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人教A版高二数学下学期期末模拟试卷（一）
主要考点：导数 数列 计数原理 随机变量及分布列 成对数据的统计分析
（答案附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
_
1．等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
2．的展开式中，的系数为（ ）
A．135 B．15 C． D．
3．设函数的导数为，且函数，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．随机变量的分布列如下表，则（ ）
0 1
A． B． C．1 D．2
5．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．120种
7．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ）

A．在处取极大值 B．
C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点
8．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．数列的前项和记为，且，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．中既有最大项也有最小项
D．中有最大项但无最小项
11．已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲 乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（）
A．若抽取后放回，则
B．若抽取后不放回，则
C．若抽取后放回，则
D．若抽取后不放回，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有________________．
13．把7个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放2个球，则甲、乙、丙三个小球放在同一个盒子里的情况有种______．
14．已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知数列的前项和为，且，.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)设数列的前项和为，证明：.
16．（15分）“阳光杯”中学生篮球联赛是毕节市威宁自治县极具本土特色的体育赛事，赛事深度融合威宁多民族文化与高原风情，是当地群众最喜爱的体育赛事之一.威宁县某中学为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，随机抽取该校男生和女生各80名作为样本.设事件“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”，“学生为女生”，已知，.
(1)完成下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对“阳光杯”中学生篮球联赛的了解情况与性别有关联
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
(2)现从该样本不了解“阳光杯”中学生篮球联赛的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人，设抽取的2人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（15分）设，函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性和极值点．
18．（17分）现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？
(1)4名男生互不相邻；
(2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站；
(3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端．
19．（17分）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：．
人教A版高二数学下学期期末模拟试卷（一）（详解版）
主要考点：导数 数列 计数原理 随机变量及分布列 成对数据的统计分析
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和
【详解】设等差数列的公差为，
由等差数列通项公式，结合可得：，即，
由等差数列前项和公式，结合可得：，即.
将代入上式，解得，，
因此，故.
设的前10项和为，则：
2．的展开式中，的系数为（ ）
A．135 B．15 C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知的通项为，，
可知的通项为，
令，，解得，，所以的系数为．
3．设函数的导数为，且函数，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【详解】由，得，
取，得，则，
所以.
4．随机变量的分布列如下表，则（ ）
0 1
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用离散型随机变量分布列性质，离散型随机变量的期望和方差公式以及离散型随机变量方差的性质分析求解即可.
【详解】由题可知，解得，
则，
则，
所以．
5．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用概率的性质结合对立事件的概率公式得到，，最后结合条件概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，
而，
由条件概率公式得，故C正确.
6．从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．120种
【答案】B
【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解．
【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种，
再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，
所以不同的选择方案共有种．
故选：B
7．如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ）

A．在处取极大值 B．
C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点
【答案】D
【详解】由图象可知，当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以在处取极大值，故A正确；
由当时，，
可得在上单调递增，所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和，
所以在上存在最小值，故C正确；
若，，，，，
函数在上至多有4个零点，故D错误.
8．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围.
【详解】因为，当时，能够得出.
设，，那么得到，.
设，.
因为，， ，
所以在上单调递增，上单调递减，最大值为.
因此.
若，对于任意恒成立.
若，，所以对于任意恒成立.
综上所述，.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】对于A，令和求解判定；对于B，令和，再结合平方差公式求解判定；对于C，令，求导并令求解判断；对于D，由题知，，都大于0，，，都小于0，再令即可求解判断.
【详解】对于选项A，因为，
令，可得；令，，
所以，故选项A错误；
对于选项B，令，；
令，；
所以.故选项B正确；
对于选项C，令，
则.
再令，，故选项C错误；
对于选项D，
解法一：展开式的通项为，，，，，，，由通项可知：
，，1，2，3，4，5，所以，，都大于0，，，都小于0，
，
令，可得，
所以，故选项D正确.
解法二：令，
由
得.
令可得，故选项D正确.
10．数列的前项和记为，且，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．中既有最大项也有最小项
D．中有最大项但无最小项
【答案】ABC
【分析】利用、求出可判断A；利用等差数列的定义可判断B；利用求出判断出单调性可判断CD.
【详解】对于A，当时，，
当时，，
所以 ，故A正确；
对于B，由已知，所以，
当时，，且，
所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确；
对于C， 当时，，
所以，
所以当时开始单调递增且为负数，
且当时，为最大项，
为最小项，可得中有最大项也有最小项，故C正确D错误.
