资源简介

贵州省遵义市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有 A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2023年至2025年，遵义市举办了多场马拉松赛事．在这三年期间，马拉松参赛总人数约为53900人，将53900用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．某班5名同学每周参与社团活动的时间（单位：分钟）分别为：80，60，80，70，90．这组数据的众数为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
5．如图，在中，的平分线交于点．若，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．若点，是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（　　）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
10．小星在复习特殊四边形的关系时，整理出如图所示的知识结构图，在图中（1），（2），（3），（4）处需要添加条件，下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
11．如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图：
①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接．
若，，则四边形的面积为（　　）
A．8 B． C．12 D．
12．匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间变化的图象（草图）大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 （写出一个即可）
14．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：）如图所示．若和分别表示甲、乙两种苗高数据的方差，则　 　．（填“”或“”）
15．如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的．测得，，点，分别是外骨架，的中点．则风筝杆的长为　 　．
16．如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值．
18．为加强暑期安全教育，遵义市某中学举行了防溺水相关知识竞赛，随机抽取名学生的竞赛成绩，把成绩分成四组（A：；B：；C：；D：），并将竞赛成绩制成如下不完整的统计图表和扇形统计图：
组别 成绩分组 频数
A
B 15
C
D 5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）的值为________，所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在________组；
（2）若该校共有1000名学生，估计这次知识竞赛成绩在80分及以上的学生人数；
（3）从防溺水的安全角度思考，请你对中学生预防溺水提出一条合理化的建议．
19．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．
（1）从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长．
20．在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出．
（1）填空：______，_____；
（2）在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积．
21．一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后，伸长的长度与所挂重物的质量成正比（在弹簧的弹性限度内）．小星通过实验得到下表数据．
所挂重物 … 2 4 6 …
弹簧总长度 … 16 20 24 …
（1）求弹簧总长度（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式；
（2）若该弹簧的总长度超过后，弹簧会被破坏，求弹簧能挂重物的最大质量．
22．我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理．
（1）如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：；
（2）小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长．
23．在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．
【初步尝试】
（1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导：
设，，卡片上对应的数分别为，，．
则①，②，③
由②-①，得，.
由②-③，得，
小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大．
【类比解答】
（2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由．
【迁移运用】
（3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果）
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4．
（1）若，则的取值范围为________；
（2）求的面积；
（3）已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，直线，点是直线上一点，，垂足为，点是线段的中点，以为边作正方形．线段沿方向平移，得到对应线段．
【操作判断】
（1）如图2，若，判断四边形的形状为________（不需证明）；
【问题探索】
（2）在（1）的条件下，连接交于点．连接，如图2．探究与的数量关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，若，．连接，点为的中点，连接．求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故选：A．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数这一规则，求解即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、该图形是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不符合题意；
C、无论沿着哪条直线对折，直线两旁的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形；
D、该图形是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不是轴对称图形的是C项．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义，得．
故答案为：．
【分析】科学记数法的形式：，其中，为整数，则a=5.39，n=4，则．
4．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组数据80，60，80，70，90中，80出现了2次，出现的次数最多．
根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，所以这组数据的众数是80．
故答案为：C．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，则 这组数据的众数是80 ．
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
平分，
．
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得，由角平分线的定义，得，等角代换得 ，则，则=AE+DE=5，得=5．
