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专题5　圆周运动中的临界问题
学习目标　1. 理解竖直面内圆周运动的绳(环)、杆(管)模型特点．2. 能求解水平面内圆周运动的临界、极值问题.3. 了解离心现象及其产生的原因．
活动一 分析绳(环)模型问题
1 [2026南通如皋测试]如图所示，一小球在最低点获得一初速度，沿着竖直平面内的光滑圆轨道做完整的圆周运动，则小球(　　)
A. 做匀速圆周运动
B. 在最高点可能不受轨道弹力
C. 在圆心等高点时的向心力由所受的合力提供
D. 在A点时的向心力由所受的合力提供
绳(环)模型中物体能通过最高点，做完整的圆周运动的临界条件是v≥．
即时训练1 如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随过山车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　)
A. 过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B. 人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C. 人在最低点时对座位的压力等于mg
D. 人在最低点时对座位的压力大于mg
即时训练2 [2025苏州阶段练习]如图所示，长度均为l的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的a、b两点，a、b两点间的距离为l，现使小球在竖直平面内以ab为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，每根绳的拉力为零，则在最高点每根绳的拉力等于小球重力时，小球在最高点的速度为(　　)
A. v B. v
C. 2v D. 2v
活动二 分析杆(管)模型问题
2 [2025扬州开学考试]如图所示，轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随杆在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A. 小球运动到最低点时，杆对球的作用力大于小球重力
B. 小球运动到最高点时，杆对球的作用力方向一定向上
C. 小球能通过最高点的最小速度为
D. 小球运动到水平位置A时，所受合外力一定指向O点
杆(管)模型中，物体能通过最高点，做完整的圆周运动的临界条件是v≥0.v＝是FN表现为拉力还是支持力的临界点．
即时训练3 如图所示，在竖直平面内固定着光滑圆管道．一小球从管道内的最低点以不同的初速度v0向右运动，球的直径略小于管的内径，不计空气阻力．用粗线表示小球在运动过程中对内管壁有作用力的区域，虚线为过O点的水平线，下列图示可能正确的是(　　)
A B C D
活动三 分析水平面内圆周运动的临界问题
3 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴心距离为R，C离轴心2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)，下列说法中错误的是(　　)
A. 物体C的向心加速度最大
B. 物体B受到的静摩擦力最大
C. ω＝ 是C开始滑动的临界角速度
D. 当圆台转速增加时，C比A先滑动
1. 物体做离心运动还是近心运动的判断．
由实际提供的向心力F与所需向心力(m或mrω2)的大小关系决定，如图所示．
(1) 当F＝0时，物体沿________方向飞出，做匀速直线运动.
(2) 当0(3) 当F>mrω2时，物体逐渐________圆心，做______运动．
2. 例3中，物体与圆台间恰好不发生相对滑动的临界条件是什么？
即时训练4 [2024江苏卷]制作陶器时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑．假设陶屑与桌面间的动摩因数处处相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．将陶屑视为质点，则(　　)
A. 离转轴越近的陶屑质量越大
B. 离转轴越远的陶屑质量越大
C. 陶屑只能分布在台面的边缘处
D. 陶屑只能分布在一定半径的圆内
4 [2026常州月考]如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上．当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止．下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是(　　)
A B C D
“绳子刚好伸直”的意思是“伸直但无张力”，注意“静摩擦力大小有范围，方向可以改变”等特点，确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
专题5　圆周运动中的临界问题
【活动一】
例 1
B　小球在竖直平面内光滑的圆弧轨道上做圆周运动，只有重力做功，机械能守恒，由于重力势能不断变化，动能也随之改变，因此小球的速度大小一定会发生改变，不可能做匀速圆周运动，故A错误；小球在最高点时，受力分析可知FN＋mg＝，当FN＝0时，只有重力提供向心力，此时小球的速度为v＝，故B正确；小球在与圆心等高点时，受到竖直向下的重力和沿水平方向指向圆心的弹力，二者的合力并不指向圆心，因此此时为小球圆周运动提供向心力的只有弹力，故C错误；小球在A点时，对小球受力分析可知，圆弧轨道的弹力与重力沿圆弧轨道半径的分力的合力为小球圆周运动提供向心力，重力沿A点切线方向的分力提供小球切向加速度，故D错误．
即时训练1 D　人过最高点时，FN＋mg＝m，当v≥ 时，即使人不用保险带也不会掉下来，当v＝ 时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B错误；人在最低点时具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误，D正确．
即时训练2 A　根据几何关系可知，小球做圆周运动的半径为r＝＝l，小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m，解得v＝＝，当小球在最高点时，每根轻绳的拉力大小为mg，小球受到的合外力F＝mg＋2F cos 60°＝2mg，根据牛顿第二定律有2mg＝m，联立解得v1＝＝＝v，A正确．
【活动二】
例 2
A　小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律，有F－mg＝m，在最低点速度不可能为0，所以杆对球的作用力为向上的拉力，且大于小球的重力，A正确；小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律，若杆对球无作用力，有mg＝m，可得v＝，若小球的速度大于，则杆对球为向下的拉力，若小球的速度小于，则杆对球为向上的支持力，B错误；由于杆对球能提供支持力，所以小球能通过最高点的最小速度为0，C错误；若小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则在水平位置A时，所受合力指向O点，若小球做变速圆周运动，则还应受到改变速度大小的切向力，所以小球所受合力不会指向圆心O点，D错误．
