数。中位数是指把一组数据从小到大排列，最中间的那个数，如果这组数据的个数是奇数，那最中间那个就是中位数，如果这组数据的个数为偶数，那就把中间的两个数之和除以2，所得的结果就是中位数。众数是指一组数据中出现次数量多的那个数，众数可以是多个。本题结合平均数、中位数、众数的定义，结合图中信息分析计算即可得出答案；
（2）用学生总数600，乘以被调查学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数所占的比例，即可得到答案；
（3）众数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩出现次数最多的数，中位数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩处于中间位置的数，反映学生成绩的一般水平．本题根据中位数和众数的意义，选择一个进行说明即可．
（1）解：七年级的平均数，
将七年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是7，第11的是8，因此中位数，
七年级20名同学成绩中7出现次数最多，因此众数，
将八年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是8，第11的是8，因此中位数；
（2）解：（人），
即估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上有150人；
（3）解：众数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩出现次数最多的数，
中位数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩处于中间位置的数，反映学生成绩的一般水平．
19．某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，．
（1）求之间的距离；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：连接，
，
∴之间的距离为；
（2）解：∵m，m，m，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴m2，
即四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）本题放到中，利用勾股定理列式计算即可求出BD的长度；
（2）本题先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，并得出，然后将四边形分割成两个直角三角形，最后根据直角三角形面积公式列式计算即可。
（1）解：连接，
在中，，，，
由勾股定理得，，
∴之间的距离为；
（2）∵m，m，m，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
所以四边形的面积为．
20．如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且．
（1）求证：；
（2）如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，点H为的中点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵在中，，
根据勾股定理，得：，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量都换可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用勾股定理求出BF的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出即可．
21．观察图象，解答下列问题：
（1）直接写出方程的解为______，不等式的解集为______．
（2）像（1）这样，借助图象得到的方程的解和不等式的解集所用到的数学思想方法是______（填序号）．
A．分类讨论 B．整体思想 C．数形结合 D．极限思想
（3）当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定有解，求出该解；如果不一定，请说明理由．
【答案】（1），
（2）C
（3）解：不一定有解．理由如下：
当时，方程组为，
此方程组无解，
∴当a取任意一个不为0的实数时，方程组不一定有解．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】（1）解：从图中可知，方程的解为与的交点的横坐标，
即；
而不等式的解集，为直线在直线的下方的x的取值范围，
即，
（2）像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故答案为：（1）；；（2）C；
【分析】（1）首先结合图中信息可知，与的交点的横坐标，即x=2，即为方程的解；而不等式的解集，为直线在直线的下方的x的取值范围，因此；
（2）依据题意，把解不等式的问题转化为解一元一次方程组的问题，然后画出一次函数与图象后利用数形结合的思想解决问题；
（3）方程组中，x-y=0，可以变形为y=x，此时观察发现，当时，方程组的两个方程分别为y=x和y=x+3，明显无解，从而得出答案。
（1）解：由题意，∵方程的解为与的交点的横坐标，
∴结合图象可得，方程的解为；
又由图可得，当时，直线在直线的下方，
∴不等式的解集为，
故答案为：；；
（2）解：像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故答案为：C；
（3）解：不一定有解．理由如下：
∵当时，方程组为，
∴此方程组无解，
∴当a取任意一个不为0的实数时，方程组不一定有解．
22．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
（2）此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴男子需向右移动的距离为米；
（2）解：由（1）得，
∴需收绳的绳长为：（米），
∵此人以米每秒的速度收绳，
∴此人的收绳时间为：（秒），
∵，
∴该男子不能在秒内将船从处移动到岸边点的位置．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）先求出的长，然后利用勾股定理求的长，最后求出的长即可；
（2）先求出需收绳的绳长，从而得此人的收绳时间，进而比较大小，即可求解.
