资源简介

广东省江门市杜阮镇杜阮中心初级中学2024-2025学年九年级下学期第二次模拟考试数学试题
1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．截至2025年2月17日，电影《哪吒2》全球总票房突破120亿元．数据“120亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
5．如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．
6．三水西甲广场举办首届“唱响西甲”歌唱比赛，九个评委对同一个参赛选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差
7．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
8．三角形的面积是，则它的三条中位线组成的三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点、、、在上，，，则等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10．如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（　　）
A． B． C． D．
11．分解因式：ma+mb=　 　．
12．正五边形的内角和为　 　度．
13．一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为　 　．
14．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：　 　（填“>”或“<”）．
15．如图，是圆O的直径，，所对的圆心角为，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为　 　．
16．计算：
17．如图，在中，，点D在的延长线上．
（1）作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求证：．
18．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
19．某超市计划采购一批荔枝．现从甲和乙两个产地的荔枝中，各随机抽取10颗，测量单果质量，将测量的数据制成如下统计图：
统计量 产地 平均数 中位数 众数
甲 25 b
乙 m a 24
解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）测量数据的方差越小，荔枝的大小越匀称，可以判断______产地的荔枝更为匀称．
（3）若规定质量不低于25克的为大果，超市购进两箱甲产地的荔枝，净重千克，请你估计其中大果的数量．
20．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
21．综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
22．【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
【数学理解】
（1）①已知点，则_________．
②函数的图象如图①所示，B是图象上一点，，则点B的坐标是________．
（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使．
（3）函数的图象如图③所示，D是图象上一点，求的最小值及对应的点D的坐标．
23．项目主题：《人工智能视觉识别》
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等，目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：
在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．
任务一：
①如图3，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k= ．
②如图4，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为，其目标矩形的纵横比k= ．
任务二：如图5和图6，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．
任务三：如图7和图8，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点M(1，8)，其目标矩形的纵横比，求m 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判断正确的选项．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120亿，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，
∴，
故选：A．
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，
故选：A．
【分析】根据中位数的意义即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：几何体的主视图为：
故答案为：A．
【分析】主视图是从前往后看，得到的正投影，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，此题中几何体的主视图应该是一个矩形上面一个等腰梯形，且等腰梯形与矩形的公共边处不存在轮廓线.
8．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵三角形三条中位线所围成的三角形的与原三角形相似，相似比为，
∴面积比为．
∴则它的三条中位线组成的三角形的面积是60×＝15 cm2．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理可得新三角形与原三角形相似，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
9．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
，
∵将矩形纸片沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，
∴，，
∴，即，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得，
菱形的边长是，
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，再根据平移性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，设，则，，代值式子可得，再建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】m（a+b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ma+mb=m（a+b）．
故答案为：m（a+b）
【分析】这里的公因式是m，直接提取即可．
12．【答案】540
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：，
即正五边形的内角和为540度，
故答案为：540.
【分析】利用多边形的内角和公式列出算式求解即可.
13．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平方根的性质建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∵＞，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】分别求出与的平方数，比较平方数的大小，继而得解.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；胡不归模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵所对的圆心角为，
∴，
∵是⊙O 的直径，
∴，
如图，过点B作，过点O作于点M，作，
∵，
∴，
在Rt△DBE中，，
，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时的值最小．
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】 本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识， 过点B作，过点O作于点M，作，连接，在中，，则；根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为．
16．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据算术平方根，绝对值，特殊角的三角函数值，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：
则即为所求．
（2）证明：∵，
∴，
∵的平分线，
∴
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠CBD的角平分线即可；
（2）利用等边对等角可得，利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后可证出．
（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：
则即为所求．
（2）证明：∵，
∴，
∵的平分线，
∴
∵，，
∴，
∴．
18．【答案】解：设甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，
根据题意列方程，得：，
解得：x=100，
经检验：x=100是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：x=100，
∴x-20=80（个）
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，根据“ 甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同 ”列出方程求解并检验即可得出答案.
19．【答案】（1），25，25
（2）甲
（3）解：净重千克有荔枝（个），
∴估计其中大果的数量为（个）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：；
把乙产地的10个荔枝的单果质量从小到大排列，排在中间的两个数分别是25，25，故中位数；
甲产地的10个荔枝的单果质量中，25出现的次数最多，故众数．
故答案为：，25，25；
（2）解：观察两个统计图，甲产地的10个荔枝的单果质量比较集中，
可以判断甲产地的荔枝更为匀称．
故答案为：甲；
【分析】（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义计算即可求出答案.
（2）根据方差的意义即可求出答案.
