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广东省深圳市龙华区2025-2026学年第二学期九年级调研测试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵数轴上右边的数总比左边的大，
∴，
∴这四个数中最小的数是，
故选：．
【分析】根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
2．如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的主视图是
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D： 6a2÷a=6a，符合题意 ；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断a∥b（　　）
A．∠1=110°， ∠2=70° B．∠1=110°， ∠4=110°
C．∠2=70°， ∠3=70° D．∠1=110°， ∠3=70°
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∠1+∠2=180°，可以判断a∥b，正确，符合题意；
B：∠1=110°， ∠4=110°，不能判断a∥b，错误，不符合题意；
C：∠2=70°， ∠3=70°，不能判断a∥b，错误，不符合题意；
D：∠1=110°， ∠3=70°，不能判断a∥b，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
5．如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为（　　）
A．70° B．90° C．105° D．140°
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，连接DB并延长
∵∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE
=∠ADB+∠A+∠CDB+∠C
=∠ADC+∠A+∠C
=35°×3
=105°
故答案为：C
【分析】连接DB并延长，根据三角形外角性质可得∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案。根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度AC为1.5m，纵向长度BD为3m，则菱形ABCD的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点O
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，
∴
故答案为：B
【分析】连接AC，BD交于点O，根据菱形性质可得AC⊥BD，，再根据勾股定理即可求出答案.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A（4， 0)， B（0， 4)，点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1，△OBC的面积为S2，则 的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点
∴设C(x，2x)
∵A（4， 0)， B（0， 4)
∴OA=4，OB=4
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意设C(x，2x)，根据两点间距离可得OA，OB，再根据三角形面积即可求出答案.
8．在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示。设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组)中，正确的是（　　）
A．5（x+180)+4x=7200 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元
∴y=x+180
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据题意建立方程即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．写出不等式x-3>0的一个整数解：　 　。（写出一个即可)
【答案】x=4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：x-3>0
解得：x>3
故答案为：x=4 （或4)
【分析】解不等式，再写出一个整数解即可.
10．老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外)，其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个。小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为　 　。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
他拿到艾草香囊的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．如图，已知正方形ABCD的边长为 ，对角线AC，BD交于点O，将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO的周长为　 　。
【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为
∴
∴AO=BO=CO=DO=1
∵将△ABO向右平移得到△DCE
∴DE=AO=1，CE=BO=1
∴四边形CEDO的周长为DO+CO+CE+DE=4
故答案为：4
【分析】根据勾股定理可得AC=BD=2，根据正方形性质可得AO=BO=CO=DO=1，根据平移性质可得DE=AO=1，CE=BO=1，再根据四边形周长即可求出答案.
12．排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为 其中c为常数。已知自然大调各音阶的频率 fn与半音数n之间的关系如下表所示，其中 则音阶 xi对应的音管长度是音阶 fa对应的音管长度的　 　倍。
音阶 do re mi fa so la xi do'
半音数n 0 2 4 5 7 9 11 12
频率 f0 f0·q2 f0·q4 f0·q5 f0·q7 f0·q9 f0·q11 f0·q12
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据题意，分别求出音阶xi，fa对应的音管长度，再求比值即可求出答案.
13．如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AD为斜边上的中线， BE⊥AD于点E。若AE=2， 则△ACD 的面积为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AD为斜边上的中线
∴AD=CD=BD
∴∠DAC=∠C
∵∠ABC+∠C=90°，∠BAE+∠CAD=90°
∴∠ABC=∠BAE
∵ BE⊥AD于点E
∴∠AEB=90°
∴∠AEB=∠BAC
∴△BAC∽△AEB
∴
∵AE=2，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD=CD=BD，根据等边对等角可得∠DAC=∠C，根据角之间的关系可得∠ABC=∠BAE，再根据相似三角形判定定理可得△BAC∽△AEB，则，代值计算可得AB，BC，子啊根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共61分)
14．计算：
【答案】解：原式
=5-2
=3
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，算术平方根，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值： 其中a=2。
【答案】解：原式=.
