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第2讲　抛体运动
学习目标　1. 认识平抛运动的特点、规律．2. 能分析落点在斜面、球面上的平抛运动及多体平抛问题.3. 会用运动合成与分解的方法分析类平抛运动、斜抛运动．
活动一 认识平抛运动的特点、规律
1 [2026淮安阶段练习]如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏．无人机沿水平方向匀速飞行，在某时刻释放了一个小球．忽略空气阻力的影响．小球在空中运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 小球的速度始终沿竖直方向变化
B. 小球的速度方向始终沿竖直方向
C. 小球落地的速度方向与地面垂直
D. 小球的速度方向和加速度方向都在不断变化
平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝________是相同的，方向恒为________，如图所示.
2 [2025云南卷]如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食．鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A. 两颗鸟食同时抛出
B. 在N点接到的鸟食后抛出
C. 两颗鸟食平抛的初速度相同
D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
平抛运动的基本规律
如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.
即时训练1 [2026苏州检测]如图所示，一竖直放置的花洒，出水孔分布在圆形区域内．打开花洒后水流从出水孔水平向左射出落到竖直墙面上，假设每个出水孔出水速度相同，不计空气阻力．则落点区域的形状是(　　)
A B C D
若从花洒中喷出的水落于水平地面(P、Q分别为最左、最右端两落点)，如图所示，则落点区域俯视图的形状最可能的是(　　)
A B C D
即时训练2 [2026淮安阶段练习]如图所示，O为抛物线OM的顶点，A、B为抛物线上两点，O点的切线水平．从A、B两点分别以初速度v1、v2水平抛出两小球，同时击中O点，不计空气阻力，则两球(　　)
A. 必须同时抛出
B. 击中O点时速度相同
C. 击中O点时速度方向相同
D. 初速度v1与v2相等
活动二 分析几种典型情境下的平抛运动
利用运动合成与分解的方法，化曲为直，能解决平抛问题．一般分解的物理量是速度、位移，有时也分解加速度．
3 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)，则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　)
A. tan φ＝1.33　　　　 B. tan φ＝1.44
C. tan φ＝1.50　　　　 D. tan φ＝2.00
若滑雪运动员多次从O点水平飞出，均落在斜坡上．每次落至斜坡时的速度方向关系为________．
1. 若能熟练运用平抛运动的推论，可以简化解题．
(1) 推论一：速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，两者关系为tan α＝________．
(2) 推论二：做平抛运动的物体在任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的________.
2. 落点在斜面上的平抛运动情境．
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 由tan θ＝＝ 得t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝
在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t，0－v＝－2a1d 得t＝， d＝
离斜面最远时，速度v平行于斜面 由vy＝v0tan θ＝gt得t＝
4 如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径．一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍．则v1∶v2的值为(　　)
A. B.
C. D.
若有其他石子从A点做平抛运动，是否可能垂直落到坑壁上？
活动三 分析斜抛运动
5 [2025泰州二模]如图所示，A、B两篮球从相同高度以相同方向抛出后直接落入篮筐，两球从抛出到落入篮筐过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 两球的运动时间相同
B. 两球抛出时速度相等
C. 两球在最高点加速度都为零
D. 两球速度变化量的方向始终竖直向下
1. 斜抛运动的基本规律．
(1) 水平方向：x＝v0xt＝v0t cos θ.
(2) 竖直方向：y＝v0yt－gt2＝v0t sin θ－gt2．
(3) θ＝45°时，射程最大．
2. 解题技巧．
(1) 斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动．
(2) 分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解．
(3) 多个独立物体同时做抛体运动的结论：加速度相同(均为g)，它们在空中的相对运动是匀速直线运动．
即时训练3 [2026南通如皋检测]如图所示，空中的杂技魔术演员同时从O点抛出小球a、b，两球的初速度大小均为v0＝1 m/s，a的初速度与水平方向夹角为60°，b的初速度沿水平方向，两球在同一竖直面内运动，轨迹的交点为P.不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1) a、b从抛出至P点的时间比ta∶tb；
(2) b从抛出至P点所需的时间tb.
