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2026年江西吉安市永丰县恩江中学等校初中学业水平考试数学学科模拟卷
一、单选题
1．下列四个数字中，绝对值最小的是（ ）
A． B． C．1 D．
2．石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中，最适合抽样调查的是（ ）
A．了解神舟飞船发射前零部件的情况 B．了解某班级学生的月考数学成绩
C．订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D．了解生产的一批鞭炮的质量
4．如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的部分图象如图，图像过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的值随值的增大而增大；⑤当函数值时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．分解因式：________．
8．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则______．
9．如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______．
10．若方程的两个根是和，则的值为______．
11．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______．
12．吉州窑烧制技艺是国家级非物质文化遗产，本觉寺岭龙窑遗址作为现存罕见的宋代长条龙窑，与古朴矗立的本觉寺塔相映成趣，共同见证千年窑火传承．某研学小组在遗址区开展实践活动，如图所示，以遗址中心广场为坐标原点建立平面直角坐标系，测得代表本觉寺塔的点在轴上，代表本觉寺岭龙窑遗址的点在轴上，两点所在观景路线的表达式为．若遗址第二象限内有一处研学打卡点，使得为等腰直角三角形，则打卡点的坐标为___________．
三、解答题
13．计算
(1)计算：．
(2)化简：．
14．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．
15．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中的圆上找一点，使得平分；
(2)在图②中的圆上找一点，使得平分．
16．2026年新年伊始，首届江西省城市篮球联赛（赣）火热开赛，吸引了全省大批篮球爱好者的关注．其中吉安队主场赛区，共进行5场比赛，对手依次为：抚州队、景德镇队、鹰潭队、九江队、新余队．
(1)开赛前，学校球迷小贤准备随机抽取1场吉安队主场的比赛观看，他恰好抽到对手为景德镇队的概率为多少；
(2)在即将进行的第三轮比赛开始前，吉安队主教练已经确定了3名首发上场队员，剔除伤病队员，只有甲、乙、丙、丁四名队员可以上场，现欲从这4人中抽取2人参赛，用列表法或树状图求抽到甲、丙两名队员的概率．
17．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点的面积为4．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求的面积．
18．某学校为落实立德树人，传承井冈山精神，厚植青少年家国情怀，组织入学新生开展“我的井冈行”红色研学活动，需要租赁客车．现有两家租赁公司可供选择：A公司；每辆车限载45人，租金每辆每天900元，另收一次性调度费300元（不分车辆数）．B公司：每辆车限载30人，租金按实际乘车人数计算，每人每天25元，无其他费用．
设某日参加专线游的游客总人数为人，是45和30的公倍数，且．
(1)分别写出选择、两公司所需总费用、与人数之间的函数关系式．
(2)若该日游客人数为180人，通过计算说明选择哪家公司更省钱．
(3)当游客人数在什么范围内时，选择A公司比选择B公司更划算？（结果用不等式表示，不必取整）
(4)文旅集团计划将每日租车费用控制在4500元以内．若选择A公司，最多能接待多少名游客？（结果取整数）
19．2026年春晚的机器人表演令人印象深刻，这些高科技的机器人，其一举一动都蕴含着精确的数学计算，如图，机器人分开两脚站立，两脚间距，上半身地面，且．机器人两腿与地面的夹角分别为，
(1)求A点到地面的距离（结果保留整数）
(2)若机器人手臂从A点伸出，手臂长，手臂末端E到地面的垂直距离为，求手臂与竖直方向的夹角．（参考数据：
20．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为1，BC＝4，求图中阴影部分的面积．
21．近年来AI软件兴起，给人们的学习、生活和工作带来了极大的便利．现有关人员分别针对甲、乙两款软件的用户使用满意度进行了问卷调查．现从调查结果中各随机抽取20名用户的评分（满分100分，评分为不小于60的整数，评分越高代表用户越满意），并对用户的评分进行整理、描述、分析（评分用表示，共分成四个等级：（A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息：
甲款软件的分数是：96，95，92，90，89，88，88，87，84，80，80，80，80，78，75，75，73，65，65，60．
乙款软件的分数在B等级的数据是：88，87，85，85，84，84，84，82．
甲、乙两款AI软件评分统计表
甲款软件 乙款软件
平均数 81 81
中位数 80
众数 84
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中，，的值；
(2)根据以上数据分析，你认为哪款软件的用户满意度较高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若此次评分中有300名用户对甲款软件打分，有200名用户对乙款软件打分，请估计此次评分中A等级的用户数一共有多少？
22．定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”．
(1)已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________；
(2)直线的图象与轴交于点，与轴交于点．
①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________；
②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标；
③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由．
23．综合与探究
【问题情境】
如图，在矩形中，，，点是边上的一动点，连接，以为直角边在其右侧作，使，其中与交于点，与交于点，连接．
【猜想证明】
(1)判断与的位置关系，并加以证明；
【深入探究】
(2)当时，求线段的长；
(3)当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长.
