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内蒙古鄂尔多斯市第一中学2026届高三下学期二模考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ）

A． B．
C． D．
4．已知函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设总项数为9的数列满足，从中任取2项，这两项均为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知为复数，下列说法正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
10．如图，点是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称
11．如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（ ）
A．所制成的圆锥桶的体积为
B．当球内水的体积最大时
C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于
D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大面积为
三、填空题
12．在对数式中，实数的取值范围是__________．
13．已知数列的通项公式为，函数，求________.
14．已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________．
四、解答题
15．对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）.
(1)求这4联可以凑成甲对联的概率；
(2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望
16．如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点.
(1)求新的几何体的体积；
(2)记与底面所成角为，求的取值范围；
(3)当时，求点到平面的距离.
17．已知函数，其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，求的取值范围．
18．已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.

(1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值；
(2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程；
(3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期．
(1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值；
(2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1．B
【详解】由题意，集合，
联立方程组，整理得，解得或，
当时，可得；当时，可得，
所以，即中元素的个数为2个.
故选：B.
2．A
【详解】时，，，，
又时，取，，此时，
所以，则“”是“”的充分不必要条件.
3．D
【详解】，即，
则，即，因为，所以，
.
故选：D
4．D
【详解】由辅助角公式得，
因为，所以在处取得最大值，
则，解得，
则，
所以.
5．B
【详解】，
，
又，所以，即，
综上，．
6．C
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，其中，，
由题意，中的项对应于的系数.而通项中的系数为，故只要中含有因子2，该项即为偶数.
当时，即时，是偶数，故该项系数为偶数.此时可取，共8项.
当时，即时，.此时，是奇数.
综上所述，数列共9项，其中8项为偶数，1项为奇数.
故从9项中任取2项的总取法数为，取出的2项均为偶数的取法数为，
由古典概型概率公式，可得所求概率为.
故选：C.
7．A
【详解】因为轴，所以，
又因为，所以，可得得，所以，
因为，所以，得.
故选：A.
8．D
【详解】因为，所以.
由，得，
所以.
令，则，所以在上单调递增.
所以，即，即
即.
所以.
因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确.
故选：D.
9．AB
【详解】A，设，，
，
所以
所以，正确；
B，由上，
由，得，
所以成立，正确；
C，若，不妨取，，
此时，但不成立，错误；
D，若，不妨取，，则，错误.
10．AC
【详解】对于选项A，设点的横坐标分别为，，
则由题图可得，，
所以，，
因为，所以，解得，
所以，故A正确；
对于选项B，因为，所以，所以，解得，
故B错误；
对于选项C，由选项B可得，
所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；
对于选项D，将的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，即，
的图象不关于原点对称，故D错误.
故选：AC.
11．BCD
【详解】对于A，对制成的圆锥桶，设盖子的半径为r，母线长为l，
则，解得，
则圆锥桶的高，
所以圆锥桶的体积，A错误.
对于B，当圆锥桶内能放入最大球，则此球与圆锥的侧面和底面都内切，
设此球的半径为，轴截面如图所示，
由相似三角形知，，解得，B正确.
对于C，此时球内水的最大体积为：，
当圆锥桶内水的高度为时，没有装水的部分是一个底面半径为1，高为的圆锥，
没有水部分的体积，
所以当圆锥桶内水的高度为时，能装的水的体积．
又因为，所以将球内的水倒回圆锥桶内，水面高度一定小于，C正确.
对于D，如图，画出示意图，小球在圆锥桶内自由运动时，在圆锥桶侧面接触到的地方是一个圆台的侧面，
其中E，F，G，J为该圆台的截面上的点，在圆锥桶底面是一个圆，
其中H，K是这个圆的直径，，，，
所以圆台侧面积，底面圆的面积，
所以小球能接触到圆锥桶内部的最大面积， D正确.
12．且
【详解】解：由对数式可知：
,解之得：且
故答案为：且．
13．
【详解】因为，，
所以
所以
故答案为：
14．
【详解】已知直线恒过定点A，
即对任意恒成立，
则，解得，所以定点A的坐标为.
由，可知P、A、Q三点共线，
设弦的中点为，连接，如图，则，即，
所以 ，由此可得E的轨迹方程为，
即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线l为，则到l的最小距离为，
过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则R是的中点，
所以 ，即，
则
15．(1)
(2)
【详解】（1）8联中随机取出4联，有种取法，
取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有种取法，
所以这4联可以凑成甲对联的概率为.
（2）的所有取值可能为0，1，2.
，，.
的分布列为
X 0 1 2
P
.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）连接，
在中，由题可得，
因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分，
所以新的几何体的体积.
（2）如图，取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
所以为与底面所成的角，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以.
（3）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，取
所以点到平面的距离为.
17．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【详解】（1）当时，，．
由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，，不满足题意．
所以，此时 ，显然是上的增函数，
且时，时，
所以存在唯一正实数使得，即 ．
此时在上单调递减，在上单调递增．
由题意 ．
将 代入上式整理得：，解得：．
此时，代入后．
化简得： ，解得：．
令 ，其中．则，
所以是区间上的增函数．
所以 ，代入得到a的取值范围是．
18．(1)
(2)或.
(3)存在定点.
【详解】（1），，右焦点，，
当且仅当、、共线（介于、之间）时取到，
（2）由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到，
由可知，，
结合韦达定理，
解得，
所以直线方程为或，
（3）当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得：
，
设，，
由韦达定理得，.
当直线平行于轴时，，因此，
此时在轴上，设.
当直线斜率不存在时，不妨设，，
则有，
解得或（舍）.下面证明点符合条件.
设直线：，要证，
即是的角平分线，只要证明.
而，
而韦达定理可得，因而得证，
综上，存在定点，
19．(1)
(2)是周期为2的周期数列，理由见解析
(3)存在，，．
【详解】（1）因为数列是周期为3的周期数列，
当，时，，，
因为，，解得，或，
经检验，时，，时，，，成立；
时，，时，，，不成立，舍去；
所以．
（2）当时，，又，得；
当时，，
化简，得．
即，或．
由，有，
所以数列为公比为等比数列，即，
所以对任意都成立，
即当时，是周期为2的周期数列．
（3）假设存在p、q，满足题设．
所以化简，得，
又，则．
所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为2，3，．
则，，
当时，；
当时，，因为数列单调递减，所以，
当时，，；
综上所述：，为使恒成立，只要，，
所以，．

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