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广西南宁市邕宁区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、是无限不循环小数，属于无理数，其负数仍为无理数，所以选项A符合题意；
B、，是整数，属于有理数，所以选项B不符合题意；
C、是分数，属于有理数，所以选项C不符合题意；
D、，是整数，属于有理数， ，所以选项D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．在平面直角坐标系中，在第二象限内的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵第二象限内的点的坐标符号为负正，
∴（-2，1）在第二象限，
故答案为：C.
【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）第二象限（-，+）第三象限（-，-）第四象限（+，-），据此判断即可.
3．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：、中含有两个未知数，但项的次数为（和的次数相加），不符合二元一次方程的定义，不符合题意；
、中含有两个未知数和，且所有项的次数均为，符合二元一次方程的定义，符合题意；
、中仅含有一个未知数，且项的次数为，不符合条件，不符合题意；
、中含有三个未知数、、，属于三元一次方程，不符合二元一次方程的定义，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
4．如图，下列条件中，能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
C、由，可以由同位角相等，两直线平行得到，符合题意；
D、由不能得到，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．为了解某市年参加中考的名学生的视力情况，抽查了其中名学生的视力进行统计分析，下面叙述错误的是（　　）
A．名学生的视力情况是总体
B．样本容量是
C．名学生的视力情况是总体的一个样本
D．本次调查是抽样调查
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：、 总体是名学生的视力情况，描述正确，不符合题意；
、样本容量应为被抽查的，而非总体数量，描述错误，符合题意；
、名学生的视力情况是从总体中抽取的样本，描述正确，不符合题意；
、本次调查采用抽查方式，属于抽样调查，描述正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）、样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）和抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）分析求解即可.
6．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的整数解为（　　）．
A．﹣1，0，1 B．﹣1，0 C．0，1 D．﹣1，1
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由数轴可知，此不等式组的整数解为0、1．
故答案为：C．
【分析】结合数轴可得不等式组的解集中的整数解.
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，而非，错误；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，正确．
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根、立方根和二次根式的性质的计算方法逐项分析判断即可.
8．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小逸家的位置，下列选项正确的是（　　）
A．北偏东， B．东北方向，
C．北偏西， D．北偏东，
【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图得：
，
图书馆相对于小逸家的位置为北偏东，处，
故答案为：D．
【分析】首先根据互余关系计算，进而根据方位角的定义即可得出答案。
9．给出下列说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（4）垂直于同一条直线的两直线平行；其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法（1）正确；
（2）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，故说法（2）错误；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，故说法（3）错误；
（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故说法（4）错误．
故说法正确的有1个．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义以及点到直线的距离的定义逐项分析判断即可.
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故答案为：D.
【分析】由每辆车乘坐3人，则空余两辆车可得方程x=3(y-2)；由每辆车乘坐2人，则有9人步行可得方程x=2y+9，联立可得方程组.
11．如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算求出∠COM的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用对顶角的性质可得.
12．定义一种运算“◎”，规定，其中，为常数，且，，则的值是（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：由题意得，
∴得：，
故选A．
【分析】根据新定义建立方程组，化简即可求出答案.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．命题“内错角相等”是　 　命题．
【答案】假
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“内错角相等”是假命题.
故答案为：假.
【分析】只有当两直线平行时，内错角才相等，据此判断.
14．把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式，得y=　 　．
【答案】3﹣2x
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：把方程2x+y=3移项得：
y=3﹣2x，
故答案为：y=3﹣2x．
【分析】本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可．
15．如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则　 　
【答案】58
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，延长AB得到射线AG，
，
，
由折叠的性质知，，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】延长AB得到射线AG，先利用平行线和折叠的性质可得，再利用角的运算求出即可.
16．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次为A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴与在同一象限，即都在第三象限，
根据图中规律可得：……，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，可得规律，最后求出即可.
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、算术平方根和绝对值的性质化简，再求解即可.
18．请按下列步骤解不等式组
（1）解不等式，得______；
（2）解不等式，得______；
（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来；
（4）不等式组的解集为______．
【答案】（1）
（2）
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）解不等式①，得，
（2）解不等式②，得，
（4）所以原不等式组的解集为．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
（1）解不等式①，得，
（2）解不等式②，得，
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）所以原不等式组的解集为．
19．如图，，与，交于点，，平分，，求的度数．
请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
解：与交于点（已知），
（ ）
（已知），
（ ）
（已知），
（ ）
，
平分（已知）
______（ ）
【答案】解：与交于点（已知），
（对顶角相等），
（已知），
（等量代换），
（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
平分（已知），
（角平分线的定义）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义．
【知识点】推理与论证；对顶角及其性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】利用平行线的判定、角平分的定义及推理方法和步骤分析求解即可.