当a=2时，原式=
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a=2代入即可求出答案.
16．某电商在社交媒体投放广告，以促销某商品，已知该商品售价为100元/个。为了评估广告效果，该电商随机抽取了 500 名看过广告的用户和 500 名未看过广告的用户，统计了他们一周内的消费金额（单位：元)，并将它们分成以下六类：A类0元，B类100元， C类200元， D类300元， E类400元， F类500元，进行了如下分析。
（1）【整理数据】
补全条形统计图，扇形统计图中m= ▲ ；
（2）【分析数据】
下表中a=　 　， b=　 　；
　 消费金额的平均数 消费金额的中位数 消费金额的众数
看过广告组 186 200 a
未看过广告组 117 b 0
（3）【判断决策】
电商是否有必要继续投放该商品的广告 请你根据上述数据，做出判断并说明理由。
【答案】（1）解： 未看过广告的B类人数有：500×32%=160人
补全图形如下：
m=36
（2）100；100
（3）解：答：我认为有必要继续投放，因为看过广告组的消费金额平均数、中位数、众数均比未看过广告组的要高，说明广告的投放刺激了消费，为了促进销售额提升，应该继续投放该商品的广告。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：m%=1-32%-18%-9%-3%-2%=36%
∴m=36
故答案为：36
（2）看过广告组中，消费100元的人数最多
∴a=100
未看过广告共500人，中位数是第250，251人的消费金额
A类人数有：500×36%=180人
A+B类人数有：180+160=340人
∴第250，251人在B类中
∴中位数
故答案为：100
【分析】（1）求出B类人数，再补全图形即可；根据1减去其他类别的占比可得m值.
（2）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17． 2026年被公认为“智能AI 元年”，AI产品深受欢迎。某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售。据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A 型和3件B型产品需要11万元。
（1）求每件A 型和B型产品的进价分别是多少万元
（2）若该公司计划购买这两种型号的产品共12 件（两种型号的产品均购买)，购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品
【答案】（1）解：设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元。
依题意得：
解得：
答：每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元
（2）解：设该公司购进a件A型产品，
依题意得： a+3（12-a)≤20，
解得： a≥8，
答：该公司至少需要购进8件A型产品。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设该公司购进a件A型产品，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．在 中， BC=BD。
图1 图2
（1）如图1，在 CD边上求作一点 E，连接BE，使得BE 最短； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）如图2，以BD为直径的半圆交AB于点 F， G是CD上一点，连接DF， BG，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件： ▲ ，使得四边形BDHF为矩形，并说明理由。
【答案】（1）解：方法一：如图，点E即为所求；
方法二：如图，点E即为所求；
方法三：如图，点E即为所求；
（2）解：BG∥DF，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴BF∥DG。
∵BG∥DF，
∴四边形BGDF为平行四边形。
∵BD为直径，
∴∠DFB=90°，
∴四边形BGDF为矩形。
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据平行四边形判定定理及性质，矩形判定定理即可求出答案.