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，计算错误；
B．无法合并为（二次根式加减需同类项），结果应为，等式不成立，错误；
C．，但选项写为，算术平方根非负，错误；
D．，符合二次根式乘法法则，正确．
故答案为：D．
【分析】由二次根式的运算法则，得 ，不能合并，，则正确选项为D ．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】J解：由题意可知：，
∴四边形为平行四边形，
，
故答案为：C．
【分析】由图可知，由两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形为平行四边形，得．
8．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，
∴y随着x的增大而增大，
∵点，是一次函数图象上的两点，，
∴．
故答案为：A．
【分析】由K=1大于0，则 y随着x的增大而增大，即，．
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．，
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．
沙田的面积为（平方里）．
故答案为：A．
【分析】由勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，直角三角形沙田的面积 ．
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、在平行四边形中，若，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以该选项添加的条件正确；
B、在矩形中，若，根据正方形的判定定理，一组邻边相等的矩形是正方形，所以该选项添加的条件正确；
C、在平行四边形中，是平行四边形本身就具有的性质，不能根据这个条件判定平行四边形是菱形，所以该选项添加的条件错误；
D、在菱形中，若，根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，所以该选项添加的条件正确．
故答案为：C．
【分析】矩形、菱形、正方形的判定定理．根据特殊四边形的判定定理，对每个选项进行分析，判断所添加的条件是否正确
11．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接，
由作图步骤①可知，
又，
所以是等边三角形．
由作图步骤②③可知是的垂直平分线，
∴点B在上，
．
，
，
过作于，
在等边三角形中，，
四边形是平行四边形，
，则也是四边形的高，
，
．
四边形的面积为．
故答案为：D．
【分析】如图：连接，过作于，
根据作图步骤，得，是的垂直平分线，则是等边三角形，，AM为四边形的高，，则 四边形的面积为 。
12．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：容器由下到上依次是较细的圆柱、最粗的圆柱、中间粗的圆柱．
在注水过程中，由于容器的横截面积不同，水面上升的速度也不同．横截面积越小，水面上升速度越快；横截面积越大，水面上升速度越慢．
开始注水时，容器最下面的部分横截面积较小，所以水面高度h随时间t上升较快．
接着到最粗的圆柱的部分，横截面积最大，水面高度h随时间t上升变慢．
最后到最上面中间粗的圆柱的部分，横截面积介于较小和最大中间，水面高度h随时间t也介于上述两个时间之间．
根据上述分析，水面高度h随时间t变化的图象应该是先上升较快，再上升最慢，最后上升介于介于上述两个时间之间。
故答案为：B．
【分析】根据容器的形状，注水过程中水面高度变化的快慢，随时间变化， 是先上升较快，再上升最慢，最后上升介于介于上述两个时间之间。
13．【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，乙种苗高的波动比甲大，
则，
故答案为：.
【分析】波动越大方差越大，从图看苗高的波动幅度，估计甲种苗高的方差小于乙种苗高的方差。
15．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵分别是边中点，
∴，
故答案为： ．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得，DE是△ABC的中位线，由三角形的中位线的性质，得=．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点B作且使，连接，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值， 即有最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴中，，
∴最小值为：，
故答案为：．
【分析】过点B作且使，连接，，
，得，则，由两点之间线段最短，得：，当点在上时，有最小值为，在中，由勾股定理得AN=，即最小值为：．
17．【答案】解：（1）
；
（2）∵，，．
∴①，
当时，
原式
②，
当时，
原式；
③，
当时，
原式．
1）；（2）①；；②；；③；
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）根据零次幂为1，去绝对值为，，根据二次根式的加减运算法则计算得；
（2）先对代数式进行化简得 ①=m+2；②=；③ =m2-4， 代入当时，得①=m+2=；②==；③ =m2-4=-2．
18．【答案】（1）50；C；
（2）根据题意得：人；
答：这次知识竞赛成绩在80分及以上的学生人数为人；
（3）加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可）
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
C组的人数为：人，
A组的人数为：人，
∵共有50名学生，
∴中位数为第25、26名学生成绩的平均数，
∵A组的人数为人，B组的人数为人，C组的人数为人，
∴，
∴所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在C组，
故答案为：50；C；
（3）加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可）．
【分析】（1）根据B组人数及所占百分比，确定总人数为50人，C组人数为21人，A组的人数为9人，中位数是第25、26名学生成绩的平均数，落在C组；
（2）利用样本估计总体，则人；
（3）根据题意提出建议．
（1）解：根据题意得：，
C组的人数为：人，
A组的人数为：人，
∵共有50名学生，
∴中位数为第25、26名学生成绩的平均数，
∵A组的人数为人，B组的人数为人，C组的人数为人，
∴，
∴所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在C组，
故答案为：50；C；
（2）根据题意得：人；
（3）加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可）．
19．【答案】（1）解：选①作为条件，∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
选②平分作为条件
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
③选作为条件，
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形∴且与互相平分
∵，，
∴，
在中，，
∴
∵点为的中点，
∴．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由， ，得四边形是平行四边形，添加 ① 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，得四边形是菱形； 添加 ②平分，得，等角代换得，AB=AD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形是菱形；添加 ③，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得，在中，由勾股定理得，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OE=2.5.