即时训练4 [2026宿迁检测]如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度大小v0＝20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力．求：
(1) 重物在空中运动的时间t；
(2) 轨迹最高点与落点的高度差h；
(3) 重物离PQ连线的最远距离dmax.
即时训练5 [2026苏州阶段练习]投掷出的铅球，由于受到与速度方向相反的空气阻力的影响，实际轨迹是一条“弹道曲线”．如图所示，O点为发射点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中距地面等高的两点，则铅球(　　)
A. 在b点时的加速度等于重力加速度g
B. 在b点时速度沿水平方向
C. 在a点时的合力与速度反向
D. 经过a点时的速率与c点相等
第2讲　抛体运动
【活动一】
例 1
A　小球释放后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，速度在增大，因此小球在空中运动时，轨迹是曲线运动，速度是两个分速度的合速度，合速度方向在改变，小球落地的速度方向不会与地面垂直，故A正确，B、C错误；小球只受重力，所以加速度是重力加速度，方向始终沿竖直方向，速度是两个分速度的合速度，合速度方向在改变，故D错误．
总结提升：gΔt　竖直向下
例 2
D　鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有h＝gt2，由于hM总结提升：v0t　gt
即时训练1 B　花洒到竖直墙壁的距离相等，喷出时水流水平方向的速度相等，根据抛体运动规律，在水平方向则有x＝v0t，解得t＝，故花洒喷出的水流在空中运动时间相等，结合竖直方向的运动规律h＝gt2可知，圆形花洒喷出的水流在竖直方向的位移均相等．B正确．
思维拓展：D　设花洒最低点离地面的高度为h，花洒的半径为R，水滴距离地面的高度为(y＋h)，初速度为v0，则竖直方向有h＋y＝gt2，水平方向有x＝v0t，解得x＝v0，其中0≤y≤2R，由于y均匀增加时，x不是均匀增加，且x增加得越来越慢，考虑花洒口截面上三个点的轨迹，即最上端、最下端和圆心，如图所示，设从下、上射出的水相对花洒中心水的落点的距离为Δx1、Δx2，则有Δx1＝v0[－]，Δx2＝v0[－]，因为Δx1－Δx2＝v0[－]－v0[－]>0，所以水落在水平地面的形状左右不对称，最下端和圆心处的落地点间距Δx1大于最上端和圆心处的落地点间距Δx2.所以俯视的形状为D图．D正确．
即时训练2 D　已知O为抛物线OM顶点，则以O为原点建立xOy直角坐标系，设OM为y＝ax2，则两平抛运动在竖直方向为自由落体运动，有y1＝ax＝gt，y2＝ax＝gt，联立解得＝，所以在A点的小球要先抛出才能使两小球同时击中O点；又由平抛运动在水平方向为匀速直线运动，有x1＝v1t1，x2＝v2t2，联立可得v1＝v2，故A错误，D正确．两小球水平方向速度相同，竖直方向速度vy＝gt，不同，根据v＝，可知击中O点时的速度不同，故B错误．击中O点时速度方向与水平夹角tan θ＝，两小球水平方向速度相同，竖直方向速度不同，夹角不同，故C错误．
【活动二】
例 3
C　运动员落到斜坡上的瞬间，对其速度进行分解，如图所示．竖直分速度vy＝gt，与水平分速度v0的比值tan φ＝＝；竖直分位移y＝gt2，与水平分位移x＝v0t的比值tan θ＝＝.可见tan φ＝2tan θ＝1.50，C正确．
思维拓展：平行
总结提升：1 (1) 2tan θ　(2) 中点
例 4
C　设圆弧的半径为R，依平抛运动规律得x1＝v1t1，x2＝v2t2，联立解得 ＝＝＝.时间由竖直方向做自由落体运动来比较，y1＝gt，y2＝gt，由两式相比得 ＝，其中y1＝0.6R, y2＝R，则有 ＝，代入速度公式得 ＝，C正确．
思维拓展：由落点速度方向反向延长线不可能过圆心，可推知石子不可能垂直打到圆弧面上．
【活动三】
例 5
D　分析可知A、B两球均做斜抛运动，且A运动的最大高度比B的大，由斜抛规律可知A球在空中运动时间长，故A错误；设初速度方向与水平方向夹角为θ，则有hA＝，hB＝，因为hA>hB，故vA>vB，故B错误；两球在最高点的加速度均为重力加速度，故C错误；速度变化量的方向与加速度方向相同，所以两球速度变化量的方向即为重力加速度的方向，即速度变化量的方向始终竖直向下，故D正确．
即时训练3 (1) 对a有x＝v0cos 60°·ta，
对b有x＝v0tb，
解得ta∶tb＝2∶1.
