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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线C：，则（ ）
A． B．C的焦点在x轴上
C． D．C的焦点在y轴上
3．某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：
直径/ 49 50 51 52 53 54
频数 8 9 8 13 12 1
由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量，且，，则（ ）
A．2 B．4 C．3 D．9
6．若抛物线C：的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时，（ ）
A． B．40 C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．当函数的零点个数最多时，m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
10．在等差数列中，公差为d，且，，是公比为的等比数列，，则（ ）
A． B．
C． D．数列的前1000项和大于
11．对于定义在D上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数．下列函数为理想函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设是奇函数，且，则______．
13．在平面直角坐标系中，点，若动点P满足，则点P的轨迹是圆心坐标为______，半径为______的圆．
14．水平桌面上放置三个半径均为的小球，它们两两相切且都与桌面相切，在这三个小球的上方放置一个半径为的小球，使得这四个小球两两相切，则上面的小球的最高点到桌面的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
16．（1）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求c．
（2）设平分，且与交于点D．
（ⅰ）证明：．
（ⅱ）若，求的长．
17．（1）如图，在直三棱柱中，D，E分别为棱，上一点，，，延长交于点F，且，，．
（1）求的值；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积．
18．（1）如图，椭圆：的长轴长为8，椭圆：的长轴长为4，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等．
（1）求，的方程．
（2）设，分别为的上、下顶点，P为上异于，的任意一点，过点P作轴，垂足为Q，线段与交于点H，证明：H为的垂心．
（3）设为上一点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；……．依此类推，得到，，，，，，…．已知，均位于第一象限，设，若，证明：．
19．（1）某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记X为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）．
（1）求．
（2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的X相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率．
（3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为Y，求Y的期望．
数学参考答案、提示及评分细则
1．C 由题意知，又，所以．故选C．
2．B 复数的虚部为4．故选B．
3．D 由，知，解得．故选D．
4．B 由，得，
所以．故选B．
5．B 先把除甲乙以外的4个人排好，共种情况，再将甲乙两人插入这4人所形成的5个空中，有种情况，根据分步乘法计数原理，总共有种不同排法．故选B．
6．D 圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，故到直线的距离为1的点共有4个．故选D．
7．C 因为函数的定义域为，且
，所以函数是奇函数，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以，解得或．故选C．
8．C 在上单调递增，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，当时，．故选C．
9．AC 因为，所以，A正确；由题知，则，B错误，C正确；因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为直线．因为，所以，D错误．故选AC．
10．BCD 令，则，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；令，所以，所以在上单调递减，又，所以，即，所以，故C正确；令，所以，所以在上单调递增，所以，即，又，所以，又在上单调递增，所以，即，即，故D正确．故BCD．
11．BC 因为的离心率为，左焦点为，则，又，所以，所以的方程为，故A错误；设上的任意一点，则，点到直线-4的距离为，所以，故B正确；由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，因为，所以，所以，设，所以，两式相减得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的方程为，即，故C正确；联立消去并整理得，所以，所以
，故D错误．故选BC．
12．3 设数列的公差为，则，所以．
13． 设，渐近线方程分别为，设．由得，因为点在直线上，于是解得点坐标为，因为，所以．，所以，因为，所以，所以，得．
14． 如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设点的坐标为，则，由，得，整理得，其中，所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧．过点作，因为平面，所以平面，即平面，所以为三棱锥的高，所以三棱锥的体积．因为，所以，所以当时，取最大值，最大值为，所以当时，三棱锥的体积取最大值，此时
15．解：（1）由余弦定理及，得，即．
因为，所以．
（2）由（1）知，又，
由正弦定理可得，
则．
由，得到，
则，可得，
故周长的取值范围为．
16．解：（1）由题意得，2×2列联表如下：
性别 是否喜欢象棋 合计
是 否
男生 35 15 50
女生 20 30 50
合计 55 45 100
零假设：喜欢象棋与性别无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验可判断不成立，
所以能认为喜欢象棋与性别有关联．
（2）由按比例分配的分层随机抽样知所抽取的5名女生中喜欢象棋的有2名，不喜欢象棋的有3名，的取值为0，1，2，
0 1 2
3 35
所以．
17．（1）证明：取中点，连接，，
因为是中点，所以，
因为是的中点，棱柱中，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面．
（2）解：取中点，连接，则，由平面知平面，
因为是中点，所以，所以两两垂直．
如图，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
设平面的法向量为，
因为，所以，
取，得．
同样可求得平面的一个法向量，
设平面与平面所成二面角为，
则．
故．
18．解：（1）由题意知，解得，所以的方程为．
（2）因为（）是上的一点，所以，解得，故．
设直线的方程为，由得，所以．
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，
即
解得，
所以直线的斜率为．
（3）设直线的方程为，
由得，所以，
因为，所以，即，化简得，
所以，即，
所以直线的方程可化为，即，
故直线过定点．
又，所以点到直线的距离的最大值为．
19．（1）解：若，则，所以，，所以，所以的图象在处的切线方程为，即．
（2）解：由题意知，令，所以，所以即在上单调递增，
当，即时，，所以在上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，，所以，使得，当时，，所以在上单调递减，所以，不符合题意．综上，的取值范围是．
（3）由题意知在上恒成立，所以在区间上单调递减，所以，所以．
（ⅰ）解：若对任意的，都有，即，
所以
又，所以，即的取值范围是．
（ⅱ）证明：由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立，
所以当时，，即，
所以，即．

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