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2026上海中考数学最后冲刺 新题速达 第21-23专题练习
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形）的性质与判定，能综合运用全等、相似、勾股定理进行证明与计算。
熟练运用 一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，解决交点、面积、最值等综合问题，能结合平移、对称进行函数建模。
理解 圆的垂径定理、圆心角、圆周角、切线性质，能结合相似三角形解决圆中线段长度、角度、位置关系问题。
掌握 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算与意义，能分析统计图表，利用样本估计总体。
能够 解决新定义探究题、实际应用题（利润、充电、水费、光学反射等），建立数学模型。
体会 数形结合、分类讨论、转化思想、方程思想在压轴题中的综合运用。
核心：几何综合 · 函数建模 · 统计应用 · 新定义转化。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 四边形
平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。菱形：四边相等，对角线垂直平分且平分内角。矩形：四个直角，对角线相等。正方形：兼具矩形和菱形性质。
等腰梯形： 两腰相等，同一底上的两个底角相等，对角线相等。判定：一组对边平行，另一组对边相等且不平行，或同一底上两角相等。
中点四边形： 连接任意四边形各边中点所得四边形为平行四边形；对角线相等时中点四边形为菱形；对角线垂直时中点四边形为矩形。
全等三角形判定： SSS, SAS, ASA, AAS, HL。常用于证明边相等、角相等、线段平行。
相似三角形判定： AA, SAS, SSS。性质：对应边成比例，面积比等于相似比的平方。
勾股定理与解直角三角形： ；锐角三角函数 ，，。特殊角三角函数值：30°、45°、60°。
三角比的值 角度
☆ 函数
一次函数： （）。决定增减性，决定与y轴交点。图象平移：左加右减，上加下减。
反比例函数： （）。图象双曲线，关于原点对称。在一、三象限，每一象限内随增大而减小；在二、四象限，每一象限内随增大而增大。的几何意义：矩形面积为。
二次函数： （）。顶点式。对称轴，最值。平移规律同一次函数。
函数交点： 联立方程求解，常用判别式判断交点个数，利用交点求参数范围或面积。
函数
图象（抛物线）
顶点坐标
对称轴 直线
顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小
最值 当时， 当时，
☆ 圆
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。常用于求弦长、半径、弦心距。
圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角。
圆与圆的位置关系： 外离、外切、相交、内切、内含，由圆心距与半径和/差的关系判定。
切线性质： 切线垂直于过切点的半径；切线长定理。
☆ 统计与概率
统计量： 平均数 ，中位数（排序后中间位置），众数（出现次数最多）。
频数分布直方图： 能直观显示各组频数分布，可求总数、频率、中位数所在组等。
扇形统计图： 各部分百分比之和为100%，圆心角=百分比×360°。
☆ 实际应用与建模
分段函数： 如水费、电费、充电时间等，需根据自变量的范围分段写出解析式，再求解。
利润、成本问题： 利用一次函数或二次函数求最值，常结合不等式组求方案。
几何探究： 新定义（如“半高底三角形”、“黄金分割”），需理解定义并转化为几何模型。
光学反射： 入射角等于反射角，可转化为轴对称或相似三角形。
知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
四边形与全等相似 平行四边形、菱形、矩形、正方形性质与判定；全等、相似判定与性质 ；；相似比平方=面积比
函数 一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质；交点、面积、最值 ；；；顶点坐标、对称轴
圆 垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、切线性质、圆与圆位置关系 ；直径所对圆周角=90°；
统计 平均数、中位数、众数、方差、频数分布直方图、扇形统计图 方差越小越稳定；频率=频数/总数
实际应用 分段函数、利润、光学反射、黄金分割、新定义探究 建立方程（组）、不等式（组），利用函数性质求最值
新题速达 ·3大模块专练
【模块一】第21题专练（几何证明与计算、统计、函数初步）
1．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE CB，∠CED＝∠ABD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE AD＝BD AB，求证：EO⊥BD．
2．A班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题：
（1）A班共有多少名学生参加知识竞赛？
（2）分布在90.5 100.5分这一组的频率是多少？
（3）成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？
（4）求成绩高于60分的学生占全部学生人数的百分率．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且．
（1）求线段BD的长；
（2）求sin∠BAD的值．
4．如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．
（1）如图1，△ABC是以BC为“半底”的“半高底”三角形，已知，求BC的长；
（2）如图2，AB是⊙O的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点C，使得△ABC是以AB为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）．
5．在平面直角坐标系xOy（如图），已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），过点B（4，0）作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点C．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）联结OC，点D是OC的中点，联结BD，求BD的长．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过△OAB顶点B和边OA上的一点C，OC＝2AC，OC．设边OA与x轴正半轴的夹角为α，且sinα．
（1）求双曲线的表达式；
（2）如果AB∥x轴，求点B的坐标．
7．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本w1（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式w1＝20x．加建后该商场预计每年的能源消耗费用w2（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为y（万元）．
（1）求y与x的关系式；
（2）已知该商场未来5年的相关计划费用p（万元）满足p＝y+x2﹣x，那么当192≤p≤208时，求隔热层厚度x（厘米）的取值范围．
8．在平面直角坐标系xOy中（如图），正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如果将正比例函数y＝2x的图象向下平移3个单位，得到的新函数的图象与反比例函数图象相交于点B，求∠ABO的余弦值．
9．探究：在铁片上裁剪正方形．
（1）如图△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片．
Ⅰ．请根据以下步骤画图：
①在边AB上取点G'（如图），过G′作G′D′⊥BC，垂足为D′；
②以G′D′为边在△ABC内部作正方形G'D'E'F'；
③联结BF′并延长交AC于点F；
④过F作FE∥F′E交BC于点E、FG∥F'G交AB于点G；过G作GD∥G'D'交BC于点D．
Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形DEFG是正方形．
（2）如果△ABC是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为　 　 ．
10．如图，D、E是△ABC边AC、AB上点，BD、CE交于点G．已知．
（1）求的值；
（2）如果AB＝AC，∠BCE＝∠A，求tan∠ABC的值．
11．如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接CD．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如果BC＝DC，求k的值．
12．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，且AC＝8，点D为的中点，联结OD，交AC于点E，DE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）联结BE，求cos∠BEO的值．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与直线y＝x+k交于点A（1，n）、点B，点C和点A关于原点对称．
（1）求k与n的值；
（2）求tan∠BAC的值．
14．如图，弓形弦长AB＝48米，高CD＝18米，有一内接矩形EFGH，边FG在AB上，顶点E、H在弓形弧上，边EH的长比EF的2倍多4米．
（1）求该弓形所在圆的半径；
（2）求EF的长．
15．如图，在△ABC中，，tanB＝2．
（1）试用无刻度直尺和圆规，在直线BC上作出点D，使△DAC∽△ABC，点D、A、C的对应点分别是点A、B、C．（不必写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，求线段BD的长．
【模块二】第22题专练（方案设计、统计、函数建模、几何新定义）
16．【问题提出】把一个长、宽分别为a、b（b＜a＜4b）的长方形（如图1），剪拼成一个正方形．（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计）
【方案设计】某学习小组提出以下设计思考：
（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为　 　 ．（用含a、b的代数式表示）
（2）如图2，延长BC至点E，使CE＝b，以BE为直径作半圆O．延长CD交⊙O于点F，联结BF、EF，可得∠BFE＝90°（后续说理如需用到这一结论，可直接使用）．他们认为：“CF就是所求正方形的边长”．
（3）如图3，以CF为边，在CF左侧作正方形CFGH，BF分别与GH、AD交于点M、N，沿虚线BN、HM裁剪，△BHM、△ABN可以通过适当的图形运动分别与△NDF、△GMF叠合，拼成正方形CFGH．
【论证说明】
（1）如图2，该学习小组认为：“CF是所求正方形的边长”，试说明理由；
（2）△BHM可以通过怎样的图形运动与△NDF叠合，并说明它们能够叠合的理由．
17．本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．
张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？
（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？
18．某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B狮蹈、C器乐、D戏剧、B其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图．
（1）扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为　 　 °；
（2）本次大赛总共报名　 　 人，请补全条形统计图；
（3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：
甲 8 6 7 6 7 9 6
乙 8 4 8 9 8 9 3
平均数 中位数 方差
甲 a 7
乙 7 b C
①表中的数据：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．
　 　 ．
19．
背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位．
素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD．
素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时．
问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围．
任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由．
20．某学校组织数学竞赛，对A、B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息．
（i）A班测试成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
（ii）B班测试成绩如下：
69，69，70，70，71，73，77，78，80，81，
82，82，82，82，83，83，83，86，91，96．
（iii）A班、B班测试成绩的平均数、众数、中位数如下：
平均数 众数 中位数
A班 79.6 77 p
B班 79.4 m q
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为　 　 ，p　 　 q（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是　 　 ；
（A）两个班测试成绩的方差都增大；
（B）两个班测试成绩的方差都减小；
（C）A班测试成绩的方差增大，B班测试成绩的方差减小；
（D）A班测试成绩的方差减小，B班测试成绩的方差增大．
（3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下：
测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差
甲 93 90 92 93 92 1.2
乙 91 92 92 92 92 0.16
丙 94 90 90 94 k S丙2