(2) 对a有y＝－v0sin 60°·ta＋gt，
对b有y＝gt，
解得tb＝ s.
即时训练4 (1) 重物水平方向做匀速直线运动有
x＝v0cos 30°·t，
竖直方向做竖直上抛运动，－y＝v0sin 30°·t－gt2，
由几何关系有y＝x tan 30°，
解得t＝4 s.
(2) 从抛出到最高点所用时间t1＝，
解得t1＝1 s，
则从最高点到落地所用时间t2＝t－t1＝3 s，
轨迹最高点与落点的高度差h＝gt，
解得h＝45 m.
(3) 初速度垂直PQ的分速度v2＝v0sin 60°，
重力加速度垂直PQ的分加速度a2＝g cos 30°，
重物离PQ连线的最远距离dmax＝，
联立解得dmax＝10 m.
即时训练5 B　b点为轨迹的最高点，铅球具有水平方向的速度，在b点，铅球受重力，产生竖直向下的加速度g，受水平向左的空气阻力，产生水平加速度，合加速度是重力加速度与水平加速度的矢量和，根据平行四边形定则，合加速度大小a＝>g，故A错误，B正确；在a点，铅球受竖直向下的重力和与速度方向相反的空气阻力，合力是二者的矢量和，合力方向指向轨迹内侧，与速度方向夹角大于90°，并非反向，故C错误；a、c两点等高，从a点到c点，重力做功为0，空气阻力始终与运动方向相反，空气阻力做负功，根据动能定理可知a点动能大于c点动能，可得a点速率比c点大，故D错误．(共43张PPT)
第四章
曲线运动与万有引力定律
第2讲　抛体运动
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 认识平抛运动的特点、规律.2. 能分析落点在斜面、球面上的平抛运动及多体平抛问题.3. 会用运动合成与分解的方法分析类平抛运动、斜抛运动．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　认识平抛运动的特点、规律
[2026淮安阶段练习]如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏．无人机沿水平方向匀速飞行，在某时刻释放了一个小球．忽略空气阻力的影响．小球在空中运动过程中，下列说法正确的是(　　)
1
A. 小球的速度始终沿竖直方向变化
B. 小球的速度方向始终沿竖直方向
C. 小球落地的速度方向与地面垂直
D. 小球的速度方向和加速度方向都在不断变化
A
【解析】 小球释放后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，速度在增大，因此小球在空中运动时，轨迹是曲线运动，速度是两个分速度的合速度，合速度方向在改变，小球落地的速度方向不会与地面垂直，故A正确，B、C错误；小球只受重力，所以加速度是重力加速度，方向始终沿竖直方向，速度是两个分速度的合速度，合速度方向在改变，故D错误．
平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝______是相同的，方向恒为____________，如图所示.
gΔt
竖直向下
[2025云南卷]如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食．鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
2
A. 两颗鸟食同时抛出
B. 在N点接到的鸟食后抛出
C. 两颗鸟食平抛的初速度相同
D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
D
平抛运动的基本规律
如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.
