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广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则在复平面内对应的点位于（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：已知，，则，所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】本题考查复数的加法运算及其几何意义，核心是先计算复数和，再根据复平面内点的坐标判断所在象限。
2．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（　　）．
A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，故该组数据的第百分位数为，
因为，故该组数据的第百分位数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查百分位数的计算，核心是根据定义确定百分位数的位置，再取对应数据或均值。
3．已知，，则与向量方向相反的单位向量为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由，，可得向量，
则与向量方向相反的单位向量为，
故答案为：C.
【分析】本题考查向量的坐标运算、相反向量与单位向量的概念，核心是先求出，再计算其相反方向的单位向量。
4．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：
由正方体的性质可知：，
所以就是直线与所成的角或其补角，
由正方体的性质可知：平面，平面，
所以，
假设正方体的棱长为，则，
所以有，
因为为锐角，所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查正方体中异面直线所成角的计算，核心是通过平移将异面直线转化为相交直线，再利用直角三角形求解角度。
5．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（　　）．
A．28 B． C． D．
【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，
如图可得正四棱台的高，
由棱台体积公式可得，
故答案为：D.
【分析】本题考查正四棱台的体积计算，先利用勾股定理求出棱台的高，再代入台体体积公式求解。
6．已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转，
得到对应的复数是，
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的几何意义与旋转变换，核心是利用复数乘法实现向量的顺时针旋转。
7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由，，可得，
结合已知和正弦定理可得：，解得，
因为在点C测得塔顶A的仰角为，
所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查正弦定理与解直角三角形的综合应用，核心是先在中用正弦定理求出BC，再利用仰角求塔高AB。
8．空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（　　）．
A．25 B．26 C．28 D．30
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：
先研究直线分一个平面：1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分，
3条直线分一个平面为7部分，这个，
4条直线分一个平面为11部分，这个，
5条直线分一个平面为16部分，这个，
由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域，
当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域，
所以4个平面最多可将空间分成个区域，
当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域，
所以5个平面最多可将空间分成个区域，
故答案为：B
【分析】本题考查平面划分空间区域的递推规律，核心是利用 “第n个平面被前n 1个平面截出的交线，将该平面分成若干区域，每个区域对应新增一个空间区域” 的递推关系。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（　　）．
A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：事件，事件，事件，，
A，事件有相同的样本点2，事件A与B不互斥，A错误；
B，，事件A与C相互独立，B正确；
C，，C正确；
D，，D正确.
故答案为：BCD
【分析】互斥事件：两个事件不能同时发生（无公共样本点），A、B存在公共样本点，故不互斥；
相互独立事件：满足，本题中该等式成立，故A、C独立；
并事件概率：用公式计算，需先求；
多事件概率关系：本题中成立，说明三个事件同时满足独立的概率关系。
10．某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意可得总样本平均数为，
根据方差公式可得：
故答案为：AD.
【分析】本题考查分层抽样的总样本平均数与方差计算，核心是利用分层数据的加权平均和方差合成公式求解。
11．如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（　　）．
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：
过作于点，过点作于点，连接，
由正三棱柱的性质可知：就是直线与所成的角，所以，
由正三棱柱的性质可知：平面，所以就是与平面所成角，
则，由正三棱柱的性质可知：，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，即就是二面角的一个平面角，则，
由图可知：，故A正确；
因为，而
所以有，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故B正确；
因为，而，，
所以，又因为是锐角，所以，故C错误；
因为，
又，
所以，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】本题考查正三棱柱中异面直线所成角、线面角与二面角的大小关系，关键是通过几何法构造出三个角，并利用三角函数的单调性比较大小：过F作 于P，过P作 于M，连接PE、MF、CF。
定义三个角：异面直线EF与所成角；线面角；二面角。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．复数的共轭复数是　 　．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
可得复数的共轭复数是，
故答案为：.
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念，核心是先化简复数，再求其共轭复数。
13．如图，在四边形中，，．若，则实数　 　．
【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
由图可得：，，
因为，，可得
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算，核心是通过向量的加法法则，将用不同路径表示，消元后得到与、的关系。
14．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为　 　，该圆锥的外接球的表面积为　 　．
【答案】；
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径为，母线长为，
依题意，，解得，
因此这个圆锥的底面半径为；
圆锥轴截面等腰三角形底角，则，，
这个等腰三角形外接圆半径，而圆锥轴截面等腰三角形外接圆是其外接球截面大圆，
因此圆锥的外接球的半径为，其表面积为.