23．【观察】；；
；；
像上面各式这样，等号左边两因式均为无理数，等号右边结果为有理数，我们就把等号左边的两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以用分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．
例如：；；．
【应用】化简与计算：
（1）①______；②______；
（2）．
【答案】（1）①；②
（2）解：，
原式

【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；分母有理化；探索数与式的规律；完全平方式
【解析】【解答】（1）解：①；
②；
故答案为：（1）①；②；
【分析】（1）①先将分母的二次根式化到最简形式，然后结合分数的性质以及分母有理化原则，把分子分母同时乘以，计算后即可得到答案；
②结合分母有理化的原则、分数的性质以及完全平方公式、平方差公式的运用，将分子分母同时乘以，计算化简即可得到答案；
（2）观察每一项分数可以发现规律，并得出，然后对原式进行变形得到，观察发现计算结果为，最后化简二次根式即可。
（1）解：①；
②
；
（2）解：，
原式
．
24．研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往基地进行研学活动．大巴车出发后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距．如图，，分别表示大巴车、轿车离开学校的路程与大巴车行驶的时间之间的函数图象．
（1）分别求，所在直线的函数解析式；
（2）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距．
【答案】（1）解：1+2=3h，
结合条件得出，．
设所在直线的函数解析式为．将代入上式，得，解得．
所在直线的函数解析式为．
设所在直线的函数解析式为．将代入上式，得，解得，
所在直线的函数解析式为；
（2）解：由题意，得大巴车的速度为．
轿车的速度为．
设轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
由题意，得，
解得．
答：轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（）结合条件“大巴车出发后，轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距”，因此计算出，而所在直线为大巴车的函数图象，所在直线为轿车的函数图象，此时可以利用待定系数法分别计算求解即可；
（）先分别求出大巴的速度是50km/h、轿车的速度是75km/h，而“ 轿车与大巴车首次相距 ”，此时即可列出方程，求解t即可。
（1）解：由题意，得．
设所在直线的函数解析式为．
将代入上式，得，
解得．
所在直线的函数解析式为．
设所在直线的函数解析式为．
将代入上式，得，
解得，
所在直线的函数解析式为；
（2）解：由题意，得大巴车的速度为．
轿车的速度为．
设轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
由题意，得，
解得．
答：轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
25．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
（1）若，求证：四边形是平行四边形．
（2）在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值．
【答案】（1）证明：连接OP、BD，如图
四边形是矩形，，
，，
．
是的中点，
．
当时，，
则，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形．
分两种情况讨论：
①如图1，当点在点的右边时，
四边形是菱形，
．
在中，由勾股定理，得，
，
．
，
．
②如图2，当点在点的左边时，
四边形是菱形，
．
在中，，
，，
，
．
综上所述，秒时，；秒时，．
（3）解：如图3，由（1）知：．
，
．
，
四边形是平行四边形，
．
四边形的周长为
，
当的值最小时，四边形的周长最小．
作点关于的对称点，连接交于点，则，，
．
两点之间线段最短，
当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．
，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；分类讨论
【解析】【分析】（1）先结合矩形的性质得出、，在结合中点的定义计算出OD=5，此时结合条件“ 动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动 ”，即可得出当时，CP=5，接着计算出此时的PB=5=OD，最后依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果；
（2）分点在点的右边和左边两种情况，利用菱形的性质、勾股定理分别求出CP和CQ的长度，最后结合图中信息计算即可得出答案；
（3）先计算并利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，从而计算分析得出的周长为；当的值最小时，四边形的周长最小．利用对称性以及将军饮马原理作辅助线之后，得出，，则，则当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，最小为，求解即可．
（1）证明：四边形是矩形，，
，，
．
是的中点，
．
当时，由题意，得，
则，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形．
分两种情况讨论：
①如图1，当点在点的右边时，
四边形是菱形，
．
在中，由勾股定理，得，
，
．
，
．
②如图2，当点在点的左边时，
四边形是菱形，
．
在中，，
，，
，
．
综上所述，秒时，；秒时，．
（3）解：如图3，由（1）知：．
，．
，
四边形是平行四边形，
．
四边形的周长为，
当的值最小时，四边形的周长最小．
作点关于的对称点，连接交于点，则，，
．
两点之间线段最短，
当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．
，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
1 / 1贵州省遵义市余庆县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．化简的结果是（　　）
A． B．2 C． D．4
2．下列各点中，在正比例函数的图像上的是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．
5．甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　）
A．3 B． C． D．4
7．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：
甲：如果是直角三角形，那么一定成立；
乙：在中，如果，那么不是直角三角形．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．两人都错 D．两人都对
8．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直
B．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线相等的菱形是正方形
D．平行四边形一定是轴对称图形
10．已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
11．已知实数满足，那么的值是（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
12．如图，过平行四边形的对角线上一点，分别作平行四边形两边、的平行线，．若图中平行四边形的面积为10，则平行四边形的面积的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．当　 　时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
14．实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按5：2：3的比例确定成绩，则小林的最终成绩是　 　分.