20．如图，在平面直角坐标系中三角形ABC的顶点坐标分别为，，．将三角形ABC进行平移得到三角形，平移后点B的对应点是点．
（1）请在图中画出三角形；
（2）点P是x轴上一点，当线段长度最小时，点的坐标为______．依据是______；
（3）轴上有一点Q，连接，．若三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）；垂线段最短
（3） 或
【知识点】垂线段最短及其应用；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）可知当轴时，线段长度最小，
点P的坐标为
依据是：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
（3）解：设点Q的坐标为，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
，
解得或23，
点Q的坐标为或
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用垂线段最短和点坐标的定义分析求解即可；
（3）设点Q的坐标为，利用“三角形的面积是三角形面积的2倍”列出方程求解即可.
（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）可知当轴时，线段长度最小，
点P的坐标为
依据是：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
（3）设点Q的坐标为，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
，
解得或23，
点Q的坐标为或
21．如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为．
（1）求这个魔方的棱长；
（2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______．
【答案】（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则，
解得：
故这个魔方的棱长为2.
（2）解：棱长为2，
每个小立方体的棱长都是1，
阴影部分；
阴影部分正方形的边长为：.
（3）或．
【知识点】实数在数轴上的表示；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：（3）正方形的边长为，点A与1重合，，
动点E在点左边时，数轴上表示的数为：，
动点E在点右边时，数轴上表示的数为：，
故答案为：或．
【分析】（1）设这个魔方的棱长为x，利用正方体的体积列出方程，再求解即可；
（2）利用正方形的面积公式求出阴影部分的面积，再求出其边长即可；
（3）分类讨论：①动点E在点左边时，②动点E在点右边时，再分别求出点E在数轴上表示的数即可.
（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则，
解得：
故这个魔方的棱长为2；
（2）棱长为2，
每个小立方体的棱长都是1，
阴影部分；
阴影部分正方形的边长为：；
（3）正方形的边长为，点A与1重合，，
动点E在点左边时，数轴上表示的数为：，
动点E在点右边时，数轴上表示的数为：，
故答案为：或．
22．为了解七年级学生的身高情况，某校随机抽取了七年级部分学生，测得他们的身高（单位：cm）如表所示，并绘制了两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题：
某校随机抽取的七年级部分学生的身高表（单位：cm）
身高 人数/人 百分比
A： 36
B： a
C： 84 b
D： 48
E： 12 n
合计 m
（1）上述统计表中______，______，______，______；
（2）请补全图甲中的频数分布直方图；
（3）求图乙中扇形A的圆心角度数；
（4）若全校共有七年级学生人，请估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数．
【答案】（1）60，，240，
（2）解：补全直方图如下：
（3）解：图乙中扇形A的圆心角度数为；
（4）解：人，
答：估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数约为50人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】（1）解：，
则，，，
故答案为：60，，240，.
【分析】（1）利用“A”的频数除以对应的百分比可得总人数，再求出a、b、n的值即可；
（2）利用a的值直接作出条形统计图即可；
（3）利用“A”的扇形统计图直接乘以360°即可；
（4）利用“E”的百分比乘以1000可得答案.
（1）解：，
则，，，
故答案为：60，，240，；
（2）补全直方图如下：
（3）图乙中扇形A的圆心角度数为；
（4）人，
答：估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数约为50人．
（1）由A组人数及其所占百分比得出样本容量，再根据百分比=人数样本容量求解即可；
（2）根据所求a的值即可补全图形；
（3）用乘A组人数所占百分比即可；
（4）总人数乘以样本中E组人数所占比例即可．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键
23．2025年1月29日，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映，某纪念品专卖店借此契机，销售“哪吒”和“敖丙”两种摆件．
（1）若在专卖店在无促销活动时，购买1个“哪吒”摆件和2个“敖丙”摆件共需50元；购买4个“哪吒”摆件和3个“敖丙”摆件共需125元．该专卖店在无促销活动时，求“哪吒”和“敖丙”摆件的销售单价各是多少元？
（2）该专卖店开展促销活动：
（活动一） “疯狂打折”：“哪吒”摆件八折，“敖丙”摆件四折；
（活动二） “买一送一”：购买一个“哪吒”摆件送一个“敖丙”摆件．
若购买“哪吒”和“敖丙”两种摆件共100个（其中“哪吒”摆件不超过50个）
设购买“哪吒”摆件a个，按活动一购买所需费用为______元；按活动二购买所需费用为______元．（均用含a的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，购买“哪吒”摆件的数量在什么范围内时，活动二更实惠？
【答案】（1）解：设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：“哪吒”摆件的销售单价是20元，“敖丙”摆件的销售单价是15元.
