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2025-2026 学年第二学期九年级测试数学试卷
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟。
第一部分选择题
一、单选题(共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分)
1. - 2026的绝对值是( )
A. 2026 B. - 2026 C. D.
2。如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，亡的主视图是(
3.如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在0.4左右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是( ).
A. 226° B. 216° C. 206° D. 144°
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列命题，是真命题的是( )
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.相等的角是对顶角
C.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行
D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
6.关于 x 的分式方程 的解为正数，则a 的取值范围是( )
A. a>5且a≠3 B. a<5且a≠3 C. a>5且a≠2 D. a<5且a≠2
7.如图，已知△ABC(AC>AB)，用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，能判断△ABP一定是等腰三角形的图形有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元.例如，单笔消费金额为208元时，立减20元.甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元.若B商品的单价是整数元，则它的最小值是( )
A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元
第二部分非选择题
二、填空题(共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
9.代数式 中x的取值范围是
10.若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m= .
11.小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为 米.
12.如图，经过原点O的直线与反比例函数 的图象交于A，D两点(点A在第一象限)，点B，C，E在反比例函数 的图象上, AB∥y轴, AE∥CD∥x轴,五边形ABCDE的面积为56,四边形 ABCD的面积为32，则a/b的值为 .
13.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD沿着过点A的直线AE翻折 ，使得点D 的对应点 G落在 CB 延长线上，折痕与BD相交于点F，连接FG，若 且GB:BE=1:3,求
三.解答题(共 7 小题，满分 61 分)
14. (5分)
15. (6分)先化简,再求值: 并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值.
16.(9分)各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下.
(一)收集与整理
农村学校10名学生的艺术成绩(单位:分) : 64, 74, 78, 82, 84, 86, 86, 92, 96, 98;
城区学校10名学生的艺术成绩(单位:分) : 62, 70, 79, 83, 85, 87, 87, 90, 97, 100.
(二)描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 c
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出表格中a、b、c的值, a= , b= , c= ;
(三)迁移与应用
(2)若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
(3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议.
17.(8分)“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕.本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍.
(1)求A,B两种型号纪念品的单价分别是多少元
(2)若计划购买A,B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于 B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案.
18. (10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O, AB为直径, BC=CD,过点C作CE⊥AB于点E, CH⊥AD交AD的延长线于点 H，连接BD交CE于点G.
(1)求证: CH是⊙O的切线;
(2)若点 D为AH的中点,求证: AD=BE;
(3)若 求BD的长.
19. (11分)综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm.
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM 所在直线为x轴，过点O与OM 所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出顶点N的坐标： ，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.
(2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点 P 与落地点Q的水平距离OQ的长；
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过.如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中
AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度： (平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).
20. (12分)问题情境:
矩形ABCD中, 的平分线交BC于点 E.将 绕点E 顺时针旋转，得到 点A,B的对应点分别为点 F，G(点G与点 B不重合).
深入探究：
(1)如图1,当点F在边AD上时,求证: ∠AEF=2∠BAE;
(2)如图2,当点G在线段AE上时,连接AF, CF,
①求证: AC⊥EF;
②求四边形AECF 的面积；
(3)当点G在矩形ABCD的对角线上时，连接DF，直接写出DF的长.
三模九年级数学评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D C B B A
题号 9 10 11 12 13
答案 x>2 6 4.2 -3
14.解:
4 分
5分
15. 解:
1分
3分
4分
当a=1时，原式 6分
除法转换乘法1分，通分1分，因式分解1分，结果1分，代值2分
16. 解: 3分
(2)农村学校95分以上学生有2人，分别记为A ，A ，城区学校95分以上学生有2人，分别记为B ，B ，画树状图如下：
5分
总共有 12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有 2种， 6分
∴P (所选两名学生恰好都是城区学生) 7分
(3)例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；
从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化.
