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第1讲　功和功率
学习目标　1. 能计算恒力、合力的功，能判断功的正负.2. 会分析、求解变力做功问题.3. 能分析、计算功率，会分析机车启动问题．
活动一 计算恒力的功
1 [2025盐城期末]如图所示，重为G的物体静止在倾角为α的粗糙斜面上，现使斜面及物体一起水平向右匀速直线运动一段位移．则该过程中，对物体做正功的力是(　　)
A. 重力 B. 弹力 C. 合力 D. 摩擦力
1. 力对物体所做的功(W＝Fl cos α)，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积．
2. 是否做功及做功正负的判断．
(1) 根据力与位移的方向的夹角判断．
(2) 根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功．
3. 计算功的方法．
(1) 恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算．
(2) 合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
即时训练1 [2025南通海门一中期中]春季健身节中，某校男生进行拉轮胎训练，如图所示．质量为m的轮胎在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向前匀速移动了一段距离l.已知轮胎与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则下列关于轮胎受到的各力做功说法正确的是(　　)
A. 重力做功为mgl
B. 支持力做功为mgl cos θ
C. 合力对轮胎做功为零
D. 滑动摩擦力做功为μ(mg－F sin θ)l
即时训练2 “健身弹跳球”是流行的一种健身器材．小学生在玩弹跳球时双脚站在如图所示的水平跳板上，用力向下压弹跳球后，弹跳球能和人一起跳离地面．某弹跳球安全性能指标要求反弹高度不超过15 cm，请估算该弹跳球一次反弹过程最多能对小学生做的功接近于(　　)
　
A. 0.6 J　　 B. 6 J
C. 60 J　　 D. 600 J
活动二 计算变力的功
一、 利用平均力求变力做功
当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为 ＝ 的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝l cos α求此变力所做的功．
2 [2025南通如皋检测]某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0(k、F0已知)，石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为(　　)
A. F0h0 B. kF0
C. F0h0＋kh D. (kh0＋F0)h0
二、 利用微元法求变力做功
此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
3 [2025泰州联盟校检测]如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中，空气阻力f的大小不变，则下列说法正确的是(　　)
A. 重力做功为 mgπL
B. 悬线拉力做负功
C. 空气阻力做功为－fL
D. 空气阻力做功为－fπL
三、 化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功．此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中．
4 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)
A. W1＞W2
B. W1＜W2
C. W1＝W2
D. 无法确定W1和W2的大小关系
四、 利用F-x图像求变力做功
5 [2026原创]如图甲所示，在水平地面上放置一木块，其质量m＝10 kg，木块在水平推力F作用下运动，推力F的大小随位移x变化的图像如图乙所示．已知木块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求木块运动0～5 m的过程中合力做的功W合．
甲 乙
活动三 理解与计算功率
6 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
A. 48 W，24 W　 B. 24 W，48 W
C. 24 W，12 W　 D. 12 W，24 W
1. 平均功率的计算方法．
(1) 利用 ＝.