15．如图所示的程序框图，当分别输入x的值为和7时，输出y的值相等，则b的值是　 　．
16．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共600名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取20名学生，统计他们的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格），相关数据统计、整理如下：
抽取的八年级学生的竞赛成绩 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8， 8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______，______；
（2）估计该校七、八年级这600名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
19．某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，．
（1）求之间的距离；
（2）求四边形的面积．
20．如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且．
（1）求证：；
（2）如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长．
21．观察图象，解答下列问题：
（1）直接写出方程的解为______，不等式的解集为______．
（2）像（1）这样，借助图象得到的方程的解和不等式的解集所用到的数学思想方法是______（填序号）．
A．分类讨论 B．整体思想 C．数形结合 D．极限思想
（3）当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定有解，求出该解；如果不一定，请说明理由．
22．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
（2）此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
23．【观察】；；
；；
像上面各式这样，等号左边两因式均为无理数，等号右边结果为有理数，我们就把等号左边的两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以用分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．
例如：；；．
【应用】化简与计算：
（1）①______；②______；
（2）．
24．研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往基地进行研学活动．大巴车出发后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距．如图，，分别表示大巴车、轿车离开学校的路程与大巴车行驶的时间之间的函数图象．
（1）分别求，所在直线的函数解析式；
（2）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距．
25．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
（1）若，求证：四边形是平行四边形．
（2）在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的的性质化简即可．
2．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，不在正比例函数的图像上，故A不符合要求；
当时，，在正比例函数的图像上，故B符合要求；
当时，，不在正比例函数的图像上，故C不符合要求；
当时，，不在正比例函数的图像上，故D不符合要求；
故选：B．
【分析】将各选项中点坐标的横坐标代入解析式求出y的值并判断即可.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【分析】利用二次根式及分式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当和为直角三角形的两条直角边时，
第三边长为；
当为直角边，为直角三角形的斜边时，
第三边长为，
这个直角三角形的第三边长为或．
故选： C．
【分析】分情况讨论：当和为直角三角形的两条直角边时，当为直角边，为直角三角形的斜边时，根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
因此身高比较整齐的篮球队是乙，
故答案为：B．
【分析】方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定。本题根据方差的意义，先对三个方差进行大小比较，然后分析得出乙的方差最小，即身高比较整齐的篮球队是乙；而丙的方差最大，即身高差别比较大的篮球队是丙。从而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：B。
【分析】本题先根据B点的坐标，利用勾股定理求出，然后结合矩形的性质“对角线相等”，即可得出。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：中，不确定谁是直角边和斜边，
所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误；
在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误，
∴两人都错，
故选：C．
【分析】利用勾股定理以及勾股定理的逆定理（确定斜边和直角边）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限.
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此求解即可.
9．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A：逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”不成立．
B：逆命题为“一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形”不成立．
C：逆命题“正方形是对角线相等的菱形，成立．
D：逆命题“轴对称图形是平行四边形”不成立．
故答案为：C．
【分析】本题先写出各选项的逆命题，其中A的逆命题可以用“梯形、菱形”来否定，B的逆命题可以用“等腰梯形”来否定，D的逆命题依据平行四边形的形状以及轴对称图形的特点即可否定。
10．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数，k=-3＜0，
随的增大而减小，
点，在一次函数上，且，
．
故答案为：A．
【分析】本题结合一次函数的性质，即“随的增大而增大；随的增大而减小”，因为，因此得出随的增大而减小，再结合，即可得出．当然，本题也可以将点，代入一次函数中，分别求出y1和y2，然后比较大小亦可。
11．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；化简含绝对值有理数；算术平方根的实际应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：中，
，则，
，
，即，
，则，
故选：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件可求出，则，再去掉绝对值，化简可得，最后求出即可.
12．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，，，，
四边形、是平行四边形，
在和中，
，
，
即和的面积相等；
同理和的面积相等，和的面积相等，
故四边形和四边形的面积相等，即．
故答案为：B．
【分析】本题根据平行四边形的性质“两组对边分别平行且相等”和判定“两组对边分别平行”，即可先得出平行四边形、，然后利用SSS证明，结合全等三角形的性质得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，因此得出四边形和四边形的面积相等，即，从而得出答案。
13．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，
则，
解得：，
∵是整数，
∴10-x是一个完全平方数，
∴x可以等于1，当x=1时，是整数.
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式得出x的取值范围，再根据该二次根式的值是整数，可得10-x是一个完全平方数，据此在x的取值范围内取值求解即可.
