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第41课时　机械波的多解及波的特性
[学习目标]　1．知道解决波的多解问题的思路方法。2．知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
波的多解性问题
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，…)时，它们的振动步调总相反。
2．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确 (2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定 (2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性
　周期性造成的多解问题
[典例1]　(2025·海南卷)如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横波在t＝0时刻和t＝0.5 s的波形图，已知波的周期T>0.5 s，则下列关于该列波说法正确的是(　　)
A．波长为5 cm
B．波速为10 cm/s
C．周期为1 s
D．t＝0时刻，质点M向下振动
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　双向性造成的多解问题
[典例2]　(多选)(2025·陕晋青宁卷)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为(　　)
　
A　　　　　　　　　B
　
C　　　　　　　　　D
　波形的隐含性形成多解
[典例3]　(2025·湖南长沙模拟)如图甲所示，一列简谐横波沿水平直线传播，a、b为介质中相距30 m的两个质点，某时刻a、b两质点正好都处于平衡位置，且a、b间只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．波源的振动方程为x＝cost(cm)
B．40 s内位于波源的质点运动的路程为40 cm
C．该简谐横波传播速度的大小可能为7.5 m/s
D．该简谐横波传播速度的大小有四个可能值
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方法技巧：解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
波的干涉、衍射和多普勒效应
1．波的叠加原理：几列波相遇时能够保持各自的运动特征继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉
(1)定义：频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动总是______________、某些区域的振动总是________，这种现象叫波的干涉。
(2)条件：两列波的频率相同。
3．波的衍射现象及产生明显衍射的条件
波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象。产生明显衍射现象的条件：缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
4．干涉和衍射是波特有的现象，波同时还可以发生反射、折射。
5．多普勒效应
(1)定义：由于波源与观察者相互________或者相互________时，接收到的波的________与波源频率不相等的现象。
(2)成因分析
①接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
②当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
(1)两列波在介质中相遇，一定产生干涉现象。 (　　)
(2)两列波发生干涉时，加强区的质点振幅变大，质点一直处于位移最大处。 (　　)
(3)发生多普勒效应时，波源的真实频率没有发生变化。 (　　)
[典例4]　(2023·广东卷)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是(　　)
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
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[典例5]　(2025·四川卷)某多晶薄膜晶格结构可以等效成缝宽约为3.5×10-10 m的狭缝。下列粒子束穿过该多晶薄膜时，衍射现象最明显的是(　　)
A．德布罗意波长约为7.9×10-13 m的中子
B．德布罗意波长约为8.7×10-12 m的质子
C．德布罗意波长约为2.6×10-11 m的氮分子
D．德布罗意波长约为1.5×10-10 m的电子
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[典例6]　(2025·黑吉辽蒙卷)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是(　　)
A　　　 　B　　 　　C　　　　D
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[典例7]　(多选)(2025·湖南卷)如图，A(0，0)、B(4，0)、C(0，3)在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。t＝0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面，频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A．两横波的波长均为4 m
B．t＝0.4 s时，C处质点加速度为0
C．t＝0.4 s时，C处质点速度不为0
D．t＝0.6 s时，C处质点速度为0
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方法技巧：波的干涉中加强点和减弱点的判断方法
(1)公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr＝|r1－r2|。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)图像法：在某时刻的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的相遇点是加强点，波峰与波谷的相遇点是减弱点。加强点或减弱点各自连接形成加强线和减弱线，以两波源为中心向外辐射，两种线互相间隔，这就是干涉图样，如图所示。加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
第41课时
考点1
典例1　D　[由题图可知波长为10 cm，故A错误；t＝0时刻到t＝0.5 s的过程中，Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，已知波的周期T>0.5 s，解得n只能取0，则T＝ s，波速为v＝＝15 cm/s，故B、C错误；简谐横波沿着x轴正方向传播，根据同侧法可知t＝0时刻，质点M向下振动，故D正确。]
典例2　CD　[根据振动图像可知当波的传播方向为a到b时，xab＝λ＋nλ(n＝0，1，2，…)，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ，当波的传播方向为b到a时，xab＝λ＋nλ(n＝0，1，2，…)，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ，同时t＝0时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合图像可知C、D符合，故选CD。]
典例3　C　[由题图乙可知，波源的振幅和周期分别为A＝2 cm、T＝4 s，则圆频率为ω＝＝ rad/s，所以，波源的振动方程为x＝Asin ωt＝2sint，故A错误；由题可知t＝40 s＝10T，故路程为s＝10×4A＝80 cm，故B错误；第1种情况，如图所示：
则x＝，此时波速为v1＝＝15 m/s，第2种情况，如图所示：
则x＝λ，此时波速为v2＝＝7.5 m/s，第3种情况，如图所示：
则x＝λ，此时波速为v3＝＝7.5 m/s，第4种情况，如图所示：
则x＝，此时波速为v4＝＝5 m/s，综上，该简谐横波传播速度的大小可能值为15 m/s、7.5 m/s、5 m/s，故C正确，D错误。]
考点2
2．(1)加强　(2)减弱
5．(1)靠近　远离　频率
判断正误　(1)×　(2)×　(3)√
典例4　B　[根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故A、D错误；声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；根据波长的计算公式可得λ＝＝ m＝1×10-3 m，当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误。]