(2) 利用 ＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2. 瞬时功率的计算方法．
(1) 利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2) 公式P＝Fv cos α，F cos α可认为是力F在速度v方向上的分力，v cos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
7 [2025南京期末]一辆汽车以不同的恒定功率在平直路面上启动，前后两次v-t图像如图所示，设汽车行驶时所受阻力恒定，则第一次与第二次汽车启动时功率之比为(　　)
A. 2∶3 B. 3∶2
C. 4∶9 D. 9∶4
1. 以恒定功率启动
(1) 过程分析
(2) 此过程的P-t图像和v-t图像
　　
2. 以恒定加速度启动
(1) 过程分析
(2) 此过程的P-t图像和v-t图像
　　
3. 三个重要关系式
(1) 无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2) 机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝(3) 机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
即时训练3 [2026南通如皋调研]一辆轿车在平直公路上由静止开始做匀加速运动，达到额定功率后保持功率不变，最终做匀速运动．轿车在行驶过程中受到的阻力恒定，关于轿车的速率v、功率P、牵引力F、合力的功率P合随时间t或速率v的变化规律正确的是(　　)
A B
C D
第1讲　功和功率
【活动一】
例 1
D　对物体受力分析，受重力G、斜面弹力N(垂直于斜面向上)、摩擦力f(沿斜面向上)，因为物体匀速，合力为0，位移水平向右，根据功的公式W＝Fs cos θ，重力G竖直向下，θ＝90°，重力不做功，A错误；斜面弹力N垂直于斜面向上，与水平位移夹角θ>90°则cos θ<0，弹力N做负功，B错误；因为物体匀速，合力为0，合力做功为0，C错误；摩擦力f沿斜面向上，与水平位移夹角θ<90°，则cos θ>0，摩擦力f做正功，D正确．
即时训练1 C　功的大小等于力与力方向上的位移的乘积，重力方向上的位移为0，所以重力做功为0，同理支持力方向竖直向上，该方向上的位移为0，支持力做功也为0，故A、B错误；轮胎匀速移动，说明动能大小不变，根据动能定理可知合外力做的总功为0，故C正确；根据对轮胎受力分析，可知地面对轮胎的支持力FN＝mg－F sin θ，滑动摩擦力f＝μFN，运动过程中，滑动摩擦力阻碍轮胎运动，则滑动摩擦力做功为Wf＝－fl＝－μ(mg－F sin θ)l，故D错误．
即时训练2 C　一名小学生的质量大约 40 kg，从地面起跳至最大高度处，重力势能增加mgh＝60 J，根据功能关系可知弹跳球一次反弹过程最多能对小学生做的功等于小学生增加的重力势能为60 J，C正确，A、B、D错误．
【活动二】
例 2
C　石头所受的阻力F与深度h的关系为线性关系，则有W＝h0＝h0＝F0h0＋kh，C正确．
例 3
D　重力做功与初末位置的高度差有关，所以重力做功为WG＝mgL，故A错误；因为悬线的拉力F始终与球的运动方向垂直，故不做功，故B错误；阻力f做功时，阻力大小不变，方向与运动方向相反，阻力f做功等于阻力与路程的乘积，阻力f做的功为Wf＝－f×＝－πfL，故C错误，D正确．
例 4
A　轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的距离，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W2，A正确．
例 5
木块运动0～5 m的过程中，滑动摩擦力对木块做负功，则木块克服摩擦力所做的功Wf＝μmgx＝20×5 J＝100 J，
Fx图线与横轴围成的面积表示F所做的功，木块运动0～5 m的过程中F对木块做正功，则有WF＝×5 J＝150 J，
则W合＝WF－Wf＝150 J－100 J＝50 J.
