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广东省江门市2024-2025学年高二下学期调研测试（二）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，则，
所以．
故答案为：D．
【分析】本题考查基本初等函数的导数计算，核心是利用余弦函数的导数公式求解。
2．已知是等差数列的前项和，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查等差数列前n项和公式及其性质，核心是利用等差数列前n项和的性质求解a3。
3．若随机变量X服从两点分布，，则为（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【知识点】两点分布
【解析】【解答】解：由题可知：X服从两点分布，所以，
又，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查两点分布的概率性质，核心是利用两点分布中概率和为1的特点建立方程组求解。
4．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（　　）
A． B．2 C．或2 D．3
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，，
可得，，
显然，所以，
即，解得或，
当时，；当时，， 又，则．
故答案为：B．
【分析】本题考查等比数列的通项公式，核心是通过已知条件建立关于公比q的方程，并结合首项a1>0筛选出符合条件的解。
5．把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（　　）
A．4 B．6 C．10 D．24
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据插板法公式，方法数为.
故答案为：C.
【分析】本题考查相同元素的分配问题，核心是利用 “插板法” 求解组合数。
6．电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表：
2 3 4 5 6
3.8 6.1 7.8 9.9 12.4
由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（　　）
A．1430元 B．1420元 C．1455元 D．1416元
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则，解得，所以方程，
所以当时，，即元，故A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查线性回归方程的应用，核心是先利用样本中心点求出回归方程的参数，再代入预测值进行计算。
7．已知随机变量X服从正态分布，且，则的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
求导得，
令，
所以的单调递增区间是.
故答案为：C.
【分析】本题考查正态分布的性质与利用导数求函数的单调区间，核心是先根据正态分布的对称性求出参数，再通过导数分析函数的单调性。
8．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意，所以，解得，
而，
从而，所以，
所以是以为首项、2为公比的等比数列，
所以，解得，
所以，
若数列是递增数列，则当且仅当恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查数列的递推关系与数列单调性，核心是先求出数列的通项公式，再根据数列递增的条件建立关于的不等式，求出其取值范围。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A：在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
B：当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误；
C：由在区间上单调递增，可知函数在处取不到极大值，故C错误；
D：在区间上，故函数在区间上单调递减，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】A：根据导函数在区间上的符号判断单调性；B：根据导函数在区间上的符号，分段判断单调性；C：根据导函数在附近的符号变化，判断是否为极大值点；D：根据函数在区间上的单调性，比较与的大小。
10．设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．当最大时，
C．使的最小值为4050
D．在数列中，当时，取最大值
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【解答】解：AB，由得，
则或，
即或，
因为有最大值，所以，即当最大时，，故AB正确；
C，因为，
，
所以当时，最小的为，故C错误，
D，当时，，
又因为，
所以当时，，当时，，
因为，且，
所以，
所以当时，取最大值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据和有最大值，判断、的符号；B：根据数列的单调性和符号变化，判断取最大值时的；C：利用等差数列前项和公式，判断使的最小值；D：根据数列的符号与单调性，判断其最大值点。
11．已知随机变量X的分布列如下：
1 2 3 …
…
若数列是等差数列，则下列说法正确的是（　　）
参考公式：
A．若，则
B．若数列是单调递减数列，则
C．若既是等差数列，又是等比数列，则
D．若，则当或时，取得最大值
【答案】A,C,D
【知识点】数列的应用；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：A，若，则，所以，故A正确；
B，设数列公差为，则，由于，所以，故B错误；
C，若既是等差数列，又是等比数列，则，其中，是公比，
注意到，所以，解得，
所以，解得，
所以期望，
方差
，故C正确；
D，由，其中，
所以，
因为，，
所以
，
若，则，
则当或时，取得最大值，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用等差数列的性质，当时，，可求；
B：设数列公差为，由，推导与的大小关系；
C：若既是等差数列又是等比数列，则，结合期望和方差公式计算；
D：已知，先求等差数列公差，再推导的表达式，分析其最大值点。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中，常数项为　 　.（用数字作答）
【答案】24
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式的展开式中的常数项为.
故答案为：
【分析】本题考查二项式展开式的通项公式，核心是利用通项公式找到常数项对应的项数，再计算常数项的值。
13．已知数列满足，记数列的前n项和为，则　 　.
【答案】15
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，；
所以.
故答案为：15
【分析】本题考查数列递推公式的应用，核心是通过代入n的奇数取值，求出数列前6项的和。
14．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则　 　.