（2），
（3）解：由题意得：，
解得：，
又“哪吒”摆件不超过50个，
，
购买“哪吒”摆件的数量在时，活动二更实惠．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）设购买“哪吒”摆件a个，则购买“敖丙”摆件个，
按活动一购买所需费用为：（元），
按活动二购买所需费用为：（元），
故答案为：，.
【分析】（1）设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元，利用“购买1个“哪吒”摆件和2个“敖丙”摆件共需50元；购买4个“哪吒”摆件和3个“敖丙”摆件共需125元”列出方程组求解即可；
（2）根据“活动一”和“活动二”的优惠方案直接列出代数式即可；
（3）利用“ 活动二更实惠 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：“哪吒”摆件的销售单价是20元，“敖丙”摆件的销售单价是15元；
（2）设购买“哪吒”摆件a个，则购买“敖丙”摆件个，
按活动一购买所需费用为：（元），
按活动二购买所需费用为：（元），
故答案为：，；
（3）由题意得：，
解得：，
又“哪吒”摆件不超过50个，
，
购买“哪吒”摆件的数量在时，活动二更实惠．
24．如图，的两边分别与的两边平行，即，．
（1）在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向．
请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明．
（2）根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是______．
（3）在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数．
【答案】（1）解：如图1，，
，
，
，
；
如图2，，
，
，
，
；
如图3，，
，
，
，
；
（2）相等或互补
（3）解：和的两边分别平行，
或，
比的2倍少，
，
或，
或，
或，
答：或，
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）或，
结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补.
【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等、内错角相等和同旁内角互补的性质分析求解即可；
（2）利用（1）的结论可得如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补；
（3）利用（2）的结论可得或，再求解即可.
（1）解：如图1，，
，
，
，
；
如图2，，
，
，
，
；
如图3，，
，
，
，
；
（2）或，
结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（3）和的两边分别平行，
或，
比的2倍少，
，
或，
或，
或，
答：或，
1 / 1广西南宁市邕宁区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，在第二象限内的点是（　　）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，下列条件中，能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．为了解某市年参加中考的名学生的视力情况，抽查了其中名学生的视力进行统计分析，下面叙述错误的是（　　）
A．名学生的视力情况是总体
B．样本容量是
C．名学生的视力情况是总体的一个样本
D．本次调查是抽样调查
6．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的整数解为（　　）．
A．﹣1，0，1 B．﹣1，0 C．0，1 D．﹣1，1
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小逸家的位置，下列选项正确的是（　　）
A．北偏东， B．东北方向，
C．北偏西， D．北偏东，
9．给出下列说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（4）垂直于同一条直线的两直线平行；其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．定义一种运算“◎”，规定，其中，为常数，且，，则的值是（　　）
A．2 B． C． D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13．命题“内错角相等”是　 　命题．
14．把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式，得y=　 　．
15．如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知，则　 　
16．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次为A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点的坐标是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
18．请按下列步骤解不等式组
（1）解不等式，得______；
（2）解不等式，得______；
（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来；
（4）不等式组的解集为______．
19．如图，，与，交于点，，平分，，求的度数．
请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
解：与交于点（已知），
（ ）
（已知），
（ ）
（已知），
（ ）
，
平分（已知）
______（ ）
20．如图，在平面直角坐标系中三角形ABC的顶点坐标分别为，，．将三角形ABC进行平移得到三角形，平移后点B的对应点是点．
（1）请在图中画出三角形；
（2）点P是x轴上一点，当线段长度最小时，点的坐标为______．依据是______；
（3）轴上有一点Q，连接，．若三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点Q的坐标．
21．如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为．
（1）求这个魔方的棱长；
（2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______．
22．为了解七年级学生的身高情况，某校随机抽取了七年级部分学生，测得他们的身高（单位：cm）如表所示，并绘制了两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题：
某校随机抽取的七年级部分学生的身高表（单位：cm）
身高 人数/人 百分比
A： 36
B： a
C： 84 b
D： 48
E： 12 n
合计 m
（1）上述统计表中______，______，______，______；
（2）请补全图甲中的频数分布直方图；
（3）求图乙中扇形A的圆心角度数；
（4）若全校共有七年级学生人，请估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数．
23．2025年1月29日，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映，某纪念品专卖店借此契机，销售“哪吒”和“敖丙”两种摆件．
（1）若在专卖店在无促销活动时，购买1个“哪吒”摆件和2个“敖丙”摆件共需50元；购买4个“哪吒”摆件和3个“敖丙”摆件共需125元．该专卖店在无促销活动时，求“哪吒”和“敖丙”摆件的销售单价各是多少元？
（2）该专卖店开展促销活动：
（活动一） “疯狂打折”：“哪吒”摆件八折，“敖丙”摆件四折；
（活动二） “买一送一”：购买一个“哪吒”摆件送一个“敖丙”摆件．
若购买“哪吒”和“敖丙”两种摆件共100个（其中“哪吒”摆件不超过50个）
设购买“哪吒”摆件a个，按活动一购买所需费用为______元；按活动二购买所需费用为______元．（均用含a的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，购买“哪吒”摆件的数量在什么范围内时，活动二更实惠？
24．如图，的两边分别与的两边平行，即，．
（1）在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向．
请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明．
（2）根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是______．
（3）在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、是无限不循环小数，属于无理数，其负数仍为无理数，所以选项A符合题意；
B、，是整数，属于有理数，所以选项B不符合题意；
C、是分数，属于有理数，所以选项C不符合题意；
D、，是整数，属于有理数， ，所以选项D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵第二象限内的点的坐标符号为负正，
∴（-2，1）在第二象限，
故答案为：C.
