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贵州省黔西南州2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分，以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答）
1．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班41名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 5 11 8 5 3
这41名同学视力检查数据的中位数是（　　）
A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9
5．如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（　　）
A．5 B． C． D．6
6．下列各点中，在函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图中，，则的长是（　　）
A．7 B．3 C．1 D．2
8．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知某菱形花坛的边长是8，，则花坛面积是（　　）
A． B． C．32 D．
11．将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
12．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC，使∠BAC＝90°，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共16分）
13．计算：　 　．
14．如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为　 　．
15．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为　 　．
16．如图，是等边三角形，，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，以为腰作等腰，且使，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：，其中．
以下是一位同学的化简过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步
（1）这位同学的化简过程从第______步开始出错；
（2）写出完整的解答过程．
18．某校科技社团在七、八年级学生（七年级有400名学生、八年级有600名学生）中开展了“航天梦”航空航天知识竞赛活动，并各随机抽取了20名同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A．；B．；．；D．）
下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：61，66，99，85，70，92，100，62，79，69，61，76，71，75，71，79，71，72，71，99．
八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：70，70，70，70，71，72．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
年级 七年级 八年级
平均数 76.45 73
中位数 71.5 x
众数 y 70
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______；______；______；
（2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握航空航天知识更好？请说明理由；
（3）估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有多少人？
19．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管；
（1）求证：；
（2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
20．有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y．单位：L．与时间x．单位：分．之间的关系如图所示：
（1）当0≤x≤4时，求y随x变化的函数关系式；
（2）当4＜x≤12时，求y与x的函数解析式；
（3）每分钟进水、出水各是多少升？
21．根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角尺
活动 背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动
素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．
素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边．
素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______．
任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程．
任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由．
22．某校利用五一劳动节组织学生参加社会实践活动，各年级师生参加的人数分别为：七年级100人，八年级80人，九年级140人，师生一起乘坐客车前往实践基地，下面是张老师和小强、小明同学有关租车问题的对话．
张老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金300元，B型客车每辆租金200元．” 小强：“七年级租用2辆A型客车和1辆B型客车恰好坐满．” 小明：“八年级租用1辆A型客车和2辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；
（2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排5辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？
23．如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）．
（1）【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张；
（2）【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明；
（3）【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为，宽为的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为、、，求的值．
24．自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3．
以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图4．
已知入射光线所在直线经x轴上A点反射到达y轴上的B点，再经B点反射出的光线所在直线为．
（1）证明：；
（2）若的函数表达式为，求的函数表达式；
（3）如图5，在中，若，．以为腰作等腰，使，过点作交于点，交轴于点，连接，求的值．
25．综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
（1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2）
问题1：重叠部分的的形状是______．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形
问题2：若，则点到的距离为______．
（2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称的定义，
是轴对称图形，
故选D．
【分析】根据轴对称图形的定义，求解即可．
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】A．，但选项结果为，错误．
B． ，平方与算术平方根互为逆运算，结果正确．
C．的被开方数为负数，无意义，错误．
D．，算术平方根结果非负，是4的平方根，错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质：，，，则选项C正确．
3．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵
∴．
故答案为：C．
【分析】如图，
由三角形外角的性质，得∠4=75°，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得．
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：共有41名同学，中位数为第21个数据．按视力从小到大累加人数：
视力4.3：1人，累计1人
视力4.4：4人，累计人
视力4.5：4人，累计人
视力4.6：5人，累计人
视力4.7：11人，累计人
第21个数据落在视力4.7的范围内，因此中位数为4.7．
故答案为：B．
【分析】中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数．对于奇数个数据，中位数是第个数，共41人，则第21个数据为中位数是4.7．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的性质：对角线互相平分，得OA=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得=，则．
6．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于每个选项，将x代入，验证y值是否匹配：
A.当时，，与点的y值一致，符合题意．
B.当时，，但点的y值为3，不匹配．
C.当时，，与点的y值4不符．
D.当时，，与点的y值1不符．
综上，只有选项A满足条件．
故答案为：A．
【分析】将各选项的横坐标x的值，代入函数解析式 ，计算y值，与纵坐标一致，则该点在图象上，对各项进行判断A项正确．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解；∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=1．
8．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设点所对应的实数是，
由题意得：，
解得，
故选：D．
【分析】设点所对应的实数是，根据题意可得，从而得到，解方程即可得．
9．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）
故答案为：A．
【分析】根据矩形的四个角是直角，， 则，由30°所对的直角边是斜边的一半，得，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=．
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵菱形花坛的边长是8，
∴，，
∵，
∴，
设交于点，
∴在中，，，
∴，
∴
∴，
∴花坛面积是．
故答案为：．
【分析】设交于点，根据题意可知，，则，在中，含所对的直角边是斜边的一半，得，由勾股定理得，AC=8，BD=2OB=，则菱形的面积为对角线乘积的一半为.
