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广东省深圳市高级中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题
1．利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为0.0000046m，将0.0000046用科学记数法表示应为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000046=，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A计算错误，不合题意；
B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意；
C．，选项运算正确，符合题意；
D．，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
3．如图， ∠1与∠2是同位角的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∵∠1与∠2不是同位角，∴A不符合题意；
B、∵∠1与∠2是同位角，∴B符合题意；
C、∵∠1与∠2不是同位角，∴C不符合题意；
D、∵∠1与∠2不是同位角，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）及特征分析求解即可.
4．如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆.安装时需在两头加以固定.才能稳固不动.其中的数学原理是（　　)
A．两点确定一条直线 B．两点之间.线段最短
C．经过一点有无数条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：根据题意可得， 两点确定一条直线，
故答案为：A.
【分析】利用线段的性质（ 两点确定一条直线 ）并结合生活常识分析求解即可.
5．下列说法正确的是（　　)
A．种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活
B．天气预报“明天降水概率是30%”，是指明天有30%的时间会下雨
C．某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖
D．随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率是30%”，是指明天下雨的可能性是30%，故B不符合题意；
C、某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C不符合题意；
D、随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据概率的意义，概率公式，逐一判断即可解答．
6．图1是一盏可折叠台灯.图2是其平面示意图，支架AB，BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节.已知灯体顶角∠DOE=40°，顶角平分线OP 始终与OC垂直.当支架OC旋转至水平位置时（如图2)，OD恰好与BC平行，则支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数为 （　　).
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵OP平分∠DOE，∠DOE＝40°，
∴∠DOP＝∠DOE＝20°．
∵OP⊥OC，
∴∠POC＝90°，
∴∠DOC＝90°＋20°＝110°．
∵OD∥BC，
∴∠DOC＋∠C＝180°，
∴∠C＝70°．
∵OC∥BF，
∴∠θ＝∠C＝70°．
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
7．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b)与（c，d).我们规定： 例如： （1， 2) （3， 4) =12-2×3+42=11.
若（x，（k-3)x) （y， -4y) 是一个完全平方式， 则常数k的值是 （　　)
A．11 B．- 5 C．±8 D．11或-5
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x，（k 3）x） （y， 4y）＝ x2 （k 3）xy＋16y2，
∵（x，（k 3）x） （y， 4y）是一个完全平方式，
∴k 3＝±8，
∴k＝11或 5，
故答案为：D．
【分析】根据运算法则，把（x，（k 3）x） （y， 4y）转换化为熟悉的运算，再由完全平方公式得出k的值即可．
8．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD 中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2.若知道下列条件，不能求出 值的是 （　　)
A．长方形纸片的周长和面积 B．②的长与宽之差
C．图1与图2 阴影部分的面积差 D．长方形纸片和②的面积差
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为x、y，
则 a＋x＝b＋y，
即：a b＝y x，
∴S1＝x2＋y2，S2＝2xy，
∴S1 S2＝x2＋y2 2xy＝（x y）2＝（a b）2＝（a＋b）2 4ab，
∵矩形的面积是ab，矩形的周长是 2（a＋b）；
故选项A、B是正确的；
∵①的面积是 （b x）（a y），
②的面积是 （a x）（b y），
∴①和②的面积差为（b x）（a y） （a x）（b y）＝（a b）（y x）＝（a b）2，
故选项C正确，
故答案为：D．
【分析】根据题意，结合图形，得到a b＝y x，结合各选项，分别表示出S1，S2，以及它们的差，即可判断各选项．
9．已知，，则　 　．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ，，
.
故答案为：8.
【分析】由“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”法则的逆用，将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
10．至少需要调查　 　名同学，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件.
【答案】13
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：根据题意可知，一年有12个月，要使有两个同学生日在同一个月，
那么至少需要调查13名同学．
故答案为：13．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.
11．如图（1）是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图（2）是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°， ∠EFG=110°，则∠DCG的度数为　 　 .
【答案】140°
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF＋∠EFM＝180°，∠MFA＋∠BAG＝180°，
∴∠MFA＝180° ∠BAG＝180° 150°＝30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFG＋∠AGC＝110°＋∠AGC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠AGC＝70°．
∴∠EFA＝∠AGC＝70°（两直线平行，同位角相等），
∴∠EFM＝∠EFA ∠MFA＝70° 30°＝40°．
∴∠DEF＝180° ∠EFM＝180° 40°＝140°．
∵CG∥EF，
∴∠DCG＝∠DEF＝140°，
故答案为：140°．
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF，进而求出∠DCG．
12．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（a+b)"（n=1，2，3，4，…)的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序).
