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广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．若是夹角为的两个单位向量，则（　　）
A． B．2 C． D．
5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知是三个不同的平面，且，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，则（　　）
A．事件与互斥 B．
C．事件与相互独立 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（　　）
A．
B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位
11．已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（　　）
A．四面体的体积为定值
B．存在点，使平面
C．二面角的正切值为
D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，且，则　 　.
13．已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为　 　.
14．在中，角所对的边分别为，则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
16．为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
质量指标值
频数 20 30 30 10 10
（1）求频率分布直方图中的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
（2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.
17．如图，在三棱柱中，平面平面，点为BC中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线AC与平面所成角的正弦值.
18．在中，，边上的两条中线，相交于点，若.
（1）用表示；
（2）求；
（3）若，求四边形的面积.
19．已知函数.
（1）当时，，求的取值范围；
（2）求的值域；
（3）当时，，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数对应的点的坐标是，可得，所以的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查复数的几何意义与共轭复数的概念，核心是先根据复平面内点的坐标写出复数，再利用共轭复数的定义求解。
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的交集运算，核心是先解不等式确定集合B，再求集合A与B的公共元素。
3．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以角在第二象限，则，
由①，②
联立解得：，
故答案为：D.
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，核心是先根据角的范围判断三角函数的符号，再结合与求解。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查向量模长的计算，核心是利用向量的数量积公式，先求出，再通过展开求解。
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在上单调递增，故A不符合；
B、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在 上单调递增函数，故B不符合；
C、为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C符合；
D、易知为偶函数，且在上为周期函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据函数的奇偶性、基本初等函数的单调性以及复合函数的单调性判断即可.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则，故是充分条件，
反之，若，，则或与相交，故不是必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查面面位置关系与充分必要条件的判断，核心是分别验证充分性与必要性是否成立。
7．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立.
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】本题考查复合函数的单调性，核心是根据对数函数的定义域和单调性，确定内层二次函数的单调区间与取值范围。
8．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】A：由，则有，所以，即，故A错误；
B：因为，所以，又，
所以，所以，故B错误；
C：由，，，
所以，所以事件与相互独立，故C正确；
D：因为，，
所以，，
由事件与相互独立，所以，故D错误。
故答案为：C.
【分析】A：根据互斥事件的定义，判断是否为空集；B：利用古典概型公式计算；C：根据独立事件的定义，判断是否等于；D：先分别计算与，再求和。
9．【答案】A,C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A：因为，所以，故A正确；
B：当，，时，，，，故B错误；
C：因为在单调递增，所以，故C正确；
D；当，，时，，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】A：根据不等式的基本性质判断；B：通过举反例结合指数函数的单调性判断；C：根据幂函数的单调性判断；D：通过举反例结合对数函数的单调性判断。
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：因为，故，A正确；
B：又，则最小正周期为，B正确；
C：，则的图象不关于点对称，C错误；
D：把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，而，D正确，
故答案为：ABD
【分析】A：直接代入计算函数值；B：先化简为形式，再求最小正周期；C：代入验证函数值是否为0；D：利用三角函数的诱导公式与平移变换规则，验证图像平移后的结果。
11．【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，在正方体中，，，，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
为上一动点，，
正方体的棱长为2，
，
四面体的体积为定值，故A正确；
B，当为中点时，平面，证明如下：
取的中点，的中点，连接，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，
平面，平面，，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，平面，
平面，，
，平面，平面，
即存在点，使平面，故B正确；
C，过作于点，过作于点，
在直角三角形中，，，，
，，
在中，，，，
，，
，，
，点与重合，
是二面角的平面角，
，故C错误；
D，取的中点，连接，
在直角三角形中，，
又由B选项中可知，平面，平面，
，
，，，为四面体的外接球的球心，
外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用等体积法转化，结合线面平行判断四面体体积是否为定值；B：通过建立空间直角坐标系，验证是否存在点使得垂直平面；C：通过作辅助线找出二面角的平面角，计算其正切值；D：确定四面体的外接球球心位置，计算其表面积。
12．【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，
因为，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查向量的线性运算与向量垂直的坐标表示，核心是利用向量垂直的充要条件（数量积为0）建立方程求解。
13．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为，
由圆台的侧面积公式得，解得，
由勾股定理得，
由圆台的体积公式得，
故答案为：.