（1）解：选①作为条件，
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
选②平分作为条件
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
③选作为条件，
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形
∴且与互相平分
∵，，
∴，
在中，，
∴
∵点为的中点，
∴．
20．【答案】（1）
（2）解：如图所示，即为所求；
其中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴的面积为：．
【知识点】二次根式的实际应用；运用勾股定理解决网格问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用网格，构建直角三角形，由勾股定理解得BC=，AC=；
（2）根据题意画出三角形，
由勾股定理逆定理确定为直角三角形，的面积为：．
（1）解：根据题意得：，
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求；
其中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴的面积为：．
21．【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为(k≠0)，把和，将其代入得：，
解得：，
∴，
∴弹簧总长度关于所挂物体质量的函数解析式：．
（2）解：当时，
将代入解析式中得：，
解得：，
答：弹簧能挂重物的最大质量为14千克．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设y关于x的函数解析式为(k≠0)，把和，得，解得，则函数解析式为．
（2）函数值为时，代入，解得x=14，故弹簧能挂重物的最大质量为14千克。
（1）解：设y关于x的函数解析式为，把和，将其代入得：
，
解得：，
∴，
∴弹簧总长度关于所挂物体质量的函数解析式：．
（2）解：当时，
将代入解析式中得：，
解得：，
故弹簧能挂重物的最大质量为14千克．
22．【答案】（1）证明：由图可知，∵，，正方形边长为，
∴，
即．
（2）解：∵，，，，∴，
∴，
∴，
∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）依据题意得，，再，，正方形边长为，则；
（2） 根据图形在Rt△BEM中，由勾股定理得BM=5，则，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为．
（1）证明：由图可知，
∵，，正方形边长为，
∴，
即．
（2）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为．
23．【答案】（1）C；
（2）（2）设，，，，卡片上对应的数分别为，，，d，e，
∵，，，，
∴①，②，③，④，⑤，
由②-①，得，
.
由②-③，得，
，
由④-③，得，
.
由⑤-④，得，
，
由⑤-①，得，
.
综上可得：且，
∴e最大，即E卡片上的数字最大；
（3）
【知识点】二次根式的加减法；解二元一次方程组；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意得.，
，
∴C卡片上的数最大，
故答案为：C；
（3）由（2）得①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩，
∴⑥+⑧得，
联立得，解得：，
代入到①，得；
代入到②，得；
代入到③，得；
故答案为：．
【分析】（1）根据题中步骤，得c＞a＞b；
（2）根据例题的步骤，由②-①，得；由②-③，得b＞d；由④-③，得e＞c；由⑤-④，得a>d；由⑤-①，得e>b，则 E卡片上的数字最大 ；
（3）根据（2）中过程建立方程组，得，代入到①，得；代入到②，得；代入到③，得；
．
24．【答案】（1）
（2）解：∵的横坐标为4，且在上，∴，
∴，
当时，，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴的面积为：；
（3）解：存在．如图所示：
根据题意设点，则，．
∴．
分两种情况：
①当时，，
解得．
所以点M的坐标为；
②当时，，
解得．
所以点M的坐标为．
综上，满足条件的所有点M的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵直线与相交于点，点的横坐标为4，
由图象得：当时，的图象在的图象的下方，
∴当，的取值范围为，
故答案为：；
【分析】（1）根据交点结合图象，当 时，x<4；
（2）由，，利用待定系数法，得，得，则的面积为：；
（3）如图所示，设点，则，．
∴，分两种情况：①当时，②当时，满足条件的所有点M的坐标为或．
（1）解：∵直线与相交于点，点的横坐标为4，
由图象得：当时，的图象在的图象的下方，
∴当，的取值范围为，
故答案为：；
（2）∵的横坐标为4，且在上，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴的面积为：；
（3）解：存在．
如图所示：
根据题意设点，则，．
∴．
分两种情况：
①当时，，
解得．
所以点M的坐标为；
②当时，，
解得．
所以点M的坐标为．
综上，满足条件的所有点M的坐标为或．
25．【答案】（1）矩形；
（2）解：，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
设，
∵正方形，，，
∴，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延长交于点F，作交于点G，过点Q作交于点H，交于点I，
∵正方形，， 点是线段的中点，
∴，，，
∵，
，
由（1）可知四边形为矩形，
∴，，
延长交于点F，
∴
∴，
∴四边形、为矩形，
∴，，
∴，
∵，
，，
，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形、为矩形，
，；
点为的中点，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴点G为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵线段沿方向平移，得到对应线段，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
故答案为：矩形；
【分析】（1）由平行线性质，得，，由平移的性质得，，三个角是直角的四边形是矩形，得四边形为矩形；
（2）矩形的性质得，设，得，，则，在Rt△DPM，由勾股定理得
（3）如图，延长交于点F，作交于点G，过点Q作交于点H，交于点I，