故答案为：；
【分析】本题考查圆锥的侧面积与外接球表面积计算，核心是先通过侧面积公式求出底面半径与母线长，再利用正弦定理求外接球半径。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字．
（1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率．
【答案】（1）解：若标签的选取是不放回的，则样本空间为：，
共种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率为；
（2）解：若标签的选取是有放回的，则样本空间为：
，
共16种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 不放回抽样，样本空间为有序数对，总数为 ，列举所有可能并统计满足 的情况；
(2) 有放回抽样，样本空间为有序数对，总数为 ，列举所有可能并统计满足 的情况。
（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为：
，
共种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率为；
（2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为：
，
共16种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率.
16．如图，在正四棱柱中，，垂足为E．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明：由正四棱柱性质可得：，
由平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）证明：连接，由正四棱柱可知，平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 利用线面平行判定定理，证明平面 内的两条相交直线分别平行于平面 ；
(2) 先证明 平面 ，再利用面面垂直判定定理证明平面 平面 。
（1）由正四棱柱性质可得：，
由平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）连接，由正四棱柱可知，平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
17．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当时，求与；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值．
【答案】（1）解：
依题意得：
，
.
（2）解：当时，
，
当时，；
当时，
，
当时，，此时，
所以，在区间上的最小值为0.02.
【知识点】函数的最大（小）值；频率分布直方图
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图，漏诊率是患病者指标≤c的概率，误诊率是未患病者指标>c的概率，用“频率/组距×组距”计算；
(2) 分区间讨论 f (c)=p(c)+q(c) 的解析式，再求分段函数的最小值。
（1）依题意得：
，
.
（2）当时，
，
当时，；
当时，
，
当时，，此时，
所以，在区间上的最小值为0.02.
18．已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S．
（1）求证：；
（2）已知，，求的内切圆半径r；
（3）已知，且，求S的最大值．
【答案】（1）证明：由余弦定理得：，
所以，
再由三角形面积公式：
，
由于得：；
（2）解：已知，则，由的内切圆半径r，
可用等面积法知：；
（3）解：由，结合正弦定理边化角和内角和定理可得：，
因为，所以，再由，可知：，
所以，
根据海伦公式可知：
，
当时，，此时.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用余弦定理与三角形面积公式推导海伦公式；
(2) 利用等面积法 S=pr求内切圆半径；
(3) 结合正弦定理与海伦公式，通过二次函数求面积最大值。
（1）由余弦定理得：，
所以，
再由三角形面积公式：
，
由于得：；
（2）已知，则，由的内切圆半径r，
可用等面积法知：；
（3）由，结合正弦定理边化角和内角和定理可得：，
因为，所以，再由，可知：，
所以，
根据海伦公式可知：
，
当时，，此时.
19．如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，M，N分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求三棱锥的体积；
（3）设在三棱锥内有一个半径为r的球，，且，求证：．
【答案】（1）证明：设中点为，连接，
因为M，N分别为，的中点，所以，
又，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以
（2）解：过作交于，
由（1）知平面，平面，，
又，平面，
所以平面，
又，平面平面，
所以就是二面角的平面角，
，，，，
又平面，是中点，
所以.
（3）证明：由（2）知，，过作交于，
，又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，，
设的高，所以，
又，，所以，
即，
所以三棱锥的表面积，
，
所以三棱锥的内切球半径，
所以，
即.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 构造辅助线证明线面垂直，进而证明线线垂直；
(2) 利用二面角的平面角与体积公式计算三棱锥体积；
(3) 通过内切球半径公式，结合不等式放缩证明 。
（1）证明：设中点为，连接，
因为M，N分别为，的中点，所以，
又，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以
（2）过作交于，
由（1）知平面，平面，，
又，平面，
所以平面，
又，平面平面，
所以就是二面角的平面角，
，，，，
又平面，是中点，
所以.
（3）证明：由（2）知，，过作交于，
，又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，，
设的高，所以，
又，，所以，
即，
所以三棱锥的表面积，
，
所以三棱锥的内切球半径，
所以，
即.
