资源简介

贵州省安顺市2024—2025学年下学期期末质量监测考试八年级数学
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，3，3，4，5，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
4．如图，在中，若 ，则 等于（　　）
A．34° B．56° C．124° D．146°
5．一次函数的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
6．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（　　）.
A．90 B．93 C．86 D．88
8．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．距离不确定
9．已知，若y是x的正比例函数，则k的值为（　　）
A．1 B． C． D．0
10．如图是王同学一不小心将等腰直角三角板（，）掉到了弟弟的积木玩具中，他发现刚好卡在了10块高度都是，整齐排成两列的相同长方体小木块中，顶点C在地面上，点A和B分别与积木的顶端重合，则等腰直角三角板直角边的长度是（　　）．
A． B． C． D．无法确定
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别为，，P是线段上一点（点P与点A，B不重合），于点E，于点F，则的最小值为（　　）．
A． B． C． D．
12．如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
14．与直线平行的直线可以是　 　（写出一个即可）．
15．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是　 　．
16．如图，在中，，，是边上一动点，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．为了激发同学们对“人工智能”学习的兴趣，某中学开展了“人工智能知识比赛”，为了解学生“人工智能”的学习情况，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息．
八年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99．
九年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，92，94．
八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 92 92
九年级 92 100
九年级抽取的学生比赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_____，_____，_____．
（2）该校八年级有604名学生、九年级有600名学生参加了此次“人工智能比赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少．
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生“人工智能”知识掌握得较好？请说明理由．（一条理由即可）
19．如图，在矩形中，，为边上的点，为边上的点，与交于点．现给出三个关系：①；②；③．
（1）从三个关系中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题．
（2）选择其中的一个真命题进行证明．
20．如图，直线经过点，，直线与直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式和点的坐标．
（2）求的面积．
（3）观察图象，直接写出关于的不等式的解集．
21．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高）
22．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少10元，用800元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）求五子棋和象棋的单价．
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共40副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的2倍．如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少？
23．阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．
任务：
（1）填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______．
（2）请将小明的证明过程补充完整．
（3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
24．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与．
化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法．
例如：；
．
（1）直接写出的有理化因式：_____．
（2）请仿照上面的方法化简（且）．
（3）已知，，求的值．
25．图1是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，后人称之为赵爽弦图．该图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成的大正方形．赵爽弦图在世界数学史上具有重要的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义．
【经典解读】
（1）如图1，若直角三角形的直角边，斜边，则小正方形的面积为_____；连接，则的面积为_____．
【经典迁移】
（2）如图2，是正方形内的一点，连接，，．当，时，求的面积．
【经典拓展】
（3）如图3，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，、为线段上一个动点，连接，过点作于点．在上取一点，使，过点作，交于点．试判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是最简二次根式；该选项不符合题意；
B、不能再化简，∴是最简二次根式；该选项符合题意；
C、∵，∴不是最简二次根式；该选项不符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式；该选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义并结合各选项即可判断求解。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵ ，∴此三角形是直角三角形；
B、∵ ，∴此三角形不是直角三角形；
C、∵ ，∴此三角形不是直角三角形；
D、∵ ，∴此三角形不是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理解答.
3．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】 【解答】解：将数据从小到大排列为：3，3，3，4，5．共有5个数据，中位数为第3个数．观察排列后的数据，第3个数为3，因此中位数为3，
故答案为：A．
【分析】本题考查求中位数 ，由中位数的定义知：把一组数据按大小顺序排列，最中间的一个或最中间的两个数据的平均数是中位数．本题5个数据已按大小顺序排列，最中间的数据是3，因此这组数据的中位数 是3．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质：邻角互补．在中，与互补，即，代入即可求出．
5．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：一次函数的一次项系数为1，常数项为2．
∵一次项系数1＞0，
∴函数一定过一、三象限，
∵常数项2＞0，
∴函数与y轴正半轴相交，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：A．
【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一次函数的图象经过的象限是由和的值共同决定的：一次函数的一次项系数，则函数一定过一、三象限，常数项，则一定与y轴正半轴相交，故可得函数图象经过 第一、二、三象限．
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，错误；
B、，错误；
C.，正确；
D.，错误，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查二次根折的加法，乘除法以及二次根式的性质，根据二次根式加法法则可判断选项A错误，运用乘法法则和除法法则对选项B、C进行计算，运用二次根式的性质可化简选项D，从而可得出正确答案．
7．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明这学期的体育成绩总分是（分）．
故答案为：D．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是斜边的中线，，
∴，
∴M，C两点间的距离为，
故答案为：B．
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质：斜边上的中线等于斜边的一半． 根据公路，互相垂直 知，可判断是直角三角形，是斜边，再由直角三角形斜边中线的性质得到．
9．【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵y=（k-1）x+k2-1，y是x的正比例函数，∴k2-1=0，且k-1≠0，
解得：k=-1．
故选：B．
【分析】利用正比例函数的定义（我们把形如y=kx，且k≠0的解析式称为正比例函数）可得：k2-1=0，且k-1≠0，再分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得CD=BE，再利用勾股定理求出AC的长即可.
