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广西壮族自治区防城港市防城区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．分别以为边长作一个三角形，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．小智、小慧和小李在某次体能训练的四个项目测试中，他们的个人成绩的平均数都相同，方差为，，，则该次体能训练成绩较稳定的是（　　）
A．小智 B．小慧 C．小李 D．无法比较
6．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
7．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．下列函数的图象与的图象平行的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知点，都在正比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图是某饰品店甲，乙，丙，丁四种饰品出售情况的扇形统计图，若想销量更大，获利更多，该店进货时，应多进的饰品是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．使代数式 有意义的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞3且x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x＞3
12．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（　　）
A．24 B．12 C．10 D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．= 　 　
14．小张在某节体育课的立定跳远训练中，共跳了3次，平均成绩为米，第一次和第二次的成绩分别为米和米，则他第三次立定跳远的成绩为　 　米．
15．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则　 　cm．
16．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．问题情境：如图1，用一张平行四边形的纸板裁一个矩形．
【实践操作】如图2，在中，分别过点B，D作，，垂足分别为点B，F，用剪刀沿着，剪去和，即可得到四边形．
【推理验证】请判断这个四边形是不是矩形，并说明理由．
19．某校为了解本校学生对端午节习俗的了解程度，对八、九年级开展了关于端午节的知识竞答活动，满分共分．从中分别随机抽取了名学生的成绩（成绩均为整数，单位：分）进行整理分析，成绩如下：
八年级 98 99 93 93 80 95 90 90 93 99
九年级 90 92 100 98 99 98 91 89 98 95
根据以上数据，分析得到以下统计量：
　 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
八年级 a 93 c 28.8
九年级 95 b 98 15.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）_________，_________，_________．
（2）抽取的九年级学生中，有一位同学测试成绩为95分，他的成绩在这10个人中处于_________（填“中上”“中等”或“中下”）水平．
（3）根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由（至少从两个角度说明）．
20．如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
21．如图，函数与的图象相交于点P，且点P的横坐标为2．的面积为12．
（1）分别求点P，A的坐标；
（2）求k，b的值；
（3）直接写出：随着x的增大，函数值，的变化情况．
22．某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）从图象中可以看出自变量是________，点D的坐标为________；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是________分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟；
（4）求线段所在直线的函数表达式．
23．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O．
（1）发现：由勾股定理得________，________；
（2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”）
【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O．
（3）求证：；
（4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由；
②若，，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为分数，需分母有理化为，故不是最简二次根式；
B、，被开方数含分母，需化为，故不是最简二次根式；
C、，被开方数3无平方因子且不含分母，满足最简条件；
D、，可化简为整数，故不是最简二次根式．
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴该三角形为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，二次根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由于二次根号具有括号的作用，故先计算被开方数中的加法，据此可判断B选项；二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，据此可判断C选项；二次根式的除法，根指数不变，把被开方数相除，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴（平行四边形的对角相等）．
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质（平行四边形的对角相等）求解即可.
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴该次体能训练成绩较稳定的是小智．
故答案为：A．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故答案为：D．
【分析】根据正方形和矩形的性质判断求解即可。
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在菱形中，对角线和相交于点，，，
，，且，
在中，
由勾股定理可得，
则菱形的边长为5．
故答案为：A．
【分析】先利用菱形的性质可得，，且，再利用勾股定理求出AB的长即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原函数为，自变量系数，
只有选项C：的自变量系数，
则与的图象平行的是．
故答案为：C．
【分析】根据①当两直线平行时，可得k相等（即k1=k2）；②当两直线垂直时，可得k的乘积为-1（即k1×k2=-1）求解即可.
9．【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，都在正比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】将点A、B的坐标代入解析式求出函数值，再比较大小即可.
10．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：“丁”所占的百分比为1﹣35%﹣25%﹣30%＝10%，
由于35%＞30%＞25%＞10%，
所以进货时，应多进的饰品“丙”，
故答案为：C．
【分析】先求出“丁”的百分比，再利用扇形统计图中的数据比较大小分析求解即可.