…… ……
请依据上述规律，写出 展开式中含x2024项的系数是　 　.
【答案】-4052
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据题干中的规律可得：展开式中含x2024项是其展开式中的第二项，
∵（a+b）n的展开式中第二项为n×an-1b，
∴展开式中第二项为2026×x2025×（），
∴其系数为-4052，
故答案为：-4052.
【分析】首先确定x2024是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
13．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点B， C分别落在点B'， C'的位置， C'在AD上，再沿AB折叠，点B'落在点B"位置，点B"在C' E上，若∠1=∠2，则∠1=　 　°.
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：设∠B'FG＝α，∠1＝β，则∠2＝β，
由折叠得：∠GFB''＝∠B'FG＝α，∠B'＝∠GB''F＝∠B'C'B''＝90°，
∴∠1＋∠C'B''G＝∠C'B''G＋∠FB''E＝90°，
∴∠FB''E＝∠1＝β，
∵C'E∥B'F，
∴∠B'FB''＝∠FB''E，
∴β＝2α，
∵CD∥AB，
∴∠CEF＝∠AFE＝α＋β＝∠C'EF，
△FEB''中，∠FEB''＋∠EFB''＋∠FB''E＝180°，
∴α＋β＋β＋β＝180，
∴7α＝180，
∴α＝
∴∠1＝β＝2α＝（）°；
故答案为：（）°．
【分析】设∠B'FG＝α，∠1＝β，则∠2＝β，根据折叠的性质可得：∠GFB''＝∠B'FG＝α，∠B'＝∠GB''F＝∠B'C'B''＝90°，再由同角的余角相等可得∠FB''E＝∠1＝β，最后由平行线的性质可得结论．
14．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=8-（-1)×2
=10
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式以及单项式除以单项式的计算方法分析求解即可；
（2）先利用0指数幂、负整数指数幂以及积的乘方的逆运算化简，再求解即可.
15．先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
=4x-6y
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得4x-6y，再将x、y的值代入计算即可.
16．读懂下面的推理过程，并填空 （理由或数学式).
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图（1）是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上， 且∠AEF=∠GHD，MG∥FN. 求证： ∠EFN=∠G.
证明：如图2，延长EF交CD于点P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ ).
又∵∠AEF=∠GHD （已知)，
∴∠EPD= ▲ （ )
∴EP∥GH （ ).
∴∠EFN+ ▲ =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵ ▲ （已知)，
∴∠FNG+∠G=180° （ ).
∴∠EFN=∠G （ ).
【答案】证明：证明： 如图2， 延长EF交CD于点 P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ 两直线平行， 内错角相等 ).
又∵∠AEF=∠GHD （ 已知 )，
∴∠EPD= ∠GHD （ 等量代换 ).
∴EP∥GH （ 同位角相等，两直线平行 ).
∴∠EFN+ ∠FNG =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵MG∥FN （已知)，
∴∠FNG+∠G=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ).
∴∠EFN=∠G（ 同角的补角相等 ).
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】延长EF交CD于点P，根据平行线的判定和性质进行证明．
17．每年的3月 14日是国际数学节，又称圆周率日.中国邮政于2025年3月 14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感.
已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同.凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票.
（1）小颖在该商场消费315元，获得了一次抽盲盒的机会.小颖恰好抽到“圆周率”的概率是多少 她获得现金奖励的概率是多少
（2）此活动推出的一个月里，共抽了580次盲盒，请估计商场这一个月里需要支付此活动的费用.
【答案】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种，能获得现金奖励的结果有6种，
所以小颖恰好抽到“圆周率”的概率为
小颖获得现金奖励的概率为
（2）解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×580=1160（元)
抽到“圆周率”的总次数约为： （次)
抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为： （次)
∴商场这一个月里大约需支付此活动的费用为： 1160+145×10+290×6=4350（元)
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可．
18．如图，直线AB与CD被直线EF所截， EF与AB， CD分别交于M， N，且CM⊥MD， ∠1+∠2=90°.
（1）证明： AB∥CD；
（2）若CM平分 求∠MND 的度数.
