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第39课时　用单摆测量重力加速度(实验课)
[学习目标]　1．知道利用单摆测量重力加速度的原理。2．掌握利用单摆测量重力加速度的方法。
原理装置图 实验步骤 注意事项
测摆长l和周期T，由T＝2π得g＝ 1．做单摆 将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂 2．测摆长 用刻度尺量出摆线长l'(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l'＋ 3．测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期 4．改变摆长，重做几次实验 1．摆线要选1 m左右，柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短 2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径 3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆 4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数
数据处理 1．公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值 2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图线应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度
误差分析 1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等 2．偶然误差：测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差。减小误差方法：(1)多次测量求平均值。 (2)从单摆经过平衡位置时开始计时
类型1　教材原型实验
[典例1]　(2025·海南卷)小组用如图所示单摆测量当地重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，则单摆摆长L＝________ cm(保留四位有效数字)；
(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°)，无初速度的释放小球，小球经过________(选填“最高”或“最低”)点时，开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝________ s，由此可得当地重力加速度g＝________ m/s2(π2≈10)。
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[典例2]　(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图甲所示，该示数为________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示，该示数为__________mm，则摆球的直径为__________mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图丙所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为______cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为______s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留三位有效数字，π2取9.870)
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类型2　探索创新实验
[典例3]　(2025·浙江6月选考)在用单摆测重力加速度的实验中：
(1)如图甲所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆的周期为_________s(结果保留三位有效数字)。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝________；
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图丙所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝_________，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝_________(结果均用k、b表示)；
(3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图丁所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是___________________________________________________________________
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【创新点解读】　(1)数据处理创新：利用拉力—时间图像获取单摆周期。
(2)实验装置创新：等效摆测量加速度。
[典例4]　(2024·吉林卷)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示，从图中读出D＝________ cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图丙所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了______个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图丁所示，则T与D的近似关系为________。
A．T∝　 B．T∝D2
C．T∝　 D．T∝
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：
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【创新点解读】　(1)实验目的创新：探究积木小幅摆动周期T与外径D之间的关系。
(2)数据处理创新：利用ln T-ln D图像，确定T与D的关系。
第39课时
典例1　解析：(1)单摆的摆长为L＝l＋＝80.00 cm。
(2)为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时。
单摆周期T＝＝ s＝1.8 s
根据单摆周期公式T＝2π ，可得g＝，代入数值得g≈9.88 m/s2。
答案：(1)80.00　(2)最低　1.8　9.88
典例2　解析：(1)题图甲中螺旋测微器读数为0.6×0.01 mm＝0.006 mm；题图乙中螺旋测微器读数为20.0 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm，摆球直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)假设将角度盘放置在距离悬点极近位置，摆球摆动时，角度盘显示角度小于实际摆动角度，故实际摆角大于5°。
(3)摆长L＝s＋d＝81.50 cm＋×2.002 9 cm≈82.5 cm。从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点一共经历30个周期，周期T＝ s＝1.82 s，根据单摆周期公式T＝2π，得g＝＝m/s2≈9.83 m/s2。
答案：(1)0.006(0.005～0.007均可)　20.035(20.034～20.036均可)　20.029(20.027～20.031均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