11．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当取得最小值时，的值最小，
∵是线段上一点，且点与点不重合，
∴当时，取得最小值，
∴此时有，
∴，
∴最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接，根据菱形的性质得，从而利用勾股定理计算出的值，然后证明四边形是矩形，得到，根据垂线段最短可知当时，取得最小值，此时的值最小，最后利用面积法求出的值即可.
12．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故答案为：D．
【分析】结合圆的半径不变的特征，再结合机器人运动的轨迹分析并结合函数图形求解即可.
13．【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 在实数范围内有意义，
故x﹣3≠0，
解得：x≠3.
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式有意义的条件可得x-3≠0，求解即可.
14．【答案】y=-2x+5（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．
故答案为：y=2x+1．（提示：满足的形式，且）
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题．在平面直角坐标系中，直线线，（，且k，b为常数），两条直线平行的条件是k相同，b不相等，在本题中只要得出与k相同，b不相等的数即可．
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，AC⊥BD，
在中，，
∴菱形ABCD的周长为．
故答案为：．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，，，在中由勾股定理得，最后由菱形的四条边相等可求出菱形的周长为．
16．【答案】
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵绕着点顺时针旋转得到，
∴；
∵，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即点E在射线上运动；
如图，作点C关于射线的对称点G，连接，
∴，
∴，
当点E在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；
过点A作于H，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质等知识．由旋转的性质可得出，可得出；在与中运用可证明，得，进而得，即点E在射线上运动；作点C关于射线的对称点G，当、、三点共线时，的值最小，最小值为R的长，过点A作于H，利用勾股定理可求得，从而求得最小值．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减和实数的混合运算，正确运用二次根式的加减法运算法则和零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键．
（1）先化简，，再合并同类二次根式即可；
（2）原式先计算、，，，再算加减即可．
（1）
；
（2）
．
18．【答案】（1）93，99，40
（2）解：（人），
答：估计参加本次比赛成绩不低于90分的学生约为722人．
（3）解：九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好，
理由如下：从平均数看，两个年级的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，
所以九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解盘】（1）解：九年级10名学生C组人数所占比例为，
所以D组人数所占比例为，即，
八年级成绩中99分出现次数最多，故众数，
九年级学生成绩组人数为（人），组人数为（人），组人数为3人，
所以，九年级学生成绩第5、6个数据分别为92，94，所以其中位数，
故答案为：93，99，40；
【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
（1）先根据题意得九年级10名学生C组人数为3人，再求出所占比例为，根据百分比之和为1可得c的值，再求出、的人数，根据中位数的定义可求出的值；根据众数的定义可求出 八年级10名学生的比赛成绩 的众数；
（2）用八年级的学生数乘以样本中 比赛成绩不低于90分的学生人数 的占比得八年级 参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数 ，同法可求九年级 参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数 ，两数相加即可；
（3）从平均数、中位数和众数等角度进行对比得出九年级的成绩较好．
（1）解：九年级10名学生C组人数所占比例为，
所以D组人数所占比例为，即，
八年级成绩中99分出现次数最多，故众数，
九年级学生成绩第5、6个数据分别为92，94，所以其中位数，
故答案为：93，99，40；
（2）解：（人），
答：估计参加本次比赛成绩不低于90分的学生约为722人．
（3）解：九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，
所以九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好．
19．【答案】（1）解：选①②作为条件，③作为结论：若，时，则，为真命题；
选①③作为条件，②作为结论：若，时，则，为真命题；
选②③作为条件，①作为结论：若，时，则，为真命题；
（2）证明：①若，时，则，
在矩形中，，
在和中，
，
，
，
在中，，则，
即，
；
②若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
；
③若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】本题考查命题，矩形性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握命题定义、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）先明确 矩形 的性质，再结合所给的三个关系，由全等三角形的判定方法可以选①②作为条件，③作为结论；选①③作为条件，②作为结论；选②③作为条件，①作为结论；
（2）选①②作为条件，③作为结论可以运用证明得，在中可证明；选①③作为条件，②作为结论：先证明，再根据证明，可得；选②③作为条件，①作为结论：先证明，再根据证明，可得．
（1）解：选①②作为条件，③作为结论：若，时，则，为真命题；
选①③作为条件，②作为结论：若，时，则，为真命题；
选②③作为条件，①作为结论：若，时，则，为真命题；
（2）证明：①若，时，则，
在矩形中，，
在和中，