【答案】（1）证明： ∵CM⊥MD，
∴∠CMD=90°，
∴∠1+∠BMD=180°-∠CMD=180°-90°=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BMD
∴AB∥CD 其它求法酌情给分
（2）解：∵CM平分∠AMF，
∴∠AMF=2∠1，
∵∠3+∠AMF=180°，
∴∠3=180°-∠AMF=180°-2∠1，
即∠2-∠1=18°，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=36°， ∠2=54°，
∴∠AMF=2∠1=72°，
∵AB∥CD，
∴∠MND=∠AMF=72°. （其它求法酌情给分)
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理进行证明即可；
（2）根据平行线的性质进行计算即可．
19．探究与实践
（1）【探索发现】
用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到（ 的等量关系式是　 　；
（2）【解决问题】
①若 则x+2y= ▲ ；
③当（x-2026)（2000-x)=100时，求（ 的值；
（3）【拓展提升】
如图②，深圳某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，两条路相交于点 G，且BG=CG， EG=FG， BG【答案】（1）
（2）解：①x+2y=±8 ；
②解：（2x-4026)2=[（x-2026) - （2000-x) ]2
=[（x-2026)+（2000-x)]2-4（x-2026)（2000-x)
=676-400
=276，
即（2x-4026)2的值为276
（3）解：设GE=a， BG=b（a>b)，
由题意得： BG=CG=b， EG=FG=a， BE=CF=a+b=80，
长方形 ABGF 与长方形 CDEG 的面积均为 ab，
即
∴5 （6400-2ab)+6ab=26000，
解得4ab=6000，
∴（a-b)2= （a+b)2-4ab=6400-6000=400，
∵a>b，
∴a-b=20，
即GE-BG的值为20.（其它求法酌情给分)
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）【探索发现】因为大正方形边长为a＋b，
面积为（a＋b）2，
小正方形边长为a b，
面积为（a b）2，
四个长方形面积为4ab，
得：（a b）2＝（a＋b）2 4ab.
故答案为：（a b）2＝（a＋b）2 4ab.
【分析】（1）【探索发现】大正方形面积（a＋b）2等于小正方形面积（a b）2加四个长方形面积4ab，得（a b）2＝（a＋b）2 4ab；
（2）【解决问题】①利用（x＋2y）2＝（x 2y）2＋8xy，代入x 2y＝2、xy＝，计算得x＋2y＝±8；
②设a＝x 2026、b＝2000 x，则a＋b＝ 26、ab＝100，利用（a b）2＝（a＋b）2 4ab，得（2x 4026）2＝276；
（3）【拓展提升】GE＝a，BG＝b（a＞b），则a＋b＝80，种植面积a2＋b2，塑胶面积2ab，总费用100·(a2＋b2)＋30×2ab＝260000，解得4ab＝6000，利用（a b）2＝（a＋b）2 4ab，得GE BG＝20．
20．【问题背景】
综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动.
如图1，已知直线AB∥CD，三角板 PQR1和三角板 MNR2中， ∠Q=60°， ∠M=∠N=45°.
【探索发现】
（1）如图2，老师指导同学们摆放三角板 PQR1，使得三角形的顶点 P、Q分别落在直线AB和CD上，则∠BPR1+∠DQP= 　 　. （填写度数)
（2）如图3，摆放两块三角板，让PQ和MN分别落在直线AB，CD上，且使直角顶点R1与 R2重合（以下称为点 R)，求∠PRN的度数；
（3）【迁移运用】
如图4，三角板 PQR1和三角板 MNR2仍按原位置摆放，转动两条平行线，使AB与NR交于点E， CD与PQ交于点 F，若∠AEN=α， ∠CFP=β，请求出α和β的数量关系；
（4）【拓展创新】
在图3的基础上，三角板 PQR1和三角板MNR2分别绕点 R 旋转，设运动时间为t秒（t->0).
①固定三角板 MNR2的位置不变，三角板 PQR1绕点 R顺时针每秒5°旋转半周（即（ 当t= ▲ 时，PQ与三角板 MNR2的某条边平行；
②在①的条件下，三角板 MNR2绕点 R逆时针每秒10°旋转一周（即（ 两块三角板同时开始旋转并同时结束.在旋转过程中，存在射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值.