19．综合与实践
【问题背景】
如图1是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度AB为4m，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动。
【问题解决】
请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解。
（1）方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点 B 处测得边缘点 C的仰角为α（测角仪高度忽略不计)，已知景观灯的边缘AC与地面BD平行，求景观灯的半径AC的长：（用含α的代数式表示)
（2）方案2：如图3，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高FG为1.6m的小明的影长GH为1.2m，此时景观灯在地面上的影长BP为3.75m，求景观灯的半径AC的长；
（3）方案3：如图4，第三小组在地面的点Q处放置一块平面镜。目高为1.5m（即EF=1.5m)的小亮在点 F处从平面镜中观测到景观灯边缘点C，当他走到点N处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点 D，并测量得到如下三个数据：BQ=a， QF=b， FN=c。
已知∠DQB=∠MQN， ∠CQB=∠EQN，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径AC的表达式。（结果可含字母)
我选择数据： ▲ ，
求解过程如下：
【答案】（1）解：∵AC∥BD，
∴∠ACB=∠CBD=α，
在Rt△ABC中， ∠CAB=90°， ∠ACB=α，
（2）解：连接AD，
∵太阳光照射，
∴EP∥FH，光线EP与景观灯相切，切点为点D，
∴∠EPB=∠FHG， ∠ADE=∠EBP=∠FGH=90°，
∴△EBP∽△FGH，
即
∴BE=5。
∵AB=4，
∴AE=1。
∵∠E=∠HFG， ∠ADE=∠FGH=90°，
∴△EAD∽△FHG，
∵FG=1.6， GH=1.2， ∠FGH=90°，
∴AD=0.6，
∴AC=0.6；
（3）解：答案一选择数据：c；
求解过程：连接EM，
∵CD∥BN， EM∥BN，
∴∠CDQ=∠DQB， ∠EMQ=∠MQN。
∵∠DQB=∠MQN，
∴∠CDQ=∠EMQ。
∵∠DQB=∠MQN， ∠CQB=∠EQN，
∴∠DQC=∠EQM，
∴△DQC∽△MQE。
∵AB⊥CD， EF⊥EM，
即
答案二：选择数据：a，b；
求解过程：过点C作CH⊥BN于点H，
∵CH⊥BN， EF⊥BN，
∴∠CHQ=∠EFQ。
∵∠CQB=∠EQF，
∴△CQH∽△EQF，
即
答案三： 选择数据： a， b， c；
求解过程：过点D作DH⊥BN于点H，
∵DH⊥BN， MN⊥BN，
∴∠DHQ=∠MNQ。
∵∠DQB=∠MQN，
∴△DQH∽△MQN，
即
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠ACB=∠CBD=α，再根据正切定义即可求出答案.
（2） 连接AD，由题意可得EP∥FH，光线EP与景观灯相切，切点为点D，根据直线平行性质可得∠EPB=∠FHG，根据切线性质可得∠ADE=∠EBP=∠FGH=90°，再根据相似三角形判定定理可得△EBP∽△FGH，则，代值计算可得BE，根据边之间的关系可得AE，再根据相似三角形判定定理可得△EAD∽△FHG， 则，根据勾股定理可得FH，再代入等式即可求出答案.
（3）选择数据c：连接EM，根据直线平行性质可得∠CDQ=∠DQB， ∠EMQ=∠MQN，根据角之间的关系可得∠DQC=∠EQM，再根据相似三角形判定定理可得△DQC∽△MQE，则，代值计算可得DC，再根据边之间的关系即可求出答案；
选择数据a，b：过点C作CH⊥BN于点H，根据角之间的关系可得∠CHQ=∠EFQ，再根据相似三角形判定定理可得△CQH∽△EQF，则，代值计算即可求出答案；
选择数据：a， b， c：过点D作DH⊥BN于点H，根据角之间的关系可得∠DHQ=∠MNQ，再根据相似三角形判定定理可得△DQH∽△MQN，则，代值计算即可求出答案.