必须要用平均数、中位数、众数、方差中的其中一个数据，建议言之有理即可 9分
17.解：设B型号纪念品的单价为x元，则A型号纪念品的单价为(x+20)元，
依题意，得 2分
解得x=80,
经检验，x=80是原分式方程的解， 3分
x+20=100,
答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； 4分
(2)解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品(70-m)个，
依题意，得 6分
解得: 42≤m≤44, 7分
∵m为整数，
∴m可取42, 43, 44,
故共有三种购买方案：
方案1：购买42个A 型号纪念品，28个B型号纪念品；
方案2：购买43个A 型号纪念品，27个B型号纪念品；
方案3： 购买44个A 型号纪念品，26个B 型号纪念品. 8分
18. 【详解】 (1)证明:如图,连接OC, OD,
∵BC=CD,
1分
又
∴∠BAH=∠BOC ,
∴AH∥OC , 2
∵AH⊥CH,
∴OC⊥CH,
∵OC是⊙O的半径,
∴CH是⊙O的切线; 3分
(2)证明:如图,连接AC,
∵BC=CD,
∴∠BAC=∠CAH , 4分
又∵CE⊥AB, CH⊥AH,
∴CE=CH,
∵BC=CD,
∴Rt△CEB≌Rt△CHD(HL) ,
∴BE=DH,
∵点D为AH的中点，
∴AD=DH,
∴AD=BE; 6分
(3)解:如图,延长CE交⊙O于点 F,
∵AB是⊙O的直径, CF⊥AB,
∴∠BCE=∠CBD, 7分
∴GB=GC=10 ,
在Rt△GEB中,
∴BE=8, GE=6,
∴CE=CG+GE=10+6=16 , 8分
∵∠EAC=∠CAD=∠CBD=∠BCE , ∠AEC=∠CEB=90°,
∴△AEC∽△CEB,
即
∴AE=32, 9分
∴AB=AE+BE=32+8=40 ,在Rt△ADB中,
10分
19.解: (1)顶点坐标为(80,60), 1分
设抛物线的函数解析式为： 2分
∵图象过原点，
3分
解：
4分
(2) ∵抛物线的形状不变,点(0,75), 5分
故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：
6分
当y=0时, 7分
解得： (舍去) ;
故起跳点 P 与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm；
(3)该平台的高度为6cm. (没有单位扣1分) 11分
20. (1)证明: ∵△ABE绕点 E 旋转得到△FGE,
∴△ABE≌△FGE,
∴AE=EF,
∴∠EAF=∠AFE,
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2∠EAF, 1分在矩形ABCD中, ∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠EAF=90°,
∴∠EAF=90°-∠BAE,
∴∠AEF=180°-2∠EAF=180°-2(90°-∠BAE) =2∠BAE; 3分
(2) ①证明:如图,设AC交 EF于点 O,
∵四边形ABCD是矩形, AB=3, BC=4,
∴∠B=90°,
∵△ABE≌△FGE,
∴∠AEB=∠AEO, EF=AE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠OAE,
在△ABE和△AOE中,
∴△ABE≌△AOE (ASA),
∴OE=BE, ∠AOE=∠B=90°,
∴AC⊥EF; 6分
②解: ∵AC⊥EF
∴∠EOC=∠B=90°,
在△EOC和△ABC中,
∴△EOC∽△ABC,
即
在直角三角形ABE中，由勾股定理得： ∴四边形AECF 的面积为：
S△AEF+S△CEF
9分
(3)解: DF的长为 或 理由如下： 12分
点G在矩形ABCD 的对角线上时，分两种情况讨论：
如图,若点G在对角线BD上时,过点F作FM⊥BD于M,过点E作EN⊥BD于N,
在矩形ABCD中, AB=3, BC=4,
∴AD=BC=4, CD=AB=3, ∠BCD=90°,
由勾股定理得：
由(1) ②得:
(等腰三角形的三线合一)，
在Rt△BCD中,
∴在 Rt△BEN中,
由旋转的性质得: FG=AB=3, ∠EGF=∠ABE=90°,
∴∠NGE+∠FGM=90°,
∵FM⊥BD, EN⊥BD,
∴∠ENG=∠GMF=90°,
∴∠NGE+∠GEN=90°,
∴∠FGM=∠GEN,
在△FGM和△GEN中,
∴△FGM∽△GEN,
由勾股定理得：
如图，若点G在对角线AC 二时，过点 D作 DH⊥AC于 H.
∵AE平分∠BAC,
∴点E到AC的距离等于 BE 的长度，
由旋转的性质得: BE=GE, GF=AB=3, ∠EGF=∠ABC=90°,
∴GE⊥AC,
∴∠AGE=90°,
∴∠AGE+∠EGF=180°,
∴点A, G, C, F在同一条直线上,
在 Rt△ABE和 Rt△AGE中,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE (HL),
∴AG=AB=3,
∴AF=AG+GF=6,
在矩形ABCD中, AB=3, BC=4,
∴AD=BC=4, CD=AB=3, ∠ADC=90°,
由勾股定理得：
由勾股定理得：
由勾股定理得：
综上所述，DF的长为 寸

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