即时训练3 A　在虚线以下的半圆，小球的重力分解成沿切线方向和沿半径背离圆心的分力，所以重力无法提供向心力，此时小球必受到外管壁对其指向圆心的弹力．设圆管道的半径为r，小球在最高点对内外管壁均无弹力的速度为v，有mg＝m，解得v＝.在虚线上半圆，小球的重力分解成沿切线方向和沿半径指向圆心的分力，当小球在圆管道最高点速度大于 时，在上半圆运动过程中，所需向心力一直大于其重力沿半径方向的分力，外管壁对小球有指向圆心的弹力．当小球在圆管道最高点速度小于 时，在上半圆运动过程中，刚进入上半圆或者将要滑出上半圆时，重力沿半径方向的分力较小，不足以提供向心力，外管壁对其有指向圆心的弹力，随着小球高度的增加，其速率减小，所需向心力减小，重力沿半径方向分力增大，会在某一合适的位置开始出现内管壁对小球有弹力．故A正确．
【活动三】
例 3
B　物体绕轴做匀速圆周运动，角速度相等，有a＝ω2r，由于C物体的转动半径最大，故向心加速度最大，故A正确；物体绕轴做匀速圆周运动，角速度相等，静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律可得f＝mω2r，故B受到的摩擦力最小，故B错误；对C分析可知当C物体恰好滑动时，静摩擦力达到最大，有μmg＝m·2Rω2，解得ω＝，故临界角速度为，故C正确；由C的分析可知转动半径越大的临界角速度越小，越容易滑动，与物体的质量无关，故物体C先滑动，物体A、B将一起后滑动，故D正确．故选B．
总结提升：
1 (1) 切线　(2) 远离　离心　(3) 靠近　近心
2 静摩擦力达到最大值．
即时训练4 D　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝，因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，A、B、C错误；由μmg＝mRω2，解得离轴最远的陶屑距离不超过某一值R＝，D正确．
例 4
D　转动过程中a、b角速度相同．当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为fa＝mraω2，fb＝mrbω2，因为rb>ra，故fb>fa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f0时绳子开始出现拉力，此时对于a、b有fa－T＝mraω2，f0＋T＝mrbω2，联立可得fa＝m(ra＋rb)ω2－f0，由上述分析可知，绳子拉力出现之前faω2图像的斜率为mra，绳子拉力出现之后图线的斜率为m(ra＋rb)，所以绳子有拉力时图线斜率变大．D正确．(共29张PPT)
第四章
曲线运动与万有引力定律
专题5　圆周运动中的临界问题
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 理解竖直面内圆周运动的绳(环)、杆(管)模型特点.2. 能求解水平面内圆周运动的临界、极值问题.3. 了解离心现象及其产生的原因．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　分析绳(环)模型问题
[2026南通如皋测试]如图所示，一小球在最低点获得一初速度，沿着竖直平面内的光滑圆轨道做完整的圆周运动，则小球(　　)
1
A. 做匀速圆周运动
B. 在最高点可能不受轨道弹力
C. 在圆心等高点时的向心力由所受的合力提供
D. 在A点时的向心力由所受的合力提供
B
如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随过山车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　)
1
A. 过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B. 人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C. 人在最低点时对座位的压力等于mg
D. 人在最低点时对座位的压力大于mg
D
2
A
活动二　分析杆(管)模型问题
[2025扬州开学考试]如图所示，轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随杆在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
2
A. 小球运动到最低点时，杆对球的作用力大于小球重力
B. 小球运动到最高点时，杆对球的作用力方向一定向上
D. 小球运动到水平位置A时，所受合外力一定指向O点
A
如图所示，在竖直平面内固定着光滑圆管道．一小球从管道内的最低点以不同的初速度v0向右运动，球的直径略小于管的内径，不计空气阻力．用粗线表示小球在运动过程中对内管壁有作用力的区域，虚线为过O点的水平线，下列图示可能正确的是(　　)
3
A
B
C
D
A
活动三　分析水平面内圆周运动的临界问题
如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴心距离为R，C离轴心2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)，下列说法中错误的是(　　)
3
A. 物体C的向心加速度最大
B. 物体B受到的静摩擦力最大
D. 当圆台转速增加时，C比A先滑动
B
1. 物体做离心运动还是近心运动的判断．
(1) 当F＝0时，物体沿________方向飞出，做匀速直线运动.
(2) 当0(3) 当F>mrω2时，物体逐渐________圆心，做________运动．
切线
远离
离心
靠近
近心
2. 例3中，物体与圆台间恰好不发生相对滑动的临界条件是什么？
【答案】 静摩擦力达到最大值．
[2024江苏卷]制作陶器时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑．假设陶屑与桌面间的动摩因数处处相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．将陶屑视为质点，则(　　)
4
A. 离转轴越近的陶屑质量越大
B. 离转轴越远的陶屑质量越大
C. 陶屑只能分布在台面的边缘处
D. 陶屑只能分布在一定半径的圆内
D
[2026常州月考]如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上．当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止．下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是(　　)
4
A
B
C
D
D
【解析】 转动过程中a、b角速度相同．当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为fa＝mraω2，fb＝mrbω2，因为rb>ra，故fb>fa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力f0时绳子开始出现拉力，此时对于a、b有fa－T＝mraω2，f0＋T＝mrbω2，联立可得fa＝m(ra＋rb)ω2－f0，由上述分析可知，绳子拉力出现之前fa－ω2图像的斜率为mra，绳子拉力出现之后图线的斜率为m(ra＋rb)，所以绳子有拉力时图线斜率变大．D正确．
“绳子刚好伸直”的意思是“伸直但无张力”，注意“静摩擦力大小有范围，方向可以改变”等特点，确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
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