典例5　D　[对于粒子而言，德布罗意波长λ决定了其波动性，衍射的明显程度通常与波长λ和狭缝宽度的比值相关，当接近或大于1时，衍射现象非常明显，则可知电子的衍射现象最明显，故选D。]
典例6　C　[由于P点位于其最大正位移处，所以P点位于波峰与波峰的交点，故B、D错误；由题图可知，两列波分别向左、向上传播，沿左上方将减弱点连线，则连线上的点均为振动减弱点，故A错误，C正确。]
典例7　AD　[根据波速、波长与频率间的关系v＝λf得λ＝＝4 m，A正确；根据几何关系可知，sBC＝＝5 m，则B处波源形成的波传播至C点所需的时间tBC＝＝0.5 s，A处波源形成的波传播至C点所需的时间tAC＝＝0.3 s，故t＝0.4 s时，只有A处波源形成的波传播到了C点，且C处质点振动了0.1 s＝0.1×2.5 T＝，即此时C处质点振动到了最大位移处，加速度最大，速度为0，B、C错误；t＝0.6 s时，A处波源与B处波源形成的波均传播到了C点，A处波源形成的波使C点振动了0.3 s＝0.3×2.5 T＝，B处波源形成的波使C点振动了0.1 s＝0.1×2.5 T＝，又两波源产生的波振幅相等，起振方向相同，故C处质点静止，即速度为0，D正确。]
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第七章　机械振动　机械波
第41课时　机械波的多解及波的特性
[学习目标]　1．知道解决波的多解问题的思路方法。2．知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
考点1　波的多解性问题
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，…)时，它们的振动步调总相反。
2．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性
角度1　周期性造成的多解问题
[典例1]　(2025·海南卷)如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横波在t＝0时刻和t＝0.5 s的波形图，已知波的周期T>0.5 s，则下列关于该列波说法正确的是(　　)
A．波长为5 cm
B．波速为10 cm/s
C．周期为1 s
D．t＝0时刻，质点M向下振动
√
D　[由题图可知波长为10 cm，故A错误；t＝0时刻到t＝0.5 s的过程中，Δt＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，已知波的周期T>0.5 s，解得n只能取0，则T＝ s，波速为v＝＝15 cm/s，故B、C错误；简谐横波沿着x轴正方向传播，根据同侧法可知t＝0时刻，质点M向下振动，故D正确。]
角度2　双向性造成的多解问题
[典例2]　(多选)(2025·陕晋青宁卷)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为(　　)
√
√
CD　[根据振动图像可知当波的传播方向为a到b时，xab＝λ＋nλ(n＝0，1，2，…)，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ，当波的传播方向为b到a时，xab＝λ＋nλ，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ，同时t＝0时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合图像可知C、D符合，故选CD。]
角度3　波形的隐含性形成多解
[典例3]　(2025·湖南长沙模拟)如图甲所示，一列简谐横波沿水平直线传播，a、b为介质中相距30 m的两个质点，某时刻a、b两质点正好都处于平衡位置，且a、b间只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．波源的振动方程为x＝cost(cm)
B．40 s内位于波源的质点运动的路程为40 cm
C．该简谐横波传播速度的大小可能为7.5 m/s
D．该简谐横波传播速度的大小有四个可能值
√
C　[由题图乙可知，波源的振幅和周期分别为A＝2 cm、T＝4 s，则圆频率为ω＝＝ rad/s，所以，波源的振动方程为x＝Asin ωt＝2sint，故A错误；由题可知t＝40 s＝10T，故路程为s＝10×4A＝80 cm，故B错误；第1种情况，如图所示：
则x＝，此时波速为v1＝＝15 m/s，第2种情况，如图所示：
则x＝λ，此时波速为v2＝＝7.5 m/s，第3种情况，如图所示：
则x＝λ，此时波速为v3＝＝7.5 m/s，第4种情况，如图所示：
则x＝，此时波速为v4＝＝5 m/s，综上，该简谐横波传播速度的大小可能值为15 m/s、7.5 m/s、5 m/s，故C正确，D错误。]
方法技巧：解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
【教师备选资源】
(多选)如图为一列简谐横波沿x轴方向传播的波形图，其中实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.05 s时刻的波形图，已知简谐横波传播的速度大小v＝1.0 m/s，下列说法正确的是(　　)
A．该波沿x轴正方向传播
B．该波的周期为4 s
C．在0～0.05 s时间内，平衡位置x＝2 cm
处的质点运动的路程为10 cm
D．在t＝0时刻，平衡位置x＝4 cm处的质点沿y轴正方向运动
√
√
AC　[由题图可知该波的波长为λ＝4 cm＝0.04 m，若该波沿x轴正方向传播，波速大小为v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)；若传播方向沿x轴负方向，波速大小为v＝ m/s(n＝0，1，2，…)。由题意可知，波速大小为1.0 m/s，所以该波一定沿x轴正方向传播，故A正确；由波速公式v＝可知，T＝＝0.04 s，故B错误；由n＝＝＝，所以平衡位置x＝2 cm处的质点在0～0.05 s时间内运动的路程为s＝5A＝10 cm，故C正确；t＝0时刻，波形如题图中实线所示，该波沿x轴正方向传播，由“同侧”法可知，平衡位置x＝4 cm的质点正沿y轴负方向运动，故D错误。]
1．波的叠加原理：几列波相遇时能够保持各自的运动特征继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
2．波的干涉
(1)定义：频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动总是______、某些区域的振动总是______，这种现象叫波的干涉。
(2)条件：两列波的频率相同。
考点2　波的干涉、衍射和多普勒效应
加强
减弱
3．波的衍射现象及产生明显衍射的条件
波的衍射现象是指波能绕过障碍物继续传播的现象。产生明显衍射现象的条件：缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
4．干涉和衍射是波特有的现象，波同时还可以发生反射、折射。
5．多普勒效应
(1)定义：由于波源与观察者相互______或者相互______时，接收到的波的______与波源频率不相等的现象。
(2)成因分析
①接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
②当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
靠近
远离
频率
(1)两列波在介质中相遇，一定产生干涉现象。 (　　)
(2)两列波发生干涉时，加强区的质点振幅变大，质点一直处于位移最大处。 (　　)
(3)发生多普勒效应时，波源的真实频率没有发生变化。 (　　)
×　
×　
√
[典例4]　(2023·广东卷)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是(　　)
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
√
B　[根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不一定发生干涉，故A、D错误；声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；根据波长的计算公式可得λ＝＝ m＝1×10-3 m，当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误。]
[典例5]　(2025·四川卷)某多晶薄膜晶格结构可以等效成缝宽约为3.5×10-10 m的狭缝。下列粒子束穿过该多晶薄膜时，衍射现象最明显的是(　　)
A．德布罗意波长约为7.9×10-13 m的中子
B．德布罗意波长约为8.7×10-12 m的质子
C．德布罗意波长约为2.6×10-11 m的氮分子
D．德布罗意波长约为1.5×10-10 m的电子
√