由（1）可知四边形为矩形， 得，，，证，则=1，是△EAF的中位线，得，在Rt△DQG中，由勾股定理得．
1 / 1贵州省遵义市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有 A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故选：A．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数这一规则，求解即可．
2．下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、该图形是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不符合题意；
C、无论沿着哪条直线对折，直线两旁的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形；
D、该图形是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不是轴对称图形的是C项．
3．2023年至2025年，遵义市举办了多场马拉松赛事．在这三年期间，马拉松参赛总人数约为53900人，将53900用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义，得．
故答案为：．
【分析】科学记数法的形式：，其中，为整数，则a=5.39，n=4，则．
4．某班5名同学每周参与社团活动的时间（单位：分钟）分别为：80，60，80，70，90．这组数据的众数为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组数据80，60，80，70，90中，80出现了2次，出现的次数最多．
根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，所以这组数据的众数是80．
故答案为：C．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，则 这组数据的众数是80 ．
5．如图，在中，的平分线交于点．若，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
平分，
．
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得，由角平分线的定义，得，等角代换得 ，则，则=AE+DE=5，得=5．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，计算错误；
B．无法合并为（二次根式加减需同类项），结果应为，等式不成立，错误；
C．，但选项写为，算术平方根非负，错误；
D．，符合二次根式乘法法则，正确．
故答案为：D．
【分析】由二次根式的运算法则，得 ，不能合并，，则正确选项为D ．
7．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】J解：由题意可知：，
∴四边形为平行四边形，
，
故答案为：C．
【分析】由图可知，由两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形为平行四边形，得．
8．若点，是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，
∴y随着x的增大而增大，
∵点，是一次函数图象上的两点，，
∴．
故答案为：A．
【分析】由K=1大于0，则 y随着x的增大而增大，即，．
9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（　　）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．，
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．
沙田的面积为（平方里）．
故答案为：A．
【分析】由勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，直角三角形沙田的面积 ．
10．小星在复习特殊四边形的关系时，整理出如图所示的知识结构图，在图中（1），（2），（3），（4）处需要添加条件，下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、在平行四边形中，若，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以该选项添加的条件正确；
B、在矩形中，若，根据正方形的判定定理，一组邻边相等的矩形是正方形，所以该选项添加的条件正确；
C、在平行四边形中，是平行四边形本身就具有的性质，不能根据这个条件判定平行四边形是菱形，所以该选项添加的条件错误；
D、在菱形中，若，根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，所以该选项添加的条件正确．
故答案为：C．
【分析】矩形、菱形、正方形的判定定理．根据特殊四边形的判定定理，对每个选项进行分析，判断所添加的条件是否正确
11．如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图：
①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接．
若，，则四边形的面积为（　　）
A．8 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接，
由作图步骤①可知，
又，
所以是等边三角形．
由作图步骤②③可知是的垂直平分线，
∴点B在上，
．
，
，
过作于，
在等边三角形中，，
四边形是平行四边形，
，则也是四边形的高，
，
．
四边形的面积为．
故答案为：D．
【分析】如图：连接，过作于，
根据作图步骤，得，是的垂直平分线，则是等边三角形，，AM为四边形的高，，则 四边形的面积为 。
12．匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间变化的图象（草图）大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：容器由下到上依次是较细的圆柱、最粗的圆柱、中间粗的圆柱．
在注水过程中，由于容器的横截面积不同，水面上升的速度也不同．横截面积越小，水面上升速度越快；横截面积越大，水面上升速度越慢．
开始注水时，容器最下面的部分横截面积较小，所以水面高度h随时间t上升较快．
接着到最粗的圆柱的部分，横截面积最大，水面高度h随时间t上升变慢．
最后到最上面中间粗的圆柱的部分，横截面积介于较小和最大中间，水面高度h随时间t也介于上述两个时间之间．
根据上述分析，水面高度h随时间t变化的图象应该是先上升较快，再上升最慢，最后上升介于介于上述两个时间之间。
故答案为：B．