如果丙的排序居中，那么表中k（k为整数）的值为　 　 ，S丙2＝　 　 ．
21．如图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数y（1≤k＜10，k为常数）．
（1）求k的值；
（2）如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．
（参考数据：2.236，3.163）
22．小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点P1，P2，P3都落在了线段AB上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度y（厘米）关于纸杯数量x（个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
23．（1）某社区有一个宽度（CD）为3米的矩形健身区ABCD，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示）．求每一个矩形器材区的边长；
（2）为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案：
（i）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道；
（ii）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等；
（iii）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为45°，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形PQMN中，∠PQM＝45°，PN＝AE．
①求平行四边形器材区的另一边PQ的长；
②求新建矩形健身区另一边的长度．（结果保留整数参考数据；）
24．在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．
请运用上述信息，解决下列问题：
（1）填空：等腰△ABC的顶角∠A＝36°，且AB＝4，那么底边BC＝　 　 ．
（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝18°，且AB＝4，求AC的长．
（3）如图2，已知点P是线段MN的黄金分割点（PM＜PN），在MN的延长线上截取ND＝PN，将线段NM绕点N顺时针旋转108°，得到线段NH，联结HD．请判断△NDH是否是黄金三角形？并说明理由．
25．根据以下素材，完成任务．
素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE．
素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示．
素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米．
素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．
问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离；
任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？
26．折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术．学校折纸社团的同学们用12cm×12cm正方形纸片开展折纸活动．
【发现问题】如图1，将正方形纸片ABCD对折再展开，折痕交AD于点E、交BC于点F，点E、F分别是边AD、BC的二等分点．在第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的　 　 等分点．按照这样的方式对折n次（n是正整数）可以得到边的　 　 等分点（用含n的代数式表示），但这样折的方式都不会得到边的三等分点．
【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？
【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论．
小明：共得到边的三等分点，得想想别的折法． 小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出1：2的比例？ 小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图1）的基础上，将点B沿着直线翻折到点E处（如图3），折痕分别交正方形的边于点G、H．边BC交正方形的边于点M，M就是边CD的一个三等分点．
【解决问题】
（1）完成填空；
（2）求AG的长；
（3）判断小海的折法是否正确并说明理由．
27．上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的90%核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3.小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费y（元）与用水量x（m3）关系如图所示．
分类 第1档 第2档 第3档
用水量x（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分
供水费单价（元/m3） 2.25 n 6.99
污水处理费（元/m3） 2.00
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费1m3的单价为　 　 元；图中点A的纵坐标为　 　 ；
（2）小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出n的值为　 　 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
28．被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为600cm2的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长100cm，宽60cm的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同）
为了优化设计，草莓采摘园的老板借助AI提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．AI对方案2的优点给出了如下评价：
1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品．
接下来请你帮助老板解决以下问题：
（1）设方案1中剪去的正方形的边长为xcm，求包装盒的表面积；
（2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？
29．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω．
可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A．
（1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值；
（2）求I关于总电阻R的函数解析式；
（3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围．
30．小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜．
【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图1是店家提供的验光单的一部分，其中“﹣2.75D”中的“﹣”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“2.75D”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为y＝100Φ．
（1）根据图1验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数．
【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为﹣5.00D的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）．
材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图2，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑．
材料二：摘自物理八上教材P98页 如图4﹣4﹣7所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点，凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示．
（2）根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度Φ关于镜片焦距f的函数解析式．
（3）根据材料三抽象出数学模型（如图3），镜片直径AB与光斑直径CD平行，GE⊥CD，测得AB＝0.06米，CD＝0.15米，镜片光心O到光屏的距离OE为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由．
【模块三】第23题专练（圆与几何综合、相似与全等、菱形矩形证明）
31．已知AB是半圆O的直径，弦AC、BD交于点E，OC与BD交于点F，满足．
（1）求证：OC⊥BD；
（2）如图2，M是OB的中点，CM与BD交于点G，求证：四边形CEOG是菱形．
32．如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是正方形外一点，联结AE、EF、AF，对角线AC与线段EF相交于点M，如果AB AF＝AE AC，且∠EAC＝∠DAF．
（1）求证：∠ACF＝90°，AFEF；
（2）当点E是边BC的中点时，请直接写出△AMF与△EMC面积的比值：　 　 ．
33．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC与BD交于点E，将△ABD沿着直线AB翻折得到△ABF（点D对应点F）．
（1）求证：四边形AFBC是平行四边形；
（2）如果四边形AFBC是矩形，且，求证：AB＝2CD．
34．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G，若BG BE＝AB BF，求证：AB2＝BE DG．
35．已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），点D是弧AC的中点，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，连接OD与AC交于点E．
（1）求证：BC＝2OF；
（2）连接FE并延长与弦BC的延长线交于点G，联结DG．求证：四边形DECG是矩形．
36．学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔．
（1）雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量AC与BD的长，如果AC≠BD，那么桌面不是等腰梯形；如果AC＝BD，再继续测量AB、CD、AD与BC的长，如果AB＝CD，AD≠BC，或者AB≠CD，AD＝BC，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形．
其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）；
（2）请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤．
37．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点D在边BC上，点E在CB的延长线上，联结AD、AE，过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F，且AE＝EF．
（1）求证：BD＝BE；
（2）求证：．
38．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC．
（1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）联结OF．如果OF2＝EF AF，求证：F是BC的中点．
39．如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°．
（1）求证：AF BE＝AE CF；
（2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF．
40．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，联结BD、CE，∠ADB＝90°，延长BD交CE于点F，交AC于点G．
（1）求证：四边形ADFE为正方形；
（2）如果∠FBC＝∠ACF，求证：2AD2＝FG FB．
41．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点P、Q，且，过点P的直线AB分别交⊙O1、⊙O2于点A、B，且AP＝BP，点C是线段O1O2的中点．联结QO2并延长交BP于点M，且PM＝BM．
（1）求证：CP⊥AB；
（2）求证：四边形CPO2Q是菱形．
42．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AB＜CD，联结AO、BO并延长交弦CD于点E、F，且CF＝DE．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AC2＝OA AE，求证：．
43．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE GA．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点．
44．在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点M、N（BM＜BN且点M、N分别与点B、D不重合），使AN∥CM，甲、乙、丙分别提出方案（如图）．
（1）选择其中一种正确的方案进行证明：AN∥CM；
（2）根据你在（1）中选择的方案，延长AN交边CD于点P，若∠DPN＝∠DNC，求证：AB2＝BM DM．
第1页（共1页）2026上海中考数学最后冲刺 新题速达 第21-23专题练习