D　[对于粒子而言，德布罗意波长λ决定了其波动性，衍射的明显程度通常与波长λ和狭缝宽度的比值相关，当接近或大于1时，衍射现象非常明显，则可知电子的衍射现象最明显，故选D。]
[典例6]　(2025·黑吉辽蒙卷)平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是(　　)
√
A　　　　　B　　 　　C　　 　　D
C　[由于P点位于其最大正位移处，所以P点位于波峰与波峰的交点，故B、D错误；由题图可知，两列波分别向左、向上传播，沿左上方将减弱点连线，则连线上的点均为振动减弱点，故A错误，C正确。]
[典例7]　(多选)(2025·湖南卷)如图，A(0，0)、B(4，0)、C(0，3)在xy平面内，两波源分别置于A、B两点。t＝0时，两波源从平衡位置起振，起振方向相同且垂直于xy平面，频率均为2.5 Hz。两波源持续产生振幅相同的简谐横波，波分别沿AC、BC方向传播，波速均为10 m/s。下列说法正确的是(　　)
A．两横波的波长均为4 m
B．t＝0.4 s时，C处质点加速度为0
C．t＝0.4 s时，C处质点速度不为0
D．t＝0.6 s时，C处质点速度为0
√
√
AD　[根据波速、波长与频率间的关系v＝λf得λ＝＝4 m，A正确；根据几何关系可知，sBC＝＝5 m，则B处波源形成的波传播至C点所需的时间tBC＝＝0.5 s，A处波源形成的波传播至C点所需的时间tAC＝＝0.3 s，故t＝0.4 s时，只有A处波源形成的波传播到了C点，且C处质点振动了0.1 s＝0.1×2.5 T＝，即此时C处质点振动到了最大位移处，加速度最大，速度为0，B、C错误；t＝0.6 s时，A处波源与B处波源形成的波均传播到了C点，A处波源形成的波使C点振动了0.3 s＝0.3×2.5 T＝，B处波源形成的波使C点振动了0.1 s＝0.1×2.5 T＝，又两波源产生的波振幅相等，起振方向相同，故C处质点静止，即速度为0，D正确。]
方法技巧：波的干涉中加强点和减弱点的判断方法
(1)公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr＝|r1－r2|。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)图像法：在某时刻的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的相遇点是加强点，波峰与波谷的相遇点是减弱点。加强点或减弱点各自连接形成加强线和减弱线，以两波源为中心向外辐射，两种线互相间隔，这就是干涉图样，如图所示。加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
【教师备选资源】
(多选)(2024·山东卷)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t＝0时刻二者在x＝2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x＝2 m处的质
点P，下列说法正确的是(　　)
A．t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B．t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm
C．t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动
D．t＝1.0 s时，P向y轴负方向运动
√
√
BC　[由于两波的波速均为2 m/s，则t＝0.5 s时，题图所示平衡位置在x＝1 m处和x＝3 m处两质点的振动形式传到P点处，则由波的叠加可知，t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm，A错误，B正确；t＝1 s时，题图所示平衡位置在x＝0处和x＝4 m处两质点的振动形式(均向y轴正方向运动)传到P点处，根据波的叠加可知，t＝1 s时，P向y轴正方向运动，C正确，D错误。]
课时作业(四十一)　机械波的多解及波的特性
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(多选)关于波，下列说法正确的是(　　)
A．有的波只能发生干涉现象，有的波只能发生衍射现象
B．能观察到明显的衍射现象的条件是障碍物的尺寸与波长比较相差不多或比波长更小
C．在干涉图样中，振动加强区域中的质点，其位移始终最大，振动减弱区域中的质点，其位移始终最小
D．当观测者靠近波源时，接收到的波的频率会大于波源的振动频率
√
√
BD　[干涉、衍射是波共有的特性，A错误；当满足d≤λ时产生明显的衍射现象，B正确；在干涉图样中，振动加强区中的质点的位移随时间发生周期性变化，C错误；在多普勒效应中，观测者与波源相对靠近时，接收到的波的频率大于波源的振动频率，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2．如图为波源O传出的一列水波，相邻实线间的距离等于一个波长。下列说法正确的是(　　)
A．波通过孔A，发生明显的衍射现象
B．波通过孔B，不发生衍射现象
C．波遇到障碍物C，发生明显的衍射现象
D．波遇到障碍物D，不发生衍射现象
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[当孔、缝、障碍物的宽度与波长差不多或者比波长还小时，就能够发生明显的衍射现象。观察题图，孔B和障碍物C的尺寸明显大于波长，不会发生明显的衍射现象，但仍然发生衍射现象，只是不明显，不易观察，故B、C错误；孔A和障碍物D的尺寸接近波长，会发生明显的衍射现象，故A正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
3．我国研制的“复兴号动车组”首次实现了时速350 km/h的自动驾驶，此时多普勒效应会影响无线通信系统稳定，这要求通信基站能分析误差并及时校正。如图所示，一辆行驶的动车组发出一频率为f0、持续时间为Δt0的通信信号，与动车组行驶方向在同一直线上的通信基站A、B接收到信号的频率和持续时间分别为fA、ΔtA和fB、ΔtB，下列判断正确的是(　　)
A．fA>f0，ΔtA<Δt0　 B．fAΔt0
C．fB>f0，ΔtB>Δt0　 D．fB√
A　[根据多普勒效应，远离波源的接收者接收到的频率变小，靠近波源的接收者接收到的频率变大，则fA>f0，fBT0，所以ΔtA<Δt0，ΔtB>Δt0，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．(鲁科版选择性必修第一册改编)两波源S1、S2在水波槽中形成的波形示意图如图所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷。波源S1形成的波的波长比波源S2形成的波的波长短，则(　　)
A．在两波相遇的区域中会产生干涉
B．在两波相遇的区域中不会产生干涉
C．点a的振动始终加强
D．点a的振动始终减弱
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
B　[两波的波长不相等，而在同一介质中机械波的波速相等，根据v＝λf，可知两列波的频率不同，则在两波相遇的区域中不会产生干涉，不会形成稳定的干涉图样，可知点a的振动不会始终加强或始终减弱，B正确，A、C、D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．(多选)如图是一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为v，P、Q是沿波传播方向上相距为a的两质点，某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波峰，则t可能等于(　　)
A．　 B．
C．　 D．
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
ACD　[当质点Q此时正向上运动时，对应波形如图甲、乙所示；当质点Q此时正向下运动时，对应波形如图丙、丁所示。则图甲中，波长λ＝2a，T＝，所以t＝＝；同理图乙中，t＝；图丙中，t＝；图丁中，t＝，A、C、D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
6．(2025·河北石家庄三模)健身者在公园以固定频率上下抖动长绳的一端，长绳呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。以健身者手持长绳端为坐标原点，t1＝0和t2＝0.25 s时刻长绳呈现的波形图如图所示，已知横波沿x轴正方向传播，则横波的波速可能是(　　)
√
A．4.2 m/s　B．5 m/s　C．5.2 m/s　D．5.4 m/s
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[由题意可知横波沿x轴正方向传播，波长λ＝0.6 m，则波速v＝＝0.6×(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，分别代入波速为4.2 m/s、5 m/s和5.2 m/s，均解得n不为整数，代入波速5.4 m/s，解得n＝2 ，所以当波速为5.4 m/s时，满足题目要求，故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