【分析】根据容器的形状，注水过程中水面高度变化的快慢，随时间变化， 是先上升较快，再上升最慢，最后上升介于介于上述两个时间之间。
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 （写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一，即可）
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义
∴x-2≥0
解之：x≥2，
∴x的值可以是3.
故答案为：3.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
14．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：）如图所示．若和分别表示甲、乙两种苗高数据的方差，则　 　．（填“”或“”）
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，乙种苗高的波动比甲大，
则，
故答案为：.
【分析】波动越大方差越大，从图看苗高的波动幅度，估计甲种苗高的方差小于乙种苗高的方差。
15．如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的．测得，，点，分别是外骨架，的中点．则风筝杆的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵分别是边中点，
∴，
故答案为： ．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得，DE是△ABC的中位线，由三角形的中位线的性质，得=．
16．如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点B作且使，连接，，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值， 即有最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴中，，
∴最小值为：，
故答案为：．
【分析】过点B作且使，连接，，
，得，则，由两点之间线段最短，得：，当点在上时，有最小值为，在中，由勾股定理得AN=，即最小值为：．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值．
【答案】解：（1）
；
（2）∵，，．
∴①，
当时，
原式
②，
当时，
原式；
③，
当时，
原式．
1）；（2）①；；②；；③；
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】（1）根据零次幂为1，去绝对值为，，根据二次根式的加减运算法则计算得；
（2）先对代数式进行化简得 ①=m+2；②=；③ =m2-4， 代入当时，得①=m+2=；②==；③ =m2-4=-2．
18．为加强暑期安全教育，遵义市某中学举行了防溺水相关知识竞赛，随机抽取名学生的竞赛成绩，把成绩分成四组（A：；B：；C：；D：），并将竞赛成绩制成如下不完整的统计图表和扇形统计图：
组别 成绩分组 频数
A
B 15
C
D 5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）的值为________，所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在________组；
（2）若该校共有1000名学生，估计这次知识竞赛成绩在80分及以上的学生人数；
（3）从防溺水的安全角度思考，请你对中学生预防溺水提出一条合理化的建议．
【答案】（1）50；C；
（2）根据题意得：人；
答：这次知识竞赛成绩在80分及以上的学生人数为人；
（3）加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可）
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
C组的人数为：人，
A组的人数为：人，
∵共有50名学生，
∴中位数为第25、26名学生成绩的平均数，
∵A组的人数为人，B组的人数为人，C组的人数为人，
∴，
∴所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在C组，
故答案为：50；C；
（3）加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可）．
【分析】（1）根据B组人数及所占百分比，确定总人数为50人，C组人数为21人，A组的人数为9人，中位数是第25、26名学生成绩的平均数，落在C组；
（2）利用样本估计总体，则人；
（3）根据题意提出建议．
（1）解：根据题意得：，
C组的人数为：人，
A组的人数为：人，
∵共有50名学生，
∴中位数为第25、26名学生成绩的平均数，
∵A组的人数为人，B组的人数为人，C组的人数为人，
∴，
∴所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在C组，
故答案为：50；C；
（2）根据题意得：人；
（3）加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可）．
19．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．
（1）从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长．
【答案】（1）解：选①作为条件，∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
选②平分作为条件
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
③选作为条件，
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形∴且与互相平分
∵，，
∴，
在中，，
∴
∵点为的中点，
∴．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由， ，得四边形是平行四边形，添加 ① 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，得四边形是菱形； 添加 ②平分，得，等角代换得，AB=AD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形是菱形；添加 ③，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得，在中，由勾股定理得，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OE=2.5.
