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专题3　连接体问题　动力学的临界与极值问题
学习目标　1. 能用整体法和隔离法分析连接体问题.2. 掌握分析临界状态、临界条件和极值问题的方法．3. 能求解临界问题和极值问题．
活动一 分析连接体问题
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体. 连接体一般(含弹簧的系统，系统稳定时)具有相同的运动情况(速度、加速度).
1 如图所示，置于粗糙水平面上的物块A和B用轻质弹簧连接，在水平恒力F的作用下，A、B以相同的加速度向右运动．A、B的质量关系为mA>mB，它们与地面间的动摩擦因数相同．为使弹簧稳定时的伸长量增大，下列操作中可行的是(　　)
A. 仅减小B的质量
B. 仅增大A的质量
C. 仅将A、B的位置对调
D. 仅减小水平面的粗糙程度
若用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上，且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，求弹簧的弹力大小．
比较例1和思维拓展的结果，你能得到什么结论？
2 [2025南通海安检测]质量分别为2m和m的A、B两物块，在恒力F作用下沿光滑的水平面一起向前匀加速运动．下列情形中A对B的作用力最大的是(　　)
A B
C D
处理连接体问题时，如何选用整体法与隔离法？
1. 整体法和隔离法
(1) 整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度．
(2) 隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解．
2. 整体法和隔离法的选择
(1) 当连接体内各物体具有相同的加速度：①求内力时，先用________法求加速度，再用________法求内力；②求外力时，先用________法求加速度，再用________法求整体受到的外力.
(2) 若连接体内各物体的加速度不相同，或者要求系统内力时，用________法．
即时训练1 [2025苏州期末]如图所示，某汽车挂件由轻质细绳连接两个质量不同的物件构成．已知上方物件的质量较大，挂件被悬挂在封闭车厢的顶部，两个物件均可简化成球状物体．当汽车做匀加速直线运动时，从侧面看到的汽车挂件悬挂状态是(　　)
A B C D
即时训练2 [2025镇江期末]如图所示，游乐场有一种“滑索渡河”的项目．一游客从起点利用自然落差向下加速滑行的过程中，下列运动图景最符合实际的是(不计空气阻力、虚线为垂直于钢索的参考线)(　　)
A B C D
活动二 分析临界问题
分析临界问题的基本思路．
(1) 认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程，把问题(物理过程)推到极端，分析在极端情况下可能出现的临界状态．
(2) 寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件．
(3) 以临界条件为突破口，应用牛顿第二定律列出临界方程，求解问题．
3 [2022江苏卷]高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过(　　)
A. 2.0 m/s2 B. 4.0 m/s2
C. 6.0 m/s2 D. 8.0 m/s2
常见临界状态对应的临界条件
(1) 接触的两个物体分离前后瞬间的速度和加速度均相同，接触与脱离的临界条件是物体间的________为零.
(2) 两物体接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，相对滑动的临界条件是静摩擦力达到________值．
(3) 绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳子是直的且弹力为________．
(4) 当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化. 当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度；最大(小)速度的临界条件是加速度为________.
即时训练3 [2025南通海门抽测]如图所示，细线的一端固定在倾角为30°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球，静止时细线与斜面平行，则(　　)
A. 当滑块向左做匀速运动时，细线的拉力为mg
B. 若滑块以加速度a＝g向左加速运动时，线中拉力为mg
C. 当滑块以加速度a＝g向左加速运动时，小球对滑块压力不为零
D. 当滑块以加速度a＝2g向左加速运动时，线中拉力为0.5mg
即时训练4 [2026扬州开学考试]如图所示，长木板A放在水平地面上，物块B放在A上，A、B静止．A、B质量均为m，它们间的动摩擦因数为μ，A与地面间的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．作用在A上的水平拉力F逐渐增大，下列说法正确的是(　　)
A. 当F＝μmg时，A、B都静止
B. 当F>μmg时，A、B发生相对运动
C. B的最大加速度为μg
D. 若F作用在B上，A的最大加速度为μg
叠加体系统临界问题的求解思路
即时训练5 [2025无锡阶段练习]如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端固接一个托盘，物块放置在托盘中，系统处于静止状态．现用一竖直向上的拉力F作用在物块上，使物块从静止开始做匀加速运动直至与托盘分离．以下哪个图像能表示上述过程中拉力F的大小随时间t的变化规律(　　)
A B C D
活动三 分析极值问题
题目中“最大”“最小”“刚好”“取值范围”等字眼，往往表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往也是临界点．
4 [2026江苏部分学校联考]如图甲所示，派件员将包裹放在静止的机器人的水平托盘上，机器人可将包裹送至指定分拣处，停止运动后缓慢翻转托盘，当托盘倾角增大到θ＝37°时，包裹恰好开始下滑，如图乙所示．现机器人要把m＝5 kg的包裹从分拣处运至22.5 m远的投递口处，为了运输安全，包裹需与水平托盘保持相对静止，到达投递口速度刚好为0.已知最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
甲 乙
(1) 求包裹与托盘间的动摩擦因数μ；
(2) 求机器人从分拣处运行至投递口(恰好静止)所需的最短时间tm；
(3) 若某次机器人到达分拣处，派件员想用斜向上的拉力把包裹从机器人上直接拉出(机器人始终静止)，求拉力的最小值和方向．
极值问题的解决重在分析清楚物理过程，找出临界条件或达到极值的条件，有时还可能会出现多种情况. 分析极值问题的常用方法：
(1) 三角函数法．
(2) 根据临界条件列不等式．
(3) 利用二次函数的判别式.