20．【定义感知】如图1，对于抛物线（C： 以x轴上的点P（m，0)为中心，将抛物线C绕点P旋转180°得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线C关于点P的“共轭抛物线”，点P为“共轭中心”。
图1 图2
图3 备用图
【理解应用】
已知顶点为 D 的抛物线 C： 与x轴交于点 A，B。
（1）如图2，当m=0时，求抛物线C关于共轭中心P（0，0)的共轭抛物线C1的表达式；
（2）如图3，当m>0时，若抛物线C关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线C2恰好经过抛物线 C的顶点 D，求m的值；
（3）【拓展延伸】
过点P（m，0)作x轴垂线，分别交抛物线C和它关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线 C3于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为 C4。当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，求此时m的值。
【答案】（1）解：∵抛物线C：
∴抛物线顶点为D （0， 2)。
∵共轭中心为P （0， 0) ，
∴共轭抛物线C1的顶点为（0， -2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反，
∴抛物线C表达式为：
（2）解：∵抛物线C：
∴抛物线顶点为D （0， 2)。
∵共轭中心为P （m， 0) （m>0) ，
∴共轭抛物线C2的顶点为（2m， - 2)， 开口大小与抛物线C相同且方向相反，
∴抛物线C表达式为：
∵抛物线C2经过点D （0， 2)，
解得：
∵m>0，
（3）解：方法一：由（2）可知，抛物线C： 抛物线
①当m<-2时，点P在A的左侧，
∴点N在点M上方，
②当-2∴点M在点N上方，
③当m>2时，点 P在B的右侧，
∴点N在点M上方，
综上，n与m的函数关系图象如下图所示，
∴当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，n=4，
∴当m<-2或m>2时，
解得：
当-2解得：
方法二：由定义可知抛物线C与共轭抛物线C3关于点P （m，0)成中心对称，
∴PM=PN，
∴n与m的函数关系图象如下图所示，
∴当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，n=4，
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）求出抛物线顶点坐标为D （0， 2)，根据共轭抛物线定义可得共轭抛物线C1的顶点为（0， -2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反，再求出解析式即可求出答案.
（2）求出抛物线顶点坐标为D （0， 2)，根据共轭抛物线定义可得共轭抛物线C2的顶点为（2m， - 2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反，则抛物线C表达式为： ，再根据待定系数法将点D坐标代入解析式即可求出答案.
（3）方法一：由（2）可知，抛物线C： 抛物线 ，分情况讨论，建立方程，解方程即可求出答案；
方法二：由定义可知抛物线C与共轭抛物线C3关于点P （m，0)成中心对称，则PM=PN，再建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市龙华区2025-2026学年第二学期九年级调研测试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断a∥b（　　）
A．∠1=110°， ∠2=70° B．∠1=110°， ∠4=110°
C．∠2=70°， ∠3=70° D．∠1=110°， ∠3=70°
5．如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为（　　）
A．70° B．90° C．105° D．140°
6．如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案。根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度AC为1.5m，纵向长度BD为3m，则菱形ABCD的边长是（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A（4， 0)， B（0， 4)，点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1，△OBC的面积为S2，则 的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
8．在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示。设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组)中，正确的是（　　）
A．5（x+180)+4x=7200 B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．写出不等式x-3>0的一个整数解：　 　。（写出一个即可)
10．老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外)，其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个。小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为　 　。
11．如图，已知正方形ABCD的边长为 ，对角线AC，BD交于点O，将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO的周长为　 　。
12．排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为 其中c为常数。已知自然大调各音阶的频率 fn与半音数n之间的关系如下表所示，其中 则音阶 xi对应的音管长度是音阶 fa对应的音管长度的　 　倍。
音阶 do re mi fa so la xi do'
半音数n 0 2 4 5 7 9 11 12
频率 f0 f0·q2 f0·q4 f0·q5 f0·q7 f0·q9 f0·q11 f0·q12
13．如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AD为斜边上的中线， BE⊥AD于点E。若AE=2， 则△ACD 的面积为　 　。
三、解答题（本大题共7小题，共61分)
14．计算：
15．先化简，再求值： 其中a=2。