v0t
gt
[2026苏州检测]如图所示，一竖直放置的花洒，出水孔分布在圆形区域内．打开花洒后水流从出水孔水平向左射出落到竖直墙面上，假设每个出水孔出水速度相同，不计空气阻力．则落点区域的形状是(　　)
1
A
B
C
D
B
若从花洒中喷出的水落于水平地面(P、Q分别为最左、最右端两落点)，如图所示，则落点区域俯视图的形状最可能的是(　　)
A
B
C
D
D
[2026淮安阶段练习]如图所示，O为抛物线OM的顶点，A、B为抛物线上两点，O点的切线水平．从A、B两点分别以初速度v1、v2水平抛出两小球，同时击中O点，不计空气阻力，则两球(　　)
2
A. 必须同时抛出
B. 击中O点时速度相同
C. 击中O点时速度方向相同
D. 初速度v1与v2相等
D
活动二　分析几种典型情境下的平抛运动
利用运动合成与分解的方法，化曲为直，能解决平抛问题．一般分解的物理量是速度、位移，有时也分解加速度．
如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)，则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　)
3
A. tan φ＝1.33　　　　 B. tan φ＝1.44
C. tan φ＝1.50　　　　 D. tan φ＝2.00
C
若滑雪运动员多次从O点水平飞出，均落在斜坡上．每次落至斜坡时的速度方向关系为________.
平行
1. 若能熟练运用平抛运动的推论，可以简化解题．
(1) 推论一：速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，两者关系为tan α＝_________.
(2) 推论二：做平抛运动的物体在任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的________.
2tan θ
中点
2. 落点在斜面上的平抛运动情境．
如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径．一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍．则v1∶v2的值为(　　)
4
C
若有其他石子从A点做平抛运动，是否可能垂直落到坑壁上？
【答案】 由落点速度方向反向延长线不可能过圆心，可推知石子不可能垂直打到圆弧面上．
活动三　分析斜抛运动
[2025泰州二模]如图所示，A、B两篮球从相同高度以相同方向抛出后直接落入篮筐，两球从抛出到落入篮筐过程中，下列说法正确的是(　　)
5
A. 两球的运动时间相同
B. 两球抛出时速度相等
C. 两球在最高点加速度都为零
D. 两球速度变化量的方向始终竖直向下
D
1. 斜抛运动的基本规律．
(1) 水平方向：x＝v0xt＝v0tcos θ.
(3) θ＝45°时，射程最大．
2. 解题技巧．
(1) 斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动．
(2) 分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解．
(3) 多个独立物体同时做抛体运动的结论：加速度相同(均为g)，它们在空中的相对运动是匀速直线运动．
[2026南通如皋检测]如图所示，空中的杂技魔术演员同时从O点抛出小球a、b，两球的初速度大小均为v0＝1 m/s，a的初速度与水平方向夹角为60°，b的初速度沿水平方向，两球在同一竖直面内运动，轨迹的交点为P.不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1) a、b从抛出至P点的时间比ta∶tb；
(2) b从抛出至P点所需的时间tb.
3
【答案】 (1) 对a有x＝v0cos 60°·ta，
对b有x＝v0tb，
解得ta∶tb＝2∶1.
[2026宿迁检测]如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度大小v0＝20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力．求：
(1) 重物在空中运动的时间t；
(2) 轨迹最高点与落点的高度差h；
(3) 重物离PQ连线的最远距离dmax.
4
【答案】 (1) 重物水平方向做匀速直线运动有
x＝v0cos 30°·t，
由几何关系有y＝xtan 30°，
解得t＝4 s.
解得t1＝1 s，
则从最高点到落地所用时间t2＝t－t1＝3 s，
解得h＝45 m.
(3) 初速度垂直PQ的分速度v2＝v0sin 60°，
重力加速度垂直PQ的分加速度a2＝gcos 30°，
[2026苏州阶段练习]投掷出的铅球，由于受到与速度方向相反的空气阻力的影响，实际轨迹是一条“弹道曲线”．如图所示，O点为发射点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中距地面等高的两点，则铅球(　　)
5
A. 在b点时的加速度等于重力加速度g
B. 在b点时速度沿水平方向
C. 在a点时的合力与速度反向
D. 经过a点时的速率与c点相等
B
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