【活动三】
例 6
B　木块所受的合外力F合＝mg sin θ－μmg×cos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以，重力在前2 s内做的功为 W＝mgx sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率 ＝＝24 W，木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬时功率P＝mgv sin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W．故B正确．
例 7
A　当汽车达到最大速度时，牵引力与阻力相等，由功率公式P＝fv，代入数据后可知功率之比与最大速度之比相同，即P1∶P2＝2∶3，A正确．
即时训练3 C　设汽车的额定功率为P，所受恒定阻力为f，牵引力为F，匀加速结束时的速度为v1，由于汽车开始做匀加速直线运动，设其加速度为a，则根据速度与时间的关系可得v1＝at，当汽车的匀加速阶段结束，其速度还未达到最大值，此时根据P＝Fv1，结合牛顿第二定律F－f＝ma可知，速度将继续增大，而牵引力将减小，则加速度将减小，即此后汽车将做加速度逐渐减小的加速运动，直至牵引力等于阻力时，加速度减小为0，速度达到最大值vm，而速度—时间图像的斜率表示加速度，因此可知该图像第一阶段为倾斜的直线，第二阶段为斜率逐渐减小的向下弯曲的曲线，第三阶段为与时间轴平行的直线，A错误；根据P＝Fv1，而汽车在匀加速阶段有F－f＝ma，可得F＝ma＋f，而v1＝at，即在匀加速阶段有P＝Fv1＝(ma＋f)v1＝(ma＋f)at，式中(ma＋f)a为定值，则可知在汽车匀加速阶段汽车的功率与时间成正比，即此图像为过原点的一条倾斜直线，而匀加速结束后，汽车的功率达到额定值，此后功率不变，其图像与时间轴平行，B错误；由图C可知， 逐渐增大，则速度v逐渐减小，逆向观察图像，速度逐渐增大，牵引力F保持不变，轿车做匀加速直线运动，达到额定功率后有P＝Fv，化简得F＝P，该图像为过原点的直线，C正确；匀加速阶段有P合＝(F－f)v，在匀加速阶段，牵引力和阻力均不变，则P合∝v，在加速度逐渐减小的加速阶段，P合＝P－fv，图像仍然是倾斜的直线，斜率为－f，在匀速阶段，合力为0，则P合＝0，D错误．(共37张PPT)
第五章
机械能守恒定律
第1讲　功和功率
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 能计算恒力、合力的功，能判断功的正负.2. 会分析、求解变力做功问题.3. 能分析、计算功率，会分析机车启动问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　计算恒力的功
[2025盐城期末]如图所示，重为G的物体静止在倾角为α的粗糙斜面上，现使斜面及物体一起水平向右匀速直线运动一段位移．则该过程中，对物体做正功的力是(　　)
1
A. 重力 B. 弹力
C. 合力 D. 摩擦力
D
【解析】 对物体受力分析，受重力G、斜面弹力N(垂直于斜面向上)、摩擦力f(沿斜面向上)，因为物体匀速，合力为0，位移水平向右，根据功的公式W＝Fscos θ，重力G竖直向下，θ＝90°，重力不做功，A错误；斜面弹力N垂直于斜面向上，与水平位移夹角θ>90°则cos θ<0，弹力N做负功，B错误；因为物体匀速，合力为0，合力做功为0，C错误；摩擦力f沿斜面向上，与水平位移夹角θ<90°，则cos θ>0，摩擦力f做正功，D正确．
1. 力对物体所做的功(W＝Flcos α)，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积．
2. 是否做功及做功正负的判断．
(1) 根据力与位移的方向的夹角判断．
(2) 根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功．
3. 计算功的方法．
(1) 恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2) 合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
[2025南通海门一中期中]春季健身节中，某校男生进行拉轮胎训练，如图所示．质量为m的轮胎在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向前匀速移动了一段距离l.已知轮胎与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则下列关于轮胎受到的各力做功说法正确的是(　　)
1
A. 重力做功为mgl
B. 支持力做功为mglcos θ
C. 合力对轮胎做功为零
D. 滑动摩擦力做功为μ(mg－Fsin θ)l
C
【解析】 功的大小等于力与力方向上的位移的乘积，重力方向上的位移为0，所以重力做功为0，同理支持力方向竖直向上，该方向上的位移为0，支持力做功也为0，故A、B错误；轮胎匀速移动，说明动能大小不变，根据动能定理可知合外力做的总功为0，故C正确；根据对轮胎受力分析，可知地面对轮胎的支持力FN＝mg－Fsin θ，滑动摩擦力f＝μFN，运动过程中，滑动摩擦力阻碍轮胎运动，则滑动摩擦力做功为Wf＝－fl＝－μ(mg－Fsin θ)l，故D错误．
“健身弹跳球”是流行的一种健身器材．小学生在玩弹跳球时双脚站在如图所示的水平跳板上，用力向下压弹跳球后，弹跳球能和人一起跳离地面．某弹跳球安全性能指标要求反弹高度不超过15 cm，请估算该弹跳球一次反弹过程最多能对小学生做的功接近于(　　)
2
A. 0.6 J　　 B. 6 J
C. 60 J　　 D. 600 J
C
【解析】 一名小学生的质量大约 40 kg，从地面起跳至最大高度处，重力势能增加mgh＝60 J，根据功能关系可知弹跳球一次反弹过程最多能对小学生做的功等于小学生增加的重力势能为60 J，C正确，A、B、D错误.
