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第3讲　机械能守恒定律
学习目标　1. 理解重力势能，理解重力做功特点及其与重力势能变化的关系.2. 定性了解弹性势能，能解决含弹性势能的综合问题.3. 理解机械能守恒定律，能求解多物体等系统的机械能守恒问题．
活动一 理解重力势能、了解弹性势能
1 如图所示，杆中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置逆时针转到竖直位置时，完成下表：
a球初始位置的重力势能 a球末位置的重力势能 a球重力势能的变化 小球a和b构成的系统的重力势能的变化
以O点所在的平面为参考平面
以杆转到竖直位置时a球所在的平面为参考平面
1. 物体重力势能的大小与参考平面的选取________(选填“有关”或“无关”)，物体在参考平面上方时，重力势能为________值，在参考平面下方时，重力势能为________值；重力势能的变化与参考平面的选取________(选填“有关”或“无关”).
2. 重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝________. (重力做功与路径无关，只与物体质量和始、末位置的高度差有关)
2 有一劲度系数为k的弹簧，当弹簧从原长伸长Δl时，弹力做功为W0，若规定弹簧处于原长时弹性势能为零，则下列叙述正确的是(　　)
A. 使弹簧从原长伸长Δl时，弹力做正功W0，弹性势能Ep<0
B. 使弹簧从原长压缩Δl时，弹力做负功W0，弹性势能Ep>0
C. 使弹簧从伸长Δl变化到缩短Δl的过程中，弹力做2W0的正功
D. 使弹簧从伸长Δl变化到缩短Δl的过程中，弹力做的总功不为零
弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp.
活动二 理解机械能守恒定律及其守恒条件
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能．
3 关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是(　　)
A. 只有重力和弹力作用时，机械能才守恒
B. 当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒
C. 当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒
D. 炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒
1. 机械能守恒定律
(1) 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
(2) 表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.
2. 机械能是否守恒的判断方法
(1) 利用机械能的定义直接判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒．
(2) 利用守恒条件判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
(3) 利用能量转化判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则机械能守恒．
4 [2025常州模拟]如图所示，长为l的不可伸长轻细线一端固定于O点，另一端连接一小球，此时细线刚好伸直且与水平方向的夹角θ＝30°.现将小球静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球运动到O点正下方时速度的大小为(　　)
A. B.
C. D.
1. 机械能守恒的三种表达式对比．
守恒角度 转化角度 转移角度
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减
物理 意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意 事项 必须选好参考平面(零势能面)，且初、末状态用同一参考平面计算势能 分清重力势能的增加量和减少量，不用选参考平面 解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题，不用选参考平面
说明：单个物体应用机械能守恒定律时从守恒角度或转化角度进行列式．
2. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤．
活动三 应用机械能守恒定律解决多种类型问题
一、 绳或杆连接的物体系统机械能守恒问题
5 [2026教材改编]如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质细线左端固定，绕过动滑轮和定滑轮，另一端悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直．两重物均从距地h高度处由静止释放，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.
(1) 若释放后重物A、B仍保持静止，求A、B的质量之比mA∶mB；
(2) 若重物A、B质量相等，求释放后A发生位移x时的速度vA.
6 如图所示，半径为R的光滑半球壳固定于水平地面上，开口平面平行于地面，O为球心，质量分别为3m、m的A、B两小球用长为R的轻质硬杆连接置于球壳内．现对A施加一个水平向左的推力F，使A、B静止在图示位置，其中OB处于竖直状态．轻杆对小球的作用力沿杆方向，重力加速度为g.
(1) 求推力的大小F；
(2) 由图示位置由静止释放两球，求撤去F瞬间B球的加速度大小a；
(3) 由图示位置由静止释放两球，求从撤去F到A球到达最低点的过程中轻杆对A做的功W.
注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(1) 速率相等情景：
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
(2) 角速度相等情景：
　　
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
②由v＝ωr知，角速度相等时v与r成正比．
(3) 某一方向分速度相等(关联速度)情景：
　　　
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
二、 弹簧连接系统的机械能守恒问题
7 [2021江苏卷]如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时相比，大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1) 装置静止时，弹簧弹力的大小F；
(2) 环A的质量M；
(3) 上述过程中装置对A、B所做的总功W.