，
，
，
在中，，则，
即，
；
②若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
；
③若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
．
20．【答案】（1）解：直线经过点，，
，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
点的坐标为
∵直线
当时，
解得
∴
∴
∴的面积；
（3）解：由图象可知，点右边直线在的上面，
不等式的解集为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，求三角形面积．
（1）把 点， 代入 直线 ，得方程组解方程组得，从而得直线的解析式为；
（2）联立方程组解方程组得，可得点的坐标，再由直线可求与轴的交点，求出，再运用三角形面积公式可求出的面积．
（3）根据图象，找出点的坐票，再确定右边的部分的的取值范围即可．
（1）解：直线经过点，，
，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
点的坐标为
∵直线
当时，
解得
∴
∴
∴的面积；
（3）解：由图象可知，
点右边直线在的上面，
不等式的解集为．
21．【答案】解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用， 由题意可知得出和 都是直角三角形，在中，运用勾股定理可求出，在中可求出 ，根据可求出．
22．【答案】（1）解：设象棋的单价为元，则五子棋的单价为元，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
∴（元），
∴五子棋的单价为元，象棋的单价为元；
（2）解：设购买象棋副，则购买五子棋副，
∴，
解得，，
设总费用为元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，且是正整数，
∴当为最小的正整数时，的费用最低，
∴当时，，
∴，
∴购买象棋副，购买五子棋副时费用最低，最低费用为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
（1）设象棋的单价为元，则五子棋的单价为元， 根据用800元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，可以列出相应的分式方程，然后求解即可；
（2）设购买象棋副，则购买五子棋副，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设购买费用为W元，写出W关于x函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值及此时的值即可．
（1）解：设象棋的单价为元，则五子棋的单价为元，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
∴（元），
∴五子棋的单价为元，象棋的单价为元；
（2）解：设购买象棋副，则购买五子棋副，
∴，
解得，，
设总费用为元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，且是正整数，
∴当为最小的正整数时，的费用最低，
∴当时，，
∴，
∴购买象棋副，购买五子棋副时费用最低，最低费用为元．
23．【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
（2）证明：，，
，
，
（3）解：如图，
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分
【分析】（1）由平行四边形的判断方法可知：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；根据平行四边形的的性质可知：平行四边形的对角线互相平分；
（2）根据题意补充完整，证明即可；
（3）方法一：利用垂直平分线的尺规作图得到的中点；方法二：延长到点，使得，然后作的中位线即可.
（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
平行四边形的对角线互相平分
（2），，
，
，
（3）
24．【答案】（1）
（2）解：
．
（3）解：，
，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：；
【分析】 本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
（1）根据平方差公式可以得到的有理化因式为；
（2）先根据平方差公式确定分母的有理化因式为，分子、分母同乘以，计算后可得结果；
（3）先计算，分别求出，然后把变形为
，最后整体代入计算即可得到结果．
（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：，
，
．
25．【答案】（1）9，18
（2）解：如图②，过点A作，交的延长线于点Q．
∵四边形是正方形，
，．
，
，
．
，
，
，
，
．
（3）解：．理由如下：
如图③，过点G作于点H．
，，
，
四边形是矩形，
，．
，
．
，，
，
．
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：如图①，连接，
∵，，，
∴，
∵图①中的四个直角三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：9，18．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键．
(1)在中由勾股定理可求出，根据图中4个 直角三角形 是全等三角形可得出，计算得，从而可计算出 小正方形的面积为，的面积为；
（2）过点A作，交的延长线于点Q，推出，根据证明，得到，再以为底，为高计算出的面积即可．
（3）过点G作于点H．得出四边形是矩形，则，，而，于是得；再根据证明，由全等三角形的性质可得，进一步可求解．
1 / 1贵州省安顺市2024—2025学年下学期期末质量监测考试八年级数学
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是最简二次根式；该选项不符合题意；
B、不能再化简，∴是最简二次根式；该选项符合题意；
C、∵，∴不是最简二次根式；该选项不符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式；该选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义并结合各选项即可判断求解。
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵ ，∴此三角形是直角三角形；
B、∵ ，∴此三角形不是直角三角形；
C、∵ ，∴此三角形不是直角三角形；
D、∵ ，∴此三角形不是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理解答.
