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第四章
曲线运动与万有引力定律
第4讲　万有引力定律及其应用
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 了解开普勒行星运动定律.2. 理解万有引力定律.3. 能求解行星(或卫星)的运动问题.4. 理解卫星追及、双星问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　了解开普勒行星运动定律
[2025南通阶段练习]2025年2月28日前后，在夜空观察时，太阳系中的土星、水星、海王星、金星、天王星、木星和火星将大致连成一条直线，上演“七星连珠”天象，则下列说法正确的是(　　)
A. 金星和火星在相同时间内与太阳连线扫过的面积相同
B. 火星在近日点的速度大于火星在远日点的速度
C. 这些行星的轨迹是椭圆，太阳在椭圆中心
D. 七星连成一线时角速度恰好相同
1
B
【解析】 根据开普勒第二定律，同一行星在相同时间内与太阳连线扫过的面积相等，但金星和火星是不同行星，轨道参数不同，相同时间内扫过的面积不同，A错误；根据开普勒第二定律，行星在近日点速度最大，远日点速度最小，火星在近日点的速度大于远日点的速度，B正确；开普勒第一定律指出行星轨道是椭圆，但太阳位于椭圆的一个焦点上，而非中心，C错误；行星角速度由轨道半径决定，根据开普勒第三定律，轨道半径越大，公转周期越大，角速度越小，七星连珠时各行星角速度不同，D错误．
1. 行星运行轨道按圆轨道处理时，半长轴即半径．
[2025江苏模拟预测]如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，设地球公转周期为T.下列说法正确的是(　　)
1
A. 地球做匀变速曲线运动
B. 冬至时地球公转的角速度比夏至时的大
C. 夏至时地球的加速度最大
B
[2025南通期中]科学家通过詹姆斯·韦布空间望远镜又发现了一批“迷你”小行星．若其中一颗小行星到太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的2.5倍，则该小行星绕太阳公转周期约为(　　)
A. 1年 B. 2.5年
C. 4年 D. 6.25年
2
C
活动二　理解和应用万有引力定律
[2025泰州期末]已知地球质量约为火星质量的10倍．一火星探测器在地球与火星之间，当地球对它的引力与火星对它的引力大小相等时，探测器距地球的距离与距火星的距离之比为(　　)
A. 10∶1 B. 1∶10
2
C
万有引力定律的理解
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的__________成反比．
2. 表达式：F＝________，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家____________测定．
3. 适用条件
(1) 公式适用于_______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2) 质量分布均匀的球体可视为质点，r是_________间的距离．
二次方
卡文迪什
质点
两球心
[2026南通市区期中]如图所示是卡文迪什测量引力常量所用的扭秤装置，已知反射光线在刻度尺上移动的距离与小球m、m′间的引力大小成正比．现将小球m′的质量增加为原来的两倍，m、m′间的距离减小为原来的一半，则反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的(　　)
3
A. 8倍
B. 4倍
C. 2倍
A
[2025扬州期中]如图所示，某星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ.已知该星球的半径为R，赤道上D处的重力加速度大小为g，北极点A处的重力加速度大小为2g，则E处的自转线速度大小为(　　)
3
B
[2025宿迁检测]嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
4
D
天体质量和密度的计算方法
(1) 天体重力加速度法
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(2) 环绕法
利用运行天体(以已知周期为例)．测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
[2025湖北卷]甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小．忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
A. 甲运动的周期比乙的小
B. 甲运动的线速度比乙的小
C. 甲运动的角速度比乙的小
D. 甲运动的向心加速度比乙的小
5
A
一般行星(或卫星)绕中心天体的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向.
(1) 请写出两个常用关系.
(2) 请分析行星(或卫星)运动的物理量与轨道半径的关系：r越大，v_______，ω_______，an_______，T_______，Ek_______，E_______.
man
mω2r
GM
越小
越小
越小
越大
越小
越大
(1) 月球的质量M；
(2) 椭圆轨道Ⅰ上远月点Q距月球表面的高度h.
4
(2) 由题意，设椭圆轨道Ⅰ的半长轴为a，则2a＝2R＋h，
解得h＝2R.