11．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】由图2可知，大正方形的面积，图3中小正方形的面积，设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c，
则由图2可得，
即①，
由图3可得，
即②，
联立①和②可得，
，
∴图2中阴影部分的面积为13，
故选：C．
【分析】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c．根据题意可得，，，根据勾股定理可得，阴影部分的面积为，联立上面两个式子，求得的值，即可求解．
12．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；动点问题的函数图象；异侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】解：由题意可得：OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y，
作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示：
∴∠DAO＋∠AOD＝180°，
∴∠DAO＝90°，
∴∠OAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，
∴∠OAB＝∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB＝CD，
∴CD＝x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y＝x＋1（x＞0）．
故选：A．
【分析】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，根据AAS可以证明△OAB≌△DAC，从而建立y与x的函数关系，从而确定函数图象．
13．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式的性质，，即可得到结果．
14．【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为
，
∴的周长为17．
故答案为：17．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得=12，由线段垂直平分线的性质，得，则的周长为17。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据勾股定理可得AB，AC，BD，再根据菱形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，，
∴，，，
∵在含有的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，
∴，，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴当点运动时，点与直线的距离始终为，
∴当时，的最小值为，
故答案为：．
【分析】 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
用证得，得，是等边三角形，，，则，，，由直角三角形性质，得，，再根据垂线段最短，的最小值为．
17．【答案】（1）二
（2）
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：这位同学的化简过程从第二步开始出错，去括号没有变号，
故答案为：二；
【分析】（1）根据整式混合运算顺序和运算法则计算，判断第二步开始出错；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将原式化简，合并后得最简结果为，再把的值代入计算-16；
（1）解：这位同学的化简过程从第二步开始出错，去括号没有变号，
故答案为：二；
（2）
，
当时，原式．
18．【答案】（1）70，71，40
（2）解：七年级，理由如下：
七年级竞赛成绩的平均分，中位数，众数均高于八年级，
七年级学生掌握航空航天知识更好；
（3）解：各自抽查的20名同学中，七年级成绩大于或等于80分的学生有5人，八年级有（人），
（人）．
答：估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽样调查中八年级A组的人数为：（人），
∴，
∴，
八年级的中位数在B组，为，即，
七年级20名学生的竞赛成绩中出现最多的是71，
∴，
故答案为：70，71，40；
【分析】（1）八年级的A组人数为8人，除以总人数20乘100％等于m为40％；中位数位于B组，再将B组数据从小到大排列，得第10和第11个数据的平均数为中位数x=70；找到七年级成绩中出现次数最多的数据众数y为71；
（2）根据表中的平均数、中位数、众数进行比较，确定七年级掌握航空航天知识更好；
（3）用各年级总人数乘以该年级优秀率等于七、八年级的优秀人数和为280人．
（1）解：抽样调查中八年级A组的人数为：（人），
∴，
∴，
八年级的中位数在B组，为，即，
七年级20名学生的竞赛成绩中出现最多的是71，
∴，
故答案为：70，71，40；
（2）解：七年级，理由如下：
七年级竞赛成绩的平均分，中位数，众数均高于八年级，
七年级学生掌握航空航天知识更好；
（3）解：各自抽查的20名同学中，七年级成绩大于或等于80分的学生有5人，八年级有（人），
（人）．
答：估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有人．
19．【答案】（1）证明：，，∴，
∴为直角三角形，
∴；
（2）解：选用八（1）班方案，理由如下：方案一所需水管长度为：（米）；
方案二所需水管长度如下：
由（1）得，且，由等面积法可得，
（米），
（米）；
∵，
∴方案一所用的水管少，
故选用八（1）班方案．
【知识点】三角形的面积；等积变换；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理较短边的平方和等于最长边的平方，则三角形为直角三角形，判定为直角三角形，即 ；
（2）利用等面积法表示的面积，则，方案一所需水管长度7，方案二所需水管长度7.4，比较大小，则选用八（1）班方案．
（1）证明：，，
∴，
∴为直角三角形，
∴；
（2）解：选用八（1）班方案，理由如下：
方案一所需水管长度为：（米）；
方案二所需水管长度如下：
由（1）得，且，由等面积法可得，
（米），
（米）；
∵，
∴方案一所用的水管少，
故选用八（1）班方案．
20．【答案】（1）解：设y＝ax（a≠0）．∵图象过（4，20），
∴4a＝20，
∴a＝5．
∴y随x变化的函数关系式为y＝5x （0≤x≤4）；
