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广西壮族自治区贵港市港南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．“致中和，天地位焉，万物焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图形，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在第四象限内，则的取值可以是（　　）
A． B．2 C． D．4或
3．小明在纸上写下一组数字“20250629”，这组数字中2出现的频率为（　　）
A．5 B．3 C． D．
4．函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．某登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则与的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．对于一次函数，说法正确的是（　　）
A．点在这个函数图象上 B．随着的增大而增大
C．当时， D．它的图象必过一、三象限
8．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
11．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．5 C． D．
12．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．）
13．抛20次硬币，出现“反面朝上”的频率是，那么“反面朝上”的频数是　 　．
14．如图所示，图1中用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．在图2中，的度数为　 　．
15．已知两点都在直线上，则　 　．（填“”、“”或“”）
16．如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标．
18．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
（1）将沿轴正方向平移4个单位得到，画出，点的坐标为（___，___），点的坐标为（___，___）；
（2）画出关于原点对称的；
（3）点，之间的距离是______．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求的值及一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
20．青春“视”界，清晰启航，每年的6月6日是全国爱眼日，某校对八年级学生进行了一次视力调查，从中抽取了部分学生的视力情况绘制出如下频数分布表和频数分布直方图：
视力 频数（人数） 频率
4 0.08
8
12 0.24
0.4
6 0.12
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a的值为______，b的值为______．
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，该校八年级学生共有900人，求八年级学生视力正常的人数．
21．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，菱形的面积为6，求的长．
22．南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁出发前往桂林．甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程（单位：千米）随行驶时间（单位：小时）变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）分别求出甲、乙行驶路程与时间之间的函数解析式；
（2）求出点的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）；
（3）在乙的行驶过程中，当为何值时，甲、乙相距50千米？
23．一副三角板分别记作和，其中，，，，作于点于点，如图1，在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合．
（1）求证：；
（2）将图2中的三角板绕点顺时针旋转，得到图3，延长交于点．
①在图3中，______度；
②求证：四边形为正方形；
（3）如图4，保持三角板固定，将三角板绕点顺时针旋转，延长交于点．探究：线段，，的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限内，
∴，
∴的取值可以是2．
故答案为：B．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））可得，再求解即可.
3．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数字“20250629”共有8个数字．其中数字“2”共出现3次．
频率计算公式为：频数÷总数．
故答案为：D．
【分析】利用频率的定义（数学中的频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值 ）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数中，被开方数必须满足非负条件，即
解得：．
故答案为：A．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可.
5．【答案】B
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】解：∵初始气温为，海拔每升高，气温下降，
∴登高时，气温下降量为，
∴气温y与x的关系式为：．
故答案为：B．
【分析】利用“ 海拔每升高，气温下降，可得登高后气温下降 ”列出函数解析式即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵于点E，，，
∴，
又∵，
∴的面积．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，再利用割补法求出△ADC的面积即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、将点代入函数，计算得，故点A不在函数图象上，选项A错误．
B、，因此y随x的增大而减小，选项B错误．
C、解不等式，得．当时，必然满足，此时，选项C正确．
D、，，经过第一、二、四象限，不经过第三象限，选项D错误．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的中位线，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，，，再利用角平分线定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出即可.
9．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合；
当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合；
故选：B．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先求出当时，四边形是平行四边形，可得，再结合，可得，最后求出即可.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出，再结合，求出，最后求出阴影部分的面积为，从而得解.
12．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，得：
，即：，
，即：，
，即：，
，即：，
即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环，
∵，
∴点的坐标为；
故答案为：D．
【分析】先求出前几个点A的坐标，可得规律的坐标按照：，，，，每四次一个循环，再结合，最后求出点的坐标为即可.
13．【答案】9
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“反面朝上”的频数是
故答案为：.
【分析】利用频数的定义（频数是指在一组数据中，某个特定值出现的次数）和“ 频数=总次数×频率 ”分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正五边形，
∴，
故答案为：．
【分析】利用正多边形的内角和公式及“每一个内角的度数=内角和÷总边数”求出∠AED的度数即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数的，
∴一次函数y随x的增大而增大，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点D作于点T．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵G、H分别为的中点，
∴，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值，
故答案为：．
【分析】连接，过点D作于点T．先利用平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出DT的长，再利用中位线的性质可得，最后结合，求出的最小值即可.