典例3　解析：(1)单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。由题图乙可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt＝7.653 0 s－1.127 7 s＝6.525 3 s
则有Δt＝10·，解得T≈1.31 s
由题可得(n－1)＝t，解得周期为T＝。
(2)设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L＝h＋l
根据单摆周期公式有T＝2π，可得T＝2π
变形得l＝T2－h，可得l-T2图像的斜率为k＝，解得g＝4π2k
当T2＝b时l＝0，则有0＝×b－h
解得小钢球重心到摆线下端的高度差h＝kb。
(3)存在阻力，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。
答案：(1)1.31　　(2)4π2k　kb　(3)见解析
典例4　解析：(1)根据刻度尺的读数规则可知D＝7.55 cm。
(2)结合单摆的运动分析可知，积木左端与O点等高后，向下(向上)运动后再次与O点等高，之后向上(向下)运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
(3)根据题图丁有ln T＝kln D＋b，其中k＝＝，则有ln T＝ln D＋b＝ln ＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝，A正确。
(4)可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
答案：(1)7.55(7.54～7.56均可)　(2)10
(3)A　(4)多次测量同一颜色的积木的周期求平均值
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第七章　机械振动　机械波
第39课时　用单摆测量重力加速度(实验课)
[学习目标]　1．知道利用单摆测量重力加速度的原理。2．掌握利用单摆测量重力加速度的方法。
原理装置图
测摆长l和周期T，由T＝2π得g＝

实验步骤
1．做单摆
将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂
2．测摆长
用刻度尺量出摆线长l'(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l'＋
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期
4．改变摆长，重做几次实验
注意事项
1．摆线要选1 m左右，柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短
2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径
3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆
4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数
原理装置图 实验步骤 注意事项
数据处理 1．公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值 2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图线应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度
原理装置图 实验步骤 注意事项
误差分析 1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等 2．偶然误差：测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差。减小误差方法：(1)多次测量求平均值。 (2)从单摆经过平衡位置时开始计时
类型1　教材原型实验
[典例1]　(2025·海南卷)小组用如图所示单摆测量当
地重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，则单摆摆长L＝________ cm(保留四位有效数字)；
(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°)，无初速度的释放小球，小球经过______(选填“最高”或“最低”)点时，开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝____ s，由此可得当地重力加速度g＝______ m/s2(π2≈10)。
80.00　
最低　
1.8　
9.88
[解析]　(1)单摆的摆长为L＝l＋＝80.00 cm。
(2)为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时。
单摆周期T＝＝ s＝1.8 s
根据单摆周期公式T＝2π ，可得g＝，代入数值得g≈9.88 m/s2。
[典例2]　(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图甲所示，该示数为__________________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示，该示数为_______________________mm，则摆球
的直径为______________________mm。
0.006(0.005～0.007均可)　
20.035(20.034～20.036均可)　
20.029(20.027～20.031均可)
(2)单摆实验的装置示意图如图丙所示，其中角度盘需要固定在
杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。
若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为
5°时，实际摆角_____(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为______cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留三位有效数字，π2取9.870)
大于
82.5　
1.82　
　9.83
[解析]　(1)题图甲中螺旋测微器读数为0.6×0.01 mm＝0.006 mm；题图乙中螺旋测微器读数为20.0 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm，摆球直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)假设将角度盘放置在距离悬点极近位置，摆球摆动时，角度盘显示角度小于实际摆动角度，故实际摆角大于5°。
(3)摆长L＝s＋d＝81.50 cm＋×2.002 9 cm≈82.5 cm。从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点一共经历30个周期，周期T＝ s＝1.82 s，根据单摆周期公式T＝2π，得g＝＝m/s2≈9.83 m/s2。
类型2　探索创新实验
[典例3]　(2025·浙江6月选考)在用单摆测重力加速度的实验中：
(1)如图甲所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆的周期为_______s(结果保留三位有效数字)。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝________；
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图丙所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝_________，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝_________(结果均用k、b表示)；