3．《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，3，3，4，5，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】 【解答】解：将数据从小到大排列为：3，3，3，4，5．共有5个数据，中位数为第3个数．观察排列后的数据，第3个数为3，因此中位数为3，
故答案为：A．
【分析】本题考查求中位数 ，由中位数的定义知：把一组数据按大小顺序排列，最中间的一个或最中间的两个数据的平均数是中位数．本题5个数据已按大小顺序排列，最中间的数据是3，因此这组数据的中位数 是3．
4．如图，在中，若 ，则 等于（　　）
A．34° B．56° C．124° D．146°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质：邻角互补．在中，与互补，即，代入即可求出．
5．一次函数的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：一次函数的一次项系数为1，常数项为2．
∵一次项系数1＞0，
∴函数一定过一、三象限，
∵常数项2＞0，
∴函数与y轴正半轴相交，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：A．
【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一次函数的图象经过的象限是由和的值共同决定的：一次函数的一次项系数，则函数一定过一、三象限，常数项，则一定与y轴正半轴相交，故可得函数图象经过 第一、二、三象限．
6．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，错误；
B、，错误；
C.，正确；
D.，错误，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查二次根折的加法，乘除法以及二次根式的性质，根据二次根式加法法则可判断选项A错误，运用乘法法则和除法法则对选项B、C进行计算，运用二次根式的性质可化简选项D，从而可得出正确答案．
7．为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（　　）.
A．90 B．93 C．86 D．88
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明这学期的体育成绩总分是（分）．
故答案为：D．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
8．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．距离不确定
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是斜边的中线，，
∴，
∴M，C两点间的距离为，
故答案为：B．
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质：斜边上的中线等于斜边的一半． 根据公路，互相垂直 知，可判断是直角三角形，是斜边，再由直角三角形斜边中线的性质得到．
9．已知，若y是x的正比例函数，则k的值为（　　）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵y=（k-1）x+k2-1，y是x的正比例函数，∴k2-1=0，且k-1≠0，
解得：k=-1．
故选：B．
【分析】利用正比例函数的定义（我们把形如y=kx，且k≠0的解析式称为正比例函数）可得：k2-1=0，且k-1≠0，再分析求解即可.
10．如图是王同学一不小心将等腰直角三角板（，）掉到了弟弟的积木玩具中，他发现刚好卡在了10块高度都是，整齐排成两列的相同长方体小木块中，顶点C在地面上，点A和B分别与积木的顶端重合，则等腰直角三角板直角边的长度是（　　）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得CD=BE，再利用勾股定理求出AC的长即可.
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别为，，P是线段上一点（点P与点A，B不重合），于点E，于点F，则的最小值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当取得最小值时，的值最小，
∵是线段上一点，且点与点不重合，
∴当时，取得最小值，
∴此时有，
∴，
∴最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接，根据菱形的性质得，从而利用勾股定理计算出的值，然后证明四边形是矩形，得到，根据垂线段最短可知当时，取得最小值，此时的值最小，最后利用面积法求出的值即可.
12．如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故答案为：D．
【分析】结合圆的半径不变的特征，再结合机器人运动的轨迹分析并结合函数图形求解即可.
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 在实数范围内有意义，
故x﹣3≠0，
解得：x≠3.
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式有意义的条件可得x-3≠0，求解即可.