17．【答案】（1）解：当在轴上时，纵坐标为0，即：
解得.
（2）解：点在第二象限，故横坐标为负、纵坐标为正，即：，
又因点到两坐标轴的距离相等
则
得，
解得，
将代入坐标得
点的坐标是.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）利用x轴上点坐标的特征可得，再求出m的值即可；
（2）利用点坐标与象限的关系可得，再利用“点到两坐标轴的距离相等”可得，再求出m的值，最后可得点P的坐标.
（1）解：当在轴上时，纵坐标为0，即：
解得；
（2）解：点在第二象限，故横坐标为负、纵坐标为正，即：
，
又因点到两坐标轴的距离相等
则
得，
解得，
将代入坐标得
点的坐标是
18．【答案】（1）解：如图所示，
，
（2）解：如图所示，
（3）
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点B1、C1的坐标即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用两点之间的距离公式列出算式求解即可.
（1）解：如图所示，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：如图所示，
（3）解：．
19．【答案】（1）解：∵点代入正比例函数的图象上，
∴，
解得，
即点C坐标为．
∵一次函数经过，，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为.
（2）解：∵一次函数与y轴交于B，
∴，
∵点C坐标为，
∴．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：由图象可得不等式的解为：；
【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：∵点代入正比例函数的图象上，
∴，
解得，
即点C坐标为．
∵一次函数经过，，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数与y轴交于B，
∴，
∵点C坐标为，
∴．
（3）解：由图象可得不等式的解为：；
20．【答案】（1）20，0.16
（2）解：补全统计图：
（3）解：∵，
∴中位数在范围内，
即甲同学的视力情况在范围内.
（4）解：（人），
∴该校八年级学生视力正常的人数有468人．
【知识点】频数与频率；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的总人数是：（人），
则（人），
．
故答案为：20，0.16.
【分析】（1）利用“”的频数除以对应的频率求出总人数，再求出a、b的值即可；
（2）利用a的值作出频数直方图即可；
（3）先求出中位数，再利用中位数的性质分析求解即可；
（4）先求出“4.9以上”的频率，再乘以900可得答案.
（1）解：抽取的总人数是：（人），
则（人），
．
故答案为：20，0.16；
（2）解：补全统计图：
（3）解：∵，
∴中位数在范围内，
即甲同学的视力情况在范围内；
（4）解：（人），
∴该校八年级学生视力正常的人数有468人．
21．【答案】（1）证明：，
，
是的中点，
，
，
（2）证明：在中，，是的中点，
，
由（1），
，则
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：连接则
，
∴，
∵
四边形是平行四边形，
，
，
中，
．
∴的长为5．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用中点的性质可得CF=DF，再利用“AAS”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合AD=CD，即可证出四边形是菱形；
（3）连接ED，则先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得ED=BC=4，再利用菱形的面积求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
（1）证明：，
，
是的中点，
，
，
（2）证明：在中，，是的中点，
，
由（1），
，则
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：连接则
，
∴，
∵
四边形是平行四边形，
，
，
中，
．
∴的长为5．
22．【答案】（1）解：甲的速度为：，
与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，
根据题意得：，
解得
，
（2）解：根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为；
（3）解：甲在乙前面时，，
解得，
当乙在甲前面时，，
解得，
在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用“路程=速度×时间”以及待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“甲乙相遇”列出方程，求出x的值，再求出点C的坐标即可；
（3）分类讨论：①甲在乙前面时，②当乙在甲前面时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：甲的速度为：，
与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，
根据题意得：，解得
，
（2）解：根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为；
（3）解：甲在乙前面时，，
解得，
当乙在甲前面时，，
解得，
在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米．
23．【答案】（1）证明：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）①度，
②证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，而，
∴，
∴四边形是正方形.
（3）解：当时，线段，，的数量关系为；
连接，如图4，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：①∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）设，再求出，利用，，可得，从而可得；
（2）①先利用三角形的内角和求出，再利用角的运算求出即可；
②先证出四边形为矩形，再结合，即可证出四边形是正方形；
（3）连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后求出即可．
（1）证明：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
②证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，而，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：当时，线段，，的数量关系为；
连接，如图4，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，由勾股定理得：，
∴．
1 / 1广西壮族自治区贵港市港南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．“致中和，天地位焉，万物焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图形，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．在平面直角坐标系中，点在第四象限内，则的取值可以是（　　）
A． B．2 C． D．4或
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限内，
∴，
∴的取值可以是2．
故答案为：B．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））可得，再求解即可.
