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第四章
曲线运动与万有引力定律
第3讲　圆周运动
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 理解描述圆周运动各物理量间的关系.2. 会分析实例中的向心力的来源、作用.3. 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　理解描述圆周运动各物理量间的关系
一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法中错误的是(　　)
A. 角速度为0.5 rad/s
B. 转速为0.5 r/s
1
D. 加速度大小为4π m/s2
A
写出an和v、ω、r、n、T、f之间的关系．
A. 90 B. 120
C. 150 D. 180
1
C
[2025扬州期末]如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，陶瓷上A、B两点的(　　)
2
A. ωA<ωB B. vA＝vB
C. vAC
【解析】 陶瓷上A、B两点同轴转动，则角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝ωr，A点转动半径较小，则vA同轴传动和皮带传动(齿轮传动和摩擦传动)的特点
(1) 同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点__________相同.
(2) 皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮________上各点__________大小相等.
角速度
边缘
线速度
[2025江苏卷]游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O′为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动．O′固定在底盘上．某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上．则(　　)
2
A. A点做匀速圆周运动
B. O′点做匀速圆周运动
C. 此时A点的速度小于O′点
D. 此时A点的速度等于O′点
B
【解析】 A点运动为A点绕O′的圆周运动和O′相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误；根据题意O′固定在底盘上，故可知O′围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上时且A在OO′延长线上，A点和O′点运动方向相同，又A点相对O′点做圆周运动，故此时A的速度大于O′的速度，故C、D错误．
[2025苏州期中]如图所示，一根长为l的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至轻杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是(　　)
3
A. A、B的线速度相同
B. A、B的角速度不相同
C
活动二　理解与分析向心力
关于向心力，下列说法错误的是(　　)
A. 做匀速圆周运动的物体一定受到一个向心力的作用
B. 向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的
C. 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力
D. 向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢
3
A
【解析】 向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合外力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故A错误，B、C、D正确．故选A.
物体做匀速圆周运动时，向心力是由合力(必指向圆心)提供的．
[2023江苏卷]“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动．当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环．求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f.
4
【答案】 发光物体的速度大小为v0＝ω0r，
[2026南通阶段练习]如图所示，矩形框架ABCD位于竖直平面内，轻弹簧的一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静止状态．现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动，在角速度逐渐增大的过程中，下列说法正确的是(　　)
4
A. 弹簧的长度不变
B. 弹簧的长度变长
C. CD杆对小球的弹力变大
D. CD杆对小球的弹力不变
A
有关生活中的圆周运动实例分析，下列说法正确的是(　　)
5
甲
乙
丙
丁
A. 若火车转弯的速度超过规定速度，图甲中的内轨对火车轮缘会有挤压作用
B. 在图乙的“水流星”表演中，装满水的桶转动到最高点的速度越大，水越不容易洒出
C. 图丙中，衣服(质量不变)在滚筒内壁做匀速圆周运动时，在最高点的合力大于在最低点的合力
D. 图丁中的汽车通过凹桥最低点时对桥的压力小于车受到的重力
B
求解圆周运动问题必须进行三类分析的目的．
项目 目的
几何分析 确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析 确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析 通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
两根长度不同的细线上端固定在同一点，下面分别悬挂小球A、B，A的质量小于B的质量．A、B以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两球的相对位置关系正确的是(　　)
6
A
B
C
D
B
圆锥摆模型中，不同物体角速度(周期)相同时，对应圆锥的______相同，反之亦然．
高
[2026南通如皋期末]如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则(　　)
5
A. 甲、乙的向心力大小相等
B. 甲、乙的线速度大小相等
C. 乙、丙的角速度大小相等
D. 乙、丙的线速度大小相等
D
活动三　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系(实验)
[2025无锡阶段练习]在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中，所用实验器材如图所示．
7
(1) 某次实验时，选择A、B两个体积相等的铝球和钢球，变速塔轮的半径之比为1∶1，如图所示，是探究哪两个物理量之间的关系？______.
A. 研究向心力与质量之间的关系
B. 研究向心力与角速度之间的关系
C. 研究向心力与半径之间的关系
D. 研究向心力与线速度之间的关系
(2) 某次实验保证小球质量和圆周运动半径相等，若标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮相对应的半径之比为______.