7．(2025·河北廊坊三模)一列沿x轴方向传播的简谐横波t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.01 s时刻的波形如图中虚线所示。已知质点振动的周期T>0.01 s。关于这列波，下列说法正确的是(　　)
A．波的频率可能为7.5 Hz
B．波的频率可能为50 Hz
C．波速可能为4 m/s
D．波速可能为2 m/s
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[若波沿x轴负方向传播，t＝0时刻处于原点的质点向上振动，则有Δt＝T＝0.01 s，可得T＝ s，由于T>0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，则频率为f＝＝75 Hz，波速为v＝＝ m/s＝6 m/s；若波沿x轴正方向传播，t＝0时刻处于原点的质点向下振动，则有Δt＝T＝0.01 s，可得T＝s，由于T>0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，则频率为f＝＝25 Hz，波速为v＝＝ m/s＝2 m/s，故D正确。]
题号
1
3
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2
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11
8．(多选)(2025·山西运城期末)如图，在某介质中建立坐标系，位于x＝－6 m的波源P产生的简谐横波沿着x轴正方向传播，t＝0时刻开始振动，t＝3 s时刻形成图中波形。下列说法正确的是(　　)
A．波源P的起振方向向下
B．若一观察者从x＝2 m处沿x轴负方向匀速运
动，观察者接受到的此波频率小于波源频率
C．0～8 s时间内，平衡位置位于x＝－1 m的质点所走过的路程为12 cm
D．若在x＝2 m处另有一波源Q产生波长为3 m的简谐横波沿着x轴负方向传播，则在两列波相遇区域会产生干涉现象
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
AC　[t＝3 s时，波传到了x＝－3 m，由题图可知此时x＝－3 m处的质点要向下振动，则波源P的起振方向向下，A正确；根据多普勒效应，一观察者从x＝2 m处沿x轴负方向匀速运动，观察者接受到的此波频率大于波源频率，B错误；依题意，由v＝，可得波速为v＝ m/s＝1 m/s，由题图可知波长为2 m，由v＝得T＝2 s，设振动从波源P传到x＝－1 m用时t1，则t1＝ s＝5 s，之后开始向下振动t2＝8 s－5 s＝3 s＝1.5T，则0～8 s时间内，平衡位置位于x＝－1 m的质点所走过的路程为s＝1.5×4×2 cm＝12 cm，C正确；同一介质中，波速相同，由v＝λf可知波源Q与波源P产生的波的频率不同，则在两列波相遇区域不会产生干涉现象，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
9．(2025·江西新余模拟)如图所示，在坐标系中A(0，－5)和B(12，0)处有两个波源，已知A处波源质点的振动方程xA＝3sin cm，B处波源质点的振动方程xB＝2sin cm，已知这两列波在介质中传播的速度v＝2 m/s，两波源的振动方向都与纸面垂直，下列说法正确的是(　　)
A．这两列波的波长都是1 m
B．坐标原点O的振幅是1 cm
C．在OB之间(不含O、B两点)有10个加强点
D．在OA之间(不含O、A两点)有3个减弱点
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
D　[由振动方程可知两列波的周期T＝＝1 s，已知这两列波在介质中传播的速度v＝2 m/s，根据v＝得λ＝2 m，故A错误；两个波源的周期相等发生干涉，根据两个波源的振动方程可知两个波源的振动步调相反，由于OA＝5 m，OB＝12 m，则Δx＝7 m，所以O点到两个波源距离差是半个波长的奇数倍，是加强点，即O点的振幅是两个波源振幅之和，O点的振幅是5 cm，故B错误；OB段上的点(不含O、B两点)到A、B两点距离之差从－7 m到13 m，加强点是距离之差等于－5 m、－3 m、－1 m、1 m、3 m、5 m、7 m、9 m、11 m的9个点，故C错误；OA段上的点(不含O、A两点)到A、B两点距离之差从－7 m到－13 m，减弱点是距离之差等于－8 m、－10 m、－12 m的3个点，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
10．(2024·浙江6月选考)频率相同的简谐波源S1、S2和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m。t＝0时，S1、S2同时垂直平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则(　　)
A．两列波的波长为2 m
B．S1和S2的起振方向均沿x正方向
C．S1和S2在平面内不能产生干涉现象
D．两列波的振幅分别为3 cm和1 cm
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
B　[根据题图可知，两列波传到M点的时间之差为3 s，又S1、S2到M点的距离之差为6 m，则由v＝可得两列波的波速为2 m/s，由题图可知两列波的周期T＝2 s，则由λ＝vT可知两列波的波长为4 m，A错误；由题图可知，t＝4 s时，M点开始沿x正方向振动，说明较快传播到M点的波的波源的起振方向沿x正方向，t＝7 s时，M点的振动图像开始发生变化，说明此时另一列波刚好传播到M点，由于此时较快传播到M点的波使M点沿x负方向振动，而此后M点的振幅减小，说明此时刚好传播到M点的波使M点沿x正方向振动，即较慢传播到M点的波的波源的起振方向沿x正方向，B正确；由于S1、S2的频率相同，则S1、S2在平面内能产生干涉现象，C错误；根据题图可知较快传播到M点的波的振幅为3 cm，t＝7 s后，M点的振幅为A＝A快－A慢＝1 cm，则较慢传播到M点的波的振幅为2 cm，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
11．(2025·贵州贵阳模拟)如图，O、A相距5 m，由O点产生的简谐波经2.5 s传到A点时，A开始向上振动，此时O点正好回到平衡位置并向下运动，此刻OA间形成的波形正好有2个波谷。在OA之间(不包含O、A)有一点P(图中未画出)，P点的运动方向始终与A点运动方向相反。
(1)画出OA间的波形；
(2)求这列波的波速和波长；
(3)求P与A的可能距离。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析]　(1)A开始向上振动，根据同侧法可知，质点A左侧的波形的位移开始应该为正值，由于此时O点正好回到平衡位置并向下运动，OA间形成的波形正好有2个波谷，作出波形图如图所示。
(2)根据上述图示可知xOA＝2λ＋，解得λ＝2 m
由于O、A相距5 m，由O点产生的简谐波经2.5 s传到A点，则有v＝
解得v＝2 m/s。
(3)由于P点的运动方向始终与A点运动方向相反，则有xPA＝(n＝0，1，2，…)
根据题意有xPA<5 m，解得n<2
即n取0、1，解得xPA＝1 m或xPA＝3 m。
[答案]　(1)见解析图　(2)2 m/s　2 m　(3)1 m　3 m
章末巩固(七)　机械振动　机械波
一、单选题
1．(2025·贵州贵阳模拟)如图甲所示，弹簧振子在光滑水平地面上M、N两点之间做简谐运动，规定O点为平衡位置，以向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．0.4～0.8 s内，振子向正方向运动
B．t＝0.2 s时和t＝0.6 s时振子的速度相同
C．t＝0.6 s时和t＝1.0 s时振子的势能不同
D．t＝1.0 s时振子的动能大于t＝1.3 s时的动能
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
D　[x-t图像的斜率代表速度，0.4～0.8 s内，振子向负方向运动，故A错误；t＝0.2 s时和t＝0.6 s时振子的速度大小相等、方向相反，速度不同，故B错误；t＝0.6 s时和t＝1.0 s时振子的位移大小相等，根据对称性可知，势能相同，故C错误；振子在t＝1.0 s时比t＝1.3 s时更衡位置，速度更大，所以t＝1.0 s时振子的动能大于t＝1.3 s时振子的动能，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
2．(2025·河南信阳模拟)如图甲所示，蜻蜓在水面点水，激起一圈圈波纹。将此波视为简谐横波，以点水处为坐标原点O，沿水面建立坐标系xOy。某时刻观察到的波形示意图如图乙所示，实线圆、虚线圆分别表示此刻相邻的波峰和波谷。已知从开始点水到波纹传出去5 m远共用时20 s，则(　　)