3．小明在纸上写下一组数字“20250629”，这组数字中2出现的频率为（　　）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数字“20250629”共有8个数字．其中数字“2”共出现3次．
频率计算公式为：频数÷总数．
故答案为：D．
【分析】利用频率的定义（数学中的频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值 ）分析求解即可.
4．函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数中，被开方数必须满足非负条件，即
解得：．
故答案为：A．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可.
5．某登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则与的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】解：∵初始气温为，海拔每升高，气温下降，
∴登高时，气温下降量为，
∴气温y与x的关系式为：．
故答案为：B．
【分析】利用“ 海拔每升高，气温下降，可得登高后气温下降 ”列出函数解析式即可.
6．如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵于点E，，，
∴，
又∵，
∴的面积．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，再利用割补法求出△ADC的面积即可.
7．对于一次函数，说法正确的是（　　）
A．点在这个函数图象上 B．随着的增大而增大
C．当时， D．它的图象必过一、三象限
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、将点代入函数，计算得，故点A不在函数图象上，选项A错误．
B、，因此y随x的增大而减小，选项B错误．
C、解不等式，得．当时，必然满足，此时，选项C正确．
D、，，经过第一、二、四象限，不经过第三象限，选项D错误．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的中位线，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，，，再利用角平分线定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出即可.
9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合；
当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合；
故选：B．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
10．如图，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动．若运动秒后，四边形是平行四边形，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴当时，四边形是平行四边形，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先求出当时，四边形是平行四边形，可得，再结合，可得，最后求出即可.
11．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出，再结合，求出，最后求出阴影部分的面积为，从而得解.
12．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，得：
，即：，
，即：，
，即：，
，即：，
即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环，
∵，
∴点的坐标为；
故答案为：D．
【分析】先求出前几个点A的坐标，可得规律的坐标按照：，，，，每四次一个循环，再结合，最后求出点的坐标为即可.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．）
13．抛20次硬币，出现“反面朝上”的频率是，那么“反面朝上”的频数是　 　．
【答案】9
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：“反面朝上”的频数是
故答案为：.
【分析】利用频数的定义（频数是指在一组数据中，某个特定值出现的次数）和“ 频数=总次数×频率 ”分析求解即可.
14．如图所示，图1中用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．在图2中，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正五边形，
∴，
故答案为：．
【分析】利用正多边形的内角和公式及“每一个内角的度数=内角和÷总边数”求出∠AED的度数即可.
15．已知两点都在直线上，则　 　．（填“”、“”或“”）
【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数的，
∴一次函数y随x的增大而增大，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
16．如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点D作于点T．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵G、H分别为的中点，
∴，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值，
故答案为：．
【分析】连接，过点D作于点T．先利用平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出DT的长，再利用中位线的性质可得，最后结合，求出的最小值即可.
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】（1）解：当在轴上时，纵坐标为0，即：
解得.
（2）解：点在第二象限，故横坐标为负、纵坐标为正，即：，
又因点到两坐标轴的距离相等
则
得，
解得，
将代入坐标得
点的坐标是.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）利用x轴上点坐标的特征可得，再求出m的值即可；
（2）利用点坐标与象限的关系可得，再利用“点到两坐标轴的距离相等”可得，再求出m的值，最后可得点P的坐标.
（1）解：当在轴上时，纵坐标为0，即：
解得；
（2）解：点在第二象限，故横坐标为负、纵坐标为正，即：
，
又因点到两坐标轴的距离相等
则
得，
解得，
将代入坐标得
点的坐标是
18．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
（1）将沿轴正方向平移4个单位得到，画出，点的坐标为（___，___），点的坐标为（___，___）；
（2）画出关于原点对称的；
（3）点，之间的距离是______．
【答案】（1）解：如图所示，
，
（2）解：如图所示，
（3）
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点B1、C1的坐标即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用两点之间的距离公式列出算式求解即可.
（1）解：如图所示，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：如图所示，
（3）解：．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求的值及一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：∵点代入正比例函数的图象上，
∴，
解得，
即点C坐标为．
∵一次函数经过，，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为.