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形）的性质与判定，能综合运用全等、相似、勾股定理进行证明与计算。
熟练运用 一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，解决交点、面积、最值等综合问题，能结合平移、对称进行函数建模。
理解 圆的垂径定理、圆心角、圆周角、切线性质，能结合相似三角形解决圆中线段长度、角度、位置关系问题。
掌握 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算与意义，能分析统计图表，利用样本估计总体。
能够 解决新定义探究题、实际应用题（利润、充电、水费、光学反射等），建立数学模型。
体会 数形结合、分类讨论、转化思想、方程思想在压轴题中的综合运用。
核心：几何综合 · 函数建模 · 统计应用 · 新定义转化。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 四边形
平行四边形： 对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。判定：边、角、对角线条件。菱形：四边相等，对角线垂直平分且平分内角。矩形：四个直角，对角线相等。正方形：兼具矩形和菱形性质。
等腰梯形： 两腰相等，同一底上的两个底角相等，对角线相等。判定：一组对边平行，另一组对边相等且不平行，或同一底上两角相等。
中点四边形： 连接任意四边形各边中点所得四边形为平行四边形；对角线相等时中点四边形为菱形；对角线垂直时中点四边形为矩形。
全等三角形判定： SSS, SAS, ASA, AAS, HL。常用于证明边相等、角相等、线段平行。
相似三角形判定： AA, SAS, SSS。性质：对应边成比例，面积比等于相似比的平方。
勾股定理与解直角三角形： ；锐角三角函数 ，，。特殊角三角函数值：30°、45°、60°。
三角比的值 角度
☆ 函数
一次函数： （）。决定增减性，决定与y轴交点。图象平移：左加右减，上加下减。
反比例函数： （）。图象双曲线，关于原点对称。在一、三象限，每一象限内随增大而减小；在二、四象限，每一象限内随增大而增大。的几何意义：矩形面积为。
二次函数： （）。顶点式。对称轴，最值。平移规律同一次函数。
函数交点： 联立方程求解，常用判别式判断交点个数，利用交点求参数范围或面积。
函数
图象（抛物线）
顶点坐标
对称轴 直线
顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限
开口方向 向上 向下
增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小
最值 当时， 当时，
☆ 圆
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。常用于求弦长、半径、弦心距。
圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角。
圆与圆的位置关系： 外离、外切、相交、内切、内含，由圆心距与半径和/差的关系判定。
切线性质： 切线垂直于过切点的半径；切线长定理。
☆ 统计与概率
统计量： 平均数 ，中位数（排序后中间位置），众数（出现次数最多）。
频数分布直方图： 能直观显示各组频数分布，可求总数、频率、中位数所在组等。
扇形统计图： 各部分百分比之和为100%，圆心角=百分比×360°。
☆ 实际应用与建模
分段函数： 如水费、电费、充电时间等，需根据自变量的范围分段写出解析式，再求解。
利润、成本问题： 利用一次函数或二次函数求最值，常结合不等式组求方案。
几何探究： 新定义（如“半高底三角形”、“黄金分割”），需理解定义并转化为几何模型。
光学反射： 入射角等于反射角，可转化为轴对称或相似三角形。
知识总结表
模块 核心内容 常用公式/结论
四边形与全等相似 平行四边形、菱形、矩形、正方形性质与判定；全等、相似判定与性质 ；；相似比平方=面积比
函数 一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质；交点、面积、最值 ；；；顶点坐标、对称轴
圆 垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、切线性质、圆与圆位置关系 ；直径所对圆周角=90°；
统计 平均数、中位数、众数、方差、频数分布直方图、扇形统计图 方差越小越稳定；频率=频数/总数
实际应用 分段函数、利润、光学反射、黄金分割、新定义探究 建立方程（组）、不等式（组），利用函数性质求最值
新题速达 ·3大模块专练
【模块一】第21题专练（几何证明与计算、统计、函数初步）1．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE CB，∠CED＝∠ABD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE AD＝BD AB，求证：EO⊥BD．
【分析】（1）根据题意推出，结合∠ECD＝∠DCB，推出△CDE∽△CBD，根据相似三角形的性质求出∠CED＝∠CDB，则∠CDB＝∠ABD，即可判定AB∥DC，最后根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）根据相似三角形的性质求出，结合平行四边形的性质推出DE AD＝BD AB，结合题意求出DE＝BE，最后根据等腰三角形的性质即可得证．
【解答】证明：（1）∵DC2＝CE CB，
∴，
又∵∠ECD＝∠DCB，
∴△CDE∽△CBD，
∴∠CED＝∠CDB，
∵∠CED＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴AB∥DC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图，
∵△CDE∽△CBD，
∴，
∴DE BC＝BD CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OB＝OD，
∴DE AD＝BD AB，
∵BE AD＝BD AB，
∴DE＝BE，
又∵OB＝OD，
∴EO⊥BD．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟记有关定理是解题的关键．
2．A班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示．回答下列问题：
（1）A班共有多少名学生参加知识竞赛？
（2）分布在90.5 100.5分这一组的频率是多少？
（3）成绩的中位数落在哪个小组数据范围内？
（4）求成绩高于60分的学生占全部学生人数的百分率．
【分析】（1）各组人数求和得总人数；
（2）用频数/总数求频率；
（3）找第23个数据位置定中位数；
（4）高于60分人数除以总数求百分比．
【解答】解：（1）根据频数分布直方图，各组人数依次为：3人、6人、12人、11人、7人、6人，
总人数为各组频数之和：3+6+12+11+7+6＝45（名），
答：A班共有45名学生参加知识竞赛；
（2）该组频数为6，频率公式为：频率，
答：该组的频率是；
（3）45个数据的中位数是第23个数据，
前两组累计人数：3+6＝9，
前三组累计人数：9+12＝21，
前四组累计人数：21+11＝32，
第23个数据落在70.5～80.5分这一组，
答：中位数落在70.5～80.5分的小组内；
（4）高于60分的是后4组，人数为：12+11+7+6＝36，
占比为：100%＝80%，
答：成绩高于60分的学生占全部学生人数的80%．
【点评】本题主要考查频数分布直方图，根据频数分布直方图明确各分组人数是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且．
（1）求线段BD的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【分析】（1）利用直角三角形的三角函数性质，分别求出BC和CD的长度，再作差得到BD的长度．第一步：在Rt△ACD中，已知∠CAD＝30°，直角边，利用正切函数的定义求出CD；第二步：结合∠B＝45°，可得Rt△ABC是等腰直角三角形，因此；第三步：根据线段和差关系BD＝BC﹣CD，代入计算得到最终结果；
（2）通过作辅助线构造包含∠BAD的直角三角形，结合正弦函数的定义计算结果．第一步：先在Rt△ACD中，利用三角函数求出斜边AD的长度；第二步：过D作AB的垂线DE，在等腰直角△BDE中，利用BD的长度求出高DE；第三步：在Rt△ADE中，根据正弦定义：正弦值等于对边比斜边，代入DE和AD的长度计算得到结果；本题也可利用角度差得到∠BAD＝15°，用两角差的正弦公式计算得到相同结果．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠C＝90°，
，
CD＝AC tan30°1，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，
可得，
．
（2）在Rt△ACD中，
，
过点D作 DE⊥AB于点E，
在Rt△BDE中，∠B＝45°，
，
在Rt△ADE中，
．
【点评】题目考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
4．如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．
（1）如图1，△ABC是以BC为“半底”的“半高底”三角形，已知，求BC的长；
（2）如图2，AB是⊙O的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点C，使得△ABC是以AB为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，设AH＝5x．利用勾股定理国际服非常求出x可得结论；
（2）如图2中，过点O作OD⊥AB于点D，以D为圆心，AD为半径作弧交DO于点J，过点J作JC⊥OD交⊙O于点C，C′，连接AC，BC，AC，BC′，△ABC，△ABC′即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，设AH＝5x．
∵tanB，
∴BH＝12x，
∵BC＝2AH＝10x，
∴CH＝BH﹣BC＝2x，
∵AC2＝CH2+AH2，
∴（2）2＝（2x）2+（5x）2，
解得x＝2（负根已经舍去），
∴BC＝10x＝20；
（2）如图2中，△ABC，△ABC′即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
5．在平面直角坐标系xOy（如图），已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），过点B（4，0）作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点C．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）联结OC，点D是OC的中点，联结BD，求BD的长．
【分析】（1）由正比例函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）把x＝4代入反比例函数的解析式求得C（4，2），进而求得D（2，1），然后利用勾股定理即可求得BD．
【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），
∴m＝2×2＝4，
∴k＝2m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵过点B（4，0）作x轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点C，
∴把x＝4代入y，得y＝2，
∴C（4，2），
∵点D是OC的中点，
∴D（2，1），
∴BD．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离，求得点的坐标是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过△OAB顶点B和边OA上的一点C，OC＝2AC，OC．设边OA与x轴正半轴的夹角为α，且sinα．
（1）求双曲线的表达式；
（2）如果AB∥x轴，求点B的坐标．
【分析】（1）依据题意，设双曲线的表达式为y，过C作CH⊥x轴于H，可得sinα，结合OC，则CH＝1，故OH2，从而C（2，1），进而计算可以得解；
（2）依据题意，过A作AM⊥x轴于M，则CH∥AM，可得，结合OH＝2，故OM＝3，从而AMCH，可得B的纵坐标为，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）设双曲线的表达式为y，
过C作CH⊥x轴于H，
∴sinα．
∵OC，
∴CH＝1．
∴OH2．
∴C（2，1），
∴k＝2×1＝2．
∴双曲线的表达式为y；
（2）过A作AM⊥x轴于M，
∴CH∥AM，
∴．
∵OH＝2，
∴OM＝3．
∴AMCH．
∴B的纵坐标为．
又∵B在反比例函数y，
∴B（，）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
7．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本w1（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式w1＝20x．加建后该商场预计每年的能源消耗费用w2（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为y（万元）．
（1）求y与x的关系式；
（2）已知该商场未来5年的相关计划费用p（万元）满足p＝y+x2﹣x，那么当192≤p≤208时，求隔热层厚度x（厘米）的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得：y＝w1+5w2，把w1＝20x，代入y＝w1+5w2即可得到y与x的关系式；
（2）把y＝﹣x2+5x+180代入p＝y+x2﹣x，可得p＝4x+180，根据192≤p≤208，可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可得：y＝w1+5w2，
∵w1＝20x，，
∴，
整理可得：y＝﹣x2+5x+180（0≤x≤8）；
（2）∵y＝﹣x2+5x+180（0≤x≤8），
∴p＝y+x2﹣x＝﹣x2+5x+180+x2﹣x＝4x+180，
∵192≤p≤208，
∴192≤4x+180≤208，
解得：3≤x≤7．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键．
8．在平面直角坐标系xOy中（如图），正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如果将正比例函数y＝2x的图象向下平移3个单位，得到的新函数的图象与反比例函数图象相交于点B，求∠ABO的余弦值．