16．某电商在社交媒体投放广告，以促销某商品，已知该商品售价为100元/个。为了评估广告效果，该电商随机抽取了 500 名看过广告的用户和 500 名未看过广告的用户，统计了他们一周内的消费金额（单位：元)，并将它们分成以下六类：A类0元，B类100元， C类200元， D类300元， E类400元， F类500元，进行了如下分析。
（1）【整理数据】
补全条形统计图，扇形统计图中m= ▲ ；
（2）【分析数据】
下表中a=　 　， b=　 　；
　 消费金额的平均数 消费金额的中位数 消费金额的众数
看过广告组 186 200 a
未看过广告组 117 b 0
（3）【判断决策】
电商是否有必要继续投放该商品的广告 请你根据上述数据，做出判断并说明理由。
17． 2026年被公认为“智能AI 元年”，AI产品深受欢迎。某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售。据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A 型和3件B型产品需要11万元。
（1）求每件A 型和B型产品的进价分别是多少万元
（2）若该公司计划购买这两种型号的产品共12 件（两种型号的产品均购买)，购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品
18．在 中， BC=BD。
图1 图2
（1）如图1，在 CD边上求作一点 E，连接BE，使得BE 最短； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）如图2，以BD为直径的半圆交AB于点 F， G是CD上一点，连接DF， BG，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件： ▲ ，使得四边形BDHF为矩形，并说明理由。
19．综合与实践
【问题背景】
如图1是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度AB为4m，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动。
【问题解决】
请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解。
（1）方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点 B 处测得边缘点 C的仰角为α（测角仪高度忽略不计)，已知景观灯的边缘AC与地面BD平行，求景观灯的半径AC的长：（用含α的代数式表示)
（2）方案2：如图3，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高FG为1.6m的小明的影长GH为1.2m，此时景观灯在地面上的影长BP为3.75m，求景观灯的半径AC的长；
（3）方案3：如图4，第三小组在地面的点Q处放置一块平面镜。目高为1.5m（即EF=1.5m)的小亮在点 F处从平面镜中观测到景观灯边缘点C，当他走到点N处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点 D，并测量得到如下三个数据：BQ=a， QF=b， FN=c。
已知∠DQB=∠MQN， ∠CQB=∠EQN，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径AC的表达式。（结果可含字母)
我选择数据： ▲ ，
求解过程如下：
20．【定义感知】如图1，对于抛物线（C： 以x轴上的点P（m，0)为中心，将抛物线C绕点P旋转180°得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线C关于点P的“共轭抛物线”，点P为“共轭中心”。
图1 图2
图3 备用图
【理解应用】
已知顶点为 D 的抛物线 C： 与x轴交于点 A，B。
（1）如图2，当m=0时，求抛物线C关于共轭中心P（0，0)的共轭抛物线C1的表达式；
（2）如图3，当m>0时，若抛物线C关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线C2恰好经过抛物线 C的顶点 D，求m的值；
（3）【拓展延伸】
过点P（m，0)作x轴垂线，分别交抛物线C和它关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线 C3于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为 C4。当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，求此时m的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：∵数轴上右边的数总比左边的大，
∴，
∴这四个数中最小的数是，
故选：．
【分析】根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的主视图是
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D： 6a2÷a=6a，符合题意 ；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∠1+∠2=180°，可以判断a∥b，正确，符合题意；
B：∠1=110°， ∠4=110°，不能判断a∥b，错误，不符合题意；
C：∠2=70°， ∠3=70°，不能判断a∥b，错误，不符合题意；
D：∠1=110°， ∠3=70°，不能判断a∥b，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，连接DB并延长
∵∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE
=∠ADB+∠A+∠CDB+∠C
=∠ADC+∠A+∠C
=35°×3
=105°
故答案为：C
【分析】连接DB并延长，根据三角形外角性质可得∠ABE=∠ADB+∠A，∠CBE=∠CDB+∠C，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点O
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，
∴
故答案为：B
【分析】连接AC，BD交于点O，根据菱形性质可得AC⊥BD，，再根据勾股定理即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点
∴设C(x，2x)
∵A（4， 0)， B（0， 4)
∴OA=4，OB=4
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意设C(x，2x)，根据两点间距离可得OA，OB，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元
∴y=x+180
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据题意建立方程即可求出答案.
