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第四章
曲线运动与万有引力定律
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 知道物体做曲线运动的条件及轨迹.2. 会分析运动的合成与分解及运动性质.3. 会分析小船渡河问题和关联速度问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　了解曲线运动
关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是(　　)
A. 物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B. 物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向
C. 物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D. 受到恒力作用而做曲线运动的物体，速度方向与合外力方向之间的夹角一定越来越小
1
D
【解析】 物体在不垂直于速度方向的合力作用下，由于合力对物体做功，所以速度大小一定变化，故A错误；物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；受到恒力作用而做曲线运动的物体，由于恒力的作用，速度的方向应该越来越接近恒力的方向，所以速度方向与合外力方向之间的夹角一定越来越小，故D正确．
[2026无锡期中]狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，下图为雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(图中O为圆心)，其中正确的是(　　)
2
A
B
C
D
【解析】 雪橇做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，且摩擦力方向与相对运动方向相反，即沿切线方向向后，C正确．
C
曲线运动轨迹的特征：物体做曲线运动的轨迹与________相切，夹在合外力方向与________方向之间，且__________指向轨迹的“凹”侧.
速度
速度
合外力
[2025南京期中]某质点在光滑水平面上做匀速直线运动，现对它施加一水平恒力，则下列说法正确的是(　　)
A. 施加水平恒力后，质点可能做匀速圆周运动
B. 施加水平恒力后，质点可能做速率先减小再增大的曲线运动
C. 施加水平恒力后，质点的运动轨迹一定沿水平恒力方向
D. 施加水平恒力后，质点的速率一定随时间均匀变化
1
B
【解析】 做匀速圆周运动需要始终与速度方向垂直且大小不变的变力(向心力)，而水平恒力大小和方向都不变，不满足匀速圆周运动的受力条件，所以质点不可能做匀速圆周运动，故A错误．当施加的水平恒力方向与质点初速度方向夹角大于90°时，力在与速度反方向有分力，会使质点速率先减小；当速度方向与恒力方向夹角小于90°后，力在速度方向有分力，会使质点速率增大，且由于力的方向不变，质点做曲线运动，所以质点可能做速率先减小再增大的曲线运动，故B正确．只有当水平恒力方向与质点初速度方向在同一直线上时，质点运动轨迹才沿水平恒力方向；若二者不在同一直线上，质点做曲线运动，运动轨迹不沿水平恒力方向，故C错误．速率是速度的大小，施加水平恒力后，质点加速度恒定，速度随时间均匀变化，但速度是矢量，速率不一定随时间均匀变化，比如质点做曲线运动时，速度方向不断变化，速率变化情况不是均匀的，故D错误．
曲线运动一定为变速运动(加速度不为0)．速率变化的判断：
增大
减小
不变
活动二　理解运动的合成与分解
合运动和分运动的关系具有独立性、等时性、等效性和同一性．
[2023江苏卷]达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子．若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
3
A
B
C
D
D
方法二：漏出的沙子相对于罐子在水平方向向左做初速度为0的匀加速直线运动，竖直方向下做初速度为0的匀加速直线运动(自由落体运动)，合运动是斜向左下方的直线运动．D正确．
方法三：罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间Δt内水平方向位移增加量a(Δt)2，沙子在竖直方向做自由落体运动，在时间Δt内位移增加量g(Δt)2；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的．D正确．
1. 运动性质的判断．
2. 判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 ____________运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 ______________运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 ______________运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为______________运动
如果v合与a合不共线，为______________运动
匀速直线
匀变速曲线
匀加速直线
匀变速直线
匀变速曲线
[2025徐州阶段练习]如图所示，一块橡皮擦用细绳悬挂于圆柱体的O点，圆柱体以恒定的角速度滚动，从而使圆柱体匀速向左移动，细绳将缠绕在圆柱体上，使橡皮擦上升．以橡皮擦开始运动的起点为坐标原点，橡皮擦的运动轨迹可能是(　　)
2
A
B
C
D
A
【解析】 橡皮擦参与了水平向左和沿绳子方向向上的分运动，因为圆柱体的角速度不变，所以线速度也不变，故橡皮擦参与的两个方向上的分运动都是匀速直线运动，合运动也是匀速直线运动，故其运动轨迹是直线．A正确．
[2026南通海门调研]如图甲所示，一个圆盘被抛出后，绕垂直于盘面并通过中心O的轴顺时针转动，圆盘面保持在竖直面内，某时刻中心O点的速度与水平方向成45°角斜向上，如图乙所示．则关于此刻A、B点的运动(　　)
3
甲
乙
A. 相对于地面速度大小相等
B. 相对于地面速度方向相反
C. 相对于O点的速度相同
D. 相对于O点的角速度相同
D