11．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得x-3≥0且x-4≠0，
解得x≥3且x≠4．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分式有意义，分母不为0
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质求出，再利用三角形的面积公式求出．
13．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的概念直接解答即可
14．【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵平均成绩为米，第一次和第二次的成绩分别为米和米，
∴第三次立定跳远的成绩为：
（米），
故答案为：．
【分析】利用平均数的定义列出算式求出第三次立定跳远的成绩即可.
15．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：观察刻度尺可知：．
在Rt△ABC中，∵点D是AB的中点，
∴．
故答案为：3．
【分析】先观察刻度尺确定AB的长，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求出答案．
16．【答案】2026
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律；勾股树模型；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，
故答案为：2026．
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式可得正方形B的面积正方形C的面积，再求出其规律可得2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，从而得解.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：是矩形；
理由如下：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出四边形为矩形．
19．【答案】（1），，
（2）中下
（3）解：九年级的总体成绩较好，
理由如下，八年级的成绩平均数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩中位数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩众数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩方差为分，九年级的成绩方差为分，
∴九年级的总体成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：八年级成绩的平均数，
八年级成绩出现次数最多的是，
∴，
九年级成绩从小到大排序为：，
∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数，
故答案为：，，；
（2）解：∵九年级的中位数是，一位同学测试成绩为95分，
∴该同学的成绩在这10个人中处于中下，
故答案为：中下.
【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用中位数的性质分析求解即可；
（3）结合表格中的数据，利用平均数、中位数和众数的性质分析求解即可.
（1）解：八年级成绩的平均数，
八年级成绩出现次数最多的是，
∴，
九年级成绩从小到大排序为：，
∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数，
故答案为：，，；
（2）解：∵九年级的中位数是，一位同学测试成绩为95分，
∴该同学的成绩在这10个人中处于中下，
故答案为：中下；
（3）解：九年级的总体成绩较好，理由如下，
八年级的成绩平均数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩中位数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩众数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩方差为分，九年级的成绩方差为分，
∴九年级的总体成绩较好．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）解：，
，
∵，
的周长．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质求出，再结合，证出，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用平行四边形的性质求出，再结合AB的长求出三角形的周长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
∵，
的周长．
21．【答案】（1）解：把代入得：，
∴点P的坐标为，
∵的面积为12，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：把，代入得：
，
解得：.
（3）随x的增大而增大，随x的增大而减小
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴随x的增大而增大，
∵，
∴随x的增大而减小．
【分析】（1）先求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式可得，求出OA的长，即可得到点A的坐标；
（2）将点P、A的坐标代入解析式求出k、b的值即可；
（3）利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
（1）解：把代入得：，
∴点P的坐标为，
∵的面积为12，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：把，代入得：
，
解得：；
（3）解：∵，
∴随x的增大而增大，
∵，
∴随x的增大而减小．
22．【答案】（1）时间t
（2）5
（3）25
（4）解：图中 b表示的数是，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴线段所在直线的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间t，点D的坐标为；
（2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟），
（3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分），
【分析】（1）利用自变量的定义求解，再根据平面直角坐标系直接求出点D的坐标即可；
（2）根据函数图象中的数据直接分析求解即可；
（3）根据函数图象中的数据并利用“速度=路程÷时间”求解即可；
（4）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可.
（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间t，点D的坐标为；
（2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟），
（3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分），
故答案为：25；
（4）解：图中 b表示的数是，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴线段所在直线的函数表达式为．
23．【答案】（1）；；
（2）；
（3）∵和是等腰直角，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（4）①四边形是垂美四边形；
理由如下：如图所示：
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形；
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴和，
根据勾股定理得：，；
（2）在和中，
根据勾股定理得：，，
，
，
∴；
（4）②∵，，，
∴，
∵和是等腰直角，
∴，
，
根据解析（2）可知：，
∴，
∴．
【分析】（1）利用勾股定理直接求解并判断即可；
（2）利用勾股定理直接求解并判断即可；
（3）先利用角的运算和等量代换求出，再利用“SAS”证出即可；
（4）①利用全等三角形的性质及角的运算和等量代换可得，再利用“垂美四边形”的定义求解即可；
②利用勾股定理可得，，结合，最后求出BC的长即可.