【答案】
【知识点】导数的乘法与除法法则；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据题意，，则，
所以，
，
因为，
则，
所以，即，
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】本题考查牛顿数列的定义、递推关系以及等比数列的通项公式，核心是先根据牛顿数列的定义求出与的关系，再通过对数运算构造出数列，判断其为等比数列并求解。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，，
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：设公比为，公差为，
所以，解得，所以，
所以，所以，解得，
所以；
（2）解：因为，
所以数列的前n项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 先根据等比数列的已知项求公比，再求通项；结合和求等差数列的公差，进而求通项；
(2) 对裂项，再用裂项相消法求前项和。
（1）设公比为，公差为，
所以，解得，所以，
所以，所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以数列的前n项和.
16．已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围
【答案】（1）解：
因为函数在和处取得极值，
所以和是方程的两个根，
则，解得，经检验符合已知条件，
函数经过点得.
所以函数的解析式为；
（2）解：当时，函数有且仅有两个零点，
令，可得，
则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点.
，令，即，即得或.
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以；
结合与的图象在上有且仅有两个交点，
可得或，解得或；
所以k的取值范围
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用极值点是导数为零的点，结合过定点求参数，确定函数解析式；
(2) 将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，通过分析函数单调性与极值，确定参数范围。
（1）因为函数在和处取得极值，
所以和是方程的两个根，
则，解得，经检验符合已知条件，
函数经过点得.
所以函数的解析式为；
（2）当时，函数有且仅有两个零点，
令，可得，
则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点.
，令，即，即得或.
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以；
结合与的图象在上有且仅有两个交点，
可得或，解得或；
所以k的取值范围
17．体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校100名学生，得到的统计数据如下表所示：
　 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（1）试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联
（2）用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室内运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差；
（3）小吒每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小吒第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，
【答案】（1）解：假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联．
由给定的列联表，得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢室内外的运动项目与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
（2）解：由题意得可得喜欢室内运动项目的概率为，
从该学校随机抽取10名学生，其中喜欢室内运动项目的学生人数X服从二项分布：，
所以，
所以．
（3）解：设“小吒第二天选择室内运动”为事件，则事件表示“小吒第二天选择室外运动”，设“小吒第三天选择室内运动”为事件，
依题意可得，，，，
第三天选择室内运动的概率是.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用独立性检验计算统计量，与临界值比较判断关联性；
(2) 由频率估计概率，判断随机变量服从二项分布，计算期望与方差；
(3) 利用全概率公式计算第三天选择室内运动的概率。
（1）假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联．
由给定的列联表，得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢室内外的运动项目与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
（2）依题意可得喜欢室内运动项目的概率为，
从该学校随机抽取10名学生，其中喜欢室内运动项目的学生人数X服从二项分布：，
所以，
所以．
（3）设“小吒第二天选择室内运动”为事件，则事件表示“小吒第二天选择室外运动”，
设“小吒第三天选择室内运动”为事件，
依题意可得，，，，
第三天选择室内运动的概率是.
18．已知函数.
（1）求函数在原点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）证明：.
【答案】（1）解：，，
所以函数在原点处的切线方程为.
（2）解：，
当时，，
若，；若，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，令，则
①，即或，
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②，即，在恒成立，
所以函数的单调递减区间为，没有单调递增区间.
③，即，
若，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（3）证明：，
即证明：
即证明：
由（2）可知：当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以（当时取等号）.
，
令①，
②，
由①-②：，
所以，则，
所以，
所以，证毕.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1) 求函数在原点处的导数，得到切线斜率，进而写出切线方程；
(2) 对求导，分情况讨论的取值，确定函数的单调区间；
(3) 利用(2)中时的结论，结合错位相减法求和，证明不等式。
（1），，
所以函数在原点处的切线方程为.
（2），
当时，，
若，；若，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，令，则
①，即或，
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②，即，在恒成立，
所以函数的单调递减区间为，没有单调递增区间.
③，即，
若，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（3）要证明：，
即证明：
即证明：
由（2）可知：当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以（当时取等号）.
，
令①，
②，
由①-②：，
所以，则，
所以，
所以，证毕.
19．泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数
（1）对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）；
（2）已知，为正整数，若的最大值是，求的值；
（3）若，试比较与0.99的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：根据题意比较大，而大小适中，
所以满足近似泊松分布，
则，，
，
在1000个产品中至多有1个次品的概率为.
（2）解：，，
则，又为正整数，
所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增，
的最大值是，
或，
综上，或.
（3）解：，则，
，
，
所以，
即.
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】(1) 利用泊松分布近似二项分布，计算至多1个次品的概率；
(2) 通过概率比分析泊松分布的单调性，确定参数；
(3) 计算并与0.99比较大小。
（1）根据题意比较大，而大小适中，
所以满足近似泊松分布，
则，，
，
在1000个产品中至多有1个次品的概率为.
（2），，
则，又为正整数，
所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增，
的最大值是，
或，
综上，或.
（3），则，
，
，
所以，
即.