1 / 1广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则在复平面内对应的点位于（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（　　）．
A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89
3．已知，，则与向量方向相反的单位向量为（　　）．
A． B． C． D．
4．在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（　　）．
A． B． C． D．
5．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（　　）．
A．28 B． C． D．
6．已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（　　）．
A． B． C． D．
7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（　　）．
A． B． C． D．
8．空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（　　）．
A．25 B．26 C．28 D．30
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（　　）．
A．事件A与B互斥 B．事件A与C相互独立
C． D．
10．某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（　　）．
A． B． C． D．
11．如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（　　）．
A． B．
C．当时， D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．复数的共轭复数是　 　．
13．如图，在四边形中，，．若，则实数　 　．
14．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为　 　，该圆锥的外接球的表面积为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字．
（1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率．
16．如图，在正四棱柱中，，垂足为E．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面．
17．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当时，求与；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值．
18．已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S．
（1）求证：；
（2）已知，，求的内切圆半径r；
（3）已知，且，求S的最大值．
19．如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，M，N分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求三棱锥的体积；
（3）设在三棱锥内有一个半径为r的球，，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：已知，，则，所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】本题考查复数的加法运算及其几何意义，核心是先计算复数和，再根据复平面内点的坐标判断所在象限。
2．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，故该组数据的第百分位数为，
因为，故该组数据的第百分位数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查百分位数的计算，核心是根据定义确定百分位数的位置，再取对应数据或均值。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由，，可得向量，
则与向量方向相反的单位向量为，
故答案为：C.
【分析】本题考查向量的坐标运算、相反向量与单位向量的概念，核心是先求出，再计算其相反方向的单位向量。
4．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：
由正方体的性质可知：，
所以就是直线与所成的角或其补角，
由正方体的性质可知：平面，平面，
所以，
假设正方体的棱长为，则，
所以有，
因为为锐角，所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查正方体中异面直线所成角的计算，核心是通过平移将异面直线转化为相交直线，再利用直角三角形求解角度。
5．【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，
如图可得正四棱台的高，
由棱台体积公式可得，
故答案为：D.
【分析】本题考查正四棱台的体积计算，先利用勾股定理求出棱台的高，再代入台体体积公式求解。
6．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转，
得到对应的复数是，
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的几何意义与旋转变换，核心是利用复数乘法实现向量的顺时针旋转。
7．【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由，，可得，
结合已知和正弦定理可得：，解得，
因为在点C测得塔顶A的仰角为，
所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查正弦定理与解直角三角形的综合应用，核心是先在中用正弦定理求出BC，再利用仰角求塔高AB。
8．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：
先研究直线分一个平面：1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分，
3条直线分一个平面为7部分，这个，
4条直线分一个平面为11部分，这个，
5条直线分一个平面为16部分，这个，
由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域，
当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域，
所以4个平面最多可将空间分成个区域，
当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域，
所以5个平面最多可将空间分成个区域，
故答案为：B
【分析】本题考查平面划分空间区域的递推规律，核心是利用 “第n个平面被前n 1个平面截出的交线，将该平面分成若干区域，每个区域对应新增一个空间区域” 的递推关系。
9．【答案】B,C,D
【知识点】概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：事件，事件，事件，，
A，事件有相同的样本点2，事件A与B不互斥，A错误；
B，，事件A与C相互独立，B正确；
C，，C正确；
D，，D正确.
故答案为：BCD
【分析】互斥事件：两个事件不能同时发生（无公共样本点），A、B存在公共样本点，故不互斥；
相互独立事件：满足，本题中该等式成立，故A、C独立；
并事件概率：用公式计算，需先求；
多事件概率关系：本题中成立，说明三个事件同时满足独立的概率关系。
10．【答案】A,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意可得总样本平均数为，
根据方差公式可得：
故答案为：AD.
【分析】本题考查分层抽样的总样本平均数与方差计算，核心是利用分层数据的加权平均和方差合成公式求解。
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：
过作于点，过点作于点，连接，
由正三棱柱的性质可知：就是直线与所成的角，所以，
由正三棱柱的性质可知：平面，所以就是与平面所成角，
则，由正三棱柱的性质可知：，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，即就是二面角的一个平面角，则，
由图可知：，故A正确；
因为，而
所以有，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故B正确；
因为，而，，
所以，又因为是锐角，所以，故C错误；
因为，
又，
所以，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】本题考查正三棱柱中异面直线所成角、线面角与二面角的大小关系，关键是通过几何法构造出三个角，并利用三角函数的单调性比较大小：过F作 于P，过P作 于M，连接PE、MF、CF。
定义三个角：异面直线EF与所成角；线面角；二面角。
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
可得复数的共轭复数是，
故答案为：.