A．该波的波长为0.8 cm
B．该波的频率为0.064 Hz
C．图乙所示时刻O点的振动方向竖直向上
D．图乙所示时刻P点的振动方向竖直向上
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
C　[相邻波峰与波谷间距为，由题图乙可知＝(1.8－1.0) cm＝
0.8 cm，则λ＝1.6 cm，A错误；波速v＝＝0.25 m/s，频率f＝＝15.625 Hz，B错误；根据 “上下坡法”，此时O点振动方向竖直向上，C正确；P点在波峰与波谷间，根据 “上下坡法”，P点振动方向竖直向下，D错误。故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
3．(2024·江西卷)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是(　　)
A．振动减弱；d＝4.725 mm
B．振动加强；d＝4.725 mm
C．振动减弱；d＝9.45 mm
D．振动加强；d＝9.45 mm
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A　[根据反射信号图像可知，超声波的传播周期T＝2×10-7 s，又波速v＝6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ＝vT＝1.26×10-3 m，结合题图(b)和题图(c)可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt＝1.5×10-6 s，故两个反射信号的路程差2d＝vΔt＝9.45×10-3 m＝λ，解得d＝4.725×10-3 m，且两个反射信号在探头处振动减弱，A正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
4．(2025·湖北恩施模拟)在x轴有两个持续振动的波源，激起甲、乙两列简谐横波分别沿x轴正、负方向传播，t＝0时刻两列波在相遇区域各自独立的波形如图所示。已知波在介质中的传播速度为v＝
4 m/s，下列关于叠加区域质点的描述正确的是(　　)
A．叠加区域实际波形每隔6 s重复一次
B．两列波源的振动频率相同
C．两波会发生稳定干涉，且x＝0的质点振动减弱
D．x＝12 m的质点此刻正在沿＋y方向振动
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
A　[由题图可知，两波的波长分别为λ甲＝12 m，λ乙＝8 m，则两波的周期分别为T甲＝ s＝3 s，T乙＝ s＝2 s，可知两波周期的最小公倍数对应的时间为6 s，则叠加区域实际波形每隔6 s重复一次，故A正确；由于两波的周期不同，所以两列波源的振动频率不同，两波不会发生稳定干涉，故B、C错误；根据微平移法可知，x＝12 m的质点此刻正在沿y轴负方向振动，故D错误。故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
二、多选题
5．(2025·重庆卷)一浮筒(视为质点)在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪(视为简谐波)。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则(　　)
A．该波的波长为4r
B．该波的波速为2rf
C．此时浮筒在最低点
D．再经过，浮筒将在最低点
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
AD　[根据题意，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，故可得2λ＝9r－r，即λ＝4r，故A正确；该波的波速为v＝λf＝4rf，故B错误；由λ＝4r，根据某时刻第1圈实线的半径为r＝λ，可得此时浮筒处于平衡位置，由于波向外传播，根据同侧法可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，故再经过＝T，浮筒将在最低点，故C错误，D正确。故选AD。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
6．(2025·广东深圳三模)某机械波在t＝0时刻的波形如图甲所示，P是平衡位置在x＝0处的质点，Q是平衡位置在x＝0.5 m的质点，以此时刻作为计时起点，质点Q的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．该机械波沿x轴负方向传播
B．该机械波的波长为1.2 m
C．t＝3 s时，质点Q的加速度最大
D．0～5 s内，质点P运动的路程为10 cm
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
BC　[对质点Q结合题图乙，由同侧法可知该机械波沿x轴正方向传播，故A错误；由题图甲可知，该机械波的波长满足0.5 m＝λ－λ，解得λ＝1.2 m，故B正确；由题图乙可知t＝3 s时质点Q位于波峰处，该位置回复力最大，加速度最大，故C正确；由题图甲可知波的振幅A为2 cm，因为Δt＝5 s＝T，若质点从平衡位置、波峰或波谷位置开始振动，其路程一定为s＝×4A＝10 cm，而质点P是从非特殊位置振动，其路程一定不等于10 cm，故D错误。故选BC。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
三、非选择题
7．(2025·上海一模)如图(a)，某同学用单摆测当地重力加速度，绳子上端为力传感器，可测摆绳上的张力F。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(1)图(b)为F随时间t变化的图像，在0～1 s内，摆球在最低点的时刻为________s，该单摆的周期T＝________s。
(2)该同学测量了摆线长度L，通过改变L，测得6组对应的周期T。描点，作出T2-L图线，如图(c)，图线的横、纵截距为－p和q。在图线上选取A、B两点，坐标为(LA，)和(LB，)，则重力加速度g
＝________；摆球的直径d＝_______。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
0.7　
1.6　
　
　2p
[解析]　(1)小球在最低点时绳子上的力最大，故在0～1 s内，摆球在最低点的时刻为0.7 s；小球在最高点时绳子上的力最小，相邻最高点和最低点的时间间隔t＝0.7 s－0.3 s＝0.4 s＝T，可得T＝1.6 s。
(2)由单摆周期公式有T＝2π
变形得T2＝L＋d
所以T2-L图像的斜率为k＝＝
整理有g＝
又由纵截距q＝d
综合解得摆球的直径d＝2p。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
8．(2025·广西卷)某乐器发出频率为两倍关系的两个纯音(简谐声波)，其波形叠加后呈现一种周期性变化。图甲和图乙分别为同一时刻两列简谐声波单独沿x轴正方向传播的波形图，图中的坐标原点位于同一质点处，声速为340 m/s。
(1)从图中读出这两列波的波长；
(2)该时刻这两列波叠加，分别求x＝0
和x＝0.375 m处的质点在该时刻偏离
平衡位置的位移；
(3)求这两列波叠加后的周期。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[解析]　(1)由题图甲可知
4λ甲＝2.0 m
解得λ甲＝0.5 m
由题图乙可知
2λ乙＝2.0 m
解得λ乙＝1.0 m。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(2)该时刻，甲波在x＝0处偏离平衡位置的位移为1.0 μm
乙波在x＝0处偏离平衡位置的位移也为1.0 μm
因此这两列波叠加后在x＝0处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为x0＝2 μm
该时刻，甲波在x＝0.375 m＝λ甲处偏离平衡位置的位移为0
乙波在x＝0.375 m＝λ乙处偏离平衡位置的位移为－ μm
因此这两列波叠加后在x＝0.375 m处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为x0.375＝－ μm。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
(3)这两列波叠加后的波长λ＝1.0 m
根据波长、波速与周期的关系有λ＝vT
其中v＝340 m/s
代入数据解得T＝ s。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
[答案]　(1)0.5 m　1.0 m　(2)2 μm　－ μm　(3) s
阶段检测(三)　第五章至第七章
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