（3）先求得甲产地的荔枝总的个数，再利用样本估计总体求解即可．
（1）解：由题意得：；
把乙产地的10个荔枝的单果质量从小到大排列，排在中间的两个数分别是25，25，故中位数；
甲产地的10个荔枝的单果质量中，25出现的次数最多，故众数．
故答案为：，25，25；
（2）解：观察两个统计图，甲产地的10个荔枝的单果质量比较集中，
可以判断甲产地的荔枝更为匀称．
故答案为：甲；
（3）解：净重千克有荔枝（个），
∴估计其中大果的数量为（个）．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；余弦的概念
【解析】【分析】（1）首先根据，可得出，进而根据余弦定义即可得出
（2）过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得出，DP=BG=8cos12°，即可得出。
（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
21．【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
22．【答案】解：（1）①3；②；
（2）假设函数的图象上存在点使，
根据题意，得，
，
，，
，
，
，
△，
方程没有实数根，
该函数的图象上不存在点，使．
（3）设，
根据题意得，，
，
又，
，，
当时，有最小值3，此时点的坐标是．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；加减消元法解二元一次方程组；二次函数-线段周长问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：①由题意得：；
②设，由定义两点间的距离可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：3，；
【分析】 本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂新定义，掌握一元二次方程根的判别式应用和二次函数的性质．
（1）①由两点间距离公式：代入数据进行计算可得答案；
②设，可得，解方程组，即可解得；
（2）假设函数 的图象上存在点，可得，变形为，由，知方程无实数根，故函数的图象上不存在点，使 ；
（3）设，可得，即可得当时，有最小值3，点的坐标是．
23．【答案】解：任务一：①1；②；
任务二：如图：
∵最高点C与水面的距离为5米，
∴
∵抛物线目标矩形的纵横比
∴，
∵抛物线关于y轴对称，
∴
设抛物线的表达式为
把代入得：
解得
任务三：如图：
根据题意，
∵目标矩形的纵横比，
解得（舍去）或，
经检验，是原方程的解；
∴m的值为．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：任务一：①∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，
∴目标矩形的纵横比
故答案为：1；
②根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比；
故答案为：；
【分析】本题主要考查反比例函数，用待定系数法求二次函数解析式，图形与坐标，二次函数的性质， 将直线、双曲线、抛物线等几何图形与函数结合是解题的关键．
任务一：① 圆的目标矩形为正方形，竖直边与水平边长度相等，因此纵横比
②由线段表达式 得端点为和，目标矩形竖直边为6、水平边为8，计算得纵横比；
任务二：利用抛物线的对称性设表达式，结合顶点到的距离为5、纵横比，确定水平边为20，代入交点，解得抛物线表达式为．
任务三：双曲线 的目标矩形竖直边为、水平边为，结合纵横比列方程化简，即可得到答案．
1 / 1广东省江门市杜阮镇杜阮中心初级中学2024-2025学年九年级下学期第二次模拟考试数学试题
1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判断正确的选项．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
4．截至2025年2月17日，电影《哪吒2》全球总票房突破120亿元．数据“120亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120亿，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．如果反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，那么的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数（是常数）的一支图象在第二象限，
∴，
故选：A．
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案.
6．三水西甲广场举办首届“唱响西甲”歌唱比赛，九个评委对同一个参赛选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，
故选：A．
【分析】根据中位数的意义即可求出答案.
7．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：几何体的主视图为：
故答案为：A．
【分析】主视图是从前往后看，得到的正投影，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，此题中几何体的主视图应该是一个矩形上面一个等腰梯形，且等腰梯形与矩形的公共边处不存在轮廓线.
8．三角形的面积是，则它的三条中位线组成的三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵三角形三条中位线所围成的三角形的与原三角形相似，相似比为，
∴面积比为．
∴则它的三条中位线组成的三角形的面积是60×＝15 cm2．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理可得新三角形与原三角形相似，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
9．如图，点、、、在上，，，则等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】根据圆内接四边形性质可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
10．如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
，
∵将矩形纸片沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，
∴，，
∴，即，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得，
菱形的边长是，
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，再根据平移性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，设，则，，代值式子可得，再建立方程，解方程即可求出答案.
11．分解因式：ma+mb=　 　．
【答案】m（a+b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ma+mb=m（a+b）．
故答案为：m（a+b）
【分析】这里的公因式是m，直接提取即可．
12．正五边形的内角和为　 　度．
【答案】540
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：，
即正五边形的内角和为540度，
故答案为：540.
【分析】利用多边形的内角和公式列出算式求解即可.
13．一个正数的两个平方根分别为与，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平方根的性质建立方程，解方程即可求出答案.
14．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：　 　（填“>”或“<”）．
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∵＞，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】分别求出与的平方数，比较平方数的大小，继而得解.
15．如图，是圆O的直径，，所对的圆心角为，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；胡不归模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵所对的圆心角为，
∴，
∵是⊙O 的直径，
∴，
如图，过点B作，过点O作于点M，作，
∵，
∴，
在Rt△DBE中，，
，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时的值最小．
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】 本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识， 过点B作，过点O作于点M，作，连接，在中，，则；根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为．
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据算术平方根，绝对值，特殊角的三角函数值，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
17．如图，在中，，点D在的延长线上．
（1）作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求证：．
【答案】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：
则即为所求．
（2）证明：∵，
∴，
∵的平分线，
∴
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠CBD的角平分线即可；
（2）利用等边对等角可得，利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后可证出．
（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：
则即为所求．
（2）证明：∵，
∴，
∵的平分线，
∴
∵，，
∴，
∴．
18．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【答案】解：设甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，
根据题意列方程，得：，
解得：x=100，
经检验：x=100是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：x=100，
∴x-20=80（个）
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，根据“ 甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同 ”列出方程求解并检验即可得出答案.