（2）解：设y＝kx+b（k≠0）．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴，解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝x+15 （4≤x≤12）；
（3）解：根据图象，每分钟进水20÷4＝5升，设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20，
解得：m＝，
∴每分钟进水、出水各是5升、升．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤4时，设y随x变化的函数解析式为y=ax（a≠0），将（4，20）代入，利用待定系数法，得对应的函数关系式为y＝5x （0≤x≤4）；
（2）当4＜x≤12时，设y随x变化的函数解析式为y=kx+b（k≠0），将（4，20）、（12，30）代入，利用待定系数法，得对应的函数关系式y＝x+15 （4≤x≤12）；
（3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出进水为5升，出水量根据后8分钟的水量变化，计算得每分钟出升。
（1）解：设y＝ax．
∵图象过（4，20），
∴4a＝20，
∴a＝5．
∴y随x变化的函数关系式为y＝5x （0≤x≤4）；
（2）解：设y＝kx+b．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴，解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝x+15 （4≤x≤12）；
（3）解：根据图象，每分钟进水20÷4＝5升，
设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20，
解得：m＝，
∴每分钟进水、出水各是5升、升．
21．【答案】（1）；
（）∵（已知）， （已知），
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴
（）与的面积比是定值，理由：
作于，交延长线于，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比是定值．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（）在中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得，在中，等腰直角三角形和勾股定理，得，由=；
（）由DE=BC，DE∥B，C根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形；
（）如图，作于，交延长线于，
，得，两个三角形面积之比为， ，得与的面积比是定值．
22．【答案】（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为40人，每辆型客车坐满后的载客人数为20人；
（2）解：设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用2辆型客车，3辆型客车所需的租金最少，最少为1200元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意列出二元一次方程组，解得；
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，解得，租金，由，则随的增大而增大，当m=2时，取最小值=1200．
（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为40人，每辆型客车坐满后的载客人数为20人；
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用2辆型客车，3辆型客车所需的租金最少，最少为1200元．
23．【答案】（1）1；9；6
（2）解：，理由如下：
图②阴影部分图形的面积可表示为：
或，
，
，
；
（3）解：图2中阴影部分的面积为4，，
图3中阴影的部分面积为15，
，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】（1）解：∵，
故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
故答案为：1；9；6；
【分析】（1）根据完全平方公式，得，则 A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
（2）求出阴影部分图形的面积表示为或，即=，化简为；
（3）利用图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，得，，利用整体代入法 =13．
（1）解：∵，
故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
故答案为：1；9；6；
（2）解：，理由如下：
图②阴影部分图形的面积可表示为：
或，
，
，
；
（3）解：图2中阴影部分的面积为4，
，
图3中阴影的部分面积为15，
，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：由题意得，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，设直线交y轴于C，则，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴可设直线的解析式为，则，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵以为腰作等腰，使，∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴点F为的中点，
又∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据题意反射角等于入射角，得，由三角形内角和定理，得，由平角的定义可证明，同旁内角互补，两直线平行，得；
（2）设直线交y轴于C，则，，得；，，根据，一次项系数相等为，直线的解析式为，则，即直线的解析式为；
（3）由题意得，则由等腰三角形性质：三线合一，得，则是等边三角形， 得，点F为的中点，则．
（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，设直线交y轴于C，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴可设直线的解析式为，则，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵以为腰作等腰，使，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴点F为的中点，
又∵，
∴．
25．【答案】（1）C，
（2）解：点的位置如下图所示；