（2）解：∵一次函数与y轴交于B，
∴，
∵点C坐标为，
∴．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：由图象可得不等式的解为：；
【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：∵点代入正比例函数的图象上，
∴，
解得，
即点C坐标为．
∵一次函数经过，，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数与y轴交于B，
∴，
∵点C坐标为，
∴．
（3）解：由图象可得不等式的解为：；
20．青春“视”界，清晰启航，每年的6月6日是全国爱眼日，某校对八年级学生进行了一次视力调查，从中抽取了部分学生的视力情况绘制出如下频数分布表和频数分布直方图：
视力 频数（人数） 频率
4 0.08
8
12 0.24
0.4
6 0.12
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a的值为______，b的值为______．
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，该校八年级学生共有900人，求八年级学生视力正常的人数．
【答案】（1）20，0.16
（2）解：补全统计图：
（3）解：∵，
∴中位数在范围内，
即甲同学的视力情况在范围内.
（4）解：（人），
∴该校八年级学生视力正常的人数有468人．
【知识点】频数与频率；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的总人数是：（人），
则（人），
．
故答案为：20，0.16.
【分析】（1）利用“”的频数除以对应的频率求出总人数，再求出a、b的值即可；
（2）利用a的值作出频数直方图即可；
（3）先求出中位数，再利用中位数的性质分析求解即可；
（4）先求出“4.9以上”的频率，再乘以900可得答案.
（1）解：抽取的总人数是：（人），
则（人），
．
故答案为：20，0.16；
（2）解：补全统计图：
（3）解：∵，
∴中位数在范围内，
即甲同学的视力情况在范围内；
（4）解：（人），
∴该校八年级学生视力正常的人数有468人．
21．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，菱形的面积为6，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
是的中点，
，
，
（2）证明：在中，，是的中点，
，
由（1），
，则
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：连接则
，
∴，
∵
四边形是平行四边形，
，
，
中，
．
∴的长为5．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用中点的性质可得CF=DF，再利用“AAS”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合AD=CD，即可证出四边形是菱形；
（3）连接ED，则先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得ED=BC=4，再利用菱形的面积求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
（1）证明：，
，
是的中点，
，
，
（2）证明：在中，，是的中点，
，
由（1），
，则
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（3）解：连接则
，
∴，
∵
四边形是平行四边形，
，
，
中，
．
∴的长为5．
22．南宁、桂林两地相距400千米，甲、乙两人分别开车从南宁出发前往桂林．甲先出发1小时，下图是甲、乙行驶路程（单位：千米）随行驶时间（单位：小时）变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）分别求出甲、乙行驶路程与时间之间的函数解析式；
（2）求出点的坐标（即甲、乙相遇的时间和距离）；
（3）在乙的行驶过程中，当为何值时，甲、乙相距50千米？
【答案】（1）解：甲的速度为：，
与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，
根据题意得：，
解得
，
（2）解：根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为；
（3）解：甲在乙前面时，，
解得，
当乙在甲前面时，，
解得，
在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用“路程=速度×时间”以及待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“甲乙相遇”列出方程，求出x的值，再求出点C的坐标即可；
（3）分类讨论：①甲在乙前面时，②当乙在甲前面时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：甲的速度为：，
与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，
根据题意得：，解得
，
（2）解：根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为；
（3）解：甲在乙前面时，，
解得，
当乙在甲前面时，，
解得，
在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距50千米．
23．一副三角板分别记作和，其中，，，，作于点于点，如图1，在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合．
（1）求证：；
（2）将图2中的三角板绕点顺时针旋转，得到图3，延长交于点．
①在图3中，______度；
②求证：四边形为正方形；
（3）如图4，保持三角板固定，将三角板绕点顺时针旋转，延长交于点．探究：线段，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）①度，
②证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，而，
∴，
∴四边形是正方形.
（3）解：当时，线段，，的数量关系为；
连接，如图4，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，由勾股定理得：，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（2）解：①∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）设，再求出，利用，，可得，从而可得；
（2）①先利用三角形的内角和求出，再利用角的运算求出即可；
②先证出四边形为矩形，再结合，即可证出四边形是正方形；
（3）连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后求出即可．
（1）证明：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
②证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，而，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：当时，线段，，的数量关系为；
连接，如图4，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，由勾股定理得：，
∴．
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