14．与直线平行的直线可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】y=-2x+5（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．
故答案为：y=2x+1．（提示：满足的形式，且）
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题．在平面直角坐标系中，直线线，（，且k，b为常数），两条直线平行的条件是k相同，b不相等，在本题中只要得出与k相同，b不相等的数即可．
15．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，AC⊥BD，
在中，，
∴菱形ABCD的周长为．
故答案为：．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，，，在中由勾股定理得，最后由菱形的四条边相等可求出菱形的周长为．
16．如图，在中，，，是边上一动点，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵绕着点顺时针旋转得到，
∴；
∵，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即点E在射线上运动；
如图，作点C关于射线的对称点G，连接，
∴，
∴，
当点E在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；
过点A作于H，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质等知识．由旋转的性质可得出，可得出；在与中运用可证明，得，进而得，即点E在射线上运动；作点C关于射线的对称点G，当、、三点共线时，的值最小，最小值为R的长，过点A作于H，利用勾股定理可求得，从而求得最小值．
三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减和实数的混合运算，正确运用二次根式的加减法运算法则和零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键．
（1）先化简，，再合并同类二次根式即可；
（2）原式先计算、，，，再算加减即可．
（1）
；
（2）
．
18．为了激发同学们对“人工智能”学习的兴趣，某中学开展了“人工智能知识比赛”，为了解学生“人工智能”的学习情况，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息．
八年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99．
九年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，92，94．
八、九年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 92 92
九年级 92 100
九年级抽取的学生比赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_____，_____，_____．
（2）该校八年级有604名学生、九年级有600名学生参加了此次“人工智能比赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少．
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生“人工智能”知识掌握得较好？请说明理由．（一条理由即可）
【答案】（1）93，99，40
（2）解：（人），
答：估计参加本次比赛成绩不低于90分的学生约为722人．
（3）解：九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好，
理由如下：从平均数看，两个年级的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，
所以九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解盘】（1）解：九年级10名学生C组人数所占比例为，
所以D组人数所占比例为，即，
八年级成绩中99分出现次数最多，故众数，
九年级学生成绩组人数为（人），组人数为（人），组人数为3人，
所以，九年级学生成绩第5、6个数据分别为92，94，所以其中位数，
故答案为：93，99，40；
【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
（1）先根据题意得九年级10名学生C组人数为3人，再求出所占比例为，根据百分比之和为1可得c的值，再求出、的人数，根据中位数的定义可求出的值；根据众数的定义可求出 八年级10名学生的比赛成绩 的众数；
（2）用八年级的学生数乘以样本中 比赛成绩不低于90分的学生人数 的占比得八年级 参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数 ，同法可求九年级 参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数 ，两数相加即可；
（3）从平均数、中位数和众数等角度进行对比得出九年级的成绩较好．
（1）解：九年级10名学生C组人数所占比例为，
所以D组人数所占比例为，即，
八年级成绩中99分出现次数最多，故众数，
九年级学生成绩第5、6个数据分别为92，94，所以其中位数，
故答案为：93，99，40；
（2）解：（人），
答：估计参加本次比赛成绩不低于90分的学生约为722人．
（3）解：九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，
所以九年级学生的“人工智能”知识掌握得较好．
19．如图，在矩形中，，为边上的点，为边上的点，与交于点．现给出三个关系：①；②；③．
（1）从三个关系中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题．
（2）选择其中的一个真命题进行证明．
【答案】（1）解：选①②作为条件，③作为结论：若，时，则，为真命题；
选①③作为条件，②作为结论：若，时，则，为真命题；
选②③作为条件，①作为结论：若，时，则，为真命题；
（2）证明：①若，时，则，
在矩形中，，
在和中，
，
，
，
在中，，则，
即，
；
②若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
；
③若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】本题考查命题，矩形性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握命题定义、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）先明确 矩形 的性质，再结合所给的三个关系，由全等三角形的判定方法可以选①②作为条件，③作为结论；选①③作为条件，②作为结论；选②③作为条件，①作为结论；
（2）选①②作为条件，③作为结论可以运用证明得，在中可证明；选①③作为条件，②作为结论：先证明，再根据证明，可得；选②③作为条件，①作为结论：先证明，再根据证明，可得．
（1）解：选①②作为条件，③作为结论：若，时，则，为真命题；
选①③作为条件，②作为结论：若，时，则，为真命题；
选②③作为条件，①作为结论：若，时，则，为真命题；
（2）证明：①若，时，则，
在矩形中，，
在和中，
，
，
，
在中，，则，
即，
；
②若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
；
③若，时，则，
在矩形中，，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
．
20．如图，直线经过点，，直线与直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式和点的坐标．
（2）求的面积．
（3）观察图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线经过点，，
，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