1 / 1广东省江门市2024-2025学年高二下学期调研测试（二）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知是等差数列的前项和，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．若随机变量X服从两点分布，，则为（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
4．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（　　）
A． B．2 C．或2 D．3
5．把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（　　）
A．4 B．6 C．10 D．24
6．电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表：
2 3 4 5 6
3.8 6.1 7.8 9.9 12.4
由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，其中已知，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（　　）
A．1430元 B．1420元 C．1455元 D．1416元
7．已知随机变量X服从正态分布，且，则的单调递增区间是（　　）
A． B． C． D．
8．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．
10．设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．当最大时，
C．使的最小值为4050
D．在数列中，当时，取最大值
11．已知随机变量X的分布列如下：
1 2 3 …
…
若数列是等差数列，则下列说法正确的是（　　）
参考公式：
A．若，则
B．若数列是单调递减数列，则
C．若既是等差数列，又是等比数列，则
D．若，则当或时，取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中，常数项为　 　.（用数字作答）
13．已知数列满足，记数列的前n项和为，则　 　.
14．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，，
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
16．已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围
17．体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校100名学生，得到的统计数据如下表所示：
　 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（1）试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联
（2）用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室内运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差；
（3）小吒每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小吒第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，
18．已知函数.
（1）求函数在原点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）证明：.
19．泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数
（1）对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）；
（2）已知，为正整数，若的最大值是，求的值；
（3）若，试比较与0.99的大小，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，则，
所以．
故答案为：D．
【分析】本题考查基本初等函数的导数计算，核心是利用余弦函数的导数公式求解。
2．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查等差数列前n项和公式及其性质，核心是利用等差数列前n项和的性质求解a3。
3．【答案】C
【知识点】两点分布
【解析】【解答】解：由题可知：X服从两点分布，所以，
又，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查两点分布的概率性质，核心是利用两点分布中概率和为1的特点建立方程组求解。
4．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，，
可得，，
显然，所以，
即，解得或，
当时，；当时，， 又，则．
故答案为：B．
【分析】本题考查等比数列的通项公式，核心是通过已知条件建立关于公比q的方程，并结合首项a1>0筛选出符合条件的解。
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据插板法公式，方法数为.
故答案为：C.
【分析】本题考查相同元素的分配问题，核心是利用 “插板法” 求解组合数。
6．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则，解得，所以方程，
所以当时，，即元，故A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查线性回归方程的应用，核心是先利用样本中心点求出回归方程的参数，再代入预测值进行计算。
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
求导得，
令，
所以的单调递增区间是.
故答案为：C.
【分析】本题考查正态分布的性质与利用导数求函数的单调区间，核心是先根据正态分布的对称性求出参数，再通过导数分析函数的单调性。
8．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意，所以，解得，
而，
从而，所以，
所以是以为首项、2为公比的等比数列，
所以，解得，
所以，
若数列是递增数列，则当且仅当恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查数列的递推关系与数列单调性，核心是先求出数列的通项公式，再根据数列递增的条件建立关于的不等式，求出其取值范围。
9．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A：在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
B：当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误；
C：由在区间上单调递增，可知函数在处取不到极大值，故C错误；
D：在区间上，故函数在区间上单调递减，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】A：根据导函数在区间上的符号判断单调性；B：根据导函数在区间上的符号，分段判断单调性；C：根据导函数在附近的符号变化，判断是否为极大值点；D：根据函数在区间上的单调性，比较与的大小。
10．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【解答】解：AB，由得，
则或，
即或，
因为有最大值，所以，即当最大时，，故AB正确；
C，因为，
，
所以当时，最小的为，故C错误，
D，当时，，
又因为，
所以当时，，当时，，
因为，且，
所以，
所以当时，取最大值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据和有最大值，判断、的符号；B：根据数列的单调性和符号变化，判断取最大值时的；C：利用等差数列前项和公式，判断使的最小值；D：根据数列的符号与单调性，判断其最大值点。
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的应用；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：A，若，则，所以，故A正确；
B，设数列公差为，则，由于，所以，故B错误；
C，若既是等差数列，又是等比数列，则，其中，是公比，
注意到，所以，解得，
所以，解得，
所以期望，
方差
，故C正确；
D，由，其中，
所以，
因为，，
所以
，
若，则，
则当或时，取得最大值，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用等差数列的性质，当时，，可求；
B：设数列公差为，由，推导与的大小关系；
C：若既是等差数列又是等比数列，则，结合期望和方差公式计算；
D：已知，先求等差数列公差，再推导的表达式，分析其最大值点。
12．【答案】24
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式的展开式中的常数项为.
故答案为：
【分析】本题考查二项式展开式的通项公式，核心是利用通项公式找到常数项对应的项数，再计算常数项的值。
13．【答案】15
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，；
所以.