【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）第二象限（-，+）第三象限（-，-）第四象限（+，-），据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：、中含有两个未知数，但项的次数为（和的次数相加），不符合二元一次方程的定义，不符合题意；
、中含有两个未知数和，且所有项的次数均为，符合二元一次方程的定义，符合题意；
、中仅含有一个未知数，且项的次数为，不符合条件，不符合题意；
、中含有三个未知数、、，属于三元一次方程，不符合二元一次方程的定义，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；
C、由，可以由同位角相等，两直线平行得到，符合题意；
D、由不能得到，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：、 总体是名学生的视力情况，描述正确，不符合题意；
、样本容量应为被抽查的，而非总体数量，描述错误，符合题意；
、名学生的视力情况是从总体中抽取的样本，描述正确，不符合题意；
、本次调查采用抽查方式，属于抽样调查，描述正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）、样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）和抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由数轴可知，此不等式组的整数解为0、1．
故答案为：C．
【分析】结合数轴可得不等式组的解集中的整数解.
7．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，而非，错误；
B：，故错误；
C：，故错误；
D：，正确．
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根、立方根和二次根式的性质的计算方法逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图得：
，
图书馆相对于小逸家的位置为北偏东，处，
故答案为：D．
【分析】首先根据互余关系计算，进而根据方位角的定义即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法（1）正确；
（2）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，故说法（2）错误；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，故说法（3）错误；
（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故说法（4）错误．
故说法正确的有1个．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义以及点到直线的距离的定义逐项分析判断即可.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故答案为：D.
【分析】由每辆车乘坐3人，则空余两辆车可得方程x=3(y-2)；由每辆车乘坐2人，则有9人步行可得方程x=2y+9，联立可得方程组.
11．【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算求出∠COM的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用对顶角的性质可得.
12．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：由题意得，
∴得：，
故选A．
【分析】根据新定义建立方程组，化简即可求出答案.
13．【答案】假
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“内错角相等”是假命题.
故答案为：假.
【分析】只有当两直线平行时，内错角才相等，据此判断.
14．【答案】3﹣2x
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：把方程2x+y=3移项得：
y=3﹣2x，
故答案为：y=3﹣2x．
【分析】本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可．
15．【答案】58
【知识点】翻折变换（折叠问题）；邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，延长AB得到射线AG，
，
，
由折叠的性质知，，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】延长AB得到射线AG，先利用平行线和折叠的性质可得，再利用角的运算求出即可.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴与在同一象限，即都在第三象限，
根据图中规律可得：……，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，可得规律，最后求出即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、算术平方根和绝对值的性质化简，再求解即可.
18．【答案】（1）
（2）
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）解不等式①，得，
（2）解不等式②，得，
（4）所以原不等式组的解集为．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
（1）解不等式①，得，
（2）解不等式②，得，
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）所以原不等式组的解集为．
19．【答案】解：与交于点（已知），
（对顶角相等），
（已知），
（等量代换），
（已知），
（两直线平行，同旁内角互补），
平分（已知），
（角平分线的定义）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义．
【知识点】推理与论证；对顶角及其性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】利用平行线的判定、角平分的定义及推理方法和步骤分析求解即可.