[2026南通月考]毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝ 5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67× 10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A. 5×109 kg/m3 B. 5×1012 kg/m3
C. 5×1015 kg/m3 D. 5×1018 kg/m3
6
C
星球稳定自转的临界问题
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是在星球赤道上的物体所受万有引力全部提供其随星球自转所需要的向心力．
活动三　分析卫星追及和双星问题
[2025南通一模]牛顿著名的“月—地检验”证明了万有引力定律的普适性．某人在地球上观察月球的运动，已知月球的轨道半径r，地球半径R，地球的自转角速度为ω0，地球表面附近的加速度为g，引力常量为G，月球公转和地球自转方向相同．求：
(1) 地球的质量M；
(2) 相邻两次观察到月球的时间间隔t.
7
【答案】 (1) 物体在地球表面受到的重力与引力近似相等，
相邻两次观察到月球，(ω0－ω)t＝2π，
两颗卫星运转方向相同，初始位置与中心天体在同一直线上且相距最近，两者再次相距最近的关系式：
(1) 角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2，3，…)．　
[2026南通阶段练习]在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统．如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响．下列说法正确的是(　　)
8
A. 黑洞A的向心力大于B的向心力
B. 黑洞A的线速度小于B的线速度
C. 黑洞A的质量大于B的质量
D. 两黑洞之间的距离越大，A的周期越大
D
双星模型
如图所示，绕天体连线上某一点转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．
1. 特点
(2) 两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
(3) 两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
2. 结论
多星系统的条件：①各星彼此相距较近；②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．在多星问题中，特别要注意星体间距与轨道半径是不同的．
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Thank you for watching第4讲　万有引力定律及其应用
学习目标　1. 了解开普勒行星运动定律.2. 理解万有引力定律．3. 能求解行星(或卫星)的运动问题.4. 理解卫星追及、双星问题．
活动一 了解开普勒行星运动定律
1 [2025南通阶段练习]2025年2月28日前后，在夜空观察时，太阳系中的土星、水星、海王星、金星、天王星、木星和火星将大致连成一条直线，上演“七星连珠”天象，则下列说法正确的是(　　)
A. 金星和火星在相同时间内与太阳连线扫过的面积相同
B. 火星在近日点的速度大于火星在远日点的速度
C. 这些行星的轨迹是椭圆，太阳在椭圆中心
D. 七星连成一线时角速度恰好相同
行星运行轨道按圆轨道处理时，半长轴即半径.
开普勒第二定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等.由开普勒第二定律可得△l1r1=△l2r2，v1·△t·r1=v2·△t·r2，解得=，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，在近日点速度最大，在远日点速度最小.
3. 开普勒第三定律中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只适用在同一中心天体的两星体之间．
即时训练1 [2025江苏模拟预测]如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，设地球公转周期为T.下列说法正确的是(　　)
A. 地球做匀变速曲线运动
B. 冬至时地球公转的角速度比夏至时的大
C. 夏至时地球的加速度最大
D. 从夏至开始经历 T，地球正好位于秋分位置
即时训练2 [2025南通期中]科学家通过詹姆斯·韦布空间望远镜又发现了一批“迷你”小行星．若其中一颗小行星到太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的2.5倍，则该小行星绕太阳公转周期约为(　　)
A. 1年 B. 2.5年
C. 4年 D. 6.25年
活动二 理解和应用万有引力定律
2 [2025泰州期末]已知地球质量约为火星质量的10倍．一火星探测器在地球与火星之间，当地球对它的引力与火星对它的引力大小相等时，探测器距地球的距离与距火星的距离之比为(　　)
A. 10∶1 B. 1∶10
C. ∶1 D. 1∶
万有引力定律的理解
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的________成反比．
2. 表达式：F＝________，G为引力常量，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，由英国物理学家________测定．
3. 适用条件
(1) 公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2) 质量分布均匀的球体可视为质点，r是________间的距离．
即时训练3 [2026南通市区期中]如图所示是卡文迪什测量引力常量所用的扭秤装置，已知反射光线在刻度尺上移动的距离与小球m、m′间的引力大小成正比．现将小球m′的质量增加为原来的两倍，m、m′间的距离减小为原来的一半，则反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的(　　)