专题3　连接体问题　动力学的临界与极值问题
【活动一】
例 1
C　对整体运用牛顿第二定律有F－μ(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a，对B分析有kx－μmBg＝mBa，解得kx＝μmBg＋mB(－μg)＝＝，仅减小B的质量或仅增大A的质量，会使弹簧的伸长量减小，A、B错误；仅将两物块位置对调，有kx′＝＝，得出x′>x，C正确；弹簧伸长量与水平面的粗糙程度无关，D错误．
思维拓展： 设A、B质量分别为m、M，
在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－(m＋M)g sin θ＝(m＋M)a2，
隔离物块A，根据牛顿第二定律，有FT′－mg sin θ＝ma2，
解得FT′＝.
深度思考：两物体以相同的加速度运动，这种类型的连接体中力的“分配”与动摩擦因数和斜面的倾角无关．
例 2
D　对选项A，先整体分析，根据牛顿第二定律有F＝(2m＋m)a，对B有N1＝ma，得N1＝.同理，B选项中A、B间作用力为N2＝.在选项C中，A、B间静摩擦力为f1＝，A、B间作用力为F1＝.选项D中，A、B间静摩擦力为f2＝，A、B间作用力为F2＝，故D正确．
总结提升：2 (1) ①整体　隔离　②隔离　整体　(2) 隔离
即时训练1 C　当汽车做匀加速直线运动时，设加速度大小为a，以下方物体为对象，设下方细绳与竖直方向的夹角为θ1，根据牛顿第二定律可得m下g tan θ1＝m下a，可得tan θ1＝，以两个物体为整体，设上方细绳与竖直方向的夹角为θ2，根据牛顿第二定律可得(m上＋m下)g tan θ2＝(m上＋m下)a，可得tan θ2＝，则有θ1＝θ2，C正确．
即时训练2 C　对游客和滑轮受力分析如图所示，设钢索与水平方向的夹角为θ，绳与钢索垂直方向的夹角为α，根据牛顿第二定律对游客，有mg sin θ－T sin α＝ma1，对整体，有Mg sin θ－f＝Ma2.游客的加速度与滑轮和游客的整体的加速度相同，即a1＝a2，且f>0，则绳的拉力沿钢索方向的分力向下，且因为游客向下加速滑行，所以θ>α，只有图C最符合这一实际运动情形．C正确．
【活动二】
例 3
B　书放在水平桌面上，若书相对于桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度有fm＝μmg＝mam，解得am＝μg＝4.0 m/s2，书相对高铁静止，故若书不动，高铁的最大加速度为4.0 m/s2.故B正确.