参考答案
1．D
解：∵，，，，
∵，
∴绝对值最小的数为，
故选：D．
2．C
解：．
故选：C．
3．D
解：A、神舟飞船零部件必须全部检查，否则隐患可能导致严重后果，需全面调查，故选项不符合题意；
B、班级人数较少，直接统计所有学生成绩更准确，适合全面调查，故选项不符合题意；
C、订购校服需每个学生的尺寸，否则无法保证合身，必须全面调查，故选项不符合题意；
D、鞭炮质量检测具有破坏性（检测后无法销售），且数量庞大，适合通过抽样推断整体质量，故选项符合题意
故选:D．
4．C
解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如图所示：
5．A
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．B
解：二次函数的对称轴为直线，
，即，
，故①正确；
如图所示，当时，，则，故②错误；
二次函数的部分图像如图，图像过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点是，则抛物线与轴有两个交点，
，故③正确；
由图可知，抛物线开口向下、对称轴为，
当时，的值随值的增大而增大，故④错误；
抛物线与轴的交点是和，
当函数值时，是指抛物线在轴下方的图象对应的自变量x的取值范围，是或，
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，
故选：B．
7．
解：
．
8．
解：点与点关于轴对称，
，，
解得，，
，
故答案为：．
9．/度
解：∵，是的中线，
∴根据等腰三角形三线合一，可得平分，
∴
∴等腰中，底角
∵是角平分线，平分，
∴．
10．2025
解：∵a是方程的根，
∴，即．
∴．
∵a，b是方程的两个根，
根据根与系数的关系可得．
∴原式．
11．
解：设右上角数字为x，右下角数字为y，
由题意可得，，
解得，，
，
故答案为： ．
12．或或
解：∵的表达式为，
∴当时，，则，；
当时，，解得，则，；
∵为等腰直角三角形，
∴当为直角顶点时，此时，，
如图，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
同理，当为直角顶点时，
取中点，
∵，，
∴，，即是等腰直角三角形；
综上所述，使得为等腰直角三角形的打卡点的坐标为或或．
13．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
14．见解析
【详解】证明：四边形是菱形，
∴，
∵于点E，于点F，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如答图①，点，即为所求．
（2）解：如答图②，点即为所求．
16．(1)
(2)
（1）解：总共有5场等可能的比赛结果，抽到景德镇队的结果只有一种，所以他恰好抽到对手为景德镇队的概率为；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲、丙两名队员的结果数为2，
所以恰好抽到甲、丙两名队员的概率．
17．(1)，
(2)15
（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
∴
∴，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴；
∴；
∵，的面积为4．
∴
解得，
即，
把代入，得，
解得，
∴；
把和代入，
得
解得
∴；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）得，，，
令则，
解得，
则
∴，
则的面积
18．(1)，
(2)选择A公司更省钱
(3)
(4)最大为180人
（1）解：A公司：需车辆数辆，
；
B公司：；
（2）解：当时：
元，
元，
因为，
所以选择A公司更省钱；
（3）解：令：即，
，
，
又∵，
∴当时，A公司更划算；
（4）解：当时，即：，
，
，
又∵是45和30的公倍数（即90的倍数），且，
∴最大为180人（因）．
19．(1)
(2)
（1）解：延长交于点，设
在中，，则，
在中，，则，
由得，
解得 ，
所以 ，
所以机器人的高度为 ；
（2）解：过点作的延长线于点，
由题意得 ，
所以，
在中， ，
∴．
20．（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为．
【详解】（1）证明：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中
,
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵⊙O半径为1，
∴AB＝2，
∵∠BAC＝90°，BC＝4，
∴∠C＝30°，AC＝，
∴∠B＝60°，
∴∠AOD＝2∠B＝120°，
又∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝，
∴图中阴影部分的面积＝2S△AOE﹣S扇形AOD＝2×××1﹣＝﹣．
21．(1)，，
(2)乙款
(3)80人
（1）解：∵乙款软件的分数在B等级的百分比为，
∴，
∴；
A等级人数：，B等级人数：8人，C等级人数：，D等级人数 ．
乙款软件的分数在B等级的数据为88，87，85，85，84，84，84，82，
所以中位数是第10，11个都是，故中位数为它们的平均数，即；
甲款软件评分最多的是80分，所以众数是；
（2）解：乙款软件评分的中位数高，所以大多数人喜欢乙款软件，所以乙款软件的用户满意度较高；
（3）解：，
所以此次评分中A等级的用户数一共有80人．
22．(1)，
(2)①；②的坐标为或；③点不是点关于点的的“正旋点”，理由见解析
（1）解：∵点的坐标为，若点的坐标为，根据旋转的性质得，
∴点关于点的正垂旋点坐标是；
如图所示，令点为点关于点旋转的正旋点，过点作轴于点，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴点关于点旋转的正旋点坐标是；
（2）解：①如图1所示，假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
解得，
∴，
∴；
∵点的横坐标为6，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上一动点，
∴点的横坐标为，
将代入得，
，
∴点的坐标为；
②如图所示，作轴于点，轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标是，则，
∴，，
∴的坐标为，
∵反比例函数的图象恰好经过点，
∴，
∴，
解得：．
∴的坐标为或；
③如图3，过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立解析式得，
解得：（舍去），，
∴点的坐标为．
∵，，
∴，
∴点不是点关于点的的“正旋点”．
23．(1)，证明见解析
(2)
(3)或
（1）；证明如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴．
（2）由题意可得．
由（1）得，
∴，
即
解得；
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
故．
（3）在中，，
又∵，
∴，∴．
分两种情况讨论．
情况一：当时，，如图①，
∵，
∴，
故，
∴，
在中，，
即
解得；
情况二：当时，，
过点作交于点，过点作交于点，如图②，
则四边形是矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
故，
∴；
在中，，
即
解得；
在中，，
．
∵，
∴，
即，
解得；
在中，，
即，
∴．
综上所述，的长为或．

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