【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）画出图象，分别求出线段AB、OA、OB的长，根据三线合一得到BC长，利用余弦定义代入计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，n）在函数y＝2x的图象上，
∴n＝2×1＝2，
∴点A（1，2），
把点A坐标代入反比例函数y，可得k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）如图，
∵将正比例函数y＝2x的图象向下平移3个单位，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣3，
联立方程组，解得，，
∴B（2，1），
∴OA，OB，AB，
∴OA＝OB，
作OC⊥AB，垂足为C，
∴BCAB，
∴cos∠ABO．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
9．探究：在铁片上裁剪正方形．
（1）如图△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片．
Ⅰ．请根据以下步骤画图：
①在边AB上取点G'（如图），过G′作G′D′⊥BC，垂足为D′；
②以G′D′为边在△ABC内部作正方形G'D'E'F'；
③联结BF′并延长交AC于点F；
④过F作FE∥F′E交BC于点E、FG∥F'G交AB于点G；过G作GD∥G'D'交BC于点D．
Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形DEFG是正方形．
（2）如果△ABC是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为　　 ．
【分析】（1）根据题意画出图形，根据作图得出四边形GDEF为矩形，进而根据相似三角形的性质与判定证明FE＝FG，即可得出四边形DEFG是正方形；
（2）勾股定理求得△ABC的面积，分两种情况讨论，分别求得正方形的面积，比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
证明：∵四边形G'D'E'F'是正方形，FE∥F′E'，FG∥F'G'，GD∥G'D'，
∴∠GDE＝∠FGD＝∠FED＝∠F'E'D'＝90°，
∴四边形GDEF为矩形，
∴F'E'＝F'G'，
∵FE∥F'E'，
∴△BE'F'∽△BEF，
∴，
同理，
∴，
又∵F'E'＝F'G'，
∴FE＝FG，
∴矩形GDEF为正方形．
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴；
①当正方形的边在△ABC的直角边上时，
如图，连接CE，
设正方形DEFC的边长为x，则DE＝EF＝x，
，
∴，
∴正方形的面积为
②当正方形的边在△ABC的斜边上时，如图，
设正方形的边长为x，
∵NQ∥AB，
∴△NCQ∽△ABC，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵∠ACB＝∠QPB＝90°，∠B＝∠B，
∴△PBQ∽△CBA，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
∴正方形的面积为，
∴这个正方形铁片的最大面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了作图、正方形的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．如图，D、E是△ABC边AC、AB上点，BD、CE交于点G．已知．
（1）求的值；
（2）如果AB＝AC，∠BCE＝∠A，求tan∠ABC的值．
【分析】（1）连结DE，如图，先根据相似三角形的判定方法得到△DEG∽△BCG，则∠DEG＝∠BCG，，所以DE∥BC，然后证明△ADE∽△ACB，于是利用相似三角形的性质得到；
（2）过A点作AH⊥BC于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到BH＝CH，根据平行线分线段成比例定理得到，设AE＝AD＝x，则AB＝AC＝2x，AE＝BE＝x，再证明△CBE∽△ABC得到，所以BCx，则BHx，接着在Rt△ABH中利用勾股定理计算出AHx，然后根据正切的定义可求出tan∠ABC的值．
【解答】解：（1）连结DE，如图，
∵，∠DGE＝∠BGC，
∴△DEG∽△BCG，
∴∠DEG＝∠BCG，，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴；
（2）过A点作AH⊥BC于H点，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
∵DE∥BC，
∴，
设AE＝AD＝x，则AB＝AC＝2x，
∴AE＝BE＝x，
∵∠BCE＝∠BAC，∠CBE＝∠ABC，
∴△CBE∽△ABC，
∴，
即，
解得BCx，
∴BHx，
在Rt△ABH中，∵BHx，AB＝2x，
∴AHx，
∴tan∠ABH．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了解直角三角形．
11．如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接CD．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如果BC＝DC，求k的值．
【分析】（1）利用待定系数法求出A、B坐标即可；
（2）作CE⊥BD，垂足为E，利用相似得到点C的参数坐标，继而得到带点D的参数坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出参数m，继而可得k值．
【解答】解：（1）在一次函数y＝2x+4中，当x＝0，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A （﹣2，0）；
（2）如图，作CE⊥BD，垂足为E，
∵∠BAO＝∠CBE，∠AOB＝∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴，
设点C（m，2m+4），则D（2m，4），
∴m（2m+4）＝2m×4，
∴2m2+4m＝8m，
∴2m2﹣4m＝0，即m2﹣2m＝0，
∴m＝0（舍去）或m＝2，
∴D（4，4），
∴k＝4×4＝16．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
12．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，且AC＝8，点D为的中点，联结OD，交AC于点E，DE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）联结BE，求cos∠BEO的值．
【分析】（1）根据垂径定理得到OD⊥AC，，设OA＝OD＝r，则OE＝OD﹣DE＝r﹣2，利用勾股定理求出r＝5，即可得到答案；
（2）证明OE∥BC，得到∠BEO＝∠CBE，求出BC＝6，，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵点D为的中点，
∴OD⊥AC，，
设OA＝OD＝r，则OE＝OD﹣DE＝r﹣2，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）如图，由（1）得OA＝OB＝5，∠AEO＝90°，，
∴AB＝10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠AEO＝∠C，
∴OE∥BC，
∴∠BEO＝∠CBE，
在Rt△ACB中，，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练相关知识是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与直线y＝x+k交于点A（1，n）、点B，点C和点A关于原点对称．
（1）求k与n的值；
（2）求tan∠BAC的值．
【分析】（1）待定系数法求出k与n的值即可；
（2）作OD⊥AB，垂足为D，利用一次函数解析式得到E（﹣1，0），F（0，1），根据正切定义求出OD和AD长，继而得到结果．
【解答】解：（1）∵反比例函数与直线y＝x+k交于点A（1，n），
∴1，
∴n＝2，
∴A（1，2）
∴2＝1+k，
∴k＝1；
（2）由（1）可知，一次函数y＝x+1，如图作OD⊥AB，垂足为D，
由一次函数解析式可知，E（﹣1，0），F（0，1），
∴EF，AE2，
∴OD，AD＝AE﹣DE＝AE﹣OD＝2，
∴tan∠BAC．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
14．如图，弓形弦长AB＝48米，高CD＝18米，有一内接矩形EFGH，边FG在AB上，顶点E、H在弓形弧上，边EH的长比EF的2倍多4米．
（1）求该弓形所在圆的半径；
（2）求EF的长．
【分析】（1）如图，设圆心为O，连接OA．设⊙O的半径为R米，则OA＝R米，OD＝OC﹣DC＝（R﹣18）米，利用勾股定理构建方程求解；
（2）连接OE，设OC交EH于点M，设EF＝x米，则EH＝（2x+4）米，利用勾股定理构建方程求解．
【解答】解：（1）如图，设圆心为O，连接OA．
设⊙O的半径为R米，则OA＝R米，OD＝OC﹣DC＝（R﹣18）米，
∵∵OC⊥AB，
∴AD＝DBAB＝4824（米），
在Rt△AOD中，242+（r﹣18）2＝r2，
解得r＝25．
答：该弓形所在圆的半径为25米；
（2）连接OE，设OC交EH于点M，设EF＝x米，则EH＝（2x+4）米，
∵OC⊥EH，
∴EM＝MHEH＝（x+2）米，
在Rt△EOM中，252＝（x+2）2+（7+x）2，
整理得x2+9x﹣286＝0，
解得x＝13或﹣22（舍去）．
∴EF＝13米．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和矩形的性质．
15．如图，在△ABC中，，tanB＝2．
（1）试用无刻度直尺和圆规，在直线BC上作出点D，使△DAC∽△ABC，点D、A、C的对应点分别是点A、B、C．（不必写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，求线段BD的长．
【分析】（1）以点A为顶点，AC为一边，作∠DAC＝∠ABC，与CB延长线交于点D；
（2）过点A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形三线合一得到BH＝HC，在Rt△ABH中，由，结合勾股定理列方程即可求得BH的长，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到DC的长，最后根据线段和差关系即可得解．
【解答】解：（1）如图所示，作∠DAC＝∠ABC，与CB延长线交于点D，即为所求；
（2）如图所示，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
设BH＝HC＝x，
∵，
∴AH＝2BH＝2x，
∵AH2+BH2＝AB2，
即，
解得x＝2或x＝﹣2（负值，舍去），
即BH＝HC＝2，
∴BC＝BH+HC＝4，
∵△DAC∽△ABC，
∴，
即，
解得DC＝5，
∴BD＝DC﹣BC＝5﹣4＝1．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，解直角三角形，正确地作出图形是解题的关键．
【模块二】第22题专练（方案设计、统计、函数建模、几何新定义）
16．【问题提出】把一个长、宽分别为a、b（b＜a＜4b）的长方形（如图1），剪拼成一个正方形．（拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计）
【方案设计】某学习小组提出以下设计思考：
（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为　　 ．（用含a、b的代数式表示）
（2）如图2，延长BC至点E，使CE＝b，以BE为直径作半圆O．延长CD交⊙O于点F，联结BF、EF，可得∠BFE＝90°（后续说理如需用到这一结论，可直接使用）．他们认为：“CF就是所求正方形的边长”．
（3）如图3，以CF为边，在CF左侧作正方形CFGH，BF分别与GH、AD交于点M、N，沿虚线BN、HM裁剪，△BHM、△ABN可以通过适当的图形运动分别与△NDF、△GMF叠合，拼成正方形CFGH．
【论证说明】
（1）如图2，该学习小组认为：“CF是所求正方形的边长”，试说明理由；
（2）△BHM可以通过怎样的图形运动与△NDF叠合，并说明它们能够叠合的理由．
【分析】【方案设计】（1）根据剪拼前后图形面积不变，可知矩形和正方形的面积都是ab，即可求解边长；
【论证说明】（1）过点O作OT⊥BF，先证明∠EFB＝90°，然后得到∠1＝∠2，则tan∠1＝tan∠2，据此求解即可；
（2）先证明△BHM﹣△NDF，再证明△BHM∽△BCF，求证HM＝DF，即可得到△BHM≌△NDF
【解答】解：【方案设计】（1）由题意得，矩形的面积为ab，
∵根据剪拼前后图形面积不变，
∴可知剪拼后正方形的边长为；
【论证说明】（1）如图2，过点O作OT⊥BF，则∠OTB＝90°，
∵OT经过圆心，
∴TB＝TF，
∵BO＝OE，
∴OT∥EF，
∴∠EFB＝∠OTD＝90°，
在矩形ABCD中，∠DCB＝90°，
∴∠1＝∠2＝90°﹣∠BFC，
∴tan∠1＝tan∠2，
∴，
∴，
解得（舍负），
∴CF是所求正方形的边长；
（2）△BHM可以通过平移运动与△NDF叠合，理由如下：
∵矩形ABCD，正方形CFGH，
∴AD∥BC，∠C＝∠GHC＝90°，，GH∥CD，
∴∠FND＝∠MBH，∠FDN＝∠C＝90°，
∴∠FDN＝∠MHB＝90°，
∴△BHM∽△NDF，
∴，
∵GH∥CD，
∴△BHM∽△BCF，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴DF＝HM，
∴，
∴BH＝ND，BM＝NF，
∴△BHM≌△NDF（SSS），
∴△BHM可以通过平移运动与△NDF叠合．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．
张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从四月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？
（3）如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？
【分析】（1）先算出4月总就餐60顿，每顿九折后0.9x元，总消费54x元，用卡面金额减消费额得y，再由余额非负求x范围；
（2）已知月底余额108元，将y＝108代入函数解析式，解方程求出每餐标价x的值；