9．【答案】x=4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：x-3>0
解得：x>3
故答案为：x=4 （或4)
【分析】解不等式，再写出一个整数解即可.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
他拿到艾草香囊的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为
∴
∴AO=BO=CO=DO=1
∵将△ABO向右平移得到△DCE
∴DE=AO=1，CE=BO=1
∴四边形CEDO的周长为DO+CO+CE+DE=4
故答案为：4
【分析】根据勾股定理可得AC=BD=2，根据正方形性质可得AO=BO=CO=DO=1，根据平移性质可得DE=AO=1，CE=BO=1，再根据四边形周长即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据题意，分别求出音阶xi，fa对应的音管长度，再求比值即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AD为斜边上的中线
∴AD=CD=BD
∴∠DAC=∠C
∵∠ABC+∠C=90°，∠BAE+∠CAD=90°
∴∠ABC=∠BAE
∵ BE⊥AD于点E
∴∠AEB=90°
∴∠AEB=∠BAC
∴△BAC∽△AEB
∴
∵AE=2，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD=CD=BD，根据等边对等角可得∠DAC=∠C，根据角之间的关系可得∠ABC=∠BAE，再根据相似三角形判定定理可得△BAC∽△AEB，则，代值计算可得AB，BC，子啊根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
14．【答案】解：原式
=5-2
=3
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】根据0指数幂，绝对值性质，算术平方根，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式=.
当a=2时，原式=
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a=2代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解： 未看过广告的B类人数有：500×32%=160人
补全图形如下：
m=36
（2）100；100
（3）解：答：我认为有必要继续投放，因为看过广告组的消费金额平均数、中位数、众数均比未看过广告组的要高，说明广告的投放刺激了消费，为了促进销售额提升，应该继续投放该商品的广告。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：m%=1-32%-18%-9%-3%-2%=36%
∴m=36
故答案为：36
（2）看过广告组中，消费100元的人数最多
∴a=100
未看过广告共500人，中位数是第250，251人的消费金额
A类人数有：500×36%=180人
A+B类人数有：180+160=340人
∴第250，251人在B类中
∴中位数
故答案为：100
【分析】（1）求出B类人数，再补全图形即可；根据1减去其他类别的占比可得m值.
（2）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元。
依题意得：
解得：
答：每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元
（2）解：设该公司购进a件A型产品，
依题意得： a+3（12-a)≤20，
解得： a≥8，
答：该公司至少需要购进8件A型产品。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设该公司购进a件A型产品，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：方法一：如图，点E即为所求；
方法二：如图，点E即为所求；
方法三：如图，点E即为所求；
（2）解：BG∥DF，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴BF∥DG。
∵BG∥DF，
∴四边形BGDF为平行四边形。
∵BD为直径，
∴∠DFB=90°，
∴四边形BGDF为矩形。
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据平行四边形判定定理及性质，矩形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵AC∥BD，
∴∠ACB=∠CBD=α，
在Rt△ABC中， ∠CAB=90°， ∠ACB=α，
（2）解：连接AD，
∵太阳光照射，
∴EP∥FH，光线EP与景观灯相切，切点为点D，
∴∠EPB=∠FHG， ∠ADE=∠EBP=∠FGH=90°，
∴△EBP∽△FGH，
即
∴BE=5。
∵AB=4，
∴AE=1。
∵∠E=∠HFG， ∠ADE=∠FGH=90°，
∴△EAD∽△FHG，
∵FG=1.6， GH=1.2， ∠FGH=90°，
∴AD=0.6，
∴AC=0.6；
（3）解：答案一选择数据：c；
求解过程：连接EM，
∵CD∥BN， EM∥BN，
∴∠CDQ=∠DQB， ∠EMQ=∠MQN。
∵∠DQB=∠MQN，
∴∠CDQ=∠EMQ。
∵∠DQB=∠MQN， ∠CQB=∠EQN，
∴∠DQC=∠EQM，
∴△DQC∽△MQE。
∵AB⊥CD， EF⊥EM，
即
答案二：选择数据：a，b；
求解过程：过点C作CH⊥BN于点H，
∵CH⊥BN， EF⊥BN，
∴∠CHQ=∠EFQ。
∵∠CQB=∠EQF，
∴△CQH∽△EQF，
即
答案三： 选择数据： a， b， c；
求解过程：过点D作DH⊥BN于点H，
∵DH⊥BN， MN⊥BN，
∴∠DHQ=∠MNQ。
∵∠DQB=∠MQN，
∴△DQH∽△MQN，
即
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠ACB=∠CBD=α，再根据正切定义即可求出答案.