（3）解：①如图所示，
当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，
由题意，得，，，，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
；
②如图所示，
当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，，
同①，可得，
，
的长为或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：问题1：如图2所示，
由翻折的性质可得，，
，
，
，
是等腰三角形，
故选：C；
问题2：如图所示，过点作交于点，
，
由勾股定理得，，
，
点到的距离为，
故答案为：；
【分析】（1）问题1：利用翻折的性质，得，矩形的性质对边平行，则内错角相等，得，等角代换得得，即为等腰三角形；
问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理CE=，则，则点到的距离为；
（2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点；
（3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，，，由勾股定理得，B'N=4，则，设，则，在中，，即，解得=12，则=15；
当点落在矩形内部时，同理得，，则的长为或．
（1）解：问题1：如图2所示，
由翻折的性质可得，，
，
，
，
是等腰三角形，
故选：C；
问题2：如图所示，过点作交于点，
，
由勾股定理得，，
，
点到的距离为，
故答案为：；
（2）解：点的位置如下图所示；
（3）解：①如图所示，
当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，
由题意，得，，，，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
；
②如图所示，
当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，，
同①，可得，
，
的长为或．
1 / 1贵州省黔西南州2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分，以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答）
1．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称的定义，
是轴对称图形，
故选D．
【分析】根据轴对称图形的定义，求解即可．
2．下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】A．，但选项结果为，错误．
B． ，平方与算术平方根互为逆运算，结果正确．
C．的被开方数为负数，无意义，错误．
D．，算术平方根结果非负，是4的平方根，错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质：，，，则选项C正确．
3．如图，直线，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵
∴．
故答案为：C．
【分析】如图，
由三角形外角的性质，得∠4=75°，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得．
4．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班41名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 5 11 8 5 3
这41名同学视力检查数据的中位数是（　　）
A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：共有41名同学，中位数为第21个数据．按视力从小到大累加人数：
视力4.3：1人，累计1人
视力4.4：4人，累计人
视力4.5：4人，累计人
视力4.6：5人，累计人
视力4.7：11人，累计人
第21个数据落在视力4.7的范围内，因此中位数为4.7．
故答案为：B．
【分析】中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数．对于奇数个数据，中位数是第个数，共41人，则第21个数据为中位数是4.7．
5．如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（　　）
A．5 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的性质：对角线互相平分，得OA=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得=，则．
6．下列各点中，在函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于每个选项，将x代入，验证y值是否匹配：
A.当时，，与点的y值一致，符合题意．
B.当时，，但点的y值为3，不匹配．
C.当时，，与点的y值4不符．
D.当时，，与点的y值1不符．
综上，只有选项A满足条件．
故答案为：A．
【分析】将各选项的横坐标x的值，代入函数解析式 ，计算y值，与纵坐标一致，则该点在图象上，对各项进行判断A项正确．
7．如图中，，则的长是（　　）
A．7 B．3 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解；∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=1．
8．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设点所对应的实数是，
由题意得：，
解得，
故选：D．
【分析】设点所对应的实数是，根据题意可得，从而得到，解方程即可得．
9．如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）
故答案为：A．
【分析】根据矩形的四个角是直角，， 则，由30°所对的直角边是斜边的一半，得，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=．
10．如图，已知某菱形花坛的边长是8，，则花坛面积是（　　）
A． B． C．32 D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵菱形花坛的边长是8，
∴，，
∵，
∴，
设交于点，
∴在中，，，
∴，
∴
∴，
∴花坛面积是．
故答案为：．
【分析】设交于点，根据题意可知，，则，在中，含所对的直角边是斜边的一半，得，由勾股定理得，AC=8，BD=2OB=，则菱形的面积为对角线乘积的一半为.