1. 对单个物体优先用动能定理解决问题；对于含有弹簧或多物体的系统，当系统的机械能守恒时，优先用机械能守恒定律解题，列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
2. 弹性势能求解的两种情境．
(1) 通过其他能量求弹性势能．根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
(2) 对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
3. 物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
即时训练1 [2025无锡期中]如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，一铁球从弹簧的正上方h高处由静止释放．以铁球释放点为原点，竖直向下为正方向，分别用y、Ek和E表示铁球的位移、动能和机械能．不计空气阻力，弹簧在弹性限度内．关于铁球从释放到最低点的过程中，其E-y或Ek-y图像可能正确的是(　　)
A B C D
三、 面接触的物体系统机械能守恒问题
8 [2025苏州期末改编]如图所示，长为l的轻杆一端连接质量为m的小球，另一端可绕O点自由转动，杆竖直时小球靠着各表面都光滑的正方体木块，在微小扰动下细杆倒向木块，当杆与竖直方向夹角为60°时小球与木块恰好分离．忽略空气阻力，重力加速度为g.求木块的质量M.
即时训练2 如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
(1) A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2) A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3) A滑动的位移为x时的速度大小vA.
四、 “链条”类物体的机械能守恒问题
9 如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动．AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a.现自由释放链条，当链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
对应链条、绳索、液柱类连续体的机械能守恒问题，解题关键是正确找到物体的 “质心”，从而正确判断物体重力势能的变化情况或重力做功情况．
第3讲　机械能守恒定律
【活动一】
例 1
0 －2mgL －2mgL －mgL
2mgL 0 －2mgL －mgL
总结提升：1 有关　正　负　无关　2 －ΔEp
例 2
B　弹簧从原长不论伸长还是压缩，弹力均做负功，弹性势能增大，即Ep>0，故A错误，B正确．弹簧伸长Δl与压缩Δl时具有相同的弹性势能，由弹力做功与弹性势能变化的关系可知弹簧从伸长Δl到压缩Δl的过程中弹性势能的变化为零，所以弹力做的总功为零(实际上先做W0的正功，后又做了W0的负功).故C、D错误．
【活动二】
例 3
C　机械能守恒定律的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A错误；物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可能不守恒，如拉一物体匀速上升，合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，D错误；由机械能守恒定律的特点知C正确．
例 4
C　小球释放时，先向下做自由落体运动，当细线伸直时下落的距离为l，则mgl＝mv2，细线伸直后沿细线方向的速度减为零，垂直细线方向的速度为v1＝v cos 30°，以后小球做圆周运动，则当到最低点时有mv＋mgl(1－sin 30°)＝mv，解得v2＝，C正确．
【活动三】
例 5
(1) 对A，根据平衡条件有2F＝mAg，
对B，根据平衡条件有F＝mBg，
综合解得mA∶mB＝2∶1.
(2) 若重物A、B质量相等，释放后A发生位移x时B发生位移为2x，则有vB＝2vA，
由机械能守恒得mBg·2x－mAgx＝mv＋mv，
解得vA＝.
例 6
(1) OB处于竖直状态时，A、B间杆的作用力为零，A处于平衡状态，F＝3mg tan 60°，
解得F＝3mg.
(2) 释放两球瞬间，两球的加速度均沿切线方向、大小相等，设杆的弹力为F′，
对A，由牛顿第二定律有3mg cos 30°－F′cos 30°＝3ma，
对B，由牛顿第二定律有F′cos 30°＝ma，
解得a＝g.
(3) 由系统的机械能守恒有
3mgR sin 30°－mgR sin 30°＝(3m＋m)v2，
对A，由动能定理有3mgR sin 30°＋W＝×3mv2，
解得W＝－mgR.
例 7
(1) 设AB、OB的张力分别为F1、F2，
A受力平衡，F＝F1sin 37°，
B受力平衡，F1cos 37°＋F2cos 37°＝mg，
F1sin 37°＝F2sin 37°，
解得F＝.
(2) 设装置转动的角速度为ω，
对A有F＝Mω2·L，
对B有mg tan 53°＝mω2·L，
解得M＝m.
(3) B上升的高度h＝L，A、B的动能分别为
EkA＝M(ω×L)2，EkB＝m(ω×L)2，
根据能量守恒定律可知W＝(EkA－0)＋(EkB－0)＋mgh，
解得W＝mgL.
即时训练1 C　接触弹簧之前，铁球的动能等于减少的重力势能，即Ek＝mgh，接触弹簧后，重力势能转化为铁球的动能和弹簧的弹性势能，当重力等于弹力时，动能达到最大值，而后动能才逐渐减小，故C正确，D错误；接触弹簧之前，铁球的机械能守恒，之后，由于弹簧弹力做负功，铁球的机械能减少，且减少得越来越快，斜率变大，故A、B错误．
例 8
小球与木块分离时，木块加速度为零，则小球在水平方向上的加速度也为零，杆对小球的作用力也为零，设此时小球速度大小为v2，木块速度大小为vM，当杆与竖直方向夹角为60°时小球与木块恰好分离时，由牛顿第二定律得
mg cos 60°＝m，
由机械能守恒定律得mgl(1－cos 60°)＝mv＋Mv，
关联速度关系vM＝v2cos 60°，
联立解得M＝4m.
