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武汉市 2026 届高三年级五月供题
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C D B D C B B ABD AC ACD
填空题：
12. 1 13. 10 5 14. [ ln 2,0]
解答题：
15.（13分）解：
sin 2 A+ cos2 B + cos2C = 2+ sin BsinC sin2 A sin2（1）由 B sin2C = sin BsinC ，结合正弦定
b2 + c2 a22 2 2 1
理得a b c = bc，所以cosA = = ,
2bc 2
2
又 A (0, )，所以 A = . …………6分
3
1 2 1 1 bc
（2）由 S = S + S ABC ABD ACD bcsin = c AD sin + b ADsin 得 AD = ，
2 3 2 3 2 3 b+ c
a2 b2 c2 = bc a = 2 3 12 b2 c2 = bc bc = (b+ c)2
b+ c
由（1）知 ，又 ，所以 ， 12 ( )2 ，得
2
b+ c 4，当且仅当b = c时等号成立，又因为b+ c a = 2 3,所以2 3 b+ c 4 .
bc (b+ c)2 12 12 12
AD = = = b+ c ，因为 f (x) = x 在 (2 3,4]上递增，所以
b+ c b+ c b+ c x
f (x)max = f (4) =1，即线段 AD长度的最大值为1. …………13分
16.（15分）解：
a a x2' + ax a
（1） f (x) = 1+ = (x 0)，令 g(x) = x2 + ax a(x 0) ,
x2 x x2
= a2 4a 0

则 g(x) = 0 有两个不等正根 x1, x2 ，所以 x + x a1 2 = a 0 ，解得a 4，所以实数 的取值范围为 (4,+ ) .