1.31　
　
4π2k　
kb　
(3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图丁所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是___________。
见解析
[解析]　(1)单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。由题图乙可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt＝7.653 0 s－1.127 7 s＝6.525 3 s
则有Δt＝10·，解得T≈1.31 s
由题可得(n－1)＝t，解得周期为T＝。
(2)设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L＝h＋l
根据单摆周期公式有T＝2π，可得T＝2π
变形得l＝T2－h，可得l-T2图像的斜率为k＝，解得g＝4π2k
当T2＝b时l＝0，则有0＝×b－h
解得小钢球重心到摆线下端的高度差h＝kb。
(3)存在阻力，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。
【创新点解读】　(1)数据处理创新：利用拉力—时间图像获取单摆周期。
(2)实验装置创新：等效摆测量加速度。
[典例4]　(2024·吉林卷)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，
其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示，
从图中读出D＝_____________________ cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图丙所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了_____个周期。
7.55(7.54～7.56均可)　
10
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图丁所示，
则T与D的近似关系为_____。
A．T∝　B．T∝D2 C．T∝　D．T∝
A　
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：______________________________________。
[解析]　(1)根据刻度尺的读数规则可知D＝7.55 cm。
(2)结合单摆的运动分析可知，积木左端与O点等高后，向下(向上)运动后再次与O点等高，之后向上(向下)运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
(3)根据题图丁有ln T＝kln D＋b，其中k＝＝，则有ln T＝ln D＋b＝ln ＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝，A正确。
(4)可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
多次测量同一颜色的积木的周期求平均值
【创新点解读】　(1)实验目的创新：探究积木小幅摆动周期T与外径D之间的关系。
(2)数据处理创新：利用ln T-ln D图像，确定T与D的关系。
课时作业(三十九)　用单摆测量重力加速度(实验课)
1．在“探究单摆摆长和周期关系”实验中：
题号
1
3
2
4
(1)如图甲为实验装置示意图，小金用秒表记录下单摆50次全振动所用时间如图乙所示，其示数为________s；
(2) 图甲中A为小球摆动的平衡位置，B为摆动的最高点，则应选_____(选填“A”或“B”)位置作为计时起点；
(3) 小金同学以摆线的长度(L)作为纵坐标，以单摆周期的平方(T2)作为横坐标，作出L-T2的图像如图丙所示，若作出的图线斜率为k，则根据图像得到当地的重力加速度g＝________(用题中已知物理量符号表示)，图线不过坐标原点的主要原因是____________________________________。
题号
1
3
2
4
96.1　
A　
4π2k　
漏掉小球半径或把摆线长度L作为摆长
[解析]　(1)小盘的读数加上大盘的读数即可，则示数为60 s＋36.1 s＝96.1 s。
(2)通常在平衡位置开始计时，此时小球的速度最大，特征明显，即在A位置开始计时。
(3)设小球的直径为d，由单摆的周期公式可知T＝2π，解得L＝－，故在L-T2图像中，其斜率为k，则有k＝所以g＝4π2k。由上述分析可知，图线不过坐标原点的主要原因是漏掉小球半径或把摆线长度L作为摆长。
题号
1
3
2
4
2．(2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图甲所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在
竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用的时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
题号
1
3
2
4
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝___________。
(3)由实验数据作出的l－T2图线如图乙所示，可得g＝___________________m/s2 (保留三位有效数字，π2取9.87)。
(4)本实验的误差来源包括______(多选，填标号)。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为0
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
题号
1
3
2
4
　
l0＋T2　
9.65(9.55～9.75均可)　
AB
[解析]　(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝l0＋T2。
(3)结合(2)问分析可知l－T2图线的斜率k＝，由题图乙可知k＝ m/s2，联立解得g≈9.65 m/s2。
题号
1
3
2
4
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧的质量会影响弹簧振子的质量，所以弹簧质量不为0是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
题号
1
3
2
4
3．(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，
选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，
则摆球直径为________ cm。
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角
度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x
与时间t的关系为________________。
题号
1
3
2
4
摆长　
1.06　
x＝cos
[解析]　(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，可得单摆的摆长为L＝，从平衡位置拉开5°的角度处释放，可得振幅为A＝Lsin 5°＝πL＝，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝Acos ωt＝cos。
题号
1
3
2
4
4．(2025·天津和平三模)智能手机软件中的“磁力计”可显示磁感应强度大小随时间变化的关系，用该软件设计实验测量单摆的周期及当地重力加速度。将摆线上端固定于铁架台，下端系在小球上，让手机内置磁敏元件位于小球静止位置的正下方，做成如图所示的单摆。
题号
1
3
2
4
(1)关于该实验，下列操作必要的是________。
A．将小球用不可伸长的细线系好，将细线上端在铁架台横杆上系紧固定