【分析】本题考查圆台的侧面积与体积计算，核心是先通过侧面积公式求出母线长，再利用勾股定理求高，最后代入体积公式求解。
14．【答案】3
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据余弦定理得，因为，所以，
所以.
所以.
而.
当时，即时，取最大值为.
此时取最小值为.
故答案为：3.
【分析】本题考查三角形中的最值问题，核心是利用余弦定理、同角三角函数关系与二次函数的最值求解。
15．【答案】（1）解：由题意的定义域为且是奇函数，故，解得，
当时，，
此时，且的定义域为，
所以此时是上的奇函数，
故满足题意；
（2）解：，
所以满足的的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1) 利用奇函数在x=0处有定义时f(0)=0的性质求参数，再验证奇函数定义；
(2) 解不等式，结合指数函数单调性求x的取值范围。
（1）由题意的定义域为且是奇函数，故，解得，
当时，，
此时，且的定义域为，
所以此时是上的奇函数，
故满足题意；
（2），
所以满足的的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）解：从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
则这2件产品均来自同一组的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，列式求得，再根据平均数的计算公式进行计算，并比较大小即可；
（2）先根据分层抽样确定每层抽取的件数，并标记，再利用列举法，结合古典概型概率计算公式求解即可.
（1）由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
故所求为.
17．【答案】（1）证明：连接，交于，连接，四边形为平行四边形，所以为中点，
又点为BC中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为，点为BC中点，所以，
又平面平面，平面平面，，
又平面，所以平面，
取的中点为，连接，
由题意，则，
由平面，平面，得，
因为，且平面，所以平面，
所以直线AC与平面所成角即为，平面，，
设，则，所以，
在中，，即直线AC与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 构造中位线，利用线面平行判定定理证明；
(2) 结合面面垂直性质找线面角，通过几何关系计算正弦值。
（1）连接，交于，连接，四边形为平行四边形，所以为中点，
又点为BC中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为，点为BC中点，所以，
又平面平面，平面平面，，
又平面，所以平面，
取的中点为，连接，
由题意，则，
由平面，平面，得，
因为，且平面，所以平面，
所以直线AC与平面所成角即为，平面，，
设，则，所以，
在中，，即直线AC与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：因为为边上的中线，所以
因为为边上的中线，所以
（2）解：因为
所以
因为
所以设
所以
所以
又因为
所以
（3）解：
已知，设，结合，
，代入得：
解得
则
因为是重心，则
所以，同理
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；解三角形
【解析】【分析】(1) 利用中线向量公式，将向量用、线性表示；
(2) 通过向量模长公式与比例关系求；
(3) 利用向量数量积求参数，再结合重心性质求四边形面积。
（1）因为为边上的中线，所以
因为为边上的中线，所以
（2）因为
所以
因为
所以设
所以
所以
又因为
所以
（3）已知，设，结合，
，代入得：
解得
则
因为是重心，则
所以，同理
19．【答案】（1）解：时，，
由，得，
而，
当时，取最小值，
故
（2）解：
，
令，则，
当时，在上单调递减，
则，，
故函数值域为；
同理，当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
故函数值域为；
综上可得，当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为，
当时，值域为.
（3）解：当时，易知；
当时，，则，；
因此当时，由（2）知，即，
由于，所以，
故，
则；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，，则，；
当时，由（2）知，即，
由于，所以，
所以，
故；
综合上述可知当时，取到最大值，最大值为.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 通过换元法转化为二次函数，求的取值范围；
(2) 分情况讨论二次函数在上的值域；
(3) 分区间讨论参数的范围，求的最大值。
（1）时，，
由，得，
而，
当时，取最小值，
故
（2），
令，则，
当时，在上单调递减，
则，，
故函数值域为；
同理，当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
故函数值域为；
综上可得，当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为，
当时，值域为.
（3）当时，易知；
当时，，则，；
因此当时，由（2）知，即，
由于，所以，
故，
则；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，，则，；
当时，由（2）知，即，
由于，所以，
所以，
故；
综合上述可知当时，取到最大值，最大值为.