【答案】（1）150°
（2）解：如图，过点R作RF∥AB，
∵CD∥AB，
∴CD∥AB∥FR，
∴∠MNR=∠NRF， ∠FRP=∠RPQ，
∵∠MNR=45°， ∠RPQ=30°，
∴∠MNR=∠NRF=45°，∠FRP=∠RPQ=30°，
∴∠PRN=∠PRF+∠NRF=75°；
（3）解：如图， 过点R作GR∥AB， 过点RP作PH∥CD，
∵GR∥AB， PH∥CD
∴∠AEN=∠GRE=α， ∠CFP=∠FPH=β
∵∠RPQ=30°，
∴∠RPH=30°—∠FPH =30°—β，
∵AB∥CD，
∴GR∥CD∥PH，
∵∠GRP=∠RPH=30°-β，
由 （2） 得∠PRN=75°，
∴∠PRN=∠GRE+∠GRP=α+30°-β=75°，
∴α=45°+β；
（4）解：①9秒或27秒或36秒；
②解：符合条件的t值为8秒或17秒或23秒.
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵CD∥AB，
∴∠DQP＋∠QPR1＋∠BPR1＝180°，
∵∠QPR1＝30°，
∴∠DQP＋∠BPR1＝180° ∠QPR1＝150°，
故答案为：150°；
（4）①a、如图，当RP旋转至RP'时，RP∥AB，旋转角∠PRP'＝30°，
∴t＝＝6（秒）；
b、如图，当RQ旋转至RQ'时，RQ∥AB，旋转角∠QRQ'＝120°，
∴t＝＝24（秒）；
当PQ∥AB时，此时正好旋转了半周，
∴t＝180°÷5＝36（秒），
∴符合条件的t值为6秒或24秒或36秒；
②a、如图，当三角板RMN旋转到△RM'N'的位置，三角板QRP旋转到ΔQ'RP'的位置时，
则∠QRQ'＝∠PRP'＝5t，∠NRP＝75°，∠NRN'＝10t，∠QRP＝90°，∠PRN'＝∠NRN' ∠NRP＝10t 75°，
∴∠Q'RN'＝∠QRP ∠QRQ' ∠PRN'＝90° 5t （10t 75°）＝165° 15t，∠P'RN'＝∠PRP'＋PRN'＝5t＋（10t 75°）＝15t 75°，
∵RN'平分∠P'RQ'，
∴∠Q'RN'＝∠P'RN，
∴165° 15t＝15t 75°，
解得t＝8（秒），
∴符合条件的t值为8秒．
b、如图，当三角板RMN旋转到△RM'N'的位置，三角板QRP旋转到ΔQ'RP'的位置时，
则∠QRQ'＝5t，∠NRP＝75°，∠NRN'＝10t，∠NRP＝75°，∠QRP＝90°，∠PRN'＝∠NRN' ∠NRP＝10t 75°，
∵∠PRN'＝∠QRP＋∠QRN'，
∴∠QRN'＝∠PRN' ∠QRP＝10t 75° 90°＝10t 165°，
∴∠Q'RN'＝∠QRQ'＋∠QRN'＝5t＋（10t 165°）＝15t 165°，∠P'RQ'＝90°，
∵RQ'平分∠P'RN'，
∴∠Q'RN'＝∠P'RN'，
∴10t 165°＝90°，
解得t＝17（秒），
∴符合条件的t值为17秒．
c、如图，当三角板RMN旋转到ΔRM'N'的位置，三角板QRP旋转到ΔQ'RP'的位置时，
则∠QRQ'＝5t，∠QRP＝90°，∠NRN'＝360° 10t，∠QRP'＝90°，
∴∠PRQ'＝∠QRQ' ∠QRP＝5t 90°，
∵RP'平分∠Q'RN'，
∴∠Q'RP'＝∠P'RN'＝90°，
∴∠P'RN＝∠NRN' ∠P'RN'＝360° 10t 90°＝270° 10t，
∴∠Q'RN＝∠P'RQ' ∠P'RN'＝90° （270° 10t）＝10t 180°，
∵∠PRQ'＋∠Q'RN＝∠NRP＝75°，
∴（5t 90°）＋（10t 180°）＝75°，
解得t＝23（秒），
∴符合条件的t值为23秒．
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒．
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）如图，过点R作RF∥AB，得到CD∥AB∥FR，然后由平行线的性质得到∠MNR＝∠NRF＝45°，∠FRP＝∠RPQ＝30°，进而求解即可；
（3）由CD∥AB，得到∠AEN＝∠CHR＝α，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（4）①根据题意分情况讨论，当RP旋转至RP'时，当RQ旋转至RQ'时，分别根据平行线的性质求解即可；
②根据题意分情况讨论，然后根据题意列方程求解即可．
1 / 1广东省深圳市高级中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题
1．利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为0.0000046m，将0.0000046用科学记数法表示应为（　　)
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图， ∠1与∠2是同位角的是（　　)
A． B．
C． D．
4．如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆.安装时需在两头加以固定.才能稳固不动.其中的数学原理是（　　)
A．两点确定一条直线 B．两点之间.线段最短
C．经过一点有无数条直线 D．垂线段最短
5．下列说法正确的是（　　)
A．种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花一定会有95株成活
B．天气预报“明天降水概率是30%”，是指明天有30%的时间会下雨
C．某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖
D．随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”
6．图1是一盏可折叠台灯.图2是其平面示意图，支架AB，BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节.已知灯体顶角∠DOE=40°，顶角平分线OP 始终与OC垂直.当支架OC旋转至水平位置时（如图2)，OD恰好与BC平行，则支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数为 （　　).