B．摆长一定的情况下，摆角应大一些，以便于观察
C．选择质量大、体积小的小球，以减小实验的系统误差
D．改变摆长，重复实验，将测得的多次重力加速度取平均值可以减小偶然误差
题号
1
3
2
4
ACD　
(2)将小球磁化后，由平衡位置拉开一个小角度静止释放，手机软件显示磁感应强度大小随时间变化如图甲所示，则该单摆的振动周期T为___________(用图中所示字母t0表示)。
题号
1
3
2
4
　
(3)某同学测出不同摆长L对应的周期T，作出T2-L图线，如图乙所示，利用图线上任意两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，可求得g＝_________；若该同学测摆长时漏测了摆球的半径，其他测量、计算均无误，则用上述方法算得的g值和真实值相比_________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
题号
1
3
2
4
4π2　
不变
[解析]　(1)将小球用不可伸长的细线系好，将细线上端在铁架台横杆上系紧固定，确保摆长不变，故A正确；摆长一定的情况下，摆角应小于5°才能看作简谐运动，故B错误；为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大、体积小的小球，以减小实验的系统误差，故C正确；改变摆长，重复实验，将测得的多次重力加速度取平均值可以减小偶然误差，故D正确。
(2)磁性小球通过最低点时，手机软件中的“磁力计”可显示磁感应强度最大，磁性小球连续3次通过最低点所用的时间为一个周期，根据题图甲可知1.5T＝t0
解得单摆的周期为T＝t0。
题号
1
3
2
4
(3)若测摆长时漏测了摆球的半径，根据单摆周期公式T＝2π
变形得T2＝L＋
结合T2-L图像斜率的含义，图像斜率k＝＝
解得重力加速度g＝4π2
根据上述重力加速度的求解过程可知T2-L图像未过原点，不影响重力加速度测量的准确性，因此g的测量值等于真实值，即g测＝g真。
题号
1
3
2
4
谢谢！课时作业(三十九)　用单摆测量重力加速度(实验课)
说明：本试卷共30分。　　
1．(8分)在“探究单摆摆长和周期关系”实验中：
(1)如图甲为实验装置示意图，小金用秒表记录下单摆50次全振动所用时间如图乙所示，其示数为________s；
(2) 图甲中A为小球摆动的平衡位置，B为摆动的最高点，则应选________(选填“A”或“B”)位置作为计时起点；
(3) 小金同学以摆线的长度(L)作为纵坐标，以单摆周期的平方(T2)作为横坐标，作出L-T2的图像如图丙所示，若作出的图线斜率为k，则根据图像得到当地的重力加速度g＝________(用题中已知物理量符号表示)，图线不过坐标原点的主要原因是__________________________________。
2．(8分)(2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图甲所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用的时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。
(3)由实验数据作出的l－T2图线如图乙所示，可得g＝________m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。
(4)本实验的误差来源包括______(多选，填标号)。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为0
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
3．(6分)(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________ cm。
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________________。
4．(8分)(2025·天津和平三模)智能手机软件中的“磁力计”可显示磁感应强度大小随时间变化的关系，用该软件设计实验测量单摆的周期及当地重力加速度。将摆线上端固定于铁架台，下端系在小球上，让手机内置磁敏元件位于小球静止位置的正下方，做成如图所示的单摆。
(1)关于该实验，下列操作必要的是________。
A．将小球用不可伸长的细线系好，将细线上端在铁架台横杆上系紧固定
B．摆长一定的情况下，摆角应大一些，以便于观察
C．选择质量大、体积小的小球，以减小实验的系统误差
D．改变摆长，重复实验，将测得的多次重力加速度取平均值可以减小偶然误差
(2)将小球磁化后，由平衡位置拉开一个小角度静止释放，手机软件显示磁感应强度大小随时间变化如图甲所示，则该单摆的振动周期T为___________(用图中所示字母t0表示)。
(3)某同学测出不同摆长L对应的周期T，作出T2-L图线，如图乙所示，利用图线上任意两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，可求得g＝_________；若该同学测摆长时漏测了摆球的半径，其他测量、计算均无误，则用上述方法算得的g值和真实值相比_________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
课时作业(三十九)
1．解析：(1)小盘的读数加上大盘的读数即可，则示数为60 s＋36.1 s＝96.1 s。
(2)通常在平衡位置开始计时，此时小球的速度最大，特征明显，即在A位置开始计时。
(3)设小球的直径为d，由单摆的周期公式可知T＝2π，解得L＝－，故在L-T2图像中，其斜率为k，则有k＝所以g＝4π2k。由上述分析可知，图线不过坐标原点的主要原因是漏掉小球半径或把摆线长度L作为摆长。
答案：(1) 96.1　(2)A　(3)4π2k　漏掉小球半径或把摆线长度L作为摆长
2．解析：(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝l0＋T2。
(3)结合(2)问分析可知l－T2图线的斜率k＝，由题图乙可知k＝ m/s2，联立解得g≈9.65 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧的质量会影响弹簧振子的质量，所以弹簧质量不为0是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
答案：(1)　(2)l0＋T2　(3)9.65(9.55～9.75均可)　(4)AB
3．解析：(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，可得单摆的摆长为L＝，从平衡位置拉开5°的角度处释放，可得振幅为A＝Lsin 5°＝πL＝，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝Acos ωt＝cos。
答案：(1)摆长　(2)1.06　(3)x＝cos
4．解析：(1)将小球用不可伸长的细线系好，将细线上端在铁架台横杆上系紧固定，确保摆长不变，故A正确；摆长一定的情况下，摆角应小于5°才能看作简谐运动，故B错误；为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大、体积小的小球，以减小实验的系统误差，故C正确；改变摆长，重复实验，将测得的多次重力加速度取平均值可以减小偶然误差，故D正确。
(2)磁性小球通过最低点时，手机软件中的“磁力计”可显示磁感应强度最大，磁性小球连续3次通过最低点所用的时间为一个周期，根据题图甲可知1.5T＝t0
解得单摆的周期为T＝t0。
(3)若测摆长时漏测了摆球的半径，根据单摆周期公式T＝2π
变形得T2＝L＋
结合T2-L图像斜率的含义，图像斜率k＝＝
解得重力加速度g＝4π2
根据上述重力加速度的求解过程可知T2-L图像未过原点，不影响重力加速度测量的准确性，因此g的测量值等于真实值，即g测＝g真。
答案：(1)ACD　(2)　(3)4π2　不变
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