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第五章
机械能守恒定律
第2讲　动能定理
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 理解动能和动能定理.2. 能用动能定理求解图像、多过程运动、往复运动等问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　理解动能和动能定理
下列关于动能的说法正确的是(　　)
A. 两个物体中，速度大的动能也大
B. 某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C. 做匀速圆周运动的物体动能保持不变
D. 某物体的动能保持不变，则速度一定不变
1
C
关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是(　　)
A. 合外力为零，则合外力做功一定为零
B. 合外力做功为零，则合外力一定为零
C. 合外力做功越多，则动能一定越大
D. 动能不变，则物体合外力一定为零
2
A
【解析】 由W＝Flcos α可知物体所受合外力为零，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，可能是α＝90°，故A正确，B错误；由动能定理W＝ΔEk可知合外力做功越多，动能变化量越大，但动能不一定越大，动能不变，合外力做功为零，但物体所受合外力不一定为零，C、D错误．
(1) 物理意义：__________做的功是物体动能变化的量度．
(2) 动能定理包含“一过程、两状态”. “一过程”即研究过程，确定在这一过程中研究对象的受力情况和位置变化或位移信息，“两状态”即研究对象的始、末状态的速度或动能情况．
(3) 动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(4) 动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的．
合外力
(5) 动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学方法要简捷．
(6) 动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力做功的正负代数和即可，这就是动能定理的优越性．
有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　)
1
A. 木块所受的合外力为零
B. 因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C. 重力和摩擦力的合力做的功为零
D. 重力和摩擦力的合力为零
C
【解析】 木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知合外力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误．
[2023江苏卷]滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B后返回到底端．利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示．与图乙中相比，图甲中滑块(　　)
2
A. 受到的合力较小
B. 经过A点的动能较小
C. 在A、B之间的运动时间较短
D. 在A、B之间克服摩擦力做的功较小
C
活动二　应用动能定理解决问题
应用动能定理解题的步骤图解
一、与动能相关的图像问题
[2022江苏卷]某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳．将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
3
A
B
C
D
A
【解析】 设斜面倾角为θ，由题意可知，运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理有Ek＝mgx tan θ，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek－x图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小，后增大，即图像斜率先减小，后增大，A正确．
1. 解决图像问题的基本步骤．
(1) 观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2) 根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3) 将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图像上的特定值代入函数关系式求物理量．
2. 图像所围“面积”和图像斜率的含义．
从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是(　　)
3
A
B
C
D
A
[2025南京一模]如图所示，圆筒固定在水平面上，圆筒底面上有一与内壁接触的小物块，现给物块沿内壁切线方向的水平初速度．若物块与所有接触面间的动摩擦因数处处相等．则物块滑动时动能Ek与通过的弧长s的关系图像可能正确的是(　　)
4
A
B
C
D
C
二、在多过程中应用动能定理问题
[2026教材改编]人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实(如图所示)．设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个力，力的大小均为360 N，方向都与竖直方向成37°，重物离开地面 25 cm后人停止施力，最后重物自由下落把地面砸深2 cm.已知重物的质量为50 kg，重力加速度g取10 m/s2，cos 37°＝0.8.求地面对重物的平均阻力大小F阻．
4
【答案】 两根绳子对重物的合力
F合＝2Fcos 37°＝2×360×0.8 N＝576 N，
重物从抬起至把地面砸深2 cm过程，由动能定理得
F合h＋mgx－F阻x＝0－0，
解得F阻＝7.7×103 N.
物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，对全过程应用动能定理，往往能使问题简化．多过程往复运动问题一般应用动能定理求解．
[2026教材改编]如图所示，某斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接．一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停下．已知斜面倾角为θ，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g.木块在水平面上停止点A的位置到O点的距离为x，则(　　)
5
A. h和μ一定，θ越大，x越大
B. h和μ一定，θ越大，x越小
C. 木块从斜面顶端滑到A点，摩擦力对木块做功为μmgx
D. 木块从斜面顶端滑到A点，重力对木块做功为μmgx
D
物体克服摩擦力做的功与斜面倾角______(选填“有”或“无”)关，而与底边长______(选填“有”或“无”)关．
无
有
如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块与挡板P的距离为x0，滑块以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，滑块经过的总路程是(　　)
6
A
大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积．
三、动能定理与抛体运动、圆周运动结合问题
[2025安徽卷]如图所示，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距L＝0.5 m．一根长为3L的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1 kg的小球，小球与水平地面接触但无压力．t＝0时，小球以水平向右的初速度v0＝10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动．小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动．小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.