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b)与（c，d).我们规定： 例如： （1， 2) （3， 4) =12-2×3+42=11.
若（x，（k-3)x) （y， -4y) 是一个完全平方式， 则常数k的值是 （　　)
A．11 B．- 5 C．±8 D．11或-5
8．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD 中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2.若知道下列条件，不能求出 值的是 （　　)
A．长方形纸片的周长和面积 B．②的长与宽之差
C．图1与图2 阴影部分的面积差 D．长方形纸片和②的面积差
9．已知，，则　 　．
10．至少需要调查　 　名同学，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件.
11．如图（1）是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图（2）是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°， ∠EFG=110°，则∠DCG的度数为　 　 .
12．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（a+b)"（n=1，2，3，4，…)的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序).
…… ……
请依据上述规律，写出 展开式中含x2024项的系数是　 　.
13．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点B， C分别落在点B'， C'的位置， C'在AD上，再沿AB折叠，点B'落在点B"位置，点B"在C' E上，若∠1=∠2，则∠1=　 　°.
14．计算：
（1）
（2）
15．先化简，再求值： 其中
16．读懂下面的推理过程，并填空 （理由或数学式).
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图（1）是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上， 且∠AEF=∠GHD，MG∥FN. 求证： ∠EFN=∠G.
证明：如图2，延长EF交CD于点P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ ).
又∵∠AEF=∠GHD （已知)，
∴∠EPD= ▲ （ )
∴EP∥GH （ ).
∴∠EFN+ ▲ =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵ ▲ （已知)，
∴∠FNG+∠G=180° （ ).
∴∠EFN=∠G （ ).
17．每年的3月 14日是国际数学节，又称圆周率日.中国邮政于2025年3月 14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感.
已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同.凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票.
（1）小颖在该商场消费315元，获得了一次抽盲盒的机会.小颖恰好抽到“圆周率”的概率是多少 她获得现金奖励的概率是多少
（2）此活动推出的一个月里，共抽了580次盲盒，请估计商场这一个月里需要支付此活动的费用.
18．如图，直线AB与CD被直线EF所截， EF与AB， CD分别交于M， N，且CM⊥MD， ∠1+∠2=90°.
（1）证明： AB∥CD；
（2）若CM平分 求∠MND 的度数.
19．探究与实践
（1）【探索发现】
用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到（ 的等量关系式是　 　；
（2）【解决问题】
①若 则x+2y= ▲ ；
③当（x-2026)（2000-x)=100时，求（ 的值；
（3）【拓展提升】
如图②，深圳某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，两条路相交于点 G，且BG=CG， EG=FG， BG20．【问题背景】
综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动.
如图1，已知直线AB∥CD，三角板 PQR1和三角板 MNR2中， ∠Q=60°， ∠M=∠N=45°.
【探索发现】
（1）如图2，老师指导同学们摆放三角板 PQR1，使得三角形的顶点 P、Q分别落在直线AB和CD上，则∠BPR1+∠DQP= 　 　. （填写度数)
（2）如图3，摆放两块三角板，让PQ和MN分别落在直线AB，CD上，且使直角顶点R1与 R2重合（以下称为点 R)，求∠PRN的度数；
（3）【迁移运用】
如图4，三角板 PQR1和三角板 MNR2仍按原位置摆放，转动两条平行线，使AB与NR交于点E， CD与PQ交于点 F，若∠AEN=α， ∠CFP=β，请求出α和β的数量关系；
（4）【拓展创新】
在图3的基础上，三角板 PQR1和三角板MNR2分别绕点 R 旋转，设运动时间为t秒（t->0).