A. 8倍 B. 4倍
C. 2倍 D.
3 [2025扬州期中]如图所示，某星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ.已知该星球的半径为R，赤道上D处的重力加速度大小为g，北极点A处的重力加速度大小为2g，则E处的自转线速度大小为(　　)
A. v＝sin θ
B. v＝cos θ
C. v＝sin θ
D. v＝cos θ
若考虑地球自转，地球对物体的万有引力表现为两个效果：一是重力，二是提供物体随地球自转的向心力. 在赤道上G＝mg1＋mω2R.如果题目中没有特别说明，一般不考虑自转的影响，认为重力等于万有引力．
4 [2025宿迁检测]嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D. (1＋k)3
天体质量和密度的计算方法
(1) 天体重力加速度法
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G＝mg，得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
(2) 环绕法
利用运行天体(以已知周期为例).测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度.
5 [2025湖北卷]甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小．忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
A. 甲运动的周期比乙的小
B. 甲运动的线速度比乙的小
C. 甲运动的角速度比乙的小
D. 甲运动的向心加速度比乙的小
一般行星(或卫星)绕中心天体的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向.
(1) 请写出两个常用关系.
①G＝________＝________＝________＝________．
②忽略天体自转时，物体在天体表面受到的万有引力等于物体重力，即mg＝G，整理可得gR2＝________．
(2) 请分析行星(或卫星)运动的物理量与轨道半径的关系：r越大，v________，ω________，an________，T________，Ek________，E________.
即时训练4 月球探测器登月前，从椭圆环月轨道转移至近月圆轨道．如图所示，探测器在椭圆轨道Ⅰ上运动，运行周期为2T.在近月点P处减速，使探测器转移到近月圆轨道Ⅱ上运动，运行周期为T.已知月球半径为R，万有引力常量为G.求：
(1) 月球的质量M；
(2) 椭圆轨道Ⅰ上远月点Q距月球表面的高度h.
6 [2026南通月考]毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A. 5×109 kg/m3
B. 5×1012 kg/m3
C. 5×1015 kg/m3
D. 5×1018 kg/m3
星球稳定自转的临界问题
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是在星球赤道上的物体所受万有引力全部提供其随星球自转所需要的向心力．
活动三 分析卫星追及和双星问题
7 [2025南通一模]牛顿著名的“月—地检验”证明了万有引力定律的普适性．某人在地球上观察月球的运动，已知月球的轨道半径r，地球半径R，地球的自转角速度为ω0，地球表面附近的加速度为g，引力常量为G，月球公转和地球自转方向相同．求：
(1) 地球的质量M；
(2) 相邻两次观察到月球的时间间隔t.
两颗卫星运转方向相同，初始位置与中心天体在同一直线上且相距最近，两者再次相距最近的关系式：
(1) 角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…).　
(2) 圈数关系：－＝n(n＝1，2，3，…)，解得t＝(n＝1，2，3，…).
同理，若两者从最近到相距最远有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或 －＝(n＝1，2，3，…).
8 [2026南通阶段练习]在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统．如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响．下列说法正确的是(　　)
A. 黑洞A的向心力大于B的向心力
B. 黑洞A的线速度小于B的线速度
C. 黑洞A的质量大于B的质量
D. 两黑洞之间的距离越大，A的周期越大
双星模型
如图所示，绕天体连线上某一点转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．
1. 特点
(1) 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2.
(2) 两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
(3) 两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
2. 结论
(1) 两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
(2) 双星的运动周期T＝2π.
(3) 双星的总质量m1＋m2＝.