即时训练2 (1) 支持力的大小N＝mg cos α.
(2) 根据几何关系有sx＝x·(1－cos α)，sy＝x·sin α，
且s＝，
解得s＝·x.
(3) B的下降高度sy＝x·sin α，
根据机械能守恒定律有mgsy＝mv＋mv，
根据速度的定义得vA＝，vB＝，
则vB＝·vA，
解得vA＝.
例 9
设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由DB 段使链条下滑L－a长度引起的，如图所示，
该部分高度减少量h＝(a＋)sin α＝sin α，
该部分的质量为m′＝(L－a)，
由机械能守恒定律可得m′gh＝mv2，
解得v＝ .(共45张PPT)
第五章
机械能守恒定律
第3讲　机械能守恒定律
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 理解重力势能，理解重力做功特点及其与重力势能变化的关系.2. 定性了解弹性势能，能解决含弹性势能的综合问题.3. 理解机械能守恒定律，能求解多物体等系统的机械能守恒问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　理解重力势能、了解弹性势能
如图所示，杆中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置逆时针转到竖直位置时，完成下表：
1
a球初始位置的重力势能 a球末位置的重力势能 a球重力势能的变化 小球a和b构成的系统的重力势能的变化
以O点所在的平面为参考平面 __ _________ _________ _______
以杆转到竖直位置时a球所在的平面为参考平面 _______ __ _________ _______
0
－2mgL
－2mgL
－mgL
2mgL
0
－2mgL
－mgL
1. 物体重力势能的大小与参考平面的选取________(选填“有关”或“无关”)，物体在参考平面上方时，重力势能为______值，在参考平面下方时，重力势能为______值；重力势能的变化与参考平面的选取________(选填“有关”或“无关”)．
2. 重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝________. (重力做功与路径无关，只与物体质量和始、末位置的高度差有关)
有关
正
负
无关
－ΔEp
有一劲度系数为k的弹簧，当弹簧从原长伸长Δl时，弹力做功为W0，若规定弹簧处于原长时弹性势能为零，则下列叙述正确的是(　　)
A. 使弹簧从原长伸长Δl时，弹力做正功W0，弹性势能Ep<0
B. 使弹簧从原长压缩Δl时，弹力做负功W0，弹性势能Ep>0
C. 使弹簧从伸长Δl变化到缩短Δl的过程中，弹力做2W0的正功
D. 使弹簧从伸长Δl变化到缩短Δl的过程中，弹力做的总功不为零
2
B
【解析】 弹簧从原长不论伸长还是压缩，弹力均做负功，弹性势能增大，即Ep>0，故A错误，B正确．弹簧伸长Δl与压缩Δl时具有相同的弹性势能，由弹力做功与弹性势能变化的关系可知弹簧从伸长Δl到压缩Δl的过程中弹性势能的变化为零，所以弹力做的总功为零(实际上先做W0的正功，后又做了W0的负功)．故C、D错误．
弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp.
活动二　理解机械能守恒定律及其守恒条件
关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是(　　)
A. 只有重力和弹力作用时，机械能才守恒
B. 当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒
C. 当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒
D. 炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒
3
C
【解析】 机械能守恒定律的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A错误；物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可能不守恒，如拉一物体匀速上升，合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，D错误；由机械能守恒定律的特点知C正确．
1. 机械能守恒定律
(1) 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2. 机械能是否守恒的判断方法
(1) 利用机械能的定义直接判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒．
(2) 利用守恒条件判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
(3) 利用能量转化判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则机械能守恒．
[2025常州模拟]如图所示，长为l的不可伸长轻细线一端固定于O点，另一端连接一小球，此时细线刚好伸直且与水平方向的夹角θ＝30°.现将小球静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球运动到O点正下方时速度的大小为(　　)
4
C
1. 机械能守恒的三种表达式对比．
守恒角度 转化角度 转移角度
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB减
物理 意义 系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
说明：单个物体应用机械能守恒定律时从守恒角度或转化角度进行列式．
守恒角度 转化角度 转移角度
注意 事项 必须选好参考平面(零势能面)，且初、末状态用同一参考平面计算势能 分清重力势能的增加量和减少量，不用选参考平面 解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题，不用选参考平面
2. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤．
活动三　应用机械能守恒定律解决多种类型问题
一、绳或杆连接的物体系统机械能守恒问题
[2026教材改编]如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质细线左端固定，绕过动滑轮和定滑轮，另一端悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直．两重物均从距地h高度处由静止释放，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.
5
(1) 若释放后重物A、B仍保持静止，求A、B的质量之比mA∶mB；
(2) 若重物A、B质量相等，求释放后A发生位移x时的速度vA.