A. 1∶2 B. 2∶1
C. 1∶4 D. 4∶1
A
B
【解析】 (1) 铝球与钢球的质量不同，半径相等，转速相同，本实验研究向心力与质量之间的关系．A正确．
(2) 根据向心力公式F＝mrω2，两球的向心力之比为1∶4，半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶2，因为靠皮带传动，变速塔轮的线速度大小相等，根据v＝rω知，与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为2∶1.B正确．
[2025苏锡常镇一模]小明利用某手机软件研究向心加速度，如图甲所示．绷紧细线，将手机拉开某一角度后由静止释放，使之绕水平悬梁AB摆动至最低点，细线碰到水平挡杆CD后继续摆动，在手机软件上观察记录细线碰挡杆后瞬间手机的向心加速度大小a，测量手机上边缘到挡杆CD的距离l.改变CD的高度，将手机拉开到同一角度后由静止释放，重复实验．
6
甲
乙
丙
(1) 某次实验测量l时，毫米刻度尺的0刻度对齐挡杆CD的下边缘，手机上边缘对应刻度尺位置如图乙所示，则l＝_______cm.
(2) 已知手机软件的x、y、z三个正方向如图丙所示，则小明在该实验中应该读取______(选填“x”“y”或“z”)轴加速度的数据．
丁
36.48
x
(碰到挡杆CD时)速
度平方的倒数
(4) 小明认为图像不过原点是手机加速度传感器位置在手机上边缘的下方某距离所致．根据图丁估计该距离约为_____cm.
(5) 在操作过程中，手机每次拉开的角度都需要与第一次相同，请说明理由．
【答案】 应使每次碰到挡杆CD时的速度大小均相同．
1
【解析】 (1) 测量手机上边缘到挡杆CD的距离l＝36.48 cm.
(2) 本题研究向心加速度，结合图甲可知，手机侧面与细线平行，指向圆心方向，所以小明在该实验中应该读取x轴加速度的数据．
(4) 由图丁数据表达式可知，当y＝0时，解得x≈0.01 m＝1 cm，所以手机加速度传感器位置在手机上边缘的下方约为1 cm.
(5) 在操作过程中，手机每次拉开的角度都需要与第一次相同，因为应使每次碰到挡杆CD时的速度大小均相同．
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学习目标　1. 理解描述圆周运动各物理量间的关系．2. 会分析实例中的向心力的来源、作用.3. 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系．
活动一 理解描述圆周运动各物理量间的关系
1 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法中错误的是(　　)
A. 角速度为0.5 rad/s
B. 转速为0.5 r/s
C. 轨迹半径为 m
D. 加速度大小为4π m/s2
写出an和v、ω、r、n、T、f之间的关系．
即时训练1 [2025河北卷]某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，如图所示．彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A. 90 B. 120 C. 150 D. 180
2 [2025扬州期末]如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，陶瓷上A、B两点的(　　)
A. ωA<ωB B. vA＝vB
C. vA同轴传动和皮带传动(齿轮传动和摩擦传动)的特点
(1) 同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点________相同.
(2) 皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮________上各点________大小相等.
即时训练2 [2025江苏卷]游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O′为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动．O′固定在底盘上．某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上．则(　　)
A. A点做匀速圆周运动
B. O′点做匀速圆周运动
C. 此时A点的速度小于O′点
D. 此时A点的速度等于O′点
即时训练3 [2025苏州期中]如图所示，一根长为l的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至轻杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是(　　)
A. A、B的线速度相同
B. A、B的角速度不相同
C. 小球A的线速度大小为
D．轻杆转动的角速度为
活动二 理解与分析向心力
3 关于向心力，下列说法错误的是(　　)
A. 做匀速圆周运动的物体一定受到一个向心力的作用
B. 向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的
C. 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力
D. 向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢
物体做匀速圆周运动时，向心力是由合力(必指向圆心)提供的．
4 [2023江苏卷]“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动．当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环．求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f.