5
(1) 求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2) 求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3) 若在t＝0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值．
【答案】 (1) 小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据动能定理有
解得x＝4 m.
(3) 若小球经过N的正上方且绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理有
连接A、B两点的弧形轨道ACB和ADB关于A、B的连线对称，轨道材料相同，粗糙程度相同，如图所示，一个小物块由A点以一定的初速度v开始沿ACB轨道到达B点的速度为v1；若由A以大小相同的初速度v沿ADB轨道到达B点的速度为v2.v1和v2的大小关系为(　　)
7
A. v1＞v2 B. v1＝v2
C. v1＜v2 D. 条件不足，无法判定
A
【解析】 由于A、B两点等高，故物块从A到B过程中，只有阻力做功，根据动能定理，克服阻力做功等于动能的减小量，但在ACB轨道上运动时加速度向下，是失重，在ADB轨道上运动时加速度向上，是超重，故ADB轨道上运动时阻力大，克服阻力做功多，动能减小多，故v1＞v2，故A正确，B、C、D错误．
[2025黑吉辽蒙卷]如图所示，一雪块从倾角θ＝37°的屋顶上的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶．O、A间距离x＝2.5 m，A点距地面的高度h＝1.95 m，雪块与屋顶的动摩擦因数μ＝0.125.不计空气阻力，雪块质量不变，取sin 37°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2.求：
8
(1) 雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0；
(2) 雪块落地时的速度大小v1，及其速度方向与水平方向的夹角α.
【答案】 (1) 雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理得
代入数据解得雪块从A点离开屋顶时的速度大小为v0＝5 m/s.
(2) 雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理得
代入数据解得雪块到地面速度大小v1＝8 m/s，
解得α＝60°.
[2023江苏卷]如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°.平台BC与缓冲坡CD相连．若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点．滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出．已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力．
(1) 求滑雪者运动到P点的时间t；
(2) 求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
(3) 若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L.
9
【答案】 (1) 滑雪者从A点下滑到P点，根据牛顿第二定律有mgsin 45°－μmgcos 45°＝ma，
(2) 从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，由动能定理有
mgh－Wf＝0－0，
从A点由静止开始下滑，从B点飞出，由动能定理有
(3) 从B点飞出，在空中做斜抛运动，由抛体运动公式有
竖直方向：vsin 45°＝gt，
四、动能定理与功率结合的问题
[2025云南昆明一模]在滑雪场，工作人员借助卷扬机将物资沿雪道从A点运送到B点，示意图如图所示，雪道与水平地面间的夹角为θ＝37°.质量为m＝100 kg的物资，在卷扬机的牵引下从A点由静止开始运动，牵引物资的轻绳始终与雪道平行，物资到达B点前速度已达到最大．已知卷扬机的输出功率恒为P＝2 kW，物资从A点运动到B点的时间为t＝100 s，物资与雪道之间的动摩擦因数为μ＝0.5，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2.物资可视为质点，不计空气阻力．求：
6
(1) 物资能达到的最大速度；
(2) A、B之间的距离．
【答案】 (1) 物资速度达到最大时，受到轻绳的拉力大小为
F＝mgsin θ＋μmgcos θ，
根据功率的公式，则有P＝Fvm，
联立解得vm＝2 m/s.
(2) 设A、B之间的距离为L，对物资由动能定理得
代入数据解得L＝199.8 m.