一、单选题
1．(2026·天津东丽开学考)图甲所示为一列简谐横波在t＝0时的波的图像，图乙所示为该波中x＝4 m处质点P的振动图像。下列说法正确的是(　　)
A．t＝0.5 s时质点P的速度最大
B．此波沿x轴正方向传播
C．此波的波速为2 m/s
D．t＝1.0 s时质点P的加速度最大
√
A　[由题图乙可知t＝0.5 s时质点P在平衡位置，速度最大，故A正确；由题图乙可知t＝0时质点P向y轴负方向振动，由题图甲可知此波沿x轴负方向传播，故B错误；由题图甲可知波长λ＝4 m，由题图乙可知周期为T＝1.0 s，则波速为v＝＝ m/s＝4 m/s，故C错误；t＝1.0 s时质点P在平衡位置，加速度最小，故D错误。故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2．(2026·天津武清开学考)高空“蹦极”是勇敢者的游戏。蹦极运动员将专用弹性橡皮绳(质量忽略不计)的一端系在双脚上，另一端固定在高处的跳台上，运动员无初速地从跳台上落下。若不计空气阻力，则(　　)
A．弹性绳刚伸直时，运动员开始减速
B．整个下落过程中，运动员的机械能保持不变
C．整个下落过程中，重力对运动员所做的功等于运动员克服弹性绳弹力所做的功
D．弹性绳从伸直到最低点的过程中，运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先增大后减小
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[弹性绳刚伸直时，弹力为0，此时运动员仍只受重力作用，根据牛顿第二定律可知其加速度向下，所以运动员继续加速，故A错误；整个下落过程中，当弹性绳伸直后，弹性绳会对运动员做功，运动员的机械能会转化为弹性绳的弹性势能，运动员的机械能不守恒，故B错误；整个下落过程中，运动员初速度为0，末速度也为0，根据动能定理可知合外力做功为0，即重力对运动员所做的功等于运动员克服弹性绳弹力所做的功，故C正确；弹性绳从伸直到最低点的过程中，运动员的速度先增大后减小，动能先增大后减小，因为运动员的重力势能、动能与弹性绳的弹性势能之和守恒，所以运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小后增大，故D错误。故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
3．(2026·山东济南开学考)一物体从离地面某一高度处由静止释放，以地面为零势能参考面，不计空气阻力。物体落地前重力势能Ep和动能Ek随运动时间t和相对释放点的位移x的图像可能正确的是(　　)
√
A　[物体由静止释放，根据机械能守恒，重力对物体做正功，重力势能减小，动能不断增大，则Ek＝WG＝mgx＝mg2t2，Ep＝Ep0－WG＝Ep0－mgx＝Ep0－mg2t2，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
4．(2026·北京房山开学考)在同一竖直平面内，将3个完全相同的
小钢球(1号、2号、3号)悬挂于同一高度，静止时小钢球恰能接触且
悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰
撞均为对心正碰。以下分析正确的是(　　)
A．将1号移至高度h处释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度h。若2号换成质量较大的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度h
B．将1、2号一起移至高度h处释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒
C．将右侧涂胶的1号移至高度h处释放，1、2号碰撞后粘在一起，3号将不能摆至高度h
D．将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度h处释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[若2号换成质量较大的小钢球，1号球与质量不同的2号球相碰撞后，1号球速度不为0，则2号球获得的动能小于1号球撞2号球前瞬间的动能，所以2号球与3号球相碰撞后，3号球获得的动能也小于1号球撞2号球前瞬间的动能，则3号不可能摆至高度h，故A错误；1、2号球释放后，三小球之间的碰撞为弹性碰撞，且三小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，但整个过程中，系统所受合外力不为0，所以系统动量不守恒，故B错误；1、2号碰撞后粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，所以1、2号球再与3号球相碰后，3号球获得的动能不足以使其摆至高度h，故C正确；碰撞后，2、3号粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，且整个过程中，系统所受合外力不为0，所以系统的机械能和动量都不守恒，故D错误。故选C。]
题号
1
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10
11
5．(2026·山东泰安开学考)A、B两球沿同一条直线运动，如图所示的位移x随时间t变化的图像记录了它们碰撞前后的运动情况，其中a、b分别为A、B碰撞前的x-t图像，c为它们碰撞后的x-t图像。若A球质量为1 kg，则A、B碰撞过程中损失的机械能为(　　)
A． J　 B．5 J
C． J　 D． J
√
题号
1
3
5
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4
6
8
7
9
10
11
B　[由题图可知，碰撞前A、B两球都做匀速直线运动，速度分别为va＝ m/s＝－3 m/s，vb＝ m/s＝2 m/s，碰撞后二者一起做匀速直线运动，vc＝ m/s＝－1 m/s，碰撞过程中动量守恒，即mAva＋mBvb＝(mA＋mB)vc，解得mB＝ kg，碰撞过程中损失的机械能ΔE＝mA＋mB－(mA＋mB)，解得ΔE＝5 J，故选B。]
题号
1
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11
二、多选题
6．(2026·山东泰安开学考)如图所示，人们用滑道从高处向低处运送货物，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为10 m/s。已知货物质量为15 kg，滑道高度h为
6 m，且过Q点的切线水平，重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有(　　)
A．摩擦产生的热量为150 J
B．摩擦产生的热量为440 J
C．经过Q点时货物对轨道的压力大小为400 N
D．经过Q点时货物对轨道的压力大小为100 N
√
√
题号
1
3
5
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4
6
8
7
9
10
11
AC　[由能量关系可知，摩擦产生的热量为Q＝mgh－mv2＝(15×10×6－×15×102) J＝150 J，A正确，B错误；货物经过Q点时根据牛顿第二定律可知FN－mg＝m，解得FN＝400 N，由牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为400 N，C正确，D错误。故选AC。]
题号
1
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4
6
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10
11
7．(2026·北京开学考)如图所示，在光滑的水平地面上停放着质量为M的装有圆弧槽的小车，现有质量为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，不计一切摩擦和空气阻力，则(　　)
A．在相互作用过程中，小车和小球组成的系统动量守恒
B．小球从左侧离开小车后，可能做平抛运动
C．小球从左侧离开小车后，可能做自由落体运动
D．若v0足够大，小球可能不会从左侧离开小车
√
√
题号
1
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4
6
8
7
9
10
11
BC　[小球沿圆弧槽上升过程，小车和小球组成的系统水平方向受合外力为0，则水平方向动量守恒，但竖直方向受合外力不为0，则系统动量不守恒，故A错误；设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，整个过程中水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2，由机械能守恒得mv02＝mv12＋Mv22，解得v1＝v0，v2＝v0，若m＝M，则v1＝0，小球从左侧离开小车后将做自由落体运动，若m题号
1