即时训练4 [2026南通阶段练习]如图所示，矩形框架ABCD位于竖直平面内，轻弹簧的一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静止状态．现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动，在角速度逐渐增大的过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 弹簧的长度不变
B. 弹簧的长度变长
C. CD杆对小球的弹力变大
D. CD杆对小球的弹力不变
5 有关生活中的圆周运动实例分析，下列说法正确的是(　　)
甲 乙 丙 丁
A. 若火车转弯的速度超过规定速度，图甲中的内轨对火车轮缘会有挤压作用
B. 在图乙的“水流星”表演中，装满水的桶转动到最高点的速度越大，水越不容易洒出
C. 图丙中，衣服(质量不变)在滚筒内壁做匀速圆周运动时，在最高点的合力大于在最低点的合力
D. 图丁中的汽车通过凹桥最低点时对桥的压力小于车受到的重力
求解圆周运动问题必须进行三类分析的目的．
项目 目的
几何分析 确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析 确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析 通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
6 两根长度不同的细线上端固定在同一点，下面分别悬挂小球A、B，A的质量小于B的质量．A、B以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两球的相对位置关系正确的是(　　)
A B C D
圆锥摆模型中，不同物体角速度(周期)相同时，对应圆锥的________相同，反之亦然．
即时训练5 [2026南通如皋期末]如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动，已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则(　　)
A. 甲、乙的向心力大小相等
B. 甲、乙的线速度大小相等
C. 乙、丙的角速度大小相等
D. 乙、丙的线速度大小相等
活动三 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系(实验)
7 [2025无锡阶段练习]在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中，所用实验器材如图所示．
(1) 某次实验时，选择A、B两个体积相等的铝球和钢球，变速塔轮的半径之比为1∶1，如图所示，是探究哪两个物理量之间的关系？________．
A. 研究向心力与质量之间的关系
B. 研究向心力与角速度之间的关系
C. 研究向心力与半径之间的关系
D. 研究向心力与线速度之间的关系
(2) 某次实验保证小球质量和圆周运动半径相等，若标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮相对应的半径之比为________．
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1
即时训练6 [2025苏锡常镇一模]小明利用某手机软件研究向心加速度，如图甲所示．绷紧细
线，将手机拉开某一角度后由静止释放，使之绕水平悬梁AB摆动至最低点，细线碰到水平挡杆CD后继续摆动，在手机软件上观察记录细线碰挡杆后瞬间手机的向心加速度大小a，测量手机上边缘到挡杆CD的距离l.改变CD的高度，将手机拉开到同一角度后由静止释放，重复实验．
甲 乙 丙
(1) 某次实验测量l时，毫米刻度尺的0刻度对齐挡杆CD的下边缘，手机上边缘对应刻度尺位置如图乙所示，则l＝________cm.
(2) 已知手机软件的x、y、z三个正方向如图丙所示，则小明在该实验中应该读取________(选填“x”“y”或“z”)轴加速度的数据．
(3) 根据得到的数据由电脑描点作出 -l图，数据拟合获得图像及表达式如图丁所示，则该图线斜率表示的物理意义为________________________．
丁
(4) 小明认为图像不过原点是手机加速度传感器位置在手机上边缘的下方某距离所致．根据图丁估计该距离约为________cm.
(5) 在操作过程中，手机每次拉开的角度都需要与第一次相同，请说明理由．
第3讲　圆周运动
【活动一】
例 1
A　角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；轨迹半径为 r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确．故选A．
总结提升：an＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝4π2n2r＝ωv .(n的单位为r/s)
即时训练1 C　根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数为n＝＝150，C正确．
例 2
C　陶瓷上A、B两点同轴转动，则角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝ωr，A点转动半径较小，则vA总结提升：(1) 角速度　(2) 边缘　线速度
即时训练2 B　A点运动为A点绕O′的圆周运动和O′相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误；根据题意O′固定在底盘上，故可知O′围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上时且A在OO′延长线上，A点和O′点运动方向相同，又A点相对O′点做圆周运动，故此时A的速度大于O′的速度，故C、D错误．
即时训练3 C　如图所示，根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度vB沿轻杆和垂直轻杆的方向分解成v1＝vB cos θ＝v cos θ，v2＝vB sin θ＝v sin θ，v2为B点做圆周运动的线速度，v1为B点沿轻杆运动的速度．当轻杆与水平方向夹角为θ时，A、B都围绕点O做圆周运动，由于是在同一轻杆上运动，故A、B的角速度相同，但由于转动半径不一样，A、B的线速度不相同，故A、B错误．当轻杆与水平方向夹角为θ时，B点做圆周运动的线速度大小满足v2＝v sin θ＝lOBω＝ω，可得轻杆转动的角速度为ω＝，则小球A的线速度大小为vA＝rω＝lω＝，故C正确，D错误．
【活动二】
例 3
A　向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合外力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故A错误，B、C、D正确．故选A．
例 4
发光物体的速度大小为v0＝ω0r，
发光物体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为f＝mωr.