一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10－4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　)
A. 10 W B. 20 W
C. 100 W D. 200 W
7
C
谢谢观看
Thank you for watching第2讲　动能定理
学习目标　1. 理解动能和动能定理.2. 能用动能定理求解图像、多过程运动、往复运动等问题．
活动一 理解动能和动能定理
1 下列关于动能的说法正确的是(　　)
A. 两个物体中，速度大的动能也大
B. 某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C. 做匀速圆周运动的物体动能保持不变
D. 某物体的动能保持不变，则速度一定不变
物体由于运动而具有的能量叫作动能，公式：Ek＝mv2.动能是标量，动能与速度方向无关．
2 关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是(　　)
A. 合外力为零，则合外力做功一定为零
B. 合外力做功为零，则合外力一定为零
C. 合外力做功越多，则动能一定越大
D. 动能不变，则物体合外力一定为零
动能定理W合＝Ek2－Ek1＝mv－mv的理解．
(1) 物理意义：________做的功是物体动能变化的量度．
(2) 动能定理包含“一过程、两状态”. “一过程”即研究过程，确定在这一过程中研究对象的受力情况和位置变化或位移信息，“两状态”即研究对象的始、末状态的速度或动能情况．
(3) 动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(4) 动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的．
(5) 动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学方法要简捷．
(6) 动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力做功的正负代数和即可，这就是动能定理的优越性．
即时训练1 有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　)
A. 木块所受的合外力为零
B. 因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C. 重力和摩擦力的合力做的功为零
D. 重力和摩擦力的合力为零
即时训练2 [2023江苏卷]滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B后返回到底端．利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示．与图乙中相比，图甲中滑块(　　)
A. 受到的合力较小
B. 经过A点的动能较小
C. 在A、B之间的运动时间较短
D. 在A、B之间克服摩擦力做的功较小
活动二 应用动能定理解决问题
应用动能定理解题的步骤图解
一、 与动能相关的图像问题
3 [2022江苏卷]某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳．将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
A B C D
1. 解决图像问题的基本步骤．
(1) 观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2) 根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3) 将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图像上的特定值代入函数关系式求物理量．
2. 图像所围“面积”和图像斜率的含义．
即时训练3 从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是(　　)
A B C D
即时训练4 [2025南京一模]如图所示，圆筒固定在水平面上，圆筒底面上有一与内壁接触的小物块，现给物块沿内壁切线方向的水平初速度．若物块与所有接触面间的动摩擦因数处处相等．则物块滑动时动能Ek与通过的弧长s的关系图像可能正确的是(　　)
A B C D
二、 在多过程中应用动能定理问题
4 [2026教材改编]人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实(如图所示).设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个力，力的大小均为360 N，方向都与竖直方向成37°，重物离开地面 25 cm后人停止施力，最后重物自由下落把地面砸深2 cm.已知重物的质量为50 kg，重力加速度g取10 m/s2，cos 37°＝0.8.求地面对重物的平均阻力大小F阻．
物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，对全过程应用动能定理，往往能使问题简化．多过程往复运动问题一般应用动能定理求解．
即时训练5 [2026教材改编]如图所示，某斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接．一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停下．已知斜面倾角为θ，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g.木块在水平面上停止点A的位置到O点的距离为x，则(　　)
A. h和μ一定，θ越大，x越大
B. h和μ一定，θ越大，x越小
C. 木块从斜面顶端滑到A点，摩擦力对木块做功为μmgx
D. 木块从斜面顶端滑到A点，重力对木块做功为μmgx
物体克服摩擦力做的功与斜面倾角________(选填“有”或“无”)关，而与底边长________(选填“有”或“无”)关．
即时训练6 如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块与挡板P的距离为x0，滑块以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力．若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，滑块经过的总路程是(　　)
A. (＋x0tan θ) B. (＋x0tan θ)
C. (＋x0tan θ) D. (＋)
大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积．
三、 动能定理与抛体运动、圆周运动结合问题
5 [2025安徽卷]如图所示，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距L＝0.5 m．一根长为3L的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量m＝0.1 kg的小球，小球与水平地面接触但无压力．t＝0时，小球以水平向右的初速度v0＝10 m/s开始在竖直平面内做圆周运动．小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动．小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.