（3）先由九折消费1080元算出原价总额，再用原价总额减实际支付的1000元，得到总优惠金额．
【解答】解：（1）4月共30天，每天2餐，总就餐次数为：30×2＝60顿，每顿九折后扣款：0.9x元，
总扣款：60×0.9x＝54x元，
卡内余额：y＝1080﹣54x，
由y≥0，得1080﹣54x≥0，
x≤20又x＞0，
故定义域为0＜x≤20，
综上，函数解析式为y＝1080﹣54x（0＜x≤20）；
（2）依题意，y＝108，
代入解析式：1080﹣54x＝108，
解得x＝18，
答：他该月每餐标价是18元；
（3）卡内1080元全部用完，即九折后消费1080元，原价总额为：1080÷0.9＝1200元，
张爷爷实际支付1000元，
总优惠：1200﹣1000＝200元，
答：他实际共获得200元优惠．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．
18．某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B狮蹈、C器乐、D戏剧、B其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图．
（1）扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为　90　 °；
（2）本次大赛总共报名　160　 人，请补全条形统计图；
（3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：
甲 8 6 7 6 7 9 6
乙 8 4 8 9 8 9 3
平均数 中位数 方差
甲 a 7
乙 7 b C
①表中的数据：a＝　7　 ，b＝　8　 ，c＝　　 ；
②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．
　甲同学成绩稳定，发挥平稳，乙同学成绩波动大，但高分段表现更突出，整体水平与甲相当　 ．
【分析】（1）用360°×25%计算即可；
（2）用C组人数除以C所占百分比即可求出大赛总人数，再用总人数乘以25%得出B组人数；再用总人数减去A，B，C，D人数得出E人数，画出条形图；
（3）①分别用平均数公式，中位数定义以及方差公式计算出a，b，c的值；
②根据甲、乙平均数、中位数、方差得出结论．
【解答】解：（1）扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为：360°×25%＝90°，
故答案为：90；
（2）本次大赛总共报名：24÷15%＝160（人），
∴B．舞蹈人数：160×25%＝40（人），
E．其他人数：160﹣54﹣40﹣24﹣16＝26（人），
补全条形统计图；
故答案为：160；
（3）①甲得分的平均数：a7（分）；
乙得分的中位数为：b＝8；
乙得分的方差：c[（8﹣7）2+（4﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（3﹣7）2]（1+9+1+4+1+4+16）．
故答案为：7，8，；
②甲、乙平均数相同，说明整体水平相当；乙的中位数大，说明乙的高分段突出；甲的方差小，说明甲的成绩更稳定，
故答案为：甲同学成绩稳定，发挥平稳，乙同学成绩波动大，但高分段表现更突出，整体水平与甲相当．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、方差、中位数、平均数等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
19．
背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位．
素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD．
素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时．
问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围．
任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由．
【分析】（1）依据题意，由待定系数法计算可以得解；
（2）依据题意得，慢充时间＝40÷60（小时），可得快充时间＝1.5（小时），从而电量＝20%10%80%1，故可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设快充为y＝kx+b（0≤x≤1），
∵图象过（0，20%），（1，100%），
∴，
∴k＝80%，b＝20%．
∴快充的函数解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）；
设慢充为y＝mx+n（0≤x≤8），
∵图象过（0，20%），（8，100%），
∴，
∴m＝10%，b＝20%．
∴慢充的函数解析式为y＝10%x+20%（0≤x≤8）；
（2）车辆的电量不能充至100%．理由如下：
由题意得，慢充时间＝40÷60（小时），
∴快充时间＝1.5（小时）；
∴电量＝20%10%80%1．
∴当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键．
20．某学校组织数学竞赛，对A、B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息．
（i）A班测试成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
（ii）B班测试成绩如下：
69，69，70，70，71，73，77，78，80，81，
82，82，82，82，83，83，83，86，91，96．
（iii）A班、B班测试成绩的平均数、众数、中位数如下：
平均数 众数 中位数
A班 79.6 77 p
B班 79.4 m q
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为　82　 ，p　＜　 q（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是B ；
（A）两个班测试成绩的方差都增大；
（B）两个班测试成绩的方差都减小；
（C）A班测试成绩的方差增大，B班测试成绩的方差减小；
（D）A班测试成绩的方差减小，B班测试成绩的方差增大．
（3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下：
测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差
甲 93 90 92 93 92 1.2
乙 91 92 92 92 92 0.16
丙 94 90 90 94 k S丙2
如果丙的排序居中，那么表中k（k为整数）的值为　92　 ，S丙2＝　3.2　 ．
【分析】（1）根据众数以及中位数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义意义求解即可；
（3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，乙队成绩中 82出现的次数最多，故众数m＝82，
甲队成绩的中位数位于“70≤x＜80”，乙队成绩的中位数为81.5，
∴p＜q；
故答案为：82，＜；
（2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则两队成绩的方差都减小；
故答案为：B；
（3）甲选手的平均数为：（93+90+92+93+92）＝92，
乙选手的平均数为（91+92+92+92+92）＝91.8，
丙选手的平均数为（94+90+90+94+k）÷5＝（368+k）÷5，
若91.8＜
丙＜92，无整数k；
则丙的平均数＝甲的平均数＝92，
（368+k）÷5＝92，
解得k＝92，
丙成绩：94、90、90、94、92，平均数为92，
S2丙＝[（94﹣92）2+（90﹣92）2+（90﹣92）2+（94﹣92）2+（92﹣92）2]÷5
＝（4+4+4+4+0）÷5
＝16÷5
＝3.2，
综上：k＝92，S丙2＝3.2，
故答案为：92；3.2．
【点评】本题考查频数分布直方图，加权平均数、众数、中位数、方差，理解加权平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
21．如图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数y（1≤k＜10，k为常数）．
（1）求k的值；
（2）如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．
（参考数据：2.236，3.163）
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）将y＝40代入函数，求出x，换算为小时即可．
【解答】解：（1）由题意可知，当x＝200时，y＝100，
将点（200，100）代入函数y中，得：
100，
解得k＝4，
答：k的值为4；
（2）由（1）得函数解析式为y，
当y＝40时，
40，
解得：x＝100，
因为3.163，所以：
x≈100×3.163＝316.3（分钟），
将分钟换算成小时：316.3÷60≈5.27（小时），
因为结果精确到1小时，所以x≈5，
答：这种抗过敏药物隔5小时需服用一次．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意．
22．小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点P1，P2，P3都落在了线段AB上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度y（厘米）关于纸杯数量x（个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
【分析】（1）根据6个纸杯叠放增加的高度是6cm，所以每增加1个纸杯，高度增加6÷（6﹣1）＝1.2cm即可求得．
【解答】解：（1）我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是6cm，所以每增加1个纸杯，高度增加6÷（6﹣1）＝1.2cm，
由图①知，当x＝0时，y＝8.8，
∴函数解析式为y＝1.2x+8.8；
（2）在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，
由题意得46.8﹣2＝1.2x+8.8，
解得x＝30，
答：纸杯的数量为30个．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
23．（1）某社区有一个宽度（CD）为3米的矩形健身区ABCD，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示）．求每一个矩形器材区的边长；
（2）为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案：
（i）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道；
（ii）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等；
（iii）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为45°，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形PQMN中，∠PQM＝45°，PN＝AE．
①求平行四边形器材区的另一边PQ的长；
②求新建矩形健身区另一边的长度．（结果保留整数参考数据；）
【分析】（1）由题可建立二元一次方程组求解；
（2）①易得平行四边形的高线，根据等面积即可得解；
②易求每排可放10个矩形器材，6个平行四边形器材，再根据总共有42个器材建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设矩形的长为a米，宽为b米，
根据题意得，
解得，
答：矩形的长为2米，宽为1米；
（2）①如图，
在平行四边形MNPQ中，MQ∥PN，
∴∠NPL＝∠PQM＝45°，
∵PN＝AE＝2，
∴NL＝PLPN，
∵每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等，
∴PQ NL＝2×1，即PQ＝2，
解得PQ米，
故平行四边形器材区的另一边PQ的长为米；
②∵6.07，10，
∴每排可放10个矩形器材，6个平行四边形器材；
设放置了a排矩形器材，则有（a﹣1）排平行四边形器材，
∴10a+6（a﹣1）≥42，
解得a≥3，
∴a＝3，a﹣1＝2，
即放置了3排矩形器材，2排平行四边形器材，
∴共有4个过道，
则2×32+1.5×4＝6+2.8+6≈15米，
故新建矩形健身区另一边的长度为15米．
【点评】本题主要考查了矩形、平行四边形的性质、二元一次方程组、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．
请运用上述信息，解决下列问题：
（1）填空：等腰△ABC的顶角∠A＝36°，且AB＝4，那么底边BC＝　22　 ．
（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝18°，且AB＝4，求AC的长．
（3）如图2，已知点P是线段MN的黄金分割点（PM＜PN），在MN的延长线上截取ND＝PN，将线段NM绕点N顺时针旋转108°，得到线段NH，联结HD．请判断△NDH是否是黄金三角形？并说明理由．
【分析】（1）直接利用黄金三角形的性质求解即可；
（2）延长AC到点D使CD＝AC，则△ABD是黄金三角形，据此得解；
（3）易得，由（2）可知cos72°，过H作HG⊥ND于点G，证NG＝DG即可得解．
【解答】解：（1）由题意可知，
∴BCAB＝22，
故答案为：22；
（2）如图，延长AC到点D使CD＝AC，
∵∠C＝90°，即BC⊥AD，CD＝AC，
则BC垂直平分AD，
∴AB＝DB，
∴∠ABD＝2∠ABC＝36°，
∴△ABD是顶角为36°的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的性质可知，
∴ADAB＝22，
∴ACAD1；
（3）△NDH是黄金三角形，
理由：∵点P是线段MN的黄金分割点（PM＜PN），
∴，
∵MN＝NH，ND＝PN，
∴，
设NH＝4k，则ND＝（22）k，
∵∠HNM＝108°，
∴∠HND＝72°，
由（2）知cos72°，
过H作HG⊥ND于点G，
∴cos∠HND＝cos72°，
∴NG＝（）kND，
∴HG垂直平分ND，
∴HN＝HD，
∴∠HND＝∠HDN＝72°，
∴∠NHD＝36°，
∴△NDH是黄金三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．根据以下素材，完成任务．