活动二　计算变力的功
一、利用平均力求变力做功
[2025南通如皋检测]某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0(k、F0已知)，石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为(　　)
A. F0h0 B. kF0
2
C
二、利用微元法求变力做功
此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
[2025泰州联盟校检测]如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中，空气阻力f的大小不变，则下列说法正确的是(　　)
3
B. 悬线拉力做负功
C. 空气阻力做功为－fL
D
三、化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功．此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中．
如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)
4
A. W1＞W2
B. W1＜W2
C. W1＝W2
D. 无法确定W1和W2的大小关系
A
【解析】 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的距离，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W2，A正确．
四、利用F－x图像求变力做功
[2026原创]如图甲所示，在水平地面上放置一木块，其质量m＝ 10 kg，木块在水平推力F作用下运动，推力F的大小随位移x变化的图像如图乙所示．已知木块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取 10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求木块运动0～5 m的过程中合力做的功W合．
5
甲
乙
【答案】 木块运动0～5 m的过程中，滑动摩擦力对木块做负功，则木块克服摩擦力所做的功Wf＝μmgx＝20×5 J＝100 J，
则W合＝WF－Wf＝150 J－100 J＝50 J.
活动三　理解与计算功率
如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
6
A. 48 W,24 W　 B. 24 W,48 W
C. 24 W,12 W　 D. 12 W,24 W
B
1. 平均功率的计算方法．
2. 瞬时功率的计算方法．
(1) 利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2) 公式P＝Fvcos α，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
[2025南京期末]一辆汽车以不同的恒定功率在平直路面上启动，前后两次v－t图像如图所示，设汽车行驶时所受阻力恒定，则第一次与第二次汽车启动时功率之比为(　　)
7
A. 2∶3 B. 3∶2
C. 4∶9 D. 9∶4
A
【解析】 当汽车达到最大速度时，牵引力与阻力相等，由功率公式P＝fv，代入数据后可知功率之比与最大速度之比相同，即P1∶P2＝2∶3，A正确．
1. 以恒定功率启动
(1) 过程分析
(2) 此过程的P－t图像和v－t图像
2. 以恒定加速度启动
(1) 过程分析
(2) 此过程的P－t图像和v－t图像
3. 三个重要关系式
(3) 机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
[2026南通如皋调研]一辆轿车在平直公路上由静止开始做匀加速运动，达到额定功率后保持功率不变，最终做匀速运动．轿车在行驶过程中受到的阻力恒定，关于轿车的速率v、功率P、牵引力F、合力的功率P合随时间t或速率v的变化规律正确的是(　　)
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A
B
C
D
C
【解析】 设汽车的额定功率为P，所受恒定阻力为f，牵引力为F，匀加速结束时的速度为v1，由于汽车开始做匀加速直线运动，设其加速度为a，则根据速度与时间的关系可得v1＝at，当汽车的匀加速阶段结束，其速度还未达到最大值，此时根据P＝Fv1，结合牛顿第二定律F－f＝ma可知，速度将继续增大，而牵引力将减小，则加速度将减小，即此后汽车将做加速度逐渐减小的加速运动，直至牵引力等于阻力时，加速度减小为0，速度达到最大值vm，而速度—时间图像的斜率表示加速度，因此可知该图像第一阶段为倾斜的直线，第二阶段为斜率逐渐减小的向下弯曲的曲线，第三阶段为与时间轴平行的直线，A错误；根据P
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