11．将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】由图2可知，大正方形的面积，图3中小正方形的面积，设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c，
则由图2可得，
即①，
由图3可得，
即②，
联立①和②可得，
，
∴图2中阴影部分的面积为13，
故选：C．
【分析】设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边为c．根据题意可得，，，根据勾股定理可得，阴影部分的面积为，联立上面两个式子，求得的值，即可求解．
12．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC，使∠BAC＝90°，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；动点问题的函数图象；异侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】解：由题意可得：OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y，
作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示：
∴∠DAO＋∠AOD＝180°，
∴∠DAO＝90°，
∴∠OAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，
∴∠OAB＝∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB＝CD，
∴CD＝x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y＝x＋1（x＞0）．
故选：A．
【分析】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，根据AAS可以证明△OAB≌△DAC，从而建立y与x的函数关系，从而确定函数图象．
二、填空题（每题4分，共16分）
13．计算：　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：3．
【分析】根据二次根式的性质，，即可得到结果．
14．如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为　 　．
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为
，
∴的周长为17．
故答案为：17．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得=12，由线段垂直平分线的性质，得，则的周长为17。
15．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据勾股定理可得AB，AC，BD，再根据菱形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．如图，是等边三角形，，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，以为腰作等腰，且使，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，，
∴，，，
∵在含有的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，
∴，，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴当点运动时，点与直线的距离始终为，
∴当时，的最小值为，
故答案为：．
【分析】 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
用证得，得，是等边三角形，，，则，，，由直角三角形性质，得，，再根据垂线段最短，的最小值为．
三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：，其中．
以下是一位同学的化简过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步
（1）这位同学的化简过程从第______步开始出错；
（2）写出完整的解答过程．
【答案】（1）二
（2）
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：这位同学的化简过程从第二步开始出错，去括号没有变号，
故答案为：二；
【分析】（1）根据整式混合运算顺序和运算法则计算，判断第二步开始出错；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将原式化简，合并后得最简结果为，再把的值代入计算-16；
（1）解：这位同学的化简过程从第二步开始出错，去括号没有变号，
故答案为：二；
（2）
，
当时，原式．
18．某校科技社团在七、八年级学生（七年级有400名学生、八年级有600名学生）中开展了“航天梦”航空航天知识竞赛活动，并各随机抽取了20名同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A．；B．；．；D．）
下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：61，66，99，85，70，92，100，62，79，69，61，76，71，75，71，79，71，72，71，99．
八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：70，70，70，70，71，72．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
年级 七年级 八年级
平均数 76.45 73
中位数 71.5 x
众数 y 70
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______；______；______；
（2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握航空航天知识更好？请说明理由；
（3）估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有多少人？
【答案】（1）70，71，40
（2）解：七年级，理由如下：
七年级竞赛成绩的平均分，中位数，众数均高于八年级，
七年级学生掌握航空航天知识更好；
（3）解：各自抽查的20名同学中，七年级成绩大于或等于80分的学生有5人，八年级有（人），
（人）．
答：估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有人．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽样调查中八年级A组的人数为：（人），
∴，
∴，
八年级的中位数在B组，为，即，
七年级20名学生的竞赛成绩中出现最多的是71，
∴，
故答案为：70，71，40；
【分析】（1）八年级的A组人数为8人，除以总人数20乘100％等于m为40％；中位数位于B组，再将B组数据从小到大排列，得第10和第11个数据的平均数为中位数x=70；找到七年级成绩中出现次数最多的数据众数y为71；
（2）根据表中的平均数、中位数、众数进行比较，确定七年级掌握航空航天知识更好；
（3）用各年级总人数乘以该年级优秀率等于七、八年级的优秀人数和为280人．
（1）解：抽样调查中八年级A组的人数为：（人），
∴，
∴，
