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定远育才学校2026年中考第三次模拟检测
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，四个数中，绝对值最大的数是( )
A. B. C. D.
2.据统计，年月日至日，港珠澳大桥日均车流量超车次，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.明式家具中用到许多榫卯结构，比如燕尾榫如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其俯视图的是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列计算中，结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.将一元二次方程转化为的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处若，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，若的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作，，垂足分别是点，其中，，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，点是上一点，以为直角边在的右侧作等腰，其中，，与交于点连接，，则下列结论中错误的是( )
A.
B.
C. 周长的最小值
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式： ．
12.如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，若的周长为，则的长为 ．
13.已知，在中，，，，点是边上一点，，交边交于点，沿着直线翻折，点落在边上的点处如图所示，连接，当是等腰三角形时，则的长为 ．
14.如图，在正方形中，对角线，交于点，将绕点逆时针旋转到，连接，，．
若，则点到的距离为 ；
．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点，仅用无刻度直尺完成下列作图．
在图中，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的图形为；
在图中，将绕格点逆时针旋转得；
在图中，已知点是格点，线段所在直线是的对称轴，点是边上任意一点，在边上找点使得．
17.本小题分
年月日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准：
购买新车类型 补贴标准 最高补贴
新能源乘用车 新车售价的 元
及以下排量燃油乘用车 新车售价的 元
按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低填序号，并说明理由；
售价万元的新能源乘用车；
售价万元的排量燃油乘用车．
王叔叔计划在新能源乘用车和排量燃油乘用车之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若车的售价比车高千元，请你求出车和车的售价各是多少万元？
18.本小题分
“代数推理”是初中数学核心素养关于推理能力的重要体现，其核心是用符号表达规律、基于运算进行论证，强调“从特殊到一般归纳、从一般到特殊演绎”观察下列等式：
；；
；；
你能发现什么？
利用以上规律直接写出结果：______ ；
我们观察上述等式，猜想一般结论：对任意两个两个相邻整数，不妨设为和，则这两个整数的“平方的平均数”与这两个整数的“平均数的平方”的差为定值吗？如果是，请你通过计算推理，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
通过上述研究，我们猜想：“三个连续整数的平方的平均数与这三个整数的平均数的平方的差是一个定值”为了探究该结论的一般性，不妨设三个连续整数中最小的整数为，请你通过计算推理，求出这个定值．
19.本小题分
在月日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间单位：小时把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：根据调查情况，给出了部分数据信息：
档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，；
图和图是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
求本次调查的学生人数，并将图补充完整；
已知全校共名学生，请你估计全校档的人数；
学校要从档的名学生中随机抽取名学生分享读书经验，已知这名学生名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生分别来自七年级和九年级的概率．
20.本小题分
年月日，中国选手王心迪在冬奥会自由式滑雪男子空中技巧决赛中获得冠军如图，图分别是王心迪在滑雪训练中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，且，，三点共线，若雪杖长为，，，，求此刻运动员头部到斜坡的高度精确到，参考数据：，，
21.本小题分
如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径．
求证：；
若，，求直径的长．
22.本小题分
小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究如图，在菱形和等腰三角形中，，，连接，取的中点，并连接，．
【初步探究】
小强发现：如图，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系；
【再次探究】
小强又发现：如图，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明；
【深入探究】
小强进一步发现：在图中，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系其中的数量关系用含的式子表示
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，，分别是边，上的动点，且，连接．
求二次函数的表达式；
如图，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接，问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由；
如图，在等边三角形的边上取中点，连接问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13.或或． 14.
15.解：
．
16.解：如图中，即为所求；
在图中，即为所求；
如图中，点即为所求．
17.解：按照以旧换新补贴标准，购买售价万元的新能源乘用车价格更低，理由如下：
元，，
购买售价万元的新能源乘用车的费用为元；
元，，
购买售价万元的排量燃油乘用车的费用为元，
，
购买售价万元的新能源乘用车价格更低．
故答案为：；
设车的售价是万元，则车的售价是万元，
根据题意得：，
解得：，
万元．
答：车的售价为万元，车的售价为万元．
18.解：根据题意可得，原式，
是定值，定值为，理由如下：










，
即这个定值为．
19.解：由题意可知档数据共有人，即可求得本次调查的学生人数为：人，
档人数为人，
补全图如图所示；
根据样本估计总体方法可得：
人，
答：估计全校档的人数为；
分别用，表示七年级的名学生，用表示八年级名学生，用表示九年级名学生，画树状图如下，
共有种等可能的结果，其中抽到的名学生分别来自七年级和九年级的结果有种，
所以抽到的名学生分别来自七年级和九年级的概率．
20.解：如图，连接，
，，，，三点共线，
，
在中，，，
，
在中，，，
．
，
答：此刻运动员头部到斜坡的高度约为．
21. 证明：连接，如图所示：
是四边形的外接圆，点在上，
，，
，
由圆周角定理得：，
，
是切线，点为切点，
，
，
，
，
；
解：过点作于点，如图所示：
，
和都是直角三角形，
，
和都是直角三角形，
在中，，
设，，
由勾股定理得：，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
直径的长为．
22.解：数量关系，位置关系；证明如下：
延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为菱形，，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，；
，，证明：
延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、，
同理可证≌，
，，
，
，
四边形为菱形，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，即，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
综上所述，，；
数量关系是，位置关系是，
证明如下：延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、，
同理可证≌，
，，
，
，
四边形为菱形，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是顶角为的等腰三角形，
，
，，
，
．
23.解：是等边三角形，且、是抛物线与轴的交点，
点是二次函数的顶点，
，，
，，，
，
二次函数，
将代入中，得，
该二次函数的表达式为；
过点作轴，交于点，
设点的坐标为，
，，
点的坐标为，，
在等边三角形中，，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
将，代入中得，
，
解得，
直线的表达式为，
则点的坐标为，
，
，
当时，的面积存在最大值为；
的值存在最小值，这个最小值为．
证明：如图，过作轴平行线，过作轴平行线，两直线交于点，
为等边三角形，
，
设，则，
，，
点坐标为，
，
为中点，
，
过在下方作，且，连接，
则，当且仅当、、三点共线时取等，
过作轴，再分别过、作垂线段，垂足分别为、，
则，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
故的值存在最小值，这个最小值为．

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