即时训练4 A　对小球受力分析，设弹簧的弹力为F，弹簧与水平方向的夹角为θ，如图所示，则对小球在竖直方向上有F sin θ＝mg，由胡克定律，可得F＝k(－l0)，联立两式可知，θ为定值，则F也不变，则当角速度不断增大时，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，弹簧的长度不变，故A正确，B错误；小球由静止开始做圆周运动，由F在水平方向的分力F cos θ和CD杆对小球的弹力FN一起提供向心力，根据牛顿第二定律得F cos θ－FN＝mω2r，解得FN＝F cos θ－mω2r例 5
B　火车转弯时，规定速度下重力与支持力的合力提供向心力，若速度超过规定速度，所需向心力增大，外轨对轮缘产生挤压，而非内轨，A错误；水桶转动到最高点，水不洒出的条件是向心力至少等于重力，速度越大，所需向心力越大，桶对水的压力越大，水越不易洒出，B正确；衣服做匀速圆周运动，合力大小始终等于向心力F合＝，质量、速度、半径均不变，故最高点与最低点合力大小相等，C错误；汽车过凹桥最低点时，向心力向上，支持力F支＝mg＋，支持力大于重力，根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力等于支持力，大于重力，D错误．
例 6
B　对小球分析，小球做匀速圆周运动，设细线长为L，圆周运动的角速度为ω，则mg tan θ＝mω2L sin θ，整理得L cos θ＝，是常量，即两球处于同一高度，故B正确，A、C、D错误．
总结提升：高
即时训练5 D　设绳子与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律可得F合＝mg tan θ＝F向＝ma，可得向心加速度大小为a＝g tan θ，由于乙对应的θ较大，所以甲的向心力小于乙的向心力；甲的运动半径小于乙的运动半径，根据F向＝m可知甲的线速度小于乙的线速度，故A、B错误；乙、丙经过同一抛物线，以O点为坐标原点，竖直向下为y轴，水平向左为x轴，则抛物线方程为y＝kx2，设乙、丙的坐标分别为(x乙，y乙)、(x丙，y丙)，则有＝，根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝mω2r＝m，其中tan θ＝，r＝x，可得ω＝，v＝，由于y乙>y丙，＝，则有ω乙<ω丙，v乙＝v丙，故C错误，D正确．
【活动三】
例 7
(1) A　(2) B
解析：(1) 铝球与钢球的质量不同，半径相等，转速相同，本实验研究向心力与质量之间的关系．A正确．
(2) 根据向心力公式F＝mrω2，两球的向心力之比为1∶4，半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶2，因为靠皮带传动，变速塔轮的线速度大小相等，根据v＝rω知，与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为2∶1.B正确．
即时训练6 (1) 36.48　(2) x　(3) (碰到挡杆CD时)速度平方的倒数　(4) 1　(5) 应使每次碰到挡杆CD时的速度大小均相同．
解析：(1) 测量手机上边缘到挡杆CD的距离l＝36.48 cm.
(2) 本题研究向心加速度，结合图甲可知，手机侧面与细线平行，指向圆心方向，所以小明在该实验中应该读取x轴加速度的数据．
(3) 根据向心加速度公式a＝，整理得＝l，所以该图线斜率表示的物理意义为(碰到挡杆CD时)速度平方的倒数．
(4) 由图丁数据表达式可知，当y＝0时，解得x≈0.01 m＝1 cm，所以手机加速度传感器位置在手机上边缘的下方约为1 cm.
(5) 在操作过程中，手机每次拉开的角度都需要与第一次相同，因为应使每次碰到挡杆CD时的速度大小均相同．

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