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11
8．(2026·河南新乡开学考)一列简谐横波在t＝0时的波形如图所示。质点P 的平衡位置位于x＝2 m处，质点Q的平衡位置位于x＝4 m处。t＝1.4 s时质点P的位移第一次为5 cm。下列判断正确的是(　　)
A．若该波沿x轴正方向传播，质点振动周期为12 s
B．若该波沿x轴负方向传播，质点振动周期为2.4 s
C．若该波沿x轴正方向传播，t＝1.4 s时质点Q的位移为－5 cm
D．若该波沿x轴负方向传播，t＝1.4 s 时质点Q的位移为5 cm
√
√
题号
1
3
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11
BC　[若波沿x轴正方向传播，t＝0时质点P向上振动，质点P的振动方程为y＝Asin(ωt＋φ)，由题可知A＝10 cm，t＝0时y＝0且质点P向上振动，所以φ＝0，则y＝10sin ωt cm，当t＝1.4 s时，y＝5 cm，因为是第一次位移为5 cm，代入解得ω＝，又角频率ω＝，解得T＝16.8 s，故A错误；若波沿x轴负方向传播，t＝0时质点P向下振动，质点P的振动方程为y＝Asin(ωt＋φ)，t＝0时y＝0且质点P向下振动，所以φ＝π，则y＝10sin(ωt＋π) cm，当t＝1.4 s时，y第一次为5 cm，代入解得T＝2.4 s，故B正确；若波沿x轴正方向传播，t＝0时质点Q向下振动，根据对称性，t＝1.4 s时质点P位移为5 cm，则质点Q位移为－5 cm，故C正确；若波沿x轴负方向传播，t＝0时质点Q向上振动，根据对称性，t＝1.4 s时质点P位移为5 cm，质点Q位移为－5 cm，故D错误。故选BC。]
题号
1
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11
三、非选择题
9．(2026·江苏南通开学考)某实验小组利用如图甲所示装置探究系统机械能守恒。细杆两端固定A、B两个直径相等的小球，A球质量为m，B球质量为2m，杆可绕过O点的转轴在竖直平面内转动，两球心到O点的距离均为L，光电门固定在O点正下方，记录小球通过光电门的遮光时间。重力加速度为g，实验步骤如下：
题号
1
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11
(1)用螺旋测微器测出小球直径d，如图乙所示，则小球的直径d＝__________________________ mm；
(2)将细杆拉离竖直方向，用量角器测出细杆与竖直方向的夹角θ，自由释放细杆。
①球B经过光电门的时间记为t，此时vB＝___(用题中的字母表示)；
②自由释放细杆到球B通过光电门过程中，系统减少的重力势能Ep＝_______________(用题中的字母表示)；
11.700(11.699～11.701均可)
　
mgL(1－cos θ)　
题号
1
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11
(3)改变细杆与竖直方向的夹角，多次实验。若系统机械能守恒，则关于cos θ与t的关系图像可能是________。
C
题号
1
3
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10
11
[解析]　(1)小球直径d＝11.5 mm＋0.01 mm×20.0＝11.700 mm。
(2)球B经过光电门的时间记为t，则vB＝
自由释放细杆到球B通过光电门过程中，球B减少的重力势能EpB＝2mgL(1－cos θ)
球A增加的重力势能EpA＝mgL(1－cos θ)
则系统减少的重力势能Ep＝EpB－EpA＝mgL(1－cos θ)。
(3)若系统机械能守恒，则Ep＝ΔEk，即
mgL(1－cos θ)＝m＋×2m
解得cos θ＝1－，选项C正确。
题号
1
3
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11
10．(2026·安徽合肥开学考)如图所示，带有光滑圆弧面的圆弧体静止在光滑的水平面上，圆弧面的半径为R，圆弧面最低点的切线水平，圆弧面最低点到水平面的高度为R，将一个小球
在圆弧面的最高点由静止释放。已知圆弧体的质量为小
球质量的2倍，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)小球运动到圆弧面最低点时，小球和圆弧体运动的速度大小；
(2)小球落到水平面时，小球与圆弧面最低点的水平距离；
(3)从小球静止释放到小球落地的全过程，圆弧体的位移大小。
题号
1
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11
[解析]　(1)设小球的质量为m，小球运动到圆弧面最低点时的速度大小为v1，圆弧体的速度大小为v2，根据系统水平方向动量守恒有mv1＝2mv2
根据机械能守恒有
mgR＝mv12＋×2mv22
联立解得v1＝，v2＝。
(2)设小球从圆弧面最低点抛出到落地的时间为t，则R＝gt2，解得t＝
则小球落地时，小球与圆弧面最低点间的水平距离s＝(v1＋v2)t＝3R。
(3)设小球沿圆弧面下滑过程中圆弧体的位移大小为x1，小球水平位移大小为x'1，则由“人船模型”有mx'1＝2mx1
依题意有x1＋x'1＝R
联立解得x1＝R
小球平抛运动过程中圆弧体的位移大小为
x2＝v2t＝R
故从小球静止释放到小球落地的全过程，圆弧体的位移大小为x＝x1＋x2＝R。
题号
1
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11
[答案]　(1)　　(2)3R　(3)R
题号
1
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11
11．(2025·江苏宿迁一模)工厂传送产品的装置如图所示。传送带在电动机的带动下顺时针运行，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝37°，传送带顶端有与传送带上表面在同一直线上的斜面，两者平滑对接。一产品无初速度地放到传送带底端，经传送带传动后滑上斜面，恰好能到达斜面的顶端，由机器人取走产品。已知产品的质量m＝1 kg，传送带上表面的长度L1＝10 m、运行速度v0＝4 m/s，斜面长度L2＝1 m，产品与传送带间的动摩擦因数μ1＝，取重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求产品在传送带上加速运动的时间t；
(2)求产品与斜面间的动摩擦因数μ2；
(3)若不计电动机的损耗，求电动机传送该产品的整个过程中，
产品获得的机械能E1与消耗电能E2的比值。
题号
1
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11
[解析]　(1)根据牛顿第二定律有
μ1mgcos 37°－mgsin 37°＝ma，解得a＝1 m/s2
产品加速距离x＝＝8 m即产品在传送带上先加速再匀速运动，加速时间t＝，解得t＝4 s。
(2)产品在斜面上，由动能定理有－(mgsin 37°＋μ2mgcos 37°)L2＝0－m，解得μ2＝0.25。
题号
1
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11
(3)产品在传送带上获得的机械能
E1＝mgL1sin 37°＋m，解得E1＝68 J
产品与传送带间产生的热量Q＝μ1mgcos 37°·(v0t－x)，消耗电能E2＝mgL1sin 37°＋m＋Q，
解得E2＝124 J，比值＝。
[答案]　(1)4 s　(2)0.25　(3)
谢谢！课时作业(四十一)　机械波的多解及波的特性
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共58分。
1．(多选)关于波，下列说法正确的是(　　)
A．有的波只能发生干涉现象，有的波只能发生衍射现象
B．能观察到明显的衍射现象的条件是障碍物的尺寸与波长比较相差不多或比波长更小
C．在干涉图样中，振动加强区域中的质点，其位移始终最大，振动减弱区域中的质点，其位移始终最小
D．当观测者靠近波源时，接收到的波的频率会大于波源的振动频率
2．如图为波源O传出的一列水波，相邻实线间的距离等于一个波长。下列说法正确的是(　　)
A．波通过孔A，发生明显的衍射现象
B．波通过孔B，不发生衍射现象
C．波遇到障碍物C，发生明显的衍射现象
D．波遇到障碍物D，不发生衍射现象
3．我国研制的“复兴号动车组”首次实现了时速350 km/h的自动驾驶，此时多普勒效应会影响无线通信系统稳定，这要求通信基站能分析误差并及时校正。如图所示，一辆行驶的动车组发出一频率为f0、持续时间为Δt0的通信信号，与动车组行驶方向在同一直线上的通信基站A、B接收到信号的频率和持续时间分别为fA、ΔtA和fB、ΔtB，下列判断正确的是(　　)
A．fA>f0，ΔtA<Δt0
B．fAΔt0
C．fB>f0，ΔtB>Δt0