14．【答案】63
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
故答案为：63.
【分析】直接利用加权平均值计算公式计算即可，即各成绩乘以对应占比的和除以各占比的总和.
15．【答案】2
【知识点】列一元一次方程；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x=-1时，y=3×（-1）+b，
当x=7时，y=6-7，
∵当分别输入x的值为和7时，输出y的值相等，
即，
解得，
故答案为：2．
【分析】本题程序框图，分别列出当x=-1和x=7对应的y的值，然后根据条件得出一个关于b的一元一次方程，求解b即可。
16．【答案】1.5
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接、，与交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，，
又∵，
∴，
∵点G是线段上的动点，，
∴，
∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接、，与交于点O，先利用勾股定理求出AO的长，再利用三角形中位线的性质可得，最后求出即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式

【知识点】最简二次根式；分母有理化；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】（1）二次根式的乘法，得到；二次根式的除法得到，完全平方公式计算得到，然后进行加减计算即可；
（2）二次根式的乘法，得到；二次根式的除法得到，分母有理化得到，二次根式的化简得到，然后进行加减计算即可。
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）；；8；7
（2）解：（人），
即估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上有150人；
（3）解：题中七年级的中位数是7.4，即七年级学生的一般水平在7.4分；八年级的中位数是8，即八年级学生的一般水平在8分。
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级的平均数，
将七年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是7，第11的是8，因此中位数，
七年级20名同学成绩中7出现次数最多，因此众数，
将八年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是8，第11的是8，因此中位数；
故答案为：（1）；；8；7；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，所得的结果就是平均数。中位数是指把一组数据从小到大排列，最中间的那个数，如果这组数据的个数是奇数，那最中间那个就是中位数，如果这组数据的个数为偶数，那就把中间的两个数之和除以2，所得的结果就是中位数。众数是指一组数据中出现次数量多的那个数，众数可以是多个。本题结合平均数、中位数、众数的定义，结合图中信息分析计算即可得出答案；
（2）用学生总数600，乘以被调查学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数所占的比例，即可得到答案；
（3）众数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩出现次数最多的数，中位数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩处于中间位置的数，反映学生成绩的一般水平．本题根据中位数和众数的意义，选择一个进行说明即可．
（1）解：七年级的平均数，
将七年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是7，第11的是8，因此中位数，
七年级20名同学成绩中7出现次数最多，因此众数，
将八年级20名同学的成绩从小到大进行排序，排在第10的是8，第11的是8，因此中位数；
（2）解：（人），
即估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到9分及以上有150人；
（3）解：众数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩出现次数最多的数，
中位数在本题中表示被调查学生中竞赛成绩处于中间位置的数，反映学生成绩的一般水平．
19．【答案】（1）解：连接，
，
∴之间的距离为；
（2）解：∵m，m，m，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴m2，
即四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）本题放到中，利用勾股定理列式计算即可求出BD的长度；
（2）本题先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，并得出，然后将四边形分割成两个直角三角形，最后根据直角三角形面积公式列式计算即可。
（1）解：连接，
在中，，，，
由勾股定理得，，
∴之间的距离为；
（2）∵m，m，m，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
所以四边形的面积为．
20．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，点H为的中点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵在中，，
根据勾股定理，得：，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量都换可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用勾股定理求出BF的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出即可．
21．【答案】（1），
（2）C
（3）解：不一定有解．理由如下：
当时，方程组为，
此方程组无解，
∴当a取任意一个不为0的实数时，方程组不一定有解．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】（1）解：从图中可知，方程的解为与的交点的横坐标，
即；
而不等式的解集，为直线在直线的下方的x的取值范围，
即，
（2）像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故答案为：（1）；；（2）C；
【分析】（1）首先结合图中信息可知，与的交点的横坐标，即x=2，即为方程的解；而不等式的解集，为直线在直线的下方的x的取值范围，因此；
（2）依据题意，把解不等式的问题转化为解一元一次方程组的问题，然后画出一次函数与图象后利用数形结合的思想解决问题；
（3）方程组中，x-y=0，可以变形为y=x，此时观察发现，当时，方程组的两个方程分别为y=x和y=x+3，明显无解，从而得出答案。
（1）解：由题意，∵方程的解为与的交点的横坐标，
∴结合图象可得，方程的解为；
又由图可得，当时，直线在直线的下方，
∴不等式的解集为，
故答案为：；；
（2）解：像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故答案为：C；
（3）解：不一定有解．理由如下：
∵当时，方程组为，
∴此方程组无解，
∴当a取任意一个不为0的实数时，方程组不一定有解．
22．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴男子需向右移动的距离为米；
（2）解：由（1）得，
∴需收绳的绳长为：（米），
∵此人以米每秒的速度收绳，
∴此人的收绳时间为：（秒），
∵，
∴该男子不能在秒内将船从处移动到岸边点的位置．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）先求出的长，然后利用勾股定理求的长，最后求出的长即可；
（2）先求出需收绳的绳长，从而得此人的收绳时间，进而比较大小，即可求解.