多星系统的条件：①各星彼此相距较近；②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．在多星问题中，特别要注意星体间距与轨道半径是不同的．
第4讲　万有引力定律及其应用
【活动一】
例 1
B　根据开普勒第二定律，同一行星在相同时间内与太阳连线扫过的面积相等，但金星和火星是不同行星，轨道参数不同，相同时间内扫过的面积不同，A错误；根据开普勒第二定律，行星在近日点速度最大，远日点速度最小，火星在近日点的速度大于远日点的速度，B正确；开普勒第一定律指出行星轨道是椭圆，但太阳位于椭圆的一个焦点上，而非中心，C错误；行星角速度由轨道半径决定，根据开普勒第三定律，轨道半径越大，公转周期越大，角速度越小，七星连珠时各行星角速度不同，D错误．
即时训练1 B　地球沿椭圆轨道绕太阳运行，所受万有引力方向不断变化，加速度方向也不断变化，不是匀变速曲线运动，故A错误；根据开普勒第二定律，在相等时间内，地球与太阳的连线扫过的面积相等，冬至时地球离太阳较近，夏至时离太阳较远，在相同时间内扫过相等面积，冬至时运动的弧长更长，由ω＝(线速度v更大，半径r更小)可知，冬至时地球公转的角速度比夏至时的大，故B正确；根据万有引力提供合外力有G＝ma，可得a＝G，夏至时地球离太阳最远，r最大，加速度最小，故C错误；地球绕太阳做椭圆运动，在轨道不同位置的线速度不同，从夏至开始经历 T，地球不是正好位于秋分位置，故D错误．
即时训练2 C　根据开普勒第三定律可知＝，可得T星＝T地≈4年，C正确．
【活动二】
例 2
C　设地球质量为M，火星质量为 .探测器到地球的距离为r1，到火星的距离为r2.根据万有引力定律，当引力相等时 ＝，得 ＝，因此探测器距地球与火星的距离之比为∶1.C正确．
总结提升：1 二次方　2 G　卡文迪什　3 (1) 质点　(2) 两球心
即时训练3 A　设两小球之间的距离为r，则有F＝，现将小球m′的质量增加为原来的两倍，m、m′间的距离减小为原来的一半，则有F′＝＝8＝8F，因此反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的8倍．A正确．
例 3
B　由题意可知，在北极点A处有＝2mg，在赤道上D处有＝mg＋mω2R，联立解得，该星球自转的角速度ω＝，因此E处的自转线速度大小v＝ωR cos θ＝cos θ，B正确．
例 4
D　设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力有G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3，D正确.
例 5
A　根据卫星做圆周运动的向心力等于万有引力可知G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可得T＝2π，v＝，ω＝，a＝，因r甲v乙，角速度关系ω甲>ω乙，向心加速度关系a甲>a乙，A正确．
总结提升：(1) ①man　m　mω2r　mr　②GM
(2) 越小　越小　越小　越大　越小　越大
即时训练4 (1) 设探测器质量为m，探测器做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝m()2R，
解得月球质量M＝.
(2) 由题意，设椭圆轨道Ⅰ的半长轴为a，则2a＝2R＋h，
根据开普勒第三定律得 ＝，
解得h＝2R.
例 6
C　设脉冲星质量为M、密度为ρ，位于该星体赤道处的小块物体质量为m，物体受到的星体的万有引力恰好提供向心力，这时星体不瓦解且有最小密度，由万有引力定律结合牛顿第二定律得＝m()2R，天体的密度公式ρ＝＝，代入数据解得密度最小值ρ≈5×1015 kg/m3, 故C正确．
【活动三】
例 7
(1) 物体在地球表面受到的重力与引力近似相等，
则G＝mg，
解得地球质量M＝.
(2) 设月球公转角速度为ω，有G＝m′rω2，
解得ω＝，
相邻两次观察到月球，(ω0－ω)t＝2π，
所以相邻两次观察到月球的时间间隔t＝.
例 8
D　两个黑洞A、B组成双星系统，两者的角速度相同，由相互作用的万有引力提供向心力，则黑洞A和B的向心力大小相等；根据v＝ωr，且黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故A、B错误．设黑洞A、B的轨道半径分别为rA、rB，由牛顿第二定律得 ＝mArA＝mBrB，又rA＋rB＝L，联立解得 ＝，T＝2π.由于黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，可知黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量；两个黑洞的总质量M一定，L越大，则周期越大，故C错误，D正确．

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