1 / 1广西壮族自治区防城港市防城区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为分数，需分母有理化为，故不是最简二次根式；
B、，被开方数含分母，需化为，故不是最简二次根式；
C、，被开方数3无平方因子且不含分母，满足最简条件；
D、，可化简为整数，故不是最简二次根式．
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．分别以为边长作一个三角形，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴该三角形为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）分析判断即可.
3．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，二次根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由于二次根号具有括号的作用，故先计算被开方数中的加法，据此可判断B选项；二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，据此可判断C选项；二次根式的除法，根指数不变，把被开方数相除，据此可判断D选项.
4．在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴（平行四边形的对角相等）．
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的性质（平行四边形的对角相等）求解即可.
5．小智、小慧和小李在某次体能训练的四个项目测试中，他们的个人成绩的平均数都相同，方差为，，，则该次体能训练成绩较稳定的是（　　）
A．小智 B．小慧 C．小李 D．无法比较
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴该次体能训练成绩较稳定的是小智．
故答案为：A．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
6．正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故答案为：D．
【分析】根据正方形和矩形的性质判断求解即可。
7．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在菱形中，对角线和相交于点，，，
，，且，
在中，
由勾股定理可得，
则菱形的边长为5．
故答案为：A．
【分析】先利用菱形的性质可得，，且，再利用勾股定理求出AB的长即可.
8．下列函数的图象与的图象平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原函数为，自变量系数，
只有选项C：的自变量系数，
则与的图象平行的是．
故答案为：C．
【分析】根据①当两直线平行时，可得k相等（即k1=k2）；②当两直线垂直时，可得k的乘积为-1（即k1×k2=-1）求解即可.
9．已知点，都在正比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，都在正比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】将点A、B的坐标代入解析式求出函数值，再比较大小即可.
10．如图是某饰品店甲，乙，丙，丁四种饰品出售情况的扇形统计图，若想销量更大，获利更多，该店进货时，应多进的饰品是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：“丁”所占的百分比为1﹣35%﹣25%﹣30%＝10%，
由于35%＞30%＞25%＞10%，
所以进货时，应多进的饰品“丙”，
故答案为：C．
【分析】先求出“丁”的百分比，再利用扇形统计图中的数据比较大小分析求解即可.
11．使代数式 有意义的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞3且x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x＞3
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得x-3≥0且x-4≠0，
解得x≥3且x≠4．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分式有意义，分母不为0
12．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（　　）
A．24 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质求出，再利用三角形的面积公式求出．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．= 　 　
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的概念直接解答即可
14．小张在某节体育课的立定跳远训练中，共跳了3次，平均成绩为米，第一次和第二次的成绩分别为米和米，则他第三次立定跳远的成绩为　 　米．
【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵平均成绩为米，第一次和第二次的成绩分别为米和米，
∴第三次立定跳远的成绩为：
（米），
故答案为：．
【分析】利用平均数的定义列出算式求出第三次立定跳远的成绩即可.
15．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则　 　cm．
【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：观察刻度尺可知：．
在Rt△ABC中，∵点D是AB的中点，
∴．
故答案为：3．
【分析】先观察刻度尺确定AB的长，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求出答案．
16．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是　 　．
【答案】2026
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律；勾股树模型；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，
故答案为：2026．
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式可得正方形B的面积正方形C的面积，再求出其规律可得2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，从而得解.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．问题情境：如图1，用一张平行四边形的纸板裁一个矩形．
【实践操作】如图2，在中，分别过点B，D作，，垂足分别为点B，F，用剪刀沿着，剪去和，即可得到四边形．
【推理验证】请判断这个四边形是不是矩形，并说明理由．
【答案】解：是矩形；
理由如下：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出四边形为矩形．
19．某校为了解本校学生对端午节习俗的了解程度，对八、九年级开展了关于端午节的知识竞答活动，满分共分．从中分别随机抽取了名学生的成绩（成绩均为整数，单位：分）进行整理分析，成绩如下：
八年级 98 99 93 93 80 95 90 90 93 99
九年级 90 92 100 98 99 98 91 89 98 95
根据以上数据，分析得到以下统计量：
　 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
八年级 a 93 c 28.8
九年级 95 b 98 15.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）_________，_________，_________．
（2）抽取的九年级学生中，有一位同学测试成绩为95分，他的成绩在这10个人中处于_________（填“中上”“中等”或“中下”）水平．
（3）根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由（至少从两个角度说明）．
【答案】（1），，
（2）中下
（3）解：九年级的总体成绩较好，
理由如下，八年级的成绩平均数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩中位数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩众数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩方差为分，九年级的成绩方差为分，
∴九年级的总体成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：八年级成绩的平均数，
八年级成绩出现次数最多的是，
∴，
九年级成绩从小到大排序为：，
∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数，
故答案为：，，；
（2）解：∵九年级的中位数是，一位同学测试成绩为95分，
∴该同学的成绩在这10个人中处于中下，
故答案为：中下.