1 / 1广东省深圳市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数对应的点的坐标是，可得，所以的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查复数的几何意义与共轭复数的概念，核心是先根据复平面内点的坐标写出复数，再利用共轭复数的定义求解。
2．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的交集运算，核心是先解不等式确定集合B，再求集合A与B的公共元素。
3．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以角在第二象限，则，
由①，②
联立解得：，
故答案为：D.
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，核心是先根据角的范围判断三角函数的符号，再结合与求解。
4．若是夹角为的两个单位向量，则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查向量模长的计算，核心是利用向量的数量积公式，先求出，再通过展开求解。
5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在上单调递增，故A不符合；
B、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在 上单调递增函数，故B不符合；
C、为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C符合；
D、易知为偶函数，且在上为周期函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据函数的奇偶性、基本初等函数的单调性以及复合函数的单调性判断即可.
6．已知是三个不同的平面，且，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则，故是充分条件，
反之，若，，则或与相交，故不是必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查面面位置关系与充分必要条件的判断，核心是分别验证充分性与必要性是否成立。
7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立.
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】本题考查复合函数的单调性，核心是根据对数函数的定义域和单调性，确定内层二次函数的单调区间与取值范围。
8．已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，则（　　）
A．事件与互斥 B．
C．事件与相互独立 D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】A：由，则有，所以，即，故A错误；
B：因为，所以，又，
所以，所以，故B错误；
C：由，，，
所以，所以事件与相互独立，故C正确；
D：因为，，
所以，，
由事件与相互独立，所以，故D错误。
故答案为：C.
【分析】A：根据互斥事件的定义，判断是否为空集；B：利用古典概型公式计算；C：根据独立事件的定义，判断是否等于；D：先分别计算与，再求和。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A：因为，所以，故A正确；
B：当，，时，，，，故B错误；
C：因为在单调递增，所以，故C正确；
D；当，，时，，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】A：根据不等式的基本性质判断；B：通过举反例结合指数函数的单调性判断；C：根据幂函数的单调性判断；D：通过举反例结合对数函数的单调性判断。
10．已知函数，则（　　）
A．
B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：因为，故，A正确；
B：又，则最小正周期为，B正确；
C：，则的图象不关于点对称，C错误；
D：把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，而，D正确，
故答案为：ABD
【分析】A：直接代入计算函数值；B：先化简为形式，再求最小正周期；C：代入验证函数值是否为0；D：利用三角函数的诱导公式与平移变换规则，验证图像平移后的结果。
11．已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（　　）
A．四面体的体积为定值
B．存在点，使平面
C．二面角的正切值为
D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，在正方体中，，，，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
为上一动点，，
正方体的棱长为2，
，
四面体的体积为定值，故A正确；
B，当为中点时，平面，证明如下：
取的中点，的中点，连接，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，
平面，平面，，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，平面，
平面，，
，平面，平面，
即存在点，使平面，故B正确；
C，过作于点，过作于点，
在直角三角形中，，，，
，，
在中，，，，
，，
，，
，点与重合，
是二面角的平面角，
，故C错误；
D，取的中点，连接，
在直角三角形中，，
又由B选项中可知，平面，平面，
，
，，，为四面体的外接球的球心，
外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用等体积法转化，结合线面平行判断四面体体积是否为定值；B：通过建立空间直角坐标系，验证是否存在点使得垂直平面；C：通过作辅助线找出二面角的平面角，计算其正切值；D：确定四面体的外接球球心位置，计算其表面积。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，且，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，
因为，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查向量的线性运算与向量垂直的坐标表示，核心是利用向量垂直的充要条件（数量积为0）建立方程求解。
13．已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为　 　.
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为，
由圆台的侧面积公式得，解得，
由勾股定理得，
由圆台的体积公式得，
故答案为：.
【分析】本题考查圆台的侧面积与体积计算，核心是先通过侧面积公式求出母线长，再利用勾股定理求高，最后代入体积公式求解。
14．在中，角所对的边分别为，则的最小值为　 　.
【答案】3
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：根据余弦定理得，因为，所以，
所以.
所以.
而.
当时，即时，取最大值为.
此时取最小值为.
故答案为：3.