（2） 连接AD，由题意可得EP∥FH，光线EP与景观灯相切，切点为点D，根据直线平行性质可得∠EPB=∠FHG，根据切线性质可得∠ADE=∠EBP=∠FGH=90°，再根据相似三角形判定定理可得△EBP∽△FGH，则，代值计算可得BE，根据边之间的关系可得AE，再根据相似三角形判定定理可得△EAD∽△FHG， 则，根据勾股定理可得FH，再代入等式即可求出答案.
（3）选择数据c：连接EM，根据直线平行性质可得∠CDQ=∠DQB， ∠EMQ=∠MQN，根据角之间的关系可得∠DQC=∠EQM，再根据相似三角形判定定理可得△DQC∽△MQE，则，代值计算可得DC，再根据边之间的关系即可求出答案；
选择数据a，b：过点C作CH⊥BN于点H，根据角之间的关系可得∠CHQ=∠EFQ，再根据相似三角形判定定理可得△CQH∽△EQF，则，代值计算即可求出答案；
选择数据：a， b， c：过点D作DH⊥BN于点H，根据角之间的关系可得∠DHQ=∠MNQ，再根据相似三角形判定定理可得△DQH∽△MQN，则，代值计算即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵抛物线C：
∴抛物线顶点为D （0， 2)。
∵共轭中心为P （0， 0) ，
∴共轭抛物线C1的顶点为（0， -2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反，
∴抛物线C表达式为：
（2）解：∵抛物线C：
∴抛物线顶点为D （0， 2)。
∵共轭中心为P （m， 0) （m>0) ，
∴共轭抛物线C2的顶点为（2m， - 2)， 开口大小与抛物线C相同且方向相反，
∴抛物线C表达式为：
∵抛物线C2经过点D （0， 2)，
解得：
∵m>0，
（3）解：方法一：由（2）可知，抛物线C： 抛物线
①当m<-2时，点P在A的左侧，
∴点N在点M上方，
②当-2∴点M在点N上方，
③当m>2时，点 P在B的右侧，
∴点N在点M上方，
综上，n与m的函数关系图象如下图所示，
∴当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，n=4，
∴当m<-2或m>2时，
解得：
当-2解得：
方法二：由定义可知抛物线C与共轭抛物线C3关于点P （m，0)成中心对称，
∴PM=PN，
∴n与m的函数关系图象如下图所示，
∴当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，n=4，
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）求出抛物线顶点坐标为D （0， 2)，根据共轭抛物线定义可得共轭抛物线C1的顶点为（0， -2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反，再求出解析式即可求出答案.
（2）求出抛物线顶点坐标为D （0， 2)，根据共轭抛物线定义可得共轭抛物线C2的顶点为（2m， - 2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反，则抛物线C表达式为： ，再根据待定系数法将点D坐标代入解析式即可求出答案.
（3）方法一：由（2）可知，抛物线C： 抛物线 ，分情况讨论，建立方程，解方程即可求出答案；
方法二：由定义可知抛物线C与共轭抛物线C3关于点P （m，0)成中心对称，则PM=PN，再建立方程，解方程即可求出答案.
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