故答案为：15
【分析】本题考查数列递推公式的应用，核心是通过代入n的奇数取值，求出数列前6项的和。
14．【答案】
【知识点】导数的乘法与除法法则；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据题意，，则，
所以，
，
因为，
则，
所以，即，
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】本题考查牛顿数列的定义、递推关系以及等比数列的通项公式，核心是先根据牛顿数列的定义求出与的关系，再通过对数运算构造出数列，判断其为等比数列并求解。
15．【答案】（1）解：设公比为，公差为，
所以，解得，所以，
所以，所以，解得，
所以；
（2）解：因为，
所以数列的前n项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 先根据等比数列的已知项求公比，再求通项；结合和求等差数列的公差，进而求通项；
(2) 对裂项，再用裂项相消法求前项和。
（1）设公比为，公差为，
所以，解得，所以，
所以，所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以数列的前n项和.
16．【答案】（1）解：
因为函数在和处取得极值，
所以和是方程的两个根，
则，解得，经检验符合已知条件，
函数经过点得.
所以函数的解析式为；
（2）解：当时，函数有且仅有两个零点，
令，可得，
则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点.
，令，即，即得或.
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以；
结合与的图象在上有且仅有两个交点，
可得或，解得或；
所以k的取值范围
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用极值点是导数为零的点，结合过定点求参数，确定函数解析式；
(2) 将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，通过分析函数单调性与极值，确定参数范围。
（1）因为函数在和处取得极值，
所以和是方程的两个根，
则，解得，经检验符合已知条件，
函数经过点得.
所以函数的解析式为；
（2）当时，函数有且仅有两个零点，
令，可得，
则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点.
，令，即，即得或.
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以；
结合与的图象在上有且仅有两个交点，
可得或，解得或；
所以k的取值范围
17．【答案】（1）解：假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联．
由给定的列联表，得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢室内外的运动项目与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
（2）解：由题意得可得喜欢室内运动项目的概率为，
从该学校随机抽取10名学生，其中喜欢室内运动项目的学生人数X服从二项分布：，
所以，
所以．
（3）解：设“小吒第二天选择室内运动”为事件，则事件表示“小吒第二天选择室外运动”，设“小吒第三天选择室内运动”为事件，
依题意可得，，，，
第三天选择室内运动的概率是.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用独立性检验计算统计量，与临界值比较判断关联性；
(2) 由频率估计概率，判断随机变量服从二项分布，计算期望与方差；
(3) 利用全概率公式计算第三天选择室内运动的概率。
（1）假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联．
由给定的列联表，得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢室内外的运动项目与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
（2）依题意可得喜欢室内运动项目的概率为，
从该学校随机抽取10名学生，其中喜欢室内运动项目的学生人数X服从二项分布：，
所以，
所以．
（3）设“小吒第二天选择室内运动”为事件，则事件表示“小吒第二天选择室外运动”，
设“小吒第三天选择室内运动”为事件，
依题意可得，，，，
第三天选择室内运动的概率是.
18．【答案】（1）解：，，
所以函数在原点处的切线方程为.
（2）解：，
当时，，
若，；若，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，令，则
①，即或，
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②，即，在恒成立，
所以函数的单调递减区间为，没有单调递增区间.
③，即，
若，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（3）证明：，
即证明：
即证明：
由（2）可知：当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以（当时取等号）.
，
令①，
②，
由①-②：，
所以，则，
所以，
所以，证毕.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1) 求函数在原点处的导数，得到切线斜率，进而写出切线方程；
(2) 对求导，分情况讨论的取值，确定函数的单调区间；
(3) 利用(2)中时的结论，结合错位相减法求和，证明不等式。
（1），，
所以函数在原点处的切线方程为.
（2），
当时，，
若，；若，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，令，则
①，即或，
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
若，则，当，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②，即，在恒成立，
所以函数的单调递减区间为，没有单调递增区间.
③，即，
若，则；若，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（3）要证明：，
即证明：
即证明：
由（2）可知：当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以（当时取等号）.
，
令①，
②，
由①-②：，
所以，则，
所以，
所以，证毕.
19．【答案】（1）解：根据题意比较大，而大小适中，
所以满足近似泊松分布，
则，，
，
在1000个产品中至多有1个次品的概率为.
（2）解：，，
则，又为正整数，
所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增，
的最大值是，
或，
综上，或.
（3）解：，则，
，
，
所以，
即.
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】(1) 利用泊松分布近似二项分布，计算至多1个次品的概率；
(2) 通过概率比分析泊松分布的单调性，确定参数；
(3) 计算并与0.99比较大小。
（1）根据题意比较大，而大小适中，
所以满足近似泊松分布，
则，，
，
在1000个产品中至多有1个次品的概率为.
（2），，
则，又为正整数，
所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增，
的最大值是，
或，
综上，或.
（3），则，
，
，
所以，
即.
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