①固定三角板 MNR2的位置不变，三角板 PQR1绕点 R顺时针每秒5°旋转半周（即（ 当t= ▲ 时，PQ与三角板 MNR2的某条边平行；
②在①的条件下，三角板 MNR2绕点 R逆时针每秒10°旋转一周（即（ 两块三角板同时开始旋转并同时结束.在旋转过程中，存在射线RN、RQ、RP，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000046=，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A计算错误，不合题意；
B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意；
C．，选项运算正确，符合题意；
D．，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方，积的乘方，平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∵∠1与∠2不是同位角，∴A不符合题意；
B、∵∠1与∠2是同位角，∴B符合题意；
C、∵∠1与∠2不是同位角，∴C不符合题意；
D、∵∠1与∠2不是同位角，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）及特征分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：根据题意可得， 两点确定一条直线，
故答案为：A.
【分析】利用线段的性质（ 两点确定一条直线 ）并结合生活常识分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率是30%”，是指明天下雨的可能性是30%，故B不符合题意；
C、某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C不符合题意；
D、随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据概率的意义，概率公式，逐一判断即可解答．
6．【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵OP平分∠DOE，∠DOE＝40°，
∴∠DOP＝∠DOE＝20°．
∵OP⊥OC，
∴∠POC＝90°，
∴∠DOC＝90°＋20°＝110°．
∵OD∥BC，
∴∠DOC＋∠C＝180°，
∴∠C＝70°．
∵OC∥BF，
∴∠θ＝∠C＝70°．
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（x，（k 3）x） （y， 4y）＝ x2 （k 3）xy＋16y2，
∵（x，（k 3）x） （y， 4y）是一个完全平方式，
∴k 3＝±8，
∴k＝11或 5，
故答案为：D．
【分析】根据运算法则，把（x，（k 3）x） （y， 4y）转换化为熟悉的运算，再由完全平方公式得出k的值即可．
8．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为x、y，
则 a＋x＝b＋y，
即：a b＝y x，
∴S1＝x2＋y2，S2＝2xy，
∴S1 S2＝x2＋y2 2xy＝（x y）2＝（a b）2＝（a＋b）2 4ab，
∵矩形的面积是ab，矩形的周长是 2（a＋b）；
故选项A、B是正确的；
∵①的面积是 （b x）（a y），
②的面积是 （a x）（b y），
∴①和②的面积差为（b x）（a y） （a x）（b y）＝（a b）（y x）＝（a b）2，
故选项C正确，
故答案为：D．
【分析】根据题意，结合图形，得到a b＝y x，结合各选项，分别表示出S1，S2，以及它们的差，即可判断各选项．
9．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ，，
.
故答案为：8.
【分析】由“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”法则的逆用，将待求式子变形后整体代入计算可得答案.
10．【答案】13
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：根据题意可知，一年有12个月，要使有两个同学生日在同一个月，
那么至少需要调查13名同学．
故答案为：13．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.
11．【答案】140°
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠DEF＋∠EFM＝180°，∠MFA＋∠BAG＝180°，
∴∠MFA＝180° ∠BAG＝180° 150°＝30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFG＋∠AGC＝110°＋∠AGC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠AGC＝70°．
∴∠EFA＝∠AGC＝70°（两直线平行，同位角相等），
∴∠EFM＝∠EFA ∠MFA＝70° 30°＝40°．
∴∠DEF＝180° ∠EFM＝180° 40°＝140°．
∵CG∥EF，
∴∠DCG＝∠DEF＝140°，
故答案为：140°．
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF，进而求出∠DCG．
12．【答案】-4052
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据题干中的规律可得：展开式中含x2024项是其展开式中的第二项，
∵（a+b）n的展开式中第二项为n×an-1b，
∴展开式中第二项为2026×x2025×（），
∴其系数为-4052，
故答案为：-4052.
【分析】首先确定x2024是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
13．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：设∠B'FG＝α，∠1＝β，则∠2＝β，
由折叠得：∠GFB''＝∠B'FG＝α，∠B'＝∠GB''F＝∠B'C'B''＝90°，
∴∠1＋∠C'B''G＝∠C'B''G＋∠FB''E＝90°，
∴∠FB''E＝∠1＝β，
∵C'E∥B'F，
∴∠B'FB''＝∠FB''E，
∴β＝2α，
∵CD∥AB，
∴∠CEF＝∠AFE＝α＋β＝∠C'EF，
△FEB''中，∠FEB''＋∠EFB''＋∠FB''E＝180°，
∴α＋β＋β＋β＝180，
∴7α＝180，
∴α＝
∴∠1＝β＝2α＝（）°；
故答案为：（）°．
【分析】设∠B'FG＝α，∠1＝β，则∠2＝β，根据折叠的性质可得：∠GFB''＝∠B'FG＝α，∠B'＝∠GB''F＝∠B'C'B''＝90°，再由同角的余角相等可得∠FB''E＝∠1＝β，最后由平行线的性质可得结论．
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=8-（-1)×2
=10
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式以及单项式除以单项式的计算方法分析求解即可；
（2）先利用0指数幂、负整数指数幂以及积的乘方的逆运算化简，再求解即可.