(1) 求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2) 求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3) 若在t＝0时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值．
即时训练7 连接A、B两点的弧形轨道ACB和ADB关于A、B的连线对称，轨道材料相同，粗糙程度相同，如图所示，一个小物块由A点以一定的初速度v开始沿ACB轨道到达B点的速度为v1；若由A以大小相同的初速度v沿ADB轨道到达B点的速度为v2.v1和v2的大小关系为(　　)
A. v1＞v2 B. v1＝v2
C. v1＜v2 D. 条件不足，无法判定
即时训练8 [2025黑吉辽蒙卷]如图所示，一雪块从倾角θ＝37°的屋顶上的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶．O、A间距离x＝2.5 m，A点距地面的高度h＝1.95 m，雪块与屋顶的动摩擦因数μ＝0.125.不计空气阻力，雪块质量不变，取sin 37°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1) 雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0；
(2) 雪块落地时的速度大小v1，及其速度方向与水平方向的夹角α.
即时训练9 [2023江苏卷]如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°.平台BC与缓冲坡CD相连．若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点．滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出．已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力．
(1) 求滑雪者运动到P点的时间t；
(2) 求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
(3) 若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L.
四、 动能定理与功率结合的问题
6 [2025云南昆明一模]在滑雪场，工作人员借助卷扬机将物资沿雪道从A点运送到B点，示意图如图所示，雪道与水平地面间的夹角为θ＝37°.质量为m＝100 kg的物资，在卷扬机的牵引下从A点由静止开始运动，牵引物资的轻绳始终与雪道平行，物资到达B点前速度已达到最大．已知卷扬机的输出功率恒为P＝2 kW，物资从A点运动到B点的时间为t＝100 s，物资与雪道之间的动摩擦因数为μ＝0.5，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2.物资可视为质点，不计空气阻力．求：
(1) 物资能达到的最大速度；
(2) A、B之间的距离．
7 一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10-4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　)
A. 10 W B. 20 W
C. 100 W D. 200 W
第2讲　动能定理
【活动一】
例 1
C　动能的表达式为Ek＝mv2，即物体的动能大小由质量和速度大小共同决定，速度大的物体的动能不一定大，故A错误；速度加倍，它的动能变为原来的4倍(物体的质量不变)，故B错误；只要速度大小保持不变，物体的动能就不变，故C正确，D错误．
例 2
A　由W＝Fl cos α可知物体所受合外力为零，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，可能是α＝90°，故A正确，B错误；由动能定理W＝ΔEk可知合外力做功越多，动能变化量越大，但动能不一定越大，动能不变，合外力做功为零，但物体所受合外力不一定为零，C、D错误．
总结提升：(1) 合外力
即时训练1 C　木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知合外力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误．
即时训练2 C　因为频闪照片时间间隔相同，对比图甲和图乙，可知图甲中滑块加速度大，是上滑阶段，根据牛顿第二定律可知图甲中滑块受到的合力较大，A错误；从图甲中的A点到图乙中的A点，先上升后下降，重力做功为0，摩擦力做负功，根据动能定理可知图甲经过A点的动能较大，B错误；由于图甲中滑块加速度大，根据x＝v0t＋at2，可知图甲在A、B之间的运动时间较短，C正确；由于无论上滑或下滑均受到大小相等的滑动摩擦力，故图甲和图乙在A、B之间克服摩擦力做的功相等，D错误．
【活动二】
例 3
A　设斜面倾角为θ，由题意可知，运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理有Ek＝mgx tan θ，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ekx图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小，后增大，即图像斜率先减小，后增大，A正确．
即时训练3 A　小球做竖直上抛运动，设初速度为v0，则v＝v0－gt，小球的动能Ek＝mv2，解得Ek＝mg2t2 －mgv0t＋mv，Ek与t为二次函数关系，故A正确．
即时训练4 C　物块在运动过程中，受到重力mg，竖直向下；底面的支持力N1，方向竖直向上；底面的滑动摩擦力f1，方向与运动方向相反；侧面的支持力N2，垂直于圆筒内壁；侧面的滑动摩擦力f2，沿切线方向，与运动方向相反．其中侧面的滑动摩擦力的大小为f2＝μN2(μ为动摩擦因数).物块做圆周运动时，侧面的支持力提供向心力，即N2＝，可知物块做减速运动，随着物块速度的减小，侧面滑动摩擦力逐渐减小，则滑动摩擦力合力逐渐减小，相同的弧长，滑动摩擦力合力做负功越来越少，根据动能定理可知，动能减小得越来越慢，则动能与弧长的关系图像斜率减小．故C正确．
例 4
两根绳子对重物的合力
F合＝2F cos 37°＝2×360×0.8 N＝576 N，
重物从抬起至把地面砸深2 cm过程，由动能定理得
F合h＋mgx－F阻x＝0－0，
解得F阻＝7.7×103 N.