19．某超市计划采购一批荔枝．现从甲和乙两个产地的荔枝中，各随机抽取10颗，测量单果质量，将测量的数据制成如下统计图：
统计量 产地 平均数 中位数 众数
甲 25 b
乙 m a 24
解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）测量数据的方差越小，荔枝的大小越匀称，可以判断______产地的荔枝更为匀称．
（3）若规定质量不低于25克的为大果，超市购进两箱甲产地的荔枝，净重千克，请你估计其中大果的数量．
【答案】（1），25，25
（2）甲
（3）解：净重千克有荔枝（个），
∴估计其中大果的数量为（个）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：；
把乙产地的10个荔枝的单果质量从小到大排列，排在中间的两个数分别是25，25，故中位数；
甲产地的10个荔枝的单果质量中，25出现的次数最多，故众数．
故答案为：，25，25；
（2）解：观察两个统计图，甲产地的10个荔枝的单果质量比较集中，
可以判断甲产地的荔枝更为匀称．
故答案为：甲；
【分析】（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义计算即可求出答案.
（2）根据方差的意义即可求出答案.
（3）先求得甲产地的荔枝总的个数，再利用样本估计总体求解即可．
（1）解：由题意得：；
把乙产地的10个荔枝的单果质量从小到大排列，排在中间的两个数分别是25，25，故中位数；
甲产地的10个荔枝的单果质量中，25出现的次数最多，故众数．
故答案为：，25，25；
（2）解：观察两个统计图，甲产地的10个荔枝的单果质量比较集中，
可以判断甲产地的荔枝更为匀称．
故答案为：甲；
（3）解：净重千克有荔枝（个），
∴估计其中大果的数量为（个）．
20．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；余弦的概念
【解析】【分析】（1）首先根据，可得出，进而根据余弦定义即可得出
（2）过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得出，DP=BG=8cos12°，即可得出。
（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
21．综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
22．【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
【数学理解】
（1）①已知点，则_________．
②函数的图象如图①所示，B是图象上一点，，则点B的坐标是________．
（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使．
（3）函数的图象如图③所示，D是图象上一点，求的最小值及对应的点D的坐标．
【答案】解：（1）①3；②；
（2）假设函数的图象上存在点使，
根据题意，得，
，
，，
，
，
，
△，
方程没有实数根，
该函数的图象上不存在点，使．
（3）设，
根据题意得，，
，
又，
，，
当时，有最小值3，此时点的坐标是．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；加减消元法解二元一次方程组；二次函数-线段周长问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：①由题意得：；
②设，由定义两点间的距离可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：3，；
【分析】 本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂新定义，掌握一元二次方程根的判别式应用和二次函数的性质．
（1）①由两点间距离公式：代入数据进行计算可得答案；
②设，可得，解方程组，即可解得；
（2）假设函数 的图象上存在点，可得，变形为，由，知方程无实数根，故函数的图象上不存在点，使 ；
（3）设，可得，即可得当时，有最小值3，点的坐标是．
23．项目主题：《人工智能视觉识别》
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等，目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：
在平面直角坐标系xOy中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形ABCD为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．
任务一：
①如图3，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比k= ．
②如图4，铅笔经过计算机识别后的图形为线段HK，表达式为，其目标矩形的纵横比k= ．
任务二：如图5和图6，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，最高点C与水面的距离CD为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．
任务三：如图7和图8，高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为，其中点M(1，8)，其目标矩形的纵横比，求m 的值．
【答案】解：任务一：①1；②；
任务二：如图：
∵最高点C与水面的距离为5米，
∴
∵抛物线目标矩形的纵横比
∴，
∵抛物线关于y轴对称，
∴
设抛物线的表达式为
把代入得：
解得
任务三：如图：
根据题意，
∵目标矩形的纵横比，
解得（舍去）或，
经检验，是原方程的解；
∴m的值为．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：任务一：①∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，
∴目标矩形的纵横比
故答案为：1；
②根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比；
故答案为：；
【分析】本题主要考查反比例函数，用待定系数法求二次函数解析式，图形与坐标，二次函数的性质， 将直线、双曲线、抛物线等几何图形与函数结合是解题的关键．
任务一：① 圆的目标矩形为正方形，竖直边与水平边长度相等，因此纵横比
②由线段表达式 得端点为和，目标矩形竖直边为6、水平边为8，计算得纵横比；
任务二：利用抛物线的对称性设表达式，结合顶点到的距离为5、纵横比，确定水平边为20，代入交点，解得抛物线表达式为．
任务三：双曲线 的目标矩形竖直边为、水平边为，结合纵横比列方程化简，即可得到答案．
1 / 1

展开更多......

收起↑