素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE．
素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示．
素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米．
素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．
问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离；
任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？
【分析】任务一：依据题意得，∠AOB＝90°，∠CBE＝∠OBE＝37°，结合BE⊥AB，可得∠BOP＝∠OAB＝37°，由BP＝1.8米，故OP2.4（米），从而AP3.2（米），即可得解；
任务二：依据题意得，旋转后镜子MN∥AB，由任务一，AP＝3.2米，从而BP＝AP＝3.2米，故平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米），进而得解．
【解答】解：任务一：由题意得，∠AOB＝90°，
∠CBE＝∠OBE＝37°，
∵BE⊥AB，
∴∠BOP＝∠OAB＝37°，
∵BP＝1.8米，
∴OP2.4（米），
∴AP3.2（米）．
答：邻居A到墙角P的距离为3.2米；
任务二：向左平移1.4米，理由如下：
由题意得，旋转后镜子MN∥AB，
由任务一，AP＝3.2米，
∴BP＝AP＝3.2米，
∴平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米）．
答：水盆B应向左平移，平移1.4米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、平移的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
26．折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术．学校折纸社团的同学们用12cm×12cm正方形纸片开展折纸活动．
【发现问题】如图1，将正方形纸片ABCD对折再展开，折痕交AD于点E、交BC于点F，点E、F分别是边AD、BC的二等分点．在第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的　四　 等分点．按照这样的方式对折n次（n是正整数）可以得到边的　2n 等分点（用含n的代数式表示），但这样折的方式都不会得到边的三等分点．
【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？
【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论．
小明：共得到边的三等分点，得想想别的折法． 小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出1：2的比例？ 小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图1）的基础上，将点B沿着直线翻折到点E处（如图3），折痕分别交正方形的边于点G、H．边BC交正方形的边于点M，M就是边CD的一个三等分点．
【解决问题】
（1）完成填空；
（2）求AG的长；
（3）判断小海的折法是否正确并说明理由．
【分析】（1）根据题意可得答案；
（2）设AG＝x，则由折叠的性质可得GE＝（12﹣x）cm，求出AE的长，利用勾股定理可得方程x2+62＝（12﹣x）2，解方程即可得到答案；
（3）证明∠AEG＝∠DME，得到tan∠AEG＝tan∠DME．则，可求出DM＝8cm，据此可得结论．
【解答】解：（1）由题意得，第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的四等分点．
按照这样的方式对折n次（n是正整数）可以得到边的2n等分点；
故答案为：四，2n；
（2）设AG＝x．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
∵E是AD的中点，AD＝12，
∴AE＝6，GE＝12﹣x．
∵Rt△AGE中，AG2+AE2＝GE2，
∴x2+62＝（12﹣x）2．
解得AG＝4.5．
（3）小海的折法正确，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠GBC＝90°，
∴∠AEM＝∠DME+∠D，即∠AEG+∠CEG＝∠DME+∠D，
又∵∠CEG＝∠D＝90°，
∴∠AEG＝∠DME．
∴tan∠AEG＝tan∠DME．
∴，
∴，
解得DM＝8．
由8：12＝2：3可知，M是边的一个三等分点．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27．上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的90%核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3.小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费y（元）与用水量x（m3）关系如图所示．
分类 第1档 第2档 第3档
用水量x（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分
供水费单价（元/m3） 2.25 n 6.99
污水处理费（元/m3） 2.00
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费1m3的单价为　4.05　 元；图中点A的纵坐标为　891　 ；
（2）小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出n的值为　4　 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
【分析】（1）依据题意，由第1档水费单价＝供水费单价+污水处理费单价×0.9，从而2.25+2.00×0.9＝4.05（元/m3），总水费为：220×4.05＝891（元），进而可以得解；
（2）依据题意得，220×2.25+30n+250×0.9×2＝1065，进而计算可以得解；
（3）依据题意，设小明家去年的年用水量为xm3，则220×2.25+80×4+（x﹣300）×6.99+2x 0.9＝2234，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵第1档水费单价＝供水费单价+污水处理费单价×0.9，
∴2.25+2.00×0.9＝4.05（元/m3），
又∵点A对应用水量x＝220m3，
∴总水费为：220×4.05＝891（元），
故答案为：4.05；891；
（2）由题意得，220×2.25+30n+250×0.9×2＝1065，
∴n＝4．
故答案为：4；
（3）由题意，设小明家去年的年用水量为xm3，
∴220×2.25+80×4+（x﹣300）×6.99+2 0.9x＝2234．
∴x＝400．
答：小明家去年的年用水量为400m3．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
28．被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为600cm2的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长100cm，宽60cm的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同）
为了优化设计，草莓采摘园的老板借助AI提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．AI对方案2的优点给出了如下评价：
1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品．
接下来请你帮助老板解决以下问题：
（1）设方案1中剪去的正方形的边长为xcm，求包装盒的表面积；
（2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？
【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为LP＝30，则包装盒的表面积＝长方形硬纸板的面积﹣正方形面积﹣长方形面积；
（2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为30cm，20cm，则包装盒的表面积＝长方形硬纸板的面积﹣正方形面积﹣长方形面积，即可验证方案．
【解答】解：（1）由题意可得，
DE＝HG＝x，EG＝100，EM＝60，
∴，
则剪去的长方形的长为：LP＝30﹣x+x＝30，
则包装盒的表面积＝长方形硬纸板的面积﹣正方形面积﹣长方形面积＝100×60﹣2x2﹣2×x×30＝﹣2x2﹣60x+6000（cm2）；
（2）∵DH＝CF＝（100﹣2x）cm，底面积等于600cm2，
∴（100﹣2x）（30﹣x）＝600，
解得：x＝20或x＝60（舍去），
当x＝20时，方案1包装盒的表面积为：﹣2×202﹣60×20+6000＝4000cm2，
∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形，
∴得图，
当FL＝20cm，CF＝30cm时，满足条件，
∴AC＝20cm，FB＝50cm，
则包装盒的表面积＝长方形硬纸板的面积﹣正方形面积﹣长方形面积＝100×60﹣2×202﹣2×20×50＝3200cm2，
方案2包装盒的表面积为：3200cm2＜4000cm2，
则AI对方案2“表面积最小”的评价准确．
【点评】本题考查了图形的展开与折叠，掌握表面积是解题的关键．
29．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω．
可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A．
（1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值；
（2）求I关于总电阻R的函数解析式；
（3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围．
【分析】（1）依据题意，设R1＝kV+b（k≠0），结合图象（0，240），（60，0），从而，可得R1＝﹣4V+240，进而当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω），故R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω），即可得解；
（2）依据题意，由电流I与总电阻R成反比例，则I，又当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，故结合（1）R＝120Ω，进而可得k＝120×0.1＝12，从而可以得解；
（3）依据题意，由5≤V≤55，则20≤﹣4V+240＝R1≤220，从而40≤R0+R1＝R≤240，进而0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3，故可得解．
【解答】解：（1）由题意，设R1＝kV+b（k≠0），
结合图象（0，240），（60，0），
∴．
∴k＝﹣4，b＝240．
∴R1＝﹣4V+240．
∴当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω）．
∴R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω）．
答：当油箱内油量体积为35L时，总电阻R的值为120Ω；
（2）由题意，∵电流I与总电阻R成反比例，
∴I，
又∵当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，
∴结合（1）R＝120Ω，
∴k＝120×0.1＝12．
∴I关于总电阻R的函数解析式为I；
（3）由题意，∵5≤V≤55，
∴20≤﹣4V+240＝R1≤220．
∴40≤R0+R1＝R≤240．
∴0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
30．小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜．
【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图1是店家提供的验光单的一部分，其中“﹣2.75D”中的“﹣”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“2.75D”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为y＝100Φ．
（1）根据图1验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数．
【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为﹣5.00D的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）．
材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图2，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑．
材料二：摘自物理八上教材P98页 如图4﹣4﹣7所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点，凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示．
（2）根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度Φ关于镜片焦距f的函数解析式．
（3）根据材料三抽象出数学模型（如图3），镜片直径AB与光斑直径CD平行，GE⊥CD，测得AB＝0.06米，CD＝0.15米，镜片光心O到光屏的距离OE为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由．
【分析】（1）根据所给公式y＝100Φ计算即可；
（2）设出反比例函数解析式，根据400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米可得反比例函数解析式，进而结合y＝100Φ可得透镜焦度Φ关于镜片焦距f的函数解析式；