【解析】 圆盘上各点的速度是平动速度和转动速度的矢量和，A、B两点的转动速度大小相等，方向不同，而A、B两点平动速度大小方向都相同，由平行四边形法则可知(如图)，vA和vB大小不同，方向不同，故A、B错误；A、B两点在同一个圆盘上绕圆心做圆周运动，所以相对于圆心O点的角速度相同，半径相同，故线速度大小相同，但A、B两点速度方向不同．故C错误，D正确．
活动三　分析小船渡河和关联速度问题
小船渡河问题的三种情境．
4
渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝_____
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于________
如果v船河宽d
正确区分小船渡河时船头的指向(分运动)与船的运动方向(实际运动，是合运动)．
4
B
[2026无锡月考]如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升．若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为FT，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
5
A. 物体做匀速运动且v2＝v1
B. v2＝v1sin θ
C. 绳对物体的拉力为FT＝mg
D. 物体处于超重状态
D
【解析】 如图所示，二者沿绳方向的速度分量大小相等，可知物体的速度v2＝v1cos θ，随着角度θ减小，物体速度增大，故A、B错误；根据牛顿第二定律可得FT－mg＝ma，可知FT>mg，物体处于超重状态，故C错误，D正确．
1. 解决关联速度的基本思路
2. 绳(杆)端速度分解的常见模型
甲
乙
丙
丁
[2025镇江期中]直角侧移门结构可简化成图甲(俯视)．玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动(滑轮视为质点)．玻璃门的宽度为L＝1 m．关门时，拉住把手使滑轮A从初始位置由静止开始做加速度为1 m/s2的匀加速运动，当A达到图乙位置时，滑轮B的速度大小为(　　)
5
甲
乙
C. 1 m/s
A
[2025泰州中学期中]如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止，飞机挂钩与阻拦索间不滑动．若某一时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是(　　)
6
B. v绳＝vcos θ
D
谢谢观看
Thank you for watching第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
学习目标　1. 知道物体做曲线运动的条件及轨迹.2. 会分析运动的合成与分解及运动性质．3. 会分析小船渡河问题和关联速度问题．
活动一 了解曲线运动
1 关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是(　　)
A. 物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B. 物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向
C. 物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D. 受到恒力作用而做曲线运动的物体，速度方向与合外力方向之间的夹角一定越来越小
2 [2026无锡期中]狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，下图为雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图(图中O为圆心)，其中正确的是(　　)
A B C D
曲线运动轨迹的特征：物体做曲线运动的轨迹与________相切，夹在合外力方向与________方向之间，且________指向轨迹的“凹”侧.
即时训练1 [2025南京期中]某质点在光滑水平面上做匀速直线运动，现对它施加一水平恒力，则下列说法正确的是(　　)
A. 施加水平恒力后，质点可能做匀速圆周运动
B. 施加水平恒力后，质点可能做速率先减小再增大的曲线运动
C. 施加水平恒力后，质点的运动轨迹一定沿水平恒力方向
D. 施加水平恒力后，质点的速率一定随时间均匀变化
曲线运动一定为变速运动(加速度不为0).速率变化的判断：
活动二 理解运动的合成与分解
合运动和分运动的关系具有独立性、等时性、等效性和同一性．
3 [2023江苏卷]达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子．若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
A B C D
1. 运动性质的判断．
(1)
(2)
2. 判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 ________运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 ________运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 ________运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为________运动
如果v合与a合不共线，为________运动
即时训练2 [2025徐州阶段练习]如图所示，一块橡皮擦用细绳悬挂于圆柱体的O点，圆柱体以恒定的角速度滚动，从而使圆柱体匀速向左移动，细绳将缠绕在圆柱体上，使橡皮擦上升．以橡皮擦开始运动的起点为坐标原点，橡皮擦的运动轨迹可能是(　　)
A B C D
即时训练3 [2026南通海门调研]如图甲所示，一个圆盘被抛出后，绕垂直于盘面并通过中心O的轴顺时针转动，圆盘面保持在竖直面内，某时刻中心O点的速度与水平方向成45°角斜向上，如图乙所示．则关于此刻A、B点的运动(　　)
甲 乙
A. 相对于地面速度大小相等
B. 相对于地面速度方向相反
C. 相对于O点的速度相同
D. 相对于O点的角速度相同
活动三 分析小船渡河和关联速度问题
4 小船渡河问题的三种情境．
渡河 时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝________
渡河 位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于________
如果v船正确区分小船渡河时船头的指向(分运动)与船的运动方向(实际运动，是合运动）.