【答案】 (1) 对A，根据平衡条件有2F＝mAg，
对B，根据平衡条件有F＝mBg，
综合解得mA∶mB＝2∶1.
(2) 若重物A、B质量相等，释放后A发生位移x时B发生位移为2x，则有vB＝2vA，
如图所示，半径为R的光滑半球壳固定于水平地面上，开口平面平行于地面，O为球心，质量分别为3m、m的A、B两小球用长为R的轻质硬杆连接置于球壳内．现对A施加一个水平向左的推力F，使A、B静止在图示位置，其中OB处于竖直状态．轻杆对小球的作用力沿杆方向，重力加速度为g.
(1) 求推力的大小F；
(2) 由图示位置由静止释放两球，求撤去F瞬间B球的加速度大小a；
(3) 由图示位置由静止释放两球，求从撤去F到A球到达最低点的过程中轻杆对A做的功W.
6
【答案】 (1) OB处于竖直状态时，A、B间杆的作用力为零，A处于平衡状态，F＝3mgtan 60°，
(2) 释放两球瞬间，两球的加速度均沿切线方向、大小相等，设杆的弹力为F′，
对A，由牛顿第二定律有3mgcos 30°－F′cos 30°＝3ma，
对B，由牛顿第二定律有F′cos 30°＝ma，
(3) 由系统的机械能守恒有
注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
(1) 速率相等情景：
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化．
(2) 角速度相等情景：
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
②由v＝ωr知，角速度相等时v与r成正比．
(3) 某一方向分速度相等(关联速度)情景：
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等．
二、弹簧连接系统的机械能守恒问题
[2021江苏卷]如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时相比，大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
7
(1) 装置静止时，弹簧弹力的大小F；
(2) 环A的质量M；
(3) 上述过程中装置对A、B所做的总功W.
【答案】 (1) 设AB、OB的张力分别为F1、F2，
A受力平衡，F＝F1sin 37°，
B受力平衡，F1cos 37°＋F2cos 37°＝mg，
F1sin 37°＝F2sin 37°，
(2) 设装置转动的角速度为ω，
根据能量守恒定律可知W＝(EkA－0)＋(EkB－0)＋mgh，
1. 对单个物体优先用动能定理解决问题；对于含有弹簧或多物体的系统，当系统的机械能守恒时，优先用机械能守恒定律解题，列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
2. 弹性势能求解的两种情境．
(1) 通过其他能量求弹性势能．根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
(2) 对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
3. 物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
[2025无锡期中]如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，一铁球从弹簧的正上方h高处由静止释放．以铁球释放点为原点，竖直向下为正方向，分别用y、Ek和E表示铁球的位移、动能和机械能．不计空气阻力，弹簧在弹性限度内．关于铁球从释放到最低点的过程中，其E－y或Ek－y图像可能正确的是(　　)
1
A
B
C
D
C
【解析】 接触弹簧之前，铁球的动能等于减少的重力势能，即Ek＝mgh，接触弹簧后，重力势能转化为铁球的动能和弹簧的弹性势能，当重力等于弹力时，动能达到最大值，而后动能才逐渐减小，故C正确，D错误；接触弹簧之前，铁球的机械能守恒，之后，由于弹簧弹力做负功，铁球的机械能减少，且减少得越来越快，斜率变大，故A、B错误．
三、面接触的物体系统机械能守恒问题
[2025苏州期末改编]如图所示，长为l的轻杆一端连接质量为m的小球，另一端可绕O点自由转动，杆竖直时小球靠着各表面都光滑的正方体木块，在微小扰动下细杆倒向木块，当杆与竖直方向夹角为60°时小球与木块恰好分离．忽略空气阻力，重力加速度为g.求木块的质量M.
8
【答案】 小球与木块分离时，木块加速度为零，则小球在水平方向上的加速度也为零，杆对小球的作用力也为零，设此时小球速度大小为v2，木块速度大小为vM，当杆与竖直方向夹角为60°时小球与木块恰好分离时，由牛顿第二定律得
关联速度关系vM＝v2cos 60°，
联立解得M＝4m.
如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
(1) A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2) A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3) A滑动的位移为x时的速度大小vA.
2
【答案】 (1) 支持力的大小N＝mgcos α.
(2) 根据几何关系有sx＝x·(1－cos α)，sy＝x·sin α，
(3) B的下降高度sy＝x·sin α，
四、“链条”类物体的机械能守恒问题
如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动．AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a.现自由释放链条，当链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
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【答案】 设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由DB 段使链条下滑L－a长度引起的，如图所示，
对应链条、绳索、液柱类连续体的机械能守恒问题，解题关键是正确找到物体的 “质心”，从而正确判断物体重力势能的变化情况或重力做功情况．
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