23．【答案】（1）①；②
（2）解：，
原式

【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；分母有理化；探索数与式的规律；完全平方式
【解析】【解答】（1）解：①；
②；
故答案为：（1）①；②；
【分析】（1）①先将分母的二次根式化到最简形式，然后结合分数的性质以及分母有理化原则，把分子分母同时乘以，计算后即可得到答案；
②结合分母有理化的原则、分数的性质以及完全平方公式、平方差公式的运用，将分子分母同时乘以，计算化简即可得到答案；
（2）观察每一项分数可以发现规律，并得出，然后对原式进行变形得到，观察发现计算结果为，最后化简二次根式即可。
（1）解：①；
②
；
（2）解：，
原式
．
24．【答案】（1）解：1+2=3h，
结合条件得出，．
设所在直线的函数解析式为．将代入上式，得，解得．
所在直线的函数解析式为．
设所在直线的函数解析式为．将代入上式，得，解得，
所在直线的函数解析式为；
（2）解：由题意，得大巴车的速度为．
轿车的速度为．
设轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
由题意，得，
解得．
答：轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（）结合条件“大巴车出发后，轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距”，因此计算出，而所在直线为大巴车的函数图象，所在直线为轿车的函数图象，此时可以利用待定系数法分别计算求解即可；
（）先分别求出大巴的速度是50km/h、轿车的速度是75km/h，而“ 轿车与大巴车首次相距 ”，此时即可列出方程，求解t即可。
（1）解：由题意，得．
设所在直线的函数解析式为．
将代入上式，得，
解得．
所在直线的函数解析式为．
设所在直线的函数解析式为．
将代入上式，得，
解得，
所在直线的函数解析式为；
（2）解：由题意，得大巴车的速度为．
轿车的速度为．
设轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
由题意，得，
解得．
答：轿车出发后，轿车与大巴车首次相距．
25．【答案】（1）证明：连接OP、BD，如图
四边形是矩形，，
，，
．
是的中点，
．
当时，，
则，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形．
分两种情况讨论：
①如图1，当点在点的右边时，
四边形是菱形，
．
在中，由勾股定理，得，
，
．
，
．
②如图2，当点在点的左边时，
四边形是菱形，
．
在中，，
，，
，
．
综上所述，秒时，；秒时，．
（3）解：如图3，由（1）知：．
，
．
，
四边形是平行四边形，
．
四边形的周长为
，
当的值最小时，四边形的周长最小．
作点关于的对称点，连接交于点，则，，
．
两点之间线段最短，
当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．
，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；分类讨论
【解析】【分析】（1）先结合矩形的性质得出、，在结合中点的定义计算出OD=5，此时结合条件“ 动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动 ”，即可得出当时，CP=5，接着计算出此时的PB=5=OD，最后依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果；
（2）分点在点的右边和左边两种情况，利用菱形的性质、勾股定理分别求出CP和CQ的长度，最后结合图中信息计算即可得出答案；
（3）先计算并利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，从而计算分析得出的周长为；当的值最小时，四边形的周长最小．利用对称性以及将军饮马原理作辅助线之后，得出，，则，则当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，最小为，求解即可．
（1）证明：四边形是矩形，，
，，
．
是的中点，
．
当时，由题意，得，
则，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形．
分两种情况讨论：
①如图1，当点在点的右边时，
四边形是菱形，
．
在中，由勾股定理，得，
，
．
，
．
②如图2，当点在点的左边时，
四边形是菱形，
．
在中，，
，，
，
．
综上所述，秒时，；秒时，．
（3）解：如图3，由（1）知：．
，．
，
四边形是平行四边形，
．
四边形的周长为，
当的值最小时，四边形的周长最小．
作点关于的对称点，连接交于点，则，，
．
两点之间线段最短，
当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．
，
的最小值为，
四边形周长的最小值为．
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