即时训练4 [2026无锡阶段练习]如图所示，一条小船位于200 m宽的河的正中A点处，从这里向下游100 m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区到达对岸，则小船在静水中的速度至少是(　　)
A. 2 m/s B. 2 m/s
C. 4 m/s D. 4 m/s
5 [2026无锡月考]如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升．若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为FT，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A. 物体做匀速运动且v2＝v1
B. v2＝v1sin θ
C. 绳对物体的拉力为FT＝mg
D. 物体处于超重状态
1. 解决关联速度的基本思路
2. 绳(杆)端速度分解的常见模型
甲 乙 丙 丁
　　　
即时训练5 [2025镇江期中]直角侧移门结构可简化成图甲(俯视).玻璃门的两端滑轮A、B通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨自由滑动(滑轮视为质点).玻璃门的宽度为L＝1 m．关门时，拉住把手使滑轮A从初始位置由静止开始做加速度为1 m/s2的匀加速运动，当A达到图乙位置时，滑轮B的速度大小为(　　)
甲 乙
A. m/s B. m/s
C. 1 m/s D. m/s
即时训练6 [2025泰州中学期中]如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止，飞机挂钩与阻拦索间不滑动．若某一时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是(　　)
A. v绳＝
B. v绳＝v cos θ
C. v绳＝
D. v绳＝v cos
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
【活动一】
例 1
D　物体在不垂直于速度方向的合力作用下，由于合力对物体做功，所以速度大小一定变化，故A错误；物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；受到恒力作用而做曲线运动的物体，由于恒力的作用，速度的方向应该越来越接近恒力的方向，所以速度方向与合外力方向之间的夹角一定越来越小，故D正确．
例 2
C　雪橇做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，且摩擦力方向与相对运动方向相反，即沿切线方向向后，C正确．
总结提升：速度　速度　合外力
即时训练1 B　做匀速圆周运动需要始终与速度方向垂直且大小不变的变力(向心力)，而水平恒力大小和方向都不变，不满足匀速圆周运动的受力条件，所以质点不可能做匀速圆周运动，故A错误．当施加的水平恒力方向与质点初速度方向夹角大于90°时，力在与速度反方向有分力，会使质点速率先减小；当速度方向与恒力方向夹角小于90°后，力在速度方向有分力，会使质点速率增大，且由于力的方向不变，质点做曲线运动，所以质点可能做速率先减小再增大的曲线运动，故B正确．只有当水平恒力方向与质点初速度方向在同一直线上时，质点运动轨迹才沿水平恒力方向；若二者不在同一直线上，质点做曲线运动，运动轨迹不沿水平恒力方向，故C错误．速率是速度的大小，施加水平恒力后，质点加速度恒定，速度随时间均匀变化，但速度是矢量，速率不一定随时间均匀变化，比如质点做曲线运动时，速度方向不断变化，速率变化情况不是均匀的，故D错误．
总结提升：增大　减小　不变
【活动二】
例 3
D　方法一：t1时刻漏出的沙子运动为平抛运动，初速度v0＝at1，初位置x0＝at，t时刻沙子的位置x＝at＋at1(t－t1)＝at2－a(t－t1)2，y＝－gt(t－t1)2，解得y＝x－gt2，y是关于x的一次函数，斜率为 ，D正确．
方法二：漏出的沙子相对于罐子在水平方向向左做初速度为0的匀加速直线运动，竖直方向下做初速度为0的匀加速直线运动(自由落体运动)，合运动是斜向左下方的直线运动．D正确．
方法三：罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间Δt内水平方向位移增加量a(Δt)2，沙子在竖直方向做自由落体运动，在时间Δt内位移增加量g(Δt)2；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的．D正确．
总结提升：2 匀速直线　匀变速曲线　匀加速直线　匀变速直线　匀变速曲线
即时训练2 A　橡皮擦参与了水平向左和沿绳子方向向上的分运动，因为圆柱体的角速度不变，所以线速度也不变，故橡皮擦参与的两个方向上的分运动都是匀速直线运动，合运动也是匀速直线运动，故其运动轨迹是直线．A正确．
即时训练3 D　圆盘上各点的速度是平动速度和转动速度的矢量和，A、B两点的转动速度大小相等，方向不同，而A、B两点平动速度大小方向都相同，由平行四边形法则可知(如图)，vA和vB大小不同，方向不同，故A、B错误；A、B两点在同一个圆盘上绕圆心做圆周运动，所以相对于圆心O点的角速度相同，半径相同，故线速度大小相同，但A、B两点速度方向不同．故C错误，D正确．
【活动三】
例 4
　河宽d　
即时训练4 B　要使小船避开危险区沿直线到达对岸，设小船恰好能安全到达河岸的合速度v，与水流速度的夹角为θ，由几何关系可知tan θ＝＝，则θ＝60°，作出小船速度的矢量图，如图所示，则有v船min＝v水sin θ＝2 m/s，B正确．
例 5
D　如图所示，二者沿绳方向的速度分量大小相等，可知物体的速度v2＝v1cos θ，随着角度θ减小，物体速度增大，故A、B错误；根据牛顿第二定律可得FT－mg＝ma，可知FT>mg，物体处于超重状态，故C错误，D正确．
即时训练5 A　拉住把手使滑轮A从初始位置由静止开始做加速度为1 m/s2的匀加速运动，当A达到图乙位置时，对A有2a(L－L cos 60°)＝v，解得此时滑轮A的速度大小为vA＝1 m/s，滑轮A与滑轮B沿轻杆方向的分速度大小相等，则有vAcos 60°＝vBcos 30°，解得滑轮B的速度大小为vB＝ m/s，A正确．
即时训练6 D　将飞机的速度分解为沿阻拦索方向的速度和垂直于阻拦索方向的速度，如图所示，可知v绳＝v cos ，D正确．

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