即时训练5 D　木块从开始下滑到最后停在A点，由能量关系可知mgh＝μmg cos θ·＋μmgx2＝μmgx，解得h＝μx，则当h和μ一定时，x一定不变，A、B错误；由以上分析可知，木块从斜面顶端滑到A点，摩擦力对木块做功为－μmgx，重力对木块做功为μmgx，C错误，D正确．
总结提升：无　有
即时训练6 A　滑块最终要停在斜面底部，设滑块经过的总路程为x，对滑块运动的全过程应用功能关系，全过程所产生的热量为Q＝mv＋mgx0sin θ，又由全过程产生的热量等于克服摩擦力所做的功，即Q＝μmgs cos θ，解得s＝(＋x0tan θ)，A正确．
例 5
(1) 小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据动能定理有－mg·2L＝mv2－mv，
在该位置时根据牛顿第二定律有T－mg＝m，
解得v＝4 m/s，T＝17 N.
(2) 小球做平抛运动时x＝vt，2L＝gt2，
解得x＝4 m.
(3) 若小球经过N的正上方且绳子恰不松弛，则满足
mg＝m，
从最低点到该位置由动能定理有
－mg·5L＝mv′2－mv′，
解得v′0＝2 m/s.
即时训练7 A　由于A、B两点等高，故物块从A到B过程中，只有阻力做功，根据动能定理，克服阻力做功等于动能的减小量，但在ACB轨道上运动时加速度向下，是失重，在ADB轨道上运动时加速度向上，是超重，故ADB轨道上运动时阻力大，克服阻力做功多，动能减小多，故v1＞v2，故A正确，B、C、D错误．
即时训练8 (1) 雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理得
mgx sin θ－μmg cos θ·x＝mv－0，
代入数据解得雪块从A点离开屋顶时的速度大小为v0＝5 m/s.
(2) 雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理得
mgh＝mv－mv，
代入数据解得雪块到地面速度大小v1＝8 m/s，
速度与水平方向夹角α，满足cos α＝＝＝，
解得α＝60°.
即时训练9 (1) 滑雪者从A点下滑到P点，根据牛顿第二定律有mg sin 45°－μmg cos 45°＝ma，
根据匀变速直线运动规律有d＝at2，
解得t＝.
(2) 从P点由静止开始下滑，恰好到达B点，由动能定理有
mgh－Wf＝0－0，
从A点由静止开始下滑，从B点飞出，由动能定理有
mg(d sin 45°＋h)－(μmgd cos 45°＋Wf)＝mv2－0，
解得从B点飞出时的速度v＝.
(3) 从B点飞出，在空中做斜抛运动，由抛体运动公式有
水平方向：＝vt cos 45°，
竖直方向：v sin 45°＝gt，
解得水平射程最小值等于平台BC的最大长度L＝(1－μ)d.
例 6
(1) 物资速度达到最大时，受到轻绳的拉力大小为
F＝mg sin θ＋μmg cos θ，
根据功率的公式，则有P＝Fvm，
联立解得vm＝2 m/s.
(2) 设A、B之间的距离为L，对物资由动能定理得
Pt－mgL sin θ－μmgL cos θ＝mv，
代入数据解得L＝199.8 m.
例 7
C　设Δt时间内从喷头流出的水的质量为m＝ρSv·Δt，Δt时间内喷出的水的动能增加量W＝mv2，即喷头喷水的功率P＝＝，联立解得P＝100 W，C正确．

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