D．fB4．(鲁科版选择性必修第一册改编)两波源S1、S2在水波槽中形成的波形示意图如图所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷。波源S1形成的波的波长比波源S2形成的波的波长短，则(　　)
A．在两波相遇的区域中会产生干涉
B．在两波相遇的区域中不会产生干涉
C．点a的振动始终加强
D．点a的振动始终减弱
5．(多选)如图是一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为v，P、Q是沿波传播方向上相距为a的两质点，某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波峰，则t可能等于(　　)
A．　 B．
C．　 D．
6．(2025·河北石家庄三模)健身者在公园以固定频率上下抖动长绳的一端，长绳呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。以健身者手持长绳端为坐标原点，t1＝0和t2＝0.25 s时刻长绳呈现的波形图如图所示，已知横波沿x轴正方向传播，则横波的波速可能是(　　)
A．4.2 m/s　 B．5 m/s
C．5.2 m/s　 D．5.4 m/s
7．(2025·河北廊坊三模)一列沿x轴方向传播的简谐横波t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.01 s时刻的波形如图中虚线所示。已知质点振动的周期T>0.01 s。关于这列波，下列说法正确的是(　　)
A．波的频率可能为7.5 Hz
B．波的频率可能为50 Hz
C．波速可能为4 m/s
D．波速可能为2 m/s
8．(多选)(2025·山西运城期末)如图，在某介质中建立坐标系，位于x＝－6 m的波源P产生的简谐横波沿着x轴正方向传播，t＝0时刻开始振动，t＝3 s时刻形成图中波形。下列说法正确的是(　　)
A．波源P的起振方向向下
B．若一观察者从x＝2 m处沿x轴负方向匀速运动，观察者接受到的此波频率小于波源频率
C．0～8 s时间内，平衡位置位于x＝－1 m的质点所走过的路程为12 cm
D．若在x＝2 m处另有一波源Q产生波长为3 m的简谐横波沿着x轴负方向传播，则在两列波相遇区域会产生干涉现象
9．(2025·江西新余模拟)如图所示，在坐标系中A(0，－5)和B(12，0)处有两个波源，已知A处波源质点的振动方程xA＝3sin cm，B处波源质点的振动方程xB＝2sin cm，已知这两列波在介质中传播的速度v＝2 m/s，两波源的振动方向都与纸面垂直，下列说法正确的是(　　)
A．这两列波的波长都是1 m
B．坐标原点O的振幅是1 cm
C．在OB之间(不含O、B两点)有10个加强点
D．在OA之间(不含O、A两点)有3个减弱点
10．(2024·浙江6月选考)频率相同的简谐波源S1、S2和接收点M位于同一平面内，S1、S2到M的距离之差为6 m。t＝0时，S1、S2同时垂直平面开始振动，M点的振动图像如图所示，则(　　)
A．两列波的波长为2 m
B．S1和S2的起振方向均沿x正方向
C．S1和S2在平面内不能产生干涉现象
D．两列波的振幅分别为3 cm和1 cm
11．(12分)(2025·贵州贵阳模拟)如图，O、A相距5 m，由O点产生的简谐波经2.5 s传到A点时，A开始向上振动，此时O点正好回到平衡位置并向下运动，此刻OA间形成的波形正好有2个波谷。在OA之间(不包含O、A)有一点P(图中未画出)，P点的运动方向始终与A点运动方向相反。
(1)画出OA间的波形；
(2)求这列波的波速和波长；
(3)求P与A的可能距离。
课时作业(四十一)
1．BD　[干涉、衍射是波共有的特性，A错误；当满足d≤λ时产生明显的衍射现象，B正确；在干涉图样中，振动加强区中的质点的位移随时间发生周期性变化，C错误；在多普勒效应中，观测者与波源相对靠近时，接收到的波的频率大于波源的振动频率，D正确。]
2．A　[当孔、缝、障碍物的宽度与波长差不多或者比波长还小时，就能够发生明显的衍射现象。观察题图，孔B和障碍物C的尺寸明显大于波长，不会发生明显的衍射现象，但仍然发生衍射现象，只是不明显，不易观察，故B、C错误；孔A和障碍物D的尺寸接近波长，会发生明显的衍射现象，故A正确，D错误。]
3．A　[根据多普勒效应，远离波源的接收者接收到的频率变小，靠近波源的接收者接收到的频率变大，则fA>f0，fBT0，所以ΔtA<Δt0，ΔtB>Δt0，故选A。]
4．B　[两波的波长不相等，而在同一介质中机械波的波速相等，根据v＝λf，可知两列波的频率不同，则在两波相遇的区域中不会产生干涉，不会形成稳定的干涉图样，可知点a的振动不会始终加强或始终减弱，B正确，A、C、D错误。]
5．ACD　[当质点Q此时正向上运动时，对应波形如图甲、乙所示；当质点Q此时正向下运动时，对应波形如图丙、丁所示。则图甲中，波长λ＝2a，T＝，所以t＝＝；同理图乙中，t＝；图丙中，t＝；图丁中，t＝，A、C、D正确。
　]
6．D　[由题意可知横波沿x轴正方向传播，波长λ＝0.6 m，则波速v＝＝0.6×(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，分别代入波速为4.2 m/s、5 m/s和5.2 m/s，均解得n不为整数，代入波速5.4 m/s，解得n＝2 ，所以当波速为5.4 m/s时，满足题目要求，故选D。]
7．D　[若波沿x轴负方向传播，t＝0时刻处于原点的质点向上振动，则有Δt＝T＝0.01 s，可得T＝ s，由于T>0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，则频率为f＝＝75 Hz，波速为v＝＝ m/s＝6 m/s；若波沿x轴正方向传播，t＝0时刻处于原点的质点向下振动，则有Δt＝T＝0.01 s，可得T＝s，由于T>0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，则频率为f＝＝25 Hz，波速为v＝＝ m/s＝2 m/s，故D正确。]
8．AC　[t＝3 s时，波传到了x＝－3 m，由题图可知此时x＝－3 m处的质点要向下振动，则波源P的起振方向向下，A正确；根据多普勒效应，一观察者从x＝2 m处沿x轴负方向匀速运动，观察者接受到的此波频率大于波源频率，B错误；依题意，由v＝，可得波速为v＝ m/s＝1 m/s，由题图可知波长为2 m，由v＝得T＝2 s，设振动从波源P传到x＝－1 m用时t1，则t1＝ s＝5 s，之后开始向下振动t2＝8 s－5 s＝3 s＝1.5T，则0～8 s时间内，平衡位置位于x＝－1 m的质点所走过的路程为s＝1.5×4×2 cm＝12 cm，C正确；同一介质中，波速相同，由v＝λf可知波源Q与波源P产生的波的频率不同，则在两列波相遇区域不会产生干涉现象，D错误。]
9．D　[由振动方程可知两列波的周期T＝＝1 s，已知这两列波在介质中传播的速度v＝2 m/s，根据v＝得λ＝2 m，故A错误；两个波源的周期相等发生干涉，根据两个波源的振动方程可知两个波源的振动步调相反，由于OA＝5 m，OB＝12 m，则Δx＝7 m，所以O点到两个波源距离差是半个波长的奇数倍，是加强点，即O点的振幅是两个波源振幅之和，O点的振幅是5 cm，故B错误；OB段上的点(不含O、B两点)到A、B两点距离之差从－7 m到13 m，加强点是距离之差等于－5 m、－3 m、－1 m、1 m、3 m、5 m、7 m、9 m、11 m的9个点，故C错误；OA段上的点(不含O、A两点)到A、B两点距离之差从－7 m到－13 m，减弱点是距离之差等于－8 m、－10 m、－12 m的3个点，故D正确。]
10．B　[根据题图可知，两列波传到M点的时间之差为3 s，又S1、S2到M点的距离之差为6 m，则由v＝可得两列波的波速为2 m/s，由题图可知两列波的周期T＝2 s，则由λ＝vT可知两列波的波长为4 m，A错误；由题图可知，t＝4 s时，M点开始沿x正方向振动，说明较快传播到M点的波的波源的起振方向沿x正方向，t＝7 s时，M点的振动图像开始发生变化，说明此时另一列波刚好传播到M点，由于此时较快传播到M点的波使M点沿x负方向振动，而此后M点的振幅减小，说明此时刚好传播到M点的波使M点沿x正方向振动，即较慢传播到M点的波的波源的起振方向沿x正方向，B正确；由于S1、S2的频率相同，则S1、S2在平面内能产生干涉现象，C错误；根据题图可知较快传播到M点的波的振幅为3 cm，t＝7 s后，M点的振幅为A＝A快－A慢＝1 cm，则较慢传播到M点的波的振幅为2 cm，D错误。]
11．解析：(1)A开始向上振动，根据同侧法可知，质点A左侧的波形的位移开始应该为正值，由于此时O点正好回到平衡位置并向下运动，OA间形成的波形正好有2个波谷，作出波形图如图所示。
(2)根据上述图示可知xOA＝2λ＋，解得λ＝2 m
由于O、A相距5 m，由O点产生的简谐波经2.5 s传到A点，则有v＝
解得v＝2 m/s。
(3)由于P点的运动方向始终与A点运动方向相反，则有xPA＝·(n＝0，1，2，…)
根据题意有xPA<5 m，解得n<2
即n取0、1，解得xPA＝1 m或xPA＝3 m。
答案：(1)见解析图　(2)2 m/s　2 m　(3)1 m　3 m
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