15．【答案】解：原式
=4x-6y
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得4x-6y，再将x、y的值代入计算即可.
16．【答案】证明：证明： 如图2， 延长EF交CD于点 P.
∵AB∥CD（已知)，
∴∠AEF=∠EPD （ 两直线平行， 内错角相等 ).
又∵∠AEF=∠GHD （ 已知 )，
∴∠EPD= ∠GHD （ 等量代换 ).
∴EP∥GH （ 同位角相等，两直线平行 ).
∴∠EFN+ ∠FNG =180°（两直线平行， 同旁内角互补).
又∵MG∥FN （已知)，
∴∠FNG+∠G=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ).
∴∠EFN=∠G（ 同角的补角相等 ).
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】延长EF交CD于点P，根据平行线的判定和性质进行证明．
17．【答案】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种，能获得现金奖励的结果有6种，
所以小颖恰好抽到“圆周率”的概率为
小颖获得现金奖励的概率为
（2）解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×580=1160（元)
抽到“圆周率”的总次数约为： （次)
抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为： （次)
∴商场这一个月里大约需支付此活动的费用为： 1160+145×10+290×6=4350（元)
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可．
18．【答案】（1）证明： ∵CM⊥MD，
∴∠CMD=90°，
∴∠1+∠BMD=180°-∠CMD=180°-90°=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BMD
∴AB∥CD 其它求法酌情给分
（2）解：∵CM平分∠AMF，
∴∠AMF=2∠1，
∵∠3+∠AMF=180°，
∴∠3=180°-∠AMF=180°-2∠1，
即∠2-∠1=18°，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=36°， ∠2=54°，
∴∠AMF=2∠1=72°，
∵AB∥CD，
∴∠MND=∠AMF=72°. （其它求法酌情给分)
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理进行证明即可；
（2）根据平行线的性质进行计算即可．
19．【答案】（1）
（2）解：①x+2y=±8 ；
②解：（2x-4026)2=[（x-2026) - （2000-x) ]2
=[（x-2026)+（2000-x)]2-4（x-2026)（2000-x)
=676-400
=276，
即（2x-4026)2的值为276
（3）解：设GE=a， BG=b（a>b)，
由题意得： BG=CG=b， EG=FG=a， BE=CF=a+b=80，
长方形 ABGF 与长方形 CDEG 的面积均为 ab，
即
∴5 （6400-2ab)+6ab=26000，
解得4ab=6000，
∴（a-b)2= （a+b)2-4ab=6400-6000=400，
∵a>b，
∴a-b=20，
即GE-BG的值为20.（其它求法酌情给分)
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）【探索发现】因为大正方形边长为a＋b，
面积为（a＋b）2，
小正方形边长为a b，
面积为（a b）2，
四个长方形面积为4ab，
得：（a b）2＝（a＋b）2 4ab.
故答案为：（a b）2＝（a＋b）2 4ab.
【分析】（1）【探索发现】大正方形面积（a＋b）2等于小正方形面积（a b）2加四个长方形面积4ab，得（a b）2＝（a＋b）2 4ab；
（2）【解决问题】①利用（x＋2y）2＝（x 2y）2＋8xy，代入x 2y＝2、xy＝，计算得x＋2y＝±8；
②设a＝x 2026、b＝2000 x，则a＋b＝ 26、ab＝100，利用（a b）2＝（a＋b）2 4ab，得（2x 4026）2＝276；
（3）【拓展提升】GE＝a，BG＝b（a＞b），则a＋b＝80，种植面积a2＋b2，塑胶面积2ab，总费用100·(a2＋b2)＋30×2ab＝260000，解得4ab＝6000，利用（a b）2＝（a＋b）2 4ab，得GE BG＝20．
20．【答案】（1）150°
（2）解：如图，过点R作RF∥AB，
∵CD∥AB，
∴CD∥AB∥FR，
∴∠MNR=∠NRF， ∠FRP=∠RPQ，
∵∠MNR=45°， ∠RPQ=30°，
∴∠MNR=∠NRF=45°，∠FRP=∠RPQ=30°，
∴∠PRN=∠PRF+∠NRF=75°；
（3）解：如图， 过点R作GR∥AB， 过点RP作PH∥CD，
∵GR∥AB， PH∥CD
∴∠AEN=∠GRE=α， ∠CFP=∠FPH=β
∵∠RPQ=30°，
∴∠RPH=30°—∠FPH =30°—β，
∵AB∥CD，
∴GR∥CD∥PH，
∵∠GRP=∠RPH=30°-β，
由 （2） 得∠PRN=75°，
∴∠PRN=∠GRE+∠GRP=α+30°-β=75°，
∴α=45°+β；
（4）解：①9秒或27秒或36秒；
②解：符合条件的t值为8秒或17秒或23秒.