点的坐标为
∵直线
当时，
解得
∴
∴
∴的面积；
（3）解：由图象可知，点右边直线在的上面，
不等式的解集为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，求三角形面积．
（1）把 点， 代入 直线 ，得方程组解方程组得，从而得直线的解析式为；
（2）联立方程组解方程组得，可得点的坐标，再由直线可求与轴的交点，求出，再运用三角形面积公式可求出的面积．
（3）根据图象，找出点的坐票，再确定右边的部分的的取值范围即可．
（1）解：直线经过点，，
，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：直线与直线相交于点，
，
解得，
点的坐标为
∵直线
当时，
解得
∴
∴
∴的面积；
（3）解：由图象可知，
点右边直线在的上面，
不等式的解集为．
21．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高）
【答案】解：在中，，，，
，
在中，，，，
，
．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用， 由题意可知得出和 都是直角三角形，在中，运用勾股定理可求出，在中可求出 ，根据可求出．
22．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少10元，用800元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）求五子棋和象棋的单价．
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共40副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的2倍．如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设象棋的单价为元，则五子棋的单价为元，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
∴（元），
∴五子棋的单价为元，象棋的单价为元；
（2）解：设购买象棋副，则购买五子棋副，
∴，
解得，，
设总费用为元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，且是正整数，
∴当为最小的正整数时，的费用最低，
∴当时，，
∴，
∴购买象棋副，购买五子棋副时费用最低，最低费用为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
（1）设象棋的单价为元，则五子棋的单价为元， 根据用800元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等，可以列出相应的分式方程，然后求解即可；
（2）设购买象棋副，则购买五子棋副，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设购买费用为W元，写出W关于x函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值及此时的值即可．
（1）解：设象棋的单价为元，则五子棋的单价为元，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
∴（元），
∴五子棋的单价为元，象棋的单价为元；
（2）解：设购买象棋副，则购买五子棋副，
∴，
解得，，
设总费用为元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，且是正整数，
∴当为最小的正整数时，的费用最低，
∴当时，，
∴，
∴购买象棋副，购买五子棋副时费用最低，最低费用为元．
23．阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．
任务：
（1）填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______．
（2）请将小明的证明过程补充完整．
（3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
（2）证明：，，
，
，
（3）解：如图，
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分
【分析】（1）由平行四边形的判断方法可知：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；根据平行四边形的的性质可知：平行四边形的对角线互相平分；
（2）根据题意补充完整，证明即可；
（3）方法一：利用垂直平分线的尺规作图得到的中点；方法二：延长到点，使得，然后作的中位线即可.
（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
平行四边形的对角线互相平分
（2），，
，
，
（3）
24．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与．
化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法．
例如：；
．
（1）直接写出的有理化因式：_____．
（2）请仿照上面的方法化简（且）．
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：
．
（3）解：，
，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：；
【分析】 本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
（1）根据平方差公式可以得到的有理化因式为；
（2）先根据平方差公式确定分母的有理化因式为，分子、分母同乘以，计算后可得结果；
（3）先计算，分别求出，然后把变形为
，最后整体代入计算即可得到结果．
（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：，
，
．
25．图1是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，后人称之为赵爽弦图．该图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成的大正方形．赵爽弦图在世界数学史上具有重要的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义．
【经典解读】
（1）如图1，若直角三角形的直角边，斜边，则小正方形的面积为_____；连接，则的面积为_____．
【经典迁移】
（2）如图2，是正方形内的一点，连接，，．当，时，求的面积．
【经典拓展】
（3）如图3，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，、为线段上一个动点，连接，过点作于点．在上取一点，使，过点作，交于点．试判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）9，18
（2）解：如图②，过点A作，交的延长线于点Q．
∵四边形是正方形，
，．
，
，
．
，
，
，
，
．
（3）解：．理由如下：
如图③，过点G作于点H．
，，
，
四边形是矩形，
，．
，
．
，，
，
．
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：如图①，连接，
∵，，，
∴，
∵图①中的四个直角三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：9，18．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键．
(1)在中由勾股定理可求出，根据图中4个 直角三角形 是全等三角形可得出，计算得，从而可计算出 小正方形的面积为，的面积为；
（2）过点A作，交的延长线于点Q，推出，根据证明，得到，再以为底，为高计算出的面积即可．
（3）过点G作于点H．得出四边形是矩形，则，，而，于是得；再根据证明，由全等三角形的性质可得，进一步可求解．
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