【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用中位数的性质分析求解即可；
（3）结合表格中的数据，利用平均数、中位数和众数的性质分析求解即可.
（1）解：八年级成绩的平均数，
八年级成绩出现次数最多的是，
∴，
九年级成绩从小到大排序为：，
∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数，
故答案为：，，；
（2）解：∵九年级的中位数是，一位同学测试成绩为95分，
∴该同学的成绩在这10个人中处于中下，
故答案为：中下；
（3）解：九年级的总体成绩较好，理由如下，
八年级的成绩平均数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩中位数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩众数为分，九年级的成绩平均数为分，八年级的成绩方差为分，九年级的成绩方差为分，
∴九年级的总体成绩较好．
20．如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）解：，
，
∵，
的周长．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质求出，再结合，证出，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用平行四边形的性质求出，再结合AB的长求出三角形的周长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
∵，
的周长．
21．如图，函数与的图象相交于点P，且点P的横坐标为2．的面积为12．
（1）分别求点P，A的坐标；
（2）求k，b的值；
（3）直接写出：随着x的增大，函数值，的变化情况．
【答案】（1）解：把代入得：，
∴点P的坐标为，
∵的面积为12，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：把，代入得：
，
解得：.
（3）随x的增大而增大，随x的增大而减小
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴随x的增大而增大，
∵，
∴随x的增大而减小．
【分析】（1）先求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式可得，求出OA的长，即可得到点A的坐标；
（2）将点P、A的坐标代入解析式求出k、b的值即可；
（3）利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
（1）解：把代入得：，
∴点P的坐标为，
∵的面积为12，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：把，代入得：
，
解得：；
（3）解：∵，
∴随x的增大而增大，
∵，
∴随x的增大而减小．
22．某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）从图象中可以看出自变量是________，点D的坐标为________；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是________分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟；
（4）求线段所在直线的函数表达式．
【答案】（1）时间t
（2）5
（3）25
（4）解：图中 b表示的数是，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴线段所在直线的函数表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间t，点D的坐标为；
（2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟），
（3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分），
【分析】（1）利用自变量的定义求解，再根据平面直角坐标系直接求出点D的坐标即可；
（2）根据函数图象中的数据直接分析求解即可；
（3）根据函数图象中的数据并利用“速度=路程÷时间”求解即可；
（4）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可.
（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间t，点D的坐标为；
（2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟），
（3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分），
故答案为：25；
（4）解：图中 b表示的数是，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴线段所在直线的函数表达式为．
23．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O．
（1）发现：由勾股定理得________，________；
（2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”）
【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O．
（3）求证：；
（4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由；
②若，，直接写出的长．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）∵和是等腰直角，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（4）①四边形是垂美四边形；
理由如下：如图所示：
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形；
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴和，
根据勾股定理得：，；
（2）在和中，
根据勾股定理得：，，
，
，
∴；
（4）②∵，，，
∴，
∵和是等腰直角，
∴，
，
根据解析（2）可知：，
∴，
∴．
【分析】（1）利用勾股定理直接求解并判断即可；
（2）利用勾股定理直接求解并判断即可；
（3）先利用角的运算和等量代换求出，再利用“SAS”证出即可；
（4）①利用全等三角形的性质及角的运算和等量代换可得，再利用“垂美四边形”的定义求解即可；
②利用勾股定理可得，，结合，最后求出BC的长即可.
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