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵CD∥AB，
∴∠DQP＋∠QPR1＋∠BPR1＝180°，
∵∠QPR1＝30°，
∴∠DQP＋∠BPR1＝180° ∠QPR1＝150°，
故答案为：150°；
（4）①a、如图，当RP旋转至RP'时，RP∥AB，旋转角∠PRP'＝30°，
∴t＝＝6（秒）；
b、如图，当RQ旋转至RQ'时，RQ∥AB，旋转角∠QRQ'＝120°，
∴t＝＝24（秒）；
当PQ∥AB时，此时正好旋转了半周，
∴t＝180°÷5＝36（秒），
∴符合条件的t值为6秒或24秒或36秒；
②a、如图，当三角板RMN旋转到△RM'N'的位置，三角板QRP旋转到ΔQ'RP'的位置时，
则∠QRQ'＝∠PRP'＝5t，∠NRP＝75°，∠NRN'＝10t，∠QRP＝90°，∠PRN'＝∠NRN' ∠NRP＝10t 75°，
∴∠Q'RN'＝∠QRP ∠QRQ' ∠PRN'＝90° 5t （10t 75°）＝165° 15t，∠P'RN'＝∠PRP'＋PRN'＝5t＋（10t 75°）＝15t 75°，
∵RN'平分∠P'RQ'，
∴∠Q'RN'＝∠P'RN，
∴165° 15t＝15t 75°，
解得t＝8（秒），
∴符合条件的t值为8秒．
b、如图，当三角板RMN旋转到△RM'N'的位置，三角板QRP旋转到ΔQ'RP'的位置时，
则∠QRQ'＝5t，∠NRP＝75°，∠NRN'＝10t，∠NRP＝75°，∠QRP＝90°，∠PRN'＝∠NRN' ∠NRP＝10t 75°，
∵∠PRN'＝∠QRP＋∠QRN'，
∴∠QRN'＝∠PRN' ∠QRP＝10t 75° 90°＝10t 165°，
∴∠Q'RN'＝∠QRQ'＋∠QRN'＝5t＋（10t 165°）＝15t 165°，∠P'RQ'＝90°，
∵RQ'平分∠P'RN'，
∴∠Q'RN'＝∠P'RN'，
∴10t 165°＝90°，
解得t＝17（秒），
∴符合条件的t值为17秒．
c、如图，当三角板RMN旋转到ΔRM'N'的位置，三角板QRP旋转到ΔQ'RP'的位置时，
则∠QRQ'＝5t，∠QRP＝90°，∠NRN'＝360° 10t，∠QRP'＝90°，
∴∠PRQ'＝∠QRQ' ∠QRP＝5t 90°，
∵RP'平分∠Q'RN'，
∴∠Q'RP'＝∠P'RN'＝90°，
∴∠P'RN＝∠NRN' ∠P'RN'＝360° 10t 90°＝270° 10t，
∴∠Q'RN＝∠P'RQ' ∠P'RN'＝90° （270° 10t）＝10t 180°，
∵∠PRQ'＋∠Q'RN＝∠NRP＝75°，
∴（5t 90°）＋（10t 180°）＝75°，
解得t＝23（秒），
∴符合条件的t值为23秒．
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒．
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）如图，过点R作RF∥AB，得到CD∥AB∥FR，然后由平行线的性质得到∠MNR＝∠NRF＝45°，∠FRP＝∠RPQ＝30°，进而求解即可；
（3）由CD∥AB，得到∠AEN＝∠CHR＝α，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（4）①根据题意分情况讨论，当RP旋转至RP'时，当RQ旋转至RQ'时，分别根据平行线的性质求解即可；
②根据题意分情况讨论，然后根据题意列方程求解即可．
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