总结提升：(1) 作用力　(2) 最大　(3) 零　(4) 零
即时训练3 C　当滑块向左做匀速运动时，根据平衡条件可得细线的拉力大小为T＝mg sin 30°＝0.5mg，故A错误；设当小球贴着滑块一起向左运动且支持力为零时加速度为a0，小球受到重力、拉力作用，如图所示，根据牛顿第二定律可得a0＝＝g，若滑块以加速度a＝g向左加速运动时，此时小球没有脱离斜面，则T cos 30°－N sin 30°＝ma，T sin 30°＋N cos 30°＝mg，解得T＝mg，N＝mg，故B错误，C正确；当滑块以加速度a＝2g向左加速运动时，此时小球已经飘离斜面，则此时线中拉力为F＝＝mg，故D错误．
即时训练4 C　B的最大加速度am＝＝μg，A、B即将发生相对运动时，F－×2mg＝2mam，解得F＝μmg>μmg，故B错误，C正确；A与地面间的最大静摩擦力f＝×2mg＝μmg<μmg，当F＝μmg<μmg时，A、B一起运动，故A错误；若F作用在B上，A的最大加速度为a，则μmg－×2mg＝ma，解得a＝μg，故D错误．
即时训练5 D　设托盘的质量为M，物块的质量为m，设静止时弹簧压缩量为x0，根据平衡条件可得kx0＝(M＋m)g，分离之前，设物块做匀加速直线运动的加速度为a，向上运动位移为x，根据牛顿第二定律可得F＋k(x0－x)－(m＋M)g＝(m＋M)a，解得F＝kx＋(m＋M)a，又x＝at2，可得F＝kat2＋(m＋M)a，即Ft图像为一条开口向上且不过原点的抛物线．D正确．
【活动三】
例 4
(1) 对包裹由平衡可知mg sin 37°＝μmg cos 37°，
可得μ＝tan 37°＝.
(2) 机器人先以最大加速度加速，再以最大加速度减速到达投递口，时间最短．
由牛顿第二定律有μmg＝mam，
可得最大加速度am＝7.5 m/s2，
则x＝amt2×2＝22.5 m，
解得最短时间tm＝2t＝2 s.
(3) 设F与水平方向的夹角为α，由平衡可得F cos α＝f滑，F sin α＋N＝mg，
其中f滑＝μN，
解得F＝，
由数学知识可知当α＝37°时分母最大，则F最小值为
Fmin＝30 N.(共37张PPT)
第三章
牛顿运动定律
专题3　连接体问题　动力学的临界与极值问题
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 能用整体法和隔离法分析连接体问题.2. 掌握分析临界状态、临界条件和极值问题的方法.3. 能求解临界问题和极值问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　分析连接体问题
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体. 连接体一般(含弹簧的系统，系统稳定时)具有相同的运动情况(速度、加速度).
如图所示，置于粗糙水平面上的物块A和B用轻质弹簧连接，在水平恒力F的作用下，A、B以相同的加速度向右运动．A、B的质量关系为mA>mB，它们与地面间的动摩擦因数相同．为使弹簧稳定时的伸长量增大，下列操作中可行的是(　　)
1
A. 仅减小B的质量
B. 仅增大A的质量
C. 仅将A、B的位置对调
D. 仅减小水平面的粗糙程度
C
若用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上，且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，求弹簧的弹力大小．
【答案】 设A、B质量分别为m、M，
在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律，有
F－(m＋M)gsin θ＝(m＋M)a2，
隔离物块A，根据牛顿第二定律，有FT′－mgsin θ＝ma2，
比较例1和思维拓展的结果，你能得到什么结论？
【答案】 两物体以相同的加速度运动，这种类型的连接体中力的“分配”与动摩擦因数和斜面的倾角无关．
[2025南通海安检测]质量分别为2m和m的A、B两物块，在恒力F作用下沿光滑的水平面一起向前匀加速运动．下列情形中A对B的作用力最大的是(　　)
2
A
B
C
D
D
处理连接体问题时，如何选用整体法与隔离法？
1. 整体法和隔离法
(1) 整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律求出加速度．
(2) 隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解．
2. 整体法和隔离法的选择
(1) 当连接体内各物体具有相同的加速度：①求内力时，先用______法求加速度，再用________法求内力；②求外力时，先用________法求加速度，再用________法求整体受到的外力.