x1x2 = a 0
……………6分
（2）由（1）知a 4， x1, x2 是 g(x) = 0 的两根，所以 x1 + x2 = a, x1x2 = a ,
a a a(x + x )
所以 f (x1)+ f (x
1 2
2 ) 3a = x1 + a ln x1 + x2 + a ln x2 3a = (x1 + x2 )
x1 x2 x1x2
+a ln(x1x2) 3a = a lna 3a .
令 h(a) = a ln a 3a(a 4)，则h'(a) = lna 2(a 4)，当a (4,e2) 时，h'(a) 0，当a (e2 ,+ ) 时，
h'(a) 0，所以h(a) 在 (4,e2)上递减， (e2 ,+ )上递增，所以h(a)min = h(e
2) = e2 ，即
f (x1) + f (x2 ) 3a的最小值为 e
2
. …………15分
17.（15分）解：
（1）在 ABC中，过点N 作NQ∥ AB交BC于点Q，连接QM ，在三棱柱 ABC A1B1C1中，因为 AB
∥ A1B1 ，所以 NQ∥ A1M ，所以 A1,N ,Q,M 四点共面，因为直线 A1N ∥平面 BCM ， A1N 平面
A1NQM ,平面BCM 平面 A1NQM =QM ，所以 A1N ∥QM ，所以四边形 A1NQM 是平行四边形，得
1 1
到NQ = A1M = A1B1 = AB，所以N 是线段 AC的中点. …………5分
2 2
（2）因为 AB⊥平面 BCC1B1， BC,BB1 平面 BCC1B1，所以 AB ⊥ BC, AB ⊥ BB1，又因 BCC1B1为
正方形，BC ⊥ BB1 ，故可以B为原点建立空间直角坐标系，如下图，
1
因为 2AB = BB1 = 2，所以 B(0,0,0), A(1,0,0), A1(1,2,0),B1(0,2,0),C(0,0,2),C1(0,2,2),M ( , 2,0) ,所
2
n BC = 2y + 2z = 0
1 1
以BC1 = (0,2,2),BM = ( ,2,0) .设平面BMC1的一个法向量为n = (x, y, z) ，则 1 ，
2 n BM = x + 2y = 0
2
取 y = 1得n = (4, 1,1) ，又易知平面 ABB1A1的法向量m = (0,0,1)，
m n 1 2 2
所以cos m,n = = = ，故平面 ABB1A1与平面BMC1夹角的余弦值为 . ……10分
m n 3 2 1 6 6
1 1
（3）设平面 NBM 的一个法向量为 n1 = (x1, y1, z1) ， BM = ( ,2,0) ，由中点坐标公式得 N ( ,0,1) ，则
2 2
1
n1 BN = x1 + z1 = 01 2
BN = ( ,0,1) ，所以 ，取 y1 =1，得n1 = ( 4,1,2) ,
2 1n1 BM = x 1
+ 2y1 = 0
2
BC1 n1 2+ 4 2 21
又BC1 = (0,2,2)，设点C1到平面NBM 的距离为d，则d = = = .
n 21 71
…………15分
18.（17分）解：
（1）圆心E( 3,0) ，半径 r = 4，由线段PF的中垂线与直线PE交于点Q知 QP = QF
当线段PF的垂直平分线与射线EP相交时， QE QF = QP + PE QF = PE = 4
当线段PF的垂直平分线与射线PE相交时， QF QE = QP QE = PE = 4
所以 QF QE = 4 EF = 6 ，所以点 Q 的轨迹 是以点 E,F 为焦点的双曲线，设其方程为
x2 y2
=1(a 0,b 0) 2 2 2，则2a = 4,2c = 6 ，解得a = 2,c = 3，所以b = c a = 5，
a2 b2
x2 y2
所以点Q的轨迹 方程为 =1 . …………3分
4 5
（2）（i）设直线 l： y = kx+m， A(x1, y1),B(x2 , y2 )
y = kx+m
(4k 2 5)x2 +8kmx+ 4m2联立 + 20 = 0 2
5x 4y
2 = 20
2
= 64k 2m2 16(4k 2 5)(m2
8km 4m + 20
则 +5) 0，且 x1 + x2 = , x1x2 =
4k 2 5 4k 2 5
y1 2 y2 2 kx1 +m 2 kx +m 2 (m 2)(x + x )所以 k + k 2 1 2AR BR = + = + = 2k +
x1 x2 x1 x2 x1x2
8km 5 5 5
= 2k + (m 2) = 0，解得m = ，所以直线 l： y = kx 过定点 (0, ) .…………9分
4m2 + 20 2 2 2
y 2
（ii）设C(x3, y3),D(x4 , y4)，则直线 AC： y = k1x + 2，其中 k1 =
3
x3
y = k1x + 2 2 2 36 y 2
联立 (5 4k1 )x 16k x 36 = 0，则 x x = ，将 k =
3
1 3 A 1 以及2 2 2
5x 4y = 20 5 4k1 x3
5x23 4y
2
3 = 20代入得
2 2
36 36 36x3 36x3 9xx3xA = = = = xA =
3 ，所以
5 4k 2 y3 21 2 5x
2
3 4y
2
3 +16y3 16 20+16y3 16 4y +15 4( ) 3
x3
y3 2 20 y 9x 20 y 9x 20 yyA = x
3 3 3 4 4
A + 2 = ，所以 A( , ) ，同理B( , )
x3 4y3 +1 4y3 +1 4y3 +1 4y4 +1 4y4 +1
20 y 9x
设直线 AB： y = 2x + n，则代入点 A的坐标得 3 = 2 3 + n，整理得
4y3 +1 4y3 +1
18x3 (4n+1)y3 + 20 n = 0，同理18x4 (4n+1)y4 + 20 n = 0，所以直线CD：
18x (4n+1)y + 20 n = 0，即18x y + 20 n(4y +1) = 0
18x y + 20 = 0 9 1 9 1
令 ，解得 x = , y = ，所以直线CD过定点 ( , ) . …………17分
4y +1= 0 8 4 8 4
19.（17分）解：
k
（1）设“社团‘星火社’至少参加一次博览会”为事件M，则P(M ) =1 (1 )
2
. …………3分
N
（2）当 X =m时，同时收到两次邀请的社团数为2k m，仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为
m k k 2k m m k k m k m k，则由乘法计数原理知事件 X = m 所含基本事件数为CNCk CN k =CNCk CN k
C kCm kCm k
此时P(X = m) = N k N k
(C kN )
2
C kCm kCm k C k m 1 k m 1 kN k N k N
Ck CN k
k 2 k 2
P(X = m) P(X = m 1) (CN ) (CN )
令 ，解得
P(X = m) P(X = m+1) C kCm kCm k C kCm+1 kCm+1 k N k N k N k N k
(C k )2 k 2 N (CN )
(k +1)2 (k +1)2 (k +1)2
2k m 2k +1 ，则当 (k +1)2 能被N + 2整除时，P(X =m)在m = 2k 和
N + 2 N + 2 N + 2
(k +1)2 (k +1)2
m = 2k +1 2处取得最大值；当 (k +1) 不能被N + 2整除时，P(X =m)在m = 2k 处
N + 2 N + 2
取得最大值. …………10分
（3）记“某社团参加周一的博览会”为事件 A，“某社团参加周三的博览会”为事件B，记 S = A B ，
则 X = A B = 2k S ，由（2）知 S满足超几何分布.
k k 2
（i）E(X ) = 2k E(S) = 2k k = 2k . …………13分
N N
k N k N k k 2 (N k)2
（ii）D(X ) = D(S) = k =
N N N 1 N 2 (N 1)
k + N k
2 ( )
4
k (N k)2 N 22 N + 2所以D(X ) = = . …………17分
N 2 (N 1) N 2 (N 1) 16(N 1) 16武汉市2026届高三年级五月供题数 学
2026.5
本卷共4页，19题，全卷满分150分．用时120分钟．
注意事项：
1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则
A．5 B．3 C． D．
3．已知等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
5．已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
6．游乐园里有一个半径为4的圆形水池（对应圆：）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程（是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是
A． B． C． D．
7．表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为
A． B． C． D．
8．已知函数，若不等式对任意恒成立，则满足条件的的取值个数为
A．3个 B．5个 C．7个 D．无穷多个
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有
A．一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3
B．若随机变量，则
C．若事件，满足，则与是对立事件
D．若事件，满足，则事件，相互独立
10．关于多项式的展开式，下列结论正确的是
A．各项系数之和为32 B．常数项为80
C．项的系数为-120 D．展开式一共有21项
11．已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是
A． B．存在，使得
C．的个位数字为7 D．为完全平方数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________．
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，若直线和的斜率分别为和，则椭圆的离心率为_________．
14．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
16．（15分）
已知函数存在两个极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值．
17．（15分）
如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面．
（1）证明：是线段的中点；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
18．（17分）
已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹．
（1）求曲线的方程；
（2）设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点；
（ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点；
（ⅱ）若，证明：直线过定点．
19．（17分）
某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为．
（1）求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率；
（2）求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）；
（3）记随机变量的数学期望为，方差为；
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：．
附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，
有，．

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