11．已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲 乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（）
A．若抽取后放回，则
B．若抽取后不放回，则
C．若抽取后放回，则
D．若抽取后不放回，则
【答案】ABC
【分析】分别分析有放回和无放回两种抽取方式，计算了事件（甲中奖）与（乙中奖）的概率及条件概率.在有放回时，每次独立，且；在无放回时，，但，从而判断出选项A、B、C正确，D错误.
【详解】选项A：因每次抽取后放回，故抽取条件相同，，故A正确；
选项B：不放回时，，下面计算：事件发生有两种情况：
①甲中且乙中（）；②甲不中且乙中（），
故，所以成立，故B正确.
选项C：放回时，；因事件相互独立，
则，即成立，故C正确.
选项D：不放回时，；求：已知甲中奖，剩2张奖券中有1张有奖，
所以，，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④.
正确结论的序号有________________．
【答案】①②④
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，
故，
因此，，
，
所以正确的是①②④．
故答案为：①②④．
13．把7个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放2个球，则甲、乙、丙三个小球放在同一个盒子里的情况有种______．
【答案】18
【详解】从3个盒子中取一个放甲乙丙三个小球，有种方法；
再从余下的4个小球中取2个放入余下的两个盒子中的一个，
另两个小球放入另一个盒子，有种方法，
所以不同放法种数是.
14．已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__．
【答案】
【分析】根据导数与单调性及极值的关系，分，两种情况讨论计算即可.
【详解】的定义域为，.
当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
因为有两个不同的零点，所以，解得.
当时，，所以在上存在一个零点，
因为，所以在上也存在一个零点.
综上，.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知数列的前项和为，且，.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)2
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）方法一:由，
得；
方法二:由，得，
得；
（2）因为，所以，
则，得，
又，所以，
所以；
（3）设，则时，，
当时，，
所以，
故.
16．（15分）“阳光杯”中学生篮球联赛是毕节市威宁自治县极具本土特色的体育赛事，赛事深度融合威宁多民族文化与高原风情，是当地群众最喜爱的体育赛事之一.威宁县某中学为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，随机抽取该校男生和女生各80名作为样本.设事件“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”，“学生为女生”，已知，.
(1)完成下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对“阳光杯”中学生篮球联赛的了解情况与性别有关联
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
(2)现从该样本不了解“阳光杯”中学生篮球联赛的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人，设抽取的2人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表如下：
了解 不了解 合计
男生 40 40 80
女生 20 60 80
合计 60 100 160
依据的独立性检验，认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联.
(2)X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望为.
【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出，将该值与临界值比较即可求解.
（2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案.
【详解】（1）由题意，，
可知“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的女生有人，则不了解联赛的女生有60人
“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的男生有 人，则不了解联赛的男生有40人.
所以
了解 不了解 合计
男生 40 40 80
女生 20 60 80
合计 60 100 160
零假设：该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别无关.
依题意，
则,
依据的独立性检验，推断不成立，所以认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联.
（2）由（1）知，抽取的10名学生中，男生有4人，女生有6人.
可能的取值为0,1,2
则，，
X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望
17．（15分）设，函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性和极值点．
【答案】(1) （或写为 ）
(2)当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点.
【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值点即可；
【详解】（1）当时，，．
且，．
曲线在点处的切线方程为，即得．
（2）．
当时，，是增函数，无极值点；
当时，令，解得．
当时，；当，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
极小值点为，无极大值点.
综上，当时，在上单调递增，无极值点；
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点.
18．（17分）现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？
(1)4名男生互不相邻；
(2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站；
(3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端．
【答案】(1)
种
(2)
种
(3)
种
【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解.
（2）利用定序问题倍分法列式计算.
（3）利用排除法列式计算.
【详解】（1）先排3名女生，再把4名男生插入每种排法形成的4个间隙中，
所以4名男生互不相邻的排法种数是（种）.
（2）7名学生站成一排照相有种站法，其中4名男生的不同站法有种，
所以所求不同站法种数是（种）.
（3）7名学生站成一排照相有种站法，其中男生甲站最左端的有种，
女生乙站最右端的有种，男生甲站最左端且女生乙站最右端的有种，
所以所求不同站法种数是（种）.
19．（17分）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：．
【答案】(1)函数在上单调递增；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数并确定正负，进而确定函数的单调性.
（2）由（1）的结论，利用单调性推理得证.
（3）借助排列计数问题求出概率，再利用放缩法及（2）的结论推理得证.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
所以函数在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递增，
所以.
（3）依题意，抽取的20个号码互不相同的概率为，
而，同理，，，，
因此，即，
不等式，
由（2）知，当时，，取，得，
即，则，因此，
所以.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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