(2) 若连接体内各物体的加速度不相同，或者要求系统内力时，用________法．
整体
隔离
隔离
整体
隔离
[2025苏州期末]如图所示，某汽车挂件由轻质细绳连接两个质量不同的物件构成．已知上方物件的质量较大，挂件被悬挂在封闭车厢的顶部，两个物件均可简化成球状物体．当汽车做匀加速直线运动时，从侧面看到的汽车挂件悬挂状态是(　　)
1
A
B
C
D
C
[2025镇江期末]如图所示，游乐场有一种“滑索渡河”的项目．一游客从起点利用自然落差向下加速滑行的过程中，下列运动图景最符合实际的是(不计空气阻力、虚线为垂直于钢索的参考线)(　　)
2
A
B
C
D
C
【解析】 对游客和滑轮受力分析如图所示，设钢索与水平方向的夹角为θ，绳与钢索垂直方向的夹角为α，根据牛顿第二定律对游客，有mgsin θ－Tsin α＝ma1，对整体，有Mgsin θ－f＝Ma2.游客的加速度与滑轮和游客的整体的加速度相同，即a1＝a2，且f>0，则绳的拉力沿钢索方向的分力向下，且因为游客向下加速滑行，所以θ>α，只有图C最符合这一实际运动情形．C正确．
活动二　分析临界问题
分析临界问题的基本思路．
(1) 认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程，把问题(物理过程)推到极端，分析在极端情况下可能出现的临界状态．
(2) 寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件．
(3) 以临界条件为突破口，应用牛顿第二定律列出临界方程，求解问题．
[2022江苏卷]高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝ 10 m/s2.若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过(　　)
A. 2.0 m/s2 B. 4.0 m/s2
C. 6.0 m/s2 D. 8.0 m/s2
3
【解析】 书放在水平桌面上，若书相对于桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度有fm＝μmg＝mam，解得am＝μg＝4.0 m/s2，书相对高铁静止，故若书不动，高铁的最大加速度为4.0 m/s2.故B正确．
B
常见临界状态对应的临界条件
作用力
最大
零
零
[2025南通海门抽测]如图所示，细线的一端固定在倾角为30°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球，静止时细线与斜面平行，则(　　)
3
A. 当滑块向左做匀速运动时，细线的拉力为mg
B. 若滑块以加速度a＝g向左加速运动时，线中拉力为mg
C. 当滑块以加速度a＝g向左加速运动时，小球对滑块压力不为零
D. 当滑块以加速度a＝2g向左加速运动时，线中拉力为0.5mg
C
B. 当F>μmg时，A、B发生相对运动
C. B的最大加速度为μg
D. 若F作用在B上，A的最大加速度为μg
4
C
叠加体系统临界问题的求解思路
[2025无锡阶段练习]如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端固接一个托盘，物块放置在托盘中，系统处于静止状态．现用一竖直向上的拉力F作用在物块上，使物块从静止开始做匀加速运动直至与托盘分离．以下哪个图像能表示上述过程中拉力F的大小随时间t的变化规律(　　)
5
A
B
C
D
D
活动三　分析极值问题
题目中“最大”“最小”“刚好”“取值范围”等字眼，往往表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往也是临界点．
[2026江苏部分学校联考]如图甲所示，派件员将包裹放在静止的机器人的水平托盘上，机器人可将包裹送至指定分拣处，停止运动后缓慢翻转托盘，当托盘倾角增大到θ＝37°时，包裹恰好开始下滑，如图乙所示．现机器人要把m＝5 kg的包裹从分拣处运至22.5 m远的投递口处，为了运输安全，包裹需与水平托盘保持相对静止，到达投递口速度刚好为0.已知最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2， sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
4
甲
乙
(1) 求包裹与托盘间的动摩擦因数μ；
(2) 求机器人从分拣处运行至投递口(恰好静止)所需的最短时间tm；
(3) 若某次机器人到达分拣处，派件员想用斜向上的拉力把包裹从机器人上直接拉出(机器人始终静止)，求拉力的最小值和方向．
【答案】 (1) 对包裹由平衡可知mgsin 37°＝μmgcos 37°，
(2) 机器人先以最大加速度加速，再以最大加速度减速到达投递口，时间最短．
由牛顿第二定律有μmg＝mam，
可得最大加速度am＝7.5 m/s2，
(3) 设F与水平方向的夹角为α，由平衡可得Fcos α＝f滑，Fsin α＋N＝mg，
其中f滑＝μN，
由数学知识可知当α＝37°时分母最大，则F最小值为
Fmin＝30 N.
极值问题的解决重在分析清楚物理过程，找出临界条件或达到极值的条件，有时还可能会出现多种情况. 分析极值问题的常用方法：
(1) 三角函数法．
(2) 根据临界条件列不等式．
(3) 利用二次函数的判别式.
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