20．【答案】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）；垂线段最短
（3） 或
【知识点】垂线段最短及其应用；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）可知当轴时，线段长度最小，
点P的坐标为
依据是：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
（3）解：设点Q的坐标为，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
，
解得或23，
点Q的坐标为或
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用垂线段最短和点坐标的定义分析求解即可；
（3）设点Q的坐标为，利用“三角形的面积是三角形面积的2倍”列出方程求解即可.
（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）可知当轴时，线段长度最小，
点P的坐标为
依据是：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
（3）设点Q的坐标为，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
，
解得或23，
点Q的坐标为或
21．【答案】（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则，
解得：
故这个魔方的棱长为2.
（2）解：棱长为2，
每个小立方体的棱长都是1，
阴影部分；
阴影部分正方形的边长为：.
（3）或．
【知识点】实数在数轴上的表示；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：（3）正方形的边长为，点A与1重合，，
动点E在点左边时，数轴上表示的数为：，
动点E在点右边时，数轴上表示的数为：，
故答案为：或．
【分析】（1）设这个魔方的棱长为x，利用正方体的体积列出方程，再求解即可；
（2）利用正方形的面积公式求出阴影部分的面积，再求出其边长即可；
（3）分类讨论：①动点E在点左边时，②动点E在点右边时，再分别求出点E在数轴上表示的数即可.
（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则，
解得：
故这个魔方的棱长为2；
（2）棱长为2，
每个小立方体的棱长都是1，
阴影部分；
阴影部分正方形的边长为：；
（3）正方形的边长为，点A与1重合，，
动点E在点左边时，数轴上表示的数为：，
动点E在点右边时，数轴上表示的数为：，
故答案为：或．
22．【答案】（1）60，，240，
（2）解：补全直方图如下：
（3）解：图乙中扇形A的圆心角度数为；
（4）解：人，
答：估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数约为50人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】（1）解：，
则，，，
故答案为：60，，240，.
【分析】（1）利用“A”的频数除以对应的百分比可得总人数，再求出a、b、n的值即可；
（2）利用a的值直接作出条形统计图即可；
（3）利用“A”的扇形统计图直接乘以360°即可；
（4）利用“E”的百分比乘以1000可得答案.
（1）解：，
则，，，
故答案为：60，，240，；
（2）补全直方图如下：
（3）图乙中扇形A的圆心角度数为；
（4）人，
答：估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数约为50人．
（1）由A组人数及其所占百分比得出样本容量，再根据百分比=人数样本容量求解即可；
（2）根据所求a的值即可补全图形；
（3）用乘A组人数所占百分比即可；
（4）总人数乘以样本中E组人数所占比例即可．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键
23．【答案】（1）解：设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：“哪吒”摆件的销售单价是20元，“敖丙”摆件的销售单价是15元.
（2），
（3）解：由题意得：，
解得：，
又“哪吒”摆件不超过50个，
，
购买“哪吒”摆件的数量在时，活动二更实惠．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）设购买“哪吒”摆件a个，则购买“敖丙”摆件个，
按活动一购买所需费用为：（元），
按活动二购买所需费用为：（元），
故答案为：，.
【分析】（1）设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元，利用“购买1个“哪吒”摆件和2个“敖丙”摆件共需50元；购买4个“哪吒”摆件和3个“敖丙”摆件共需125元”列出方程组求解即可；
（2）根据“活动一”和“活动二”的优惠方案直接列出代数式即可；
（3）利用“ 活动二更实惠 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设“哪吒”摆件的销售单价是x元，“敖丙”摆件的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：“哪吒”摆件的销售单价是20元，“敖丙”摆件的销售单价是15元；
（2）设购买“哪吒”摆件a个，则购买“敖丙”摆件个，
按活动一购买所需费用为：（元），
按活动二购买所需费用为：（元），
故答案为：，；
（3）由题意得：，
解得：，
又“哪吒”摆件不超过50个，
，
购买“哪吒”摆件的数量在时，活动二更实惠．
24．【答案】（1）解：如图1，，
，
，
，
；
如图2，，
，
，
，
；
如图3，，
，
，
，
；
（2）相等或互补
（3）解：和的两边分别平行，
或，
比的2倍少，
，
或，
或，
或，
答：或，
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）或，
结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补.
【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等、内错角相等和同旁内角互补的性质分析求解即可；
（2）利用（1）的结论可得如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补；
（3）利用（2）的结论可得或，再求解即可.
（1）解：如图1，，
，
，
，
；
如图2，，
，
，
，
；
如图3，，
，
，
，
；
（2）或，
结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（3）和的两边分别平行，
或，
比的2倍少，
，
或，
或，
或，
答：或，
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