（3）延长CA，DB交GE于点F，易得△FAB∽△FCD，根据相似三角形的性质求得OF的长度，代入（2）中得到的函数解析式，求得Φ的值，看与5是否相等即可．
【解答】解：（1）右眼度数为：100×2.75＝275°；左眼视力为：100×3.00＝300°；
（2）设y，
∵400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k＝400×0.25＝100，
∴y，
∵y＝100Φ，
∴100Φ，
∴Φ；
（3）这副近视眼镜的度数与这张验光单匹配．
理由：延长CA，DB交GE于点F，则点F为虚焦点，
∵AB∥CD，
∴△FAB∽△FCD，
∴，
∴，
解得：OF＝0.2，
∴Φ5，
∴这副近视眼镜的度数与这张验光单匹配．
【点评】本题考查反比例函数的应用．理解题意，得到近视眼镜镜片的透镜焦度Φ关于镜片焦距f的函数解析式是解决本题的关键．
【模块三】第23题专练（圆与几何综合、相似与全等、菱形矩形证明）
31．已知AB是半圆O的直径，弦AC、BD交于点E，OC与BD交于点F，满足．
（1）求证：OC⊥BD；
（2）如图2，M是OB的中点，CM与BD交于点G，求证：四边形CEOG是菱形．
【分析】（1）先证明△CED∽△AEB，得到CD＝BO，继而可证明△CFD≌△OFB（AAS），再由垂径定理的推论即可证明；
（2）先证明△EAO∽△CAM，则∠AEO＝∠ACM，故OE∥CM，那么得到，由（1）知，△CFD≌△OFB，则CF＝OF，那么FG＝EF，即可得到四边形CEOG是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明菱形．
【解答】（1）证明：∵，∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴，∠D＝∠B，
∴，
∴，
∴CD＝BO，
∵∠D＝∠B，∠CFD＝∠OFB，
∴△CFD≌△OFB（AAS），
∴DF＝BF，
∴OC⊥BD；
（2）证明：∵M是OB的中点，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵∠EAO＝∠CAM，
∴△EAO∽△CAM，
∴∠AEO＝∠ACM，
∴OE∥CM，
∴，
由（1）知，△CFD≌△OFB，
∴CF＝OF，
∴FG＝EF，
∴四边形CEOG是平行四边形，
∵OC⊥EG，
∴四边形CEOG是菱形．
【点评】本题考查了相交弦定理、菱形的判定，熟练掌握以上知识点是关键．
32．如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是正方形外一点，联结AE、EF、AF，对角线AC与线段EF相交于点M，如果AB AF＝AE AC，且∠EAC＝∠DAF．
（1）求证：∠ACF＝90°，AFEF；
（2）当点E是边BC的中点时，请直接写出△AMF与△EMC面积的比值：　10　 ．
【分析】（1）先证明△ABE﹣△ACF，得∠ACF＝90°，再证明△ABC∽△AEF，得△AEF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边是直角边的倍，即可证明；
（2）先证明△AEM∽△FCM，再证明△AMF∽△EMC，设BE＝EC＝x，得，AFx，最后利用求解即可．
【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°，
∵∠EAC＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠CAD﹣∠DAF，即∠BAE＝∠CAF，
∵AB AF＝AE AC，
∴，
∴△ABE∽△ACF，
∴∠ACF＝∠B＝90°，
∵∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF＝45°，
∵，
∴，
∴△ABC∽△AEF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵∠AEF＝∠ACF＝90°，∠AME＝∠FMC，
∴△AEM∽△FCM，
∴，
∴，
∵∠AMF＝∠EMC，
∴△AMF∽△EMC，
∵点E是边BC的中点，
∴设BE＝EC＝x，则BC＝AB＝2x，
∴，，
∴．
故答案为：10．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
33．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC与BD交于点E，将△ABD沿着直线AB翻折得到△ABF（点D对应点F）．
（1）求证：四边形AFBC是平行四边形；
（2）如果四边形AFBC是矩形，且，求证：AB＝2CD．
【分析】（1）依据题意，由梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，从而AC＝BD，再结合折叠，可得△ABD≌△ABF，故AD＝AF＝BC，BD＝BF＝AC，进而可以得解；
（2）依据题意，由四边形AFBC是矩形，可得∠F＝∠ACB＝90°，AC∥BF，从而∠3＝∠4，又设∠3＝∠4＝α，结合△DEC∽△BEA，∠2＝∠3＝α，可得，进而可得AD＝CD，故∠1＝∠2＝α，然后再根据翻折，可得∠5＝∠BAD＝∠1+∠3＝2α，故∠4+∠5＝3α＝90°，则α＝30°，进而∠3＝30°，进而可以证明得解．
【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
∴AC＝BD．
由折叠，
∴△ABD≌△ABF，
∴AD＝AF＝BC，BD＝BF＝AC，
∴四边形AFBC是平行四边形；
（2）如图，
∵四边形AFBC是矩形，
∴∠F＝∠ACB＝90°，AC∥BF，
∴∠3＝∠4，
设∠3＝∠4＝α，
∵AB∥CD，
∴△DEC∽△BEA，∠2＝∠3＝α，
∴，
∵．
∴．
∴AD＝CD，
∴∠1＝∠2＝α，
∵翻折，
∴∠5＝∠BAD＝∠1+∠3＝2α，
∵∠F＝90°，
∴∠4+∠5＝3α＝90°，
∴α＝30°，
∴∠3＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC，
∵AD＝CD，AD＝BC，
∴AB＝2CD．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、梯形、翻折变换（折叠问题），解题时要熟练掌握并能灵活平行四边形的性质是关键．
34．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G，若BG BE＝AB BF，求证：AB2＝BE DG．
【分析】（1）连接AC交BD于点H，由平行四边形的性质得AH＝CH，由AE＝EC，根据等腰三角形的“三线合一”得HE⊥AC，即BD⊥AC，所以四边形ABCD是菱形．
（2）由菱形的性质得DA＝AB，由BF∥DA，证明△FBG∽△ADG，得，则，由BG BE＝AB BF，得，所以，则AB2＝BE DG．
【解答】证明：（1）连接AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH＝CH，
∵点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC，
∴HE⊥AC，即BD⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝AB，
∵点F是边BC上一点，且BC∥DA，
∴BF∥DA，
∴△FBG∽△ADG，
∴，
∴，
∵BG BE＝AB BF，
∴，
∴，
∴AB2＝BE DG．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
35．已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），点D是弧AC的中点，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，连接OD与AC交于点E．
（1）求证：BC＝2OF；
（2）连接FE并延长与弦BC的延长线交于点G，联结DG．求证：四边形DECG是矩形．
【分析】（1）通过推导△AEO≌△DFO，得出OE＝OF，根据三角形的中位线定理得出结论；
（2）根据有一个角是直角且一组对边平行且相等是矩形得到证明．
【解答】证明：（1）连接OC，
∴OA＝OC，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴∠AOD＝∠COD，
∴OE⊥AC，E是AC的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∵∠DOF＝∠AOE，OA＝OD，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵OE是△ABC的中位线，
∴BC＝2OE，
∴BC＝2OF；
（2）
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠GCE＝90°，
∵OE⊥AC，
∴∠DEA＝∠DEC＝90°，
∴∠DEA＝∠GCE，
∴DE∥GC，
∴∠BGF＝∠OEF，
∵OE＝OF，
∴∠OFE＝∠OEF，
∴∠OFE＝∠BGF，
∴BF＝BG，设OF＝OE＝x，圆的半径为r，
∴BC＝2x，BF＝BG＝x+r，
∴GC＝r﹣x，
∵DE＝r﹣x，
∴DE＝GC，
∵DE∥GC，
∠GCE＝90°，
∴四边形DECG是矩形．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论，三角形全等的判定和性质，矩形的判定，解决问题的关键是作辅助线．
36．学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔．
（1）雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量AC与BD的长，如果AC≠BD，那么桌面不是等腰梯形；如果AC＝BD，再继续测量AB、CD、AD与BC的长，如果AB＝CD，AD≠BC，或者AB≠CD，AD＝BC，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形．
其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）；
（2）请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤．
【分析】（1）设AC，BD交于点O，证明△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），得到∠ACB＝∠DBC，∠ADB＝∠DAC；进步可证明∠ACB＝∠DAC，得到AD∥BC，据此可证明四边形ABCD是等腰梯形；
（2）在BC上取BE＝AD，连接DE，测量AB，DE，DC的长，若AB＝DE＝DC，则可证明四边形ABED是平行四边形，得到AD＝BE＜BC，AD∥BC，则可证明四边形ABCD是等腰梯形．
【解答】解：（1）已知：AC＝ BD，AB＝CD，AD≠BC，
求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明如下：如图所示，设AC，BD交于点O，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC；
同理可证明△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠ADB＝∠DAC；
∴∠ACB+∠DBC+∠BOC＝180°＝∠ADB+∠DAC+∠AOD，∠AOD＝∠BOC．
∴∠ACB+∠DBC＝∠ADB+∠DAC．
∴2∠ACB＝2∠DAC．即∠ACB＝∠DAC．
∴AD∥BC．
∵AD≠BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）如图所示，测量出AD的长，在BC上取BE＝AD，连接DE，
测量AB，DE，DC的长，若AB＝DE＝DC，那么四边形ABCD是等腰梯形，若不满足AB＝DE＝DC，则四边形ABCD不是等腰梯形．
【点评】本题考查等腰梯形的定义和性质，全等三角形的判定和性质，综合运用以上知识是解题关键．
37．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．点D在边BC上，点E在CB的延长线上，联结AD、AE，过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F，且AE＝EF．
（1）求证：BD＝BE；
（2）求证：．
【分析】（1）根据Rt△ABC为等腰直角三角形，△EAF为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理以及角的和差关系得到∠EAB＝∠FEC，根据等角的余角相等得到∠AEB＝∠HDE，继而根据等腰三角形三线合一的性质得证结论．
（2）通过证明△AEB∽△EMB，△AMH∽△EMB，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证结论．
【解答】（1）证明；∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABE＝∠ABC＝90°，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EAF＝∠BAC+∠EAB＝∠BCA+∠FEC，
∴∠EAB＝∠FEC，
∵∠AHE＝∠DHE＝90°，
∴∠DHE＝∠FEC+∠HDE＝90°，
∵∠EAB+∠AEB＝∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠HDE，
∴AE＝AD，
∴△AED是等腰三角形，
∵∠ABE＝∠ABC＝90°，
∴BD＝BE；
（2）证明：由（1）知，∠EAB＝∠FEC，BD＝BE，△AED是等腰三角形，
∴∠EAB＝∠DAB＝∠FEC，
又∵∠AHE＝∠ABE＝90°，∠ABE＝∠EBM＝90°，∠EMB＝∠AMH，
∴△AEB∽△EMB，△AMH∽△EMB，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴代入上式得．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，正确进行计算是解题关键．
38．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC．
（1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）联结OF．如果OF2＝EF AF，求证：F是BC的中点．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠DAC，可推出∠BAF＝∠ACF，根据BE＝BF，可推出∠AEB＝∠CFA，结合AE＝CF证明△ABE≌△CAF即可得证；