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念，核心是先化简复数，再求其共轭复数。
13．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
由图可得：，，
因为，，可得
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算，核心是通过向量的加法法则，将用不同路径表示，消元后得到与、的关系。
14．【答案】；
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆半径为，母线长为，
依题意，，解得，
因此这个圆锥的底面半径为；
圆锥轴截面等腰三角形底角，则，，
这个等腰三角形外接圆半径，而圆锥轴截面等腰三角形外接圆是其外接球截面大圆，
因此圆锥的外接球的半径为，其表面积为.
故答案为：；
【分析】本题考查圆锥的侧面积与外接球表面积计算，核心是先通过侧面积公式求出底面半径与母线长，再利用正弦定理求外接球半径。
15．【答案】（1）解：若标签的选取是不放回的，则样本空间为：，
共种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率为；
（2）解：若标签的选取是有放回的，则样本空间为：
，
共16种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 不放回抽样，样本空间为有序数对，总数为 ，列举所有可能并统计满足 的情况；
(2) 有放回抽样，样本空间为有序数对，总数为 ，列举所有可能并统计满足 的情况。
（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为：
，
共种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率为；
（2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为：
，
共16种等可能情形，
满足的有：，共6种情形，
所以满足的概率.
16．【答案】（1）证明：由正四棱柱性质可得：，
由平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）证明：连接，由正四棱柱可知，平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 利用线面平行判定定理，证明平面 内的两条相交直线分别平行于平面 ；
(2) 先证明 平面 ，再利用面面垂直判定定理证明平面 平面 。
（1）由正四棱柱性质可得：，
由平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）连接，由正四棱柱可知，平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
17．【答案】（1）解：
依题意得：
，
.
（2）解：当时，
，
当时，；
当时，
，
当时，，此时，
所以，在区间上的最小值为0.02.
【知识点】函数的最大（小）值；频率分布直方图
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图，漏诊率是患病者指标≤c的概率，误诊率是未患病者指标>c的概率，用“频率/组距×组距”计算；
(2) 分区间讨论 f (c)=p(c)+q(c) 的解析式，再求分段函数的最小值。
（1）依题意得：
，
.
（2）当时，
，
当时，；
当时，
，
当时，，此时，
所以，在区间上的最小值为0.02.
18．【答案】（1）证明：由余弦定理得：，
所以，
再由三角形面积公式：
，
由于得：；
（2）解：已知，则，由的内切圆半径r，
可用等面积法知：；
（3）解：由，结合正弦定理边化角和内角和定理可得：，
因为，所以，再由，可知：，
所以，
根据海伦公式可知：
，
当时，，此时.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用余弦定理与三角形面积公式推导海伦公式；
(2) 利用等面积法 S=pr求内切圆半径；
(3) 结合正弦定理与海伦公式，通过二次函数求面积最大值。
（1）由余弦定理得：，
所以，
再由三角形面积公式：
，
由于得：；
（2）已知，则，由的内切圆半径r，
可用等面积法知：；
（3）由，结合正弦定理边化角和内角和定理可得：，
因为，所以，再由，可知：，
所以，
根据海伦公式可知：
，
当时，，此时.
19．【答案】（1）证明：设中点为，连接，
因为M，N分别为，的中点，所以，
又，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以
（2）解：过作交于，
由（1）知平面，平面，，
又，平面，
所以平面，
又，平面平面，
所以就是二面角的平面角，
，，，，
又平面，是中点，
所以.
（3）证明：由（2）知，，过作交于，
，又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，，
设的高，所以，
又，，所以，
即，
所以三棱锥的表面积，
，
所以三棱锥的内切球半径，
所以，
即.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 构造辅助线证明线面垂直，进而证明线线垂直；
(2) 利用二面角的平面角与体积公式计算三棱锥体积；
(3) 通过内切球半径公式，结合不等式放缩证明 。
（1）证明：设中点为，连接，
因为M，N分别为，的中点，所以，
又，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以
（2）过作交于，
由（1）知平面，平面，，
又，平面，
所以平面，
又，平面平面，
所以就是二面角的平面角，
，，，，
又平面，是中点，
所以.
（3）证明：由（2）知，，过作交于，
，又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，，
设的高，所以，
又，，所以，
即，
所以三棱锥的表面积，
，
所以三棱锥的内切球半径，
所以，
即.
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