八年级的中位数在B组，为，即，
七年级20名学生的竞赛成绩中出现最多的是71，
∴，
故答案为：70，71，40；
（2）解：七年级，理由如下：
七年级竞赛成绩的平均分，中位数，众数均高于八年级，
七年级学生掌握航空航天知识更好；
（3）解：各自抽查的20名同学中，七年级成绩大于或等于80分的学生有5人，八年级有（人），
（人）．
答：估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有人．
19．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管；
（1）求证：；
（2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
【答案】（1）证明：，，∴，
∴为直角三角形，
∴；
（2）解：选用八（1）班方案，理由如下：方案一所需水管长度为：（米）；
方案二所需水管长度如下：
由（1）得，且，由等面积法可得，
（米），
（米）；
∵，
∴方案一所用的水管少，
故选用八（1）班方案．
【知识点】三角形的面积；等积变换；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理较短边的平方和等于最长边的平方，则三角形为直角三角形，判定为直角三角形，即 ；
（2）利用等面积法表示的面积，则，方案一所需水管长度7，方案二所需水管长度7.4，比较大小，则选用八（1）班方案．
（1）证明：，，
∴，
∴为直角三角形，
∴；
（2）解：选用八（1）班方案，理由如下：
方案一所需水管长度为：（米）；
方案二所需水管长度如下：
由（1）得，且，由等面积法可得，
（米），
（米）；
∵，
∴方案一所用的水管少，
故选用八（1）班方案．
20．有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y．单位：L．与时间x．单位：分．之间的关系如图所示：
（1）当0≤x≤4时，求y随x变化的函数关系式；
（2）当4＜x≤12时，求y与x的函数解析式；
（3）每分钟进水、出水各是多少升？
【答案】（1）解：设y＝ax（a≠0）．∵图象过（4，20），
∴4a＝20，
∴a＝5．
∴y随x变化的函数关系式为y＝5x （0≤x≤4）；
（2）解：设y＝kx+b（k≠0）．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴，解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝x+15 （4≤x≤12）；
（3）解：根据图象，每分钟进水20÷4＝5升，设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20，
解得：m＝，
∴每分钟进水、出水各是5升、升．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤4时，设y随x变化的函数解析式为y=ax（a≠0），将（4，20）代入，利用待定系数法，得对应的函数关系式为y＝5x （0≤x≤4）；
（2）当4＜x≤12时，设y随x变化的函数解析式为y=kx+b（k≠0），将（4，20）、（12，30）代入，利用待定系数法，得对应的函数关系式y＝x+15 （4≤x≤12）；
（3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出进水为5升，出水量根据后8分钟的水量变化，计算得每分钟出升。
（1）解：设y＝ax．
∵图象过（4，20），
∴4a＝20，
∴a＝5．
∴y随x变化的函数关系式为y＝5x （0≤x≤4）；
（2）解：设y＝kx+b．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴，解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝x+15 （4≤x≤12）；
（3）解：根据图象，每分钟进水20÷4＝5升，
设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20，
解得：m＝，
∴每分钟进水、出水各是5升、升．
21．根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角尺
活动 背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动
素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．
素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边．
素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______．
任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程．
任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由．
【答案】（1）；
（）∵（已知）， （已知），
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴
（）与的面积比是定值，理由：
作于，交延长线于，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比是定值．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（）在中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得，在中，等腰直角三角形和勾股定理，得，由=；
（）由DE=BC，DE∥B，C根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形；
（）如图，作于，交延长线于，
，得，两个三角形面积之比为， ，得与的面积比是定值．
22．某校利用五一劳动节组织学生参加社会实践活动，各年级师生参加的人数分别为：七年级100人，八年级80人，九年级140人，师生一起乘坐客车前往实践基地，下面是张老师和小强、小明同学有关租车问题的对话．
张老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金300元，B型客车每辆租金200元．” 小强：“七年级租用2辆A型客车和1辆B型客车恰好坐满．” 小明：“八年级租用1辆A型客车和2辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；
（2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排5辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？
【答案】（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为40人，每辆型客车坐满后的载客人数为20人；
（2）解：设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用2辆型客车，3辆型客车所需的租金最少，最少为1200元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意列出二元一次方程组，解得；
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，解得，租金，由，则随的增大而增大，当m=2时，取最小值=1200．
