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四川德阳市第五中学2025-2026学年高一下学期5月自主性检测数学试题
一、单选题
1．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
3．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．在区间上单调递减
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．用斜二测画法画出边长为 2 的等边三角形的直观图，则直观图的面积为
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
10．欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（ ）
A．，使得 B．当且仅当时成立
C．与互为共轭复数 D．，，
11．设平面向量，，满足，，．则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的最大值为 D．的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______.
13．如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m．
14．已知函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是______．
四、解答题
15．已知平面向量与的夹角为，且.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值.
16．在中，角，，所对边分别为，，，，．
(1)若，求的值，以及的面积；
(2)若，求．
17．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围.
18．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，.
(1)求的大小；
(2)设的角平分线交于点.
①求面积的取值范围
②求线段长的取值范围.
19．如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记．
(1)在“仿射坐标系”中，，，求；
(2)在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求；
(3)如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值．
参考答案
1．A
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．A
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
3．C
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以.
4．D
【详解】方法一：
已知是锐角，固定角、边，画：
把角固定，一边固定射线，另一边为线段且.
过点向作高， ，这是点到直线的最短距离，
边是的长， ：以为圆心、为半径画圆，
和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解，
即三角形有两解的条件为 ，
计算 ，
所以 的取值范围为 .
方法二：
已知，，由余弦定理：，
代入得，整理为：，
有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，
设方程两根为，满足：，
解得: .
两根之和：，恒成立，
两根之积： ，
综上所述，的取值范围：.
5．D
【详解】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除；
C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，
再向左平移个单位长度，得到,不符合要求；
D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，
再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确.
故选：D
6．B
【详解】因为，所以，
而，所以，
故，即，
所以，
故.
7．C
【详解】根据斜二测画法可知，平行于轴方向长度不变，平行于轴方向长度变成原来的一半，
轴与轴所成角为，把直观图转变为原图就是相反过程，如图所示，
在直角梯形中，由于，，
所以，为等腰直角三角形，故
由，，得 ，，
四边形的周长是.
8．C
【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以，
即，所以，所以，故A正确；
由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称，
当时，，作出函数的图像：

由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以，
所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确；
由，又，在单调递减，所以，故C错误；
由于，，，，
所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确，
故选：C.
9．AB
【详解】A：如图所示：，因为是边长为 2 的等边三角形，
所以，根据斜二测画法可知，，
因此直观图的面积为 ，故本选项说法正确；
B：根据棱柱的定义可知棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故本选项说法正确；
C：根据棱台的定义可知，此时必须还要看侧棱的延长线是否交于一点，因此本选项说法不正确；
D：当按照直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个共同底面的圆锥组成的几何体，故本选项说法不正确，
故选：AB
10．ACD
【详解】选项A.当时，则，A正确.
选项B.若，可得且，即，B错误.
选项C.，，
二者实部相等、虚部互为相反数，因此互为共轭复数，C正确.
选项D.对任意，
.
11．ACD
【详解】对于A，由三角不等式可得，又．所以．故A正确．
对于B，由，只能说明点C的轨迹是一个以对应点为圆心、为半径的圆，不能推出．
例如取，，，则，，
且，．满足题意，但，故B错误．
对于C，若，不妨取，，．
由条件，得，
即．
设，，．则，
所以．
代入得．
因此，
当时取等号．故．所以C正确．
对于D，作平行四边形OADB，使，，．
则，．由题设，
可知点C的轨迹是以点D为圆心、为半径的圆．
又因为，，所以四边形OADB为菱形．
设，则，．
因为，所以等于在上的投影向量模长的2倍．
如图，过点C向直线OA作垂线，垂足为F．
当C为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值．
因此
，当时取等号．
同理，，当时取等号．
所以．故D正确．
12．
【详解】因为，，则，，
则向量在向量上的投影向量为.
13．200
【详解】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，即m，
在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
故答案为：200
14．
【详解】由题意，，．
因此．
又，所以．
因为，
所以．
令．因为，所以，从而．
在内，方程的解的个数如下表．
的范围 对应的的个数 说明
当时，另一个对应角为，是右端点，不取
两个对应角都在区间内部
只对应
于是等价于，其中.
若在内恰有个零点，则需有两个不同的解，
且或.
若，则，得，此时，
只得到和，对应的零点个数为，不符合题意．
若，则，则，此时，只有一解，不合题意；
所以，故，故.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，得，
则.
（2）因为与垂直，
所以，
即，解得.
16．(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，，，
所以，所以；
所以．
（2）因为；
所以，即，所以，
因为，所以，即，所以；
所以由得．
17．(1)；，
(2)
【详解】（1）由图象可知，，，得，
当时，，，得，，
因为，所以，
所以，
令，，
得，，
所以函数的单调递增区间是，；
（2），
当时，，
则，
若不等方式对任意成立，则，
得.
18．(1)
(2)①；②
【详解】（1），则，
由正弦定理将边化为角可得，
又，
故，
即，又，则，
故，又，则；
（2）①由正弦定理，可得，
则
，
由，则，故，
则，故；
②由，则，
即，则，
即，由（2）①知，
故，则，故，
故.
19．(1)3
(2)
(3)
【详解】（1）仿射坐标系即为直角坐标系，所以，
所以 ；
（2）在直角坐标系中，记，则，
在仿射坐标系中，，
，
整理得.
解得（舍去）或，所以；
（3）在直角坐标系中，，，
设，，，，，即， ，
则，所以，
，分别为，的中点，
则，


中，由正弦定理，
设，则，
所以，，
.
其中为锐角，且，
因为，则 ，
故当时，取得最大值，
则．

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