（2）由OF2＝EF AF可得，又有∠AFO＝∠OFE，则△AFO∽△OFE，得∠AOF＝∠OEF，则∠COF＝∠AEO，结合∠BAF＝∠DAC可得∠COF＝∠BFE，又由（1）得∠BAF＝∠ACF，可证△ABF∽△CFO，得到AB∥OF，结合平行四边形的性质即可得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠DAC，
∴∠BAF＝∠ACF，
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠AEB+∠BEF＝180°，∠CFA+∠BFE＝180°，
∴∠AEB＝∠CFA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴AB＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB；
（2）∵OF2＝EF AF，
∴，
又∵∠AFO＝∠OFE，
∴△AFO∽△OFE，
∴∠AOF＝∠OEF，
∴∠COF＝∠AEO，
∵∠AEO＝∠BEF，
∴∠COF＝∠BEF，
又∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴∠COF＝∠BFE，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠DAC，
∴∠BAF＝∠ACF，
∴△ABF∽△CFO，
∴∠ABF＝∠CFO，
∴AB∥OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC中点，
∵AB∥OF，
∴F是BC的中点．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
39．如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°．
（1）求证：AF BE＝AE CF；
（2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF．
【分析】（1）连接AC，由正方形的性质推出∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°，得到∠BAE＝∠CAF，判定△ABE∽△ACF，即可证明AF BE＝AE CF；
（2）过点F作FM⊥AC于M，由正方形的性质推出∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD，判定△MCF是等腰直角三角形，得到 CFFM，因此FM＝DF，判定AF平分∠CAD，求出∠BAH＝∠DAF＝22.5°，判定△ABH≌△ADF，推出BH＝DF．
【解答】证明：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAF+∠CAE＝45°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠ABE＝∠ACF，
∴△ABE∽△ACF，
∴AE：AF＝BE：CF，
∴AF BE＝AE CF；
（2）过点F作FM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∴CFFM，
∵CFDF，
∴FM＝DF，
∵FD⊥AD，FE⊥AC，
∴AF平分∠CAD，
∴∠DAF∠CAD＝22.5°，
∴∠BAH＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠DAF＝22.5°，
∴∠BAH＝∠DAF，
∵AB＝AD，∠ABH＝∠ADF，
∴△ABH≌△ADF，
∴BH＝DF．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定△ABE∽△ACF，△ABH≌△ADF．
40．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，联结BD、CE，∠ADB＝90°，延长BD交CE于点F，交AC于点G．
（1）求证：四边形ADFE为正方形；
（2）如果∠FBC＝∠ACF，求证：2AD2＝FG FB．
【分析】（1）判定△ACE≌△ABD（SAS），推出∠AEC＝∠ADB＝90°，得到∠DAE＝∠AEF＝∠ADF＝90°，推出四边形ADFE是矩形，而AD＝AE，即可证明四边形ADFE为正方形；
（2）连接AF，由正方形的性质得到∠AFE＝45°，由△ABC是等腰直角三角形，得到∠ABC＝45°，求出∠FBC∠ABC＝22.5°，由∠CAF＝∠ACF，推出FC＝AF，由勾股定理得到AF2＝AD2+DF2＝2AD2，因此CF2＝2AD2，判定△CFG∽△BFC，推出CF2＝FG FB，即可证明2AD2＝FG FB．
【解答】证明：（1）△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，
∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠DAE＝∠AEF＝∠ADF＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∵AD＝AE，
∴四边形ADFE为正方形；
（2）连接AF，
∵四边形ADFE是正方形，
∴∠AFE＝45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠∠FBC＝∠ACF，
∴∠ABD＝∠FBC，
∴∠FBC∠ABC＝22.5°，
∴∠ACF＝22.5°，
∴∠CAF＝∠AFE﹣∠ACE＝22.5°，
∴∠CAF＝∠ACF，
∴FC＝AF，
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴AF2＝AD2+DF2＝2AD2，
∴CF2＝2AD2，
∵∠FCG＝∠FBC，∠CFG＝∠CFB＝90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴CF：BF＝FG：FC，
∴CF2＝FG FB，
∴2AD2＝FG FB．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，关键是判定△ACE≌△ABD，△CFG∽△BFC．
41．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点P、Q，且，过点P的直线AB分别交⊙O1、⊙O2于点A、B，且AP＝BP，点C是线段O1O2的中点．联结QO2并延长交BP于点M，且PM＝BM．
（1）求证：CP⊥AB；
（2）求证：四边形CPO2Q是菱形．
【分析】（1）过点O1⊥AP于点D，根据垂径定理得O1D⊥AB，PD＝AD，QM⊥AB，进而得O1D∥QM，则四边形O1DMO2是梯形，证明PM＝PD，根据点C是O1O2的中线得PC是梯形O1DMO2的中位线，则PC∥QM，据此可得出结论；
（2）连接PQ交O1O2于点N，根据相交两圆的性质得O1O2⊥PQ，且PN＝QN，进而得∠PNC＝∠QNO1＝90°，再根据PC∥QM得∠NCP＝∠NQO2，由此依据“ASA”判定△NCP和△NQO2全等得PC＝QO1，进而得四边形CPO2Q是平行四边形，然后根据O2P＝O2Q即可得出结论．
【解答】证明：（1）过点O1⊥AP于点D，如图1所示：
根据垂径定理得：O1D⊥AB，PD＝AD，
∴QO2的延长交BP于点M，且PM＝BM，
根据垂径定理得：QM⊥AB，
∴O1D∥QM，
∴四边形O1DMO2是梯形，
∵PM＝BM，PD＝AD，
∴BP＝2PM，AP＝2PD，
又∵AP＝BP，
∴2PM＝2PD，
∴PM＝PD，
又∵点C是O1O2的中点，
∴PC是梯形O1DMO2的中位线，
∴PC∥QM，
∵QM⊥AB，
∴CP⊥AB；
（2）连接PQ交O1O2于点N，如图2所示：
根据相交两圆的性质得：O1O2⊥PQ，且PN＝QN，
∴∠PNC＝∠QNO2＝90°，
由（1）可知：PC∥QM，
∴∠NCP＝∠NQO2，
在△NCP和△NQO2中，
，
∴△NCP≌△NQO2（ASA），
∴PC＝QO1，
又∵PC∥QM，
∴四边形CPO2Q是平行四边形，
又∴O2P＝O2Q，
∴平行四边形CPO2Q是菱形．
【点评】此题主要考查了相交两圆的性质，垂径定理，梯形的中位线定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解相交两圆的连心线垂直平分公共弦，熟练掌握垂径定理，梯形的中位线定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
42．如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AB＜CD，联结AO、BO并延长交弦CD于点E、F，且CF＝DE．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AC2＝OA AE，求证：．
【分析】（1）先连OC，OD，用SAS证△OCF≌△ODE，得到OF＝OE．利用等腰三角形（△OAB和△OEF）的性质，证明底角∠OAB＝∠OEF．由“内错角相等，两直线平行”，推出AB∥CD；
（2）由AC2＝OA AE，变形得比例式，结合公共角，证△AOC∽△ACE，得∠ACO＝∠AEC．由（1）的AB∥CD，得内错角∠AEC＝∠BAE；再由OA＝OC，得∠ACO＝∠CAO，从而推出∠CAO＝∠BAO．证△OAB≌△OAC，得圆心角∠AOB＝∠AOC，根据“圆心角相等则所对弧相等”，得．
【解答】证明：（1）连接OC、OD．
∵OO、OD为⊙O的半径，
∴OO＝OD，
∴∠OCF＝∠ODE．
在△OCF 和△ODE中，
，
∴△OOF≌△ODE（SAS），
∴∠COF＝∠DOE，OF＝OE．
∵∠AOB与∠EOF是对顶角，
∴∠AOB＝∠EOF．
∵∠AOB＝∠AOO+∠COF，∠EOF＝∠BOD+∠DOE，
∴∠AOC＝∠BOD．
∵OA＝OB，OE＝OF，
∴△OAB和△OEF均为等腰三角形．
∴，∠OEF，
∴∠OAB＝∠OEF．
∵∠OAB和∠OEF是内错角，
∴AB∥CD．
（2）∵AC2＝OA AE，．
又∵∠OAC＝∠CAE（公共角），
∴△AOC∽△ACE．
∴∠ACO＝∠AEC．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠BAE（两直线平行，内错角相等）．
∴∠ACO＝∠BAE．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO．
∴∠CAO＝∠BAE．
∵点O在线段AE上，
∴∠BAE＝∠BAO．
∴∠CAO＝∠BAO．
在△OAB和△OAC中，
∵OA＝OA，OB＝OC，且∠BAO＝∠CAO，
∴△OAB≌△OAC（SAS）．
∴∠AOB＝∠AOC．
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
43．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE GA．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点．
【分析】（1）先证明△GED∽△GDA，再证明△ADE≌△DCF（AAS），最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）设EG＝m，AE＝3m，由DG2＝GE GA，求出DG，再由△GED∽△GDA证明即可．
【解答】证明：（1）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠4＝∠3，
∵DG2＝GE GA，
∴，
∵∠5＝∠5，
∴△GED∽△GDA，
∴∠1＝∠2，
∵CF＝DE，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴AD＝DC，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵AE＝3EG，
∴设EG＝m，AE＝3m，
∴AG＝EG+AE＝4m，
∵DG2＝GE GA＝m×4m，
∴DG＝2m（舍负），
∵△GED∽△GDA，
∴，
∵AD＝CD，
∴，
∴DE＝CE，
∴点E是边CD的中点．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
44．在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点M、N（BM＜BN且点M、N分别与点B、D不重合），使AN∥CM，甲、乙、丙分别提出方案（如图）．
（1）选择其中一种正确的方案进行证明：AN∥CM；
（2）根据你在（1）中选择的方案，延长AN交边CD于点P，若∠DPN＝∠DNC，求证：AB2＝BM DM．
【分析】（1）选择甲方案，证明△BCM≌△DAN，得到∠AND＝∠CMB，则可证明∠ANM＝∠CMN，得到AN∥CM；乙方案，证明如下：先证明AM∥CN，∠AMB＝∠CND＝90°，再证明△ABM≌△CDN，得到AM＝CN，则可证明四边形AMCN是平行四边形，得到AN∥CM；
（2）在方案甲中，证明△ABM≌△CDN，得到∠AMB＝∠CND，证明△ABM∽△NBA，得到AB2＝BM BN，再证明BN＝DM，证明AB2＝BM DM在方案乙中，由（1）可得△ABM≌△CDN，则BM＝DN，同理可证明AB2＝BM DM．
【解答】（1）解：选择甲方案，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AD∥BC，
∴∠ADN＝∠CBM，
又∵BM＝DN，
∴△BCM≌△DAN（SAS），
∴∠AND＝∠CMB，
∴180°﹣∠AND＝180°﹣∠CMB，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM；
选择乙方案，证明如下：
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，∠AMB＝∠CND＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CDN，
∴△ABM≌△CDN（AAS），
∴AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM；
（2）证明：如图所示，在方案甲中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CDN，∠BAN＝∠DPN，
又∵BM＝DN，
∴△ABM≌△CDN（SAS），
∴∠AMB＝∠CND，
∵∠DPN＝∠DNC，
∴∠AMB＝∠NAB，
又∵∠ABM＝∠NBA，
∴△ABM∽△NBA，
∴，
∴AB2＝BM BN，
又∵BM+MN＝DN+MN，
∴BN＝DM，
∴AB2＝BM DM，
如图所示，在方案乙中，由（1）可得△ABM≌△CDN，
∴BM＝DN，
∴同理可证明AB2＝BM DM．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
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