【分析】本题考查三角形中的最值问题，核心是利用余弦定理、同角三角函数关系与二次函数的最值求解。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意的定义域为且是奇函数，故，解得，
当时，，
此时，且的定义域为，
所以此时是上的奇函数，
故满足题意；
（2）解：，
所以满足的的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1) 利用奇函数在x=0处有定义时f(0)=0的性质求参数，再验证奇函数定义；
(2) 解不等式，结合指数函数单调性求x的取值范围。
（1）由题意的定义域为且是奇函数，故，解得，
当时，，
此时，且的定义域为，
所以此时是上的奇函数，
故满足题意；
（2），
所以满足的的取值范围为.
16．为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
质量指标值
频数 20 30 30 10 10
（1）求频率分布直方图中的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
（2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.
【答案】（1）解：由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）解：从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
则这2件产品均来自同一组的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，列式求得，再根据平均数的计算公式进行计算，并比较大小即可；
（2）先根据分层抽样确定每层抽取的件数，并标记，再利用列举法，结合古典概型概率计算公式求解即可.
（1）由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
故所求为.
17．如图，在三棱柱中，平面平面，点为BC中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线AC与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，交于，连接，四边形为平行四边形，所以为中点，
又点为BC中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为，点为BC中点，所以，
又平面平面，平面平面，，
又平面，所以平面，
取的中点为，连接，
由题意，则，
由平面，平面，得，
因为，且平面，所以平面，
所以直线AC与平面所成角即为，平面，，
设，则，所以，
在中，，即直线AC与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 构造中位线，利用线面平行判定定理证明；
(2) 结合面面垂直性质找线面角，通过几何关系计算正弦值。
（1）连接，交于，连接，四边形为平行四边形，所以为中点，
又点为BC中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为，点为BC中点，所以，
又平面平面，平面平面，，
又平面，所以平面，
取的中点为，连接，
由题意，则，
由平面，平面，得，
因为，且平面，所以平面，
所以直线AC与平面所成角即为，平面，，
设，则，所以，
在中，，即直线AC与平面所成角的正弦值为.
18．在中，，边上的两条中线，相交于点，若.
（1）用表示；
（2）求；
（3）若，求四边形的面积.
【答案】（1）解：因为为边上的中线，所以
因为为边上的中线，所以
（2）解：因为
所以
因为
所以设
所以
所以
又因为
所以
（3）解：
已知，设，结合，
，代入得：
解得
则
因为是重心，则
所以，同理
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；解三角形
【解析】【分析】(1) 利用中线向量公式，将向量用、线性表示；
(2) 通过向量模长公式与比例关系求；
(3) 利用向量数量积求参数，再结合重心性质求四边形面积。
（1）因为为边上的中线，所以
因为为边上的中线，所以
（2）因为
所以
因为
所以设
所以
所以
又因为
所以
（3）已知，设，结合，
，代入得：
解得
则
因为是重心，则
所以，同理
19．已知函数.
（1）当时，，求的取值范围；
（2）求的值域；
（3）当时，，求的最大值.
【答案】（1）解：时，，
由，得，
而，
当时，取最小值，
故
（2）解：
，
令，则，
当时，在上单调递减，
则，，
故函数值域为；
同理，当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
故函数值域为；
综上可得，当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为，
当时，值域为.
（3）解：当时，易知；
当时，，则，；
因此当时，由（2）知，即，
由于，所以，
故，
则；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，，则，；
当时，由（2）知，即，
由于，所以，
所以，
故；
综合上述可知当时，取到最大值，最大值为.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 通过换元法转化为二次函数，求的取值范围；
(2) 分情况讨论二次函数在上的值域；
(3) 分区间讨论参数的范围，求的最大值。
（1）时，，
由，得，
而，
当时，取最小值，
故
（2），
令，则，
当时，在上单调递减，
则，，
故函数值域为；
同理，当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
此时函数值域为，
当时，，，
故函数值域为；
综上可得，当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为，
当时，值域为.
（3）当时，易知；
当时，，则，；
因此当时，由（2）知，即，
由于，所以，
故，
则；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，则，即，
即，
由于，所以，
所以，
故；
当时，，则，；
当时，由（2）知，即，
由于，所以，
所以，
故；
综合上述可知当时，取到最大值，最大值为.
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