（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，
根据题意，可得，解得，
答：每辆型客车坐满后的载客人数为40人，每辆型客车坐满后的载客人数为20人；
（2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，
根据题意，可得，
解得，
∵租金，
又∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最小值，最小值为（元），
此时（辆），
答：九年级租用2辆型客车，3辆型客车所需的租金最少，最少为1200元．
23．如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）．
（1）【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张；
（2）【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明；
（3）【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为，宽为的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为、、，求的值．
【答案】（1）1；9；6
（2）解：，理由如下：
图②阴影部分图形的面积可表示为：
或，
，
，
；
（3）解：图2中阴影部分的面积为4，，
图3中阴影的部分面积为15，
，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】（1）解：∵，
故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
故答案为：1；9；6；
【分析】（1）根据完全平方公式，得，则 A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
（2）求出阴影部分图形的面积表示为或，即=，化简为；
（3）利用图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，得，，利用整体代入法 =13．
（1）解：∵，
故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
故答案为：1；9；6；
（2）解：，理由如下：
图②阴影部分图形的面积可表示为：
或，
，
，
；
（3）解：图2中阴影部分的面积为4，
，
图3中阴影的部分面积为15，
，
∴，
∴．
24．自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3．
以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图4．
已知入射光线所在直线经x轴上A点反射到达y轴上的B点，再经B点反射出的光线所在直线为．
（1）证明：；
（2）若的函数表达式为，求的函数表达式；
（3）如图5，在中，若，．以为腰作等腰，使，过点作交于点，交轴于点，连接，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，设直线交y轴于C，则，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴可设直线的解析式为，则，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵以为腰作等腰，使，∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴点F为的中点，
又∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据题意反射角等于入射角，得，由三角形内角和定理，得，由平角的定义可证明，同旁内角互补，两直线平行，得；
（2）设直线交y轴于C，则，，得；，，根据，一次项系数相等为，直线的解析式为，则，即直线的解析式为；
（3）由题意得，则由等腰三角形性质：三线合一，得，则是等边三角形， 得，点F为的中点，则．
（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，设直线交y轴于C，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴可设直线的解析式为，则，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵以为腰作等腰，使，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴点F为的中点，
又∵，
∴．
25．综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
（1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2）
问题1：重叠部分的的形状是______．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形
问题2：若，则点到的距离为______．
（2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长．
【答案】（1）C，
（2）解：点的位置如下图所示；
（3）解：①如图所示，
当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，
由题意，得，，，，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
；
②如图所示，
当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，，
同①，可得，
，
的长为或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：问题1：如图2所示，
由翻折的性质可得，，
，
，
，
是等腰三角形，
故选：C；
问题2：如图所示，过点作交于点，
，
由勾股定理得，，
，
点到的距离为，
故答案为：；
【分析】（1）问题1：利用翻折的性质，得，矩形的性质对边平行，则内错角相等，得，等角代换得得，即为等腰三角形；
问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理CE=，则，则点到的距离为；
（2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点；
（3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，，，由勾股定理得，B'N=4，则，设，则，在中，，即，解得=12，则=15；
当点落在矩形内部时，同理得，，则的长为或．
（1）解：问题1：如图2所示，
由翻折的性质可得，，
，
，
，
是等腰三角形，
故选：C；
问题2：如图所示，过点作交于点，
，
由勾股定理得，，
，
点到的距离为，
故答案为：；
（2）解：点的位置如下图所示；
（3）解：①如图所示，
当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，
由题意，得，，，，
，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，
；
②如图所示，
当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，，
同①，可得，
，
的长为或．
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