（1）解：选①作为条件，
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
选②平分作为条件
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
③选作为条件，
∵在四边形中，对角线，相交于点，，．
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形是菱形
∴且与互相平分
∵，，
∴，
在中，，
∴
∵点为的中点，
∴．
20．在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出．
（1）填空：______，_____；
（2）在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，即为所求；
其中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴的面积为：．
【知识点】二次根式的实际应用；运用勾股定理解决网格问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
故答案为：；
【分析】（1）利用网格，构建直角三角形，由勾股定理解得BC=，AC=；
（2）根据题意画出三角形，
由勾股定理逆定理确定为直角三角形，的面积为：．
（1）解：根据题意得：，
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求；
其中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴的面积为：．
21．一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后，伸长的长度与所挂重物的质量成正比（在弹簧的弹性限度内）．小星通过实验得到下表数据．
所挂重物 … 2 4 6 …
弹簧总长度 … 16 20 24 …
（1）求弹簧总长度（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式；
（2）若该弹簧的总长度超过后，弹簧会被破坏，求弹簧能挂重物的最大质量．
【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为(k≠0)，把和，将其代入得：，
解得：，
∴，
∴弹簧总长度关于所挂物体质量的函数解析式：．
（2）解：当时，
将代入解析式中得：，
解得：，
答：弹簧能挂重物的最大质量为14千克．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设y关于x的函数解析式为(k≠0)，把和，得，解得，则函数解析式为．
（2）函数值为时，代入，解得x=14，故弹簧能挂重物的最大质量为14千克。
（1）解：设y关于x的函数解析式为，把和，将其代入得：
，
解得：，
∴，
∴弹簧总长度关于所挂物体质量的函数解析式：．
（2）解：当时，
将代入解析式中得：，
解得：，
故弹簧能挂重物的最大质量为14千克．
22．我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理．
（1）如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：；
（2）小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长．
【答案】（1）证明：由图可知，∵，，正方形边长为，
∴，
即．
（2）解：∵，，，，∴，
∴，
∴，
∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）依据题意得，，再，，正方形边长为，则；
（2） 根据图形在Rt△BEM中，由勾股定理得BM=5，则，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为．
（1）证明：由图可知，
∵，，正方形边长为，
∴，
即．
（2）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为．
23．在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．
【初步尝试】
（1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导：
设，，卡片上对应的数分别为，，．
则①，②，③
由②-①，得，.
由②-③，得，
小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大．
【类比解答】
（2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由．
【迁移运用】
（3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果）
【答案】（1）C；
（2）（2）设，，，，卡片上对应的数分别为，，，d，e，
∵，，，，
∴①，②，③，④，⑤，
由②-①，得，
.
由②-③，得，
，
由④-③，得，
.
由⑤-④，得，
，
由⑤-①，得，
.
综上可得：且，
∴e最大，即E卡片上的数字最大；
（3）
【知识点】二次根式的加减法；解二元一次方程组；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意得.，
，
∴C卡片上的数最大，
故答案为：C；
（3）由（2）得①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩，
∴⑥+⑧得，
联立得，解得：，
代入到①，得；
代入到②，得；
代入到③，得；
故答案为：．
【分析】（1）根据题中步骤，得c＞a＞b；
（2）根据例题的步骤，由②-①，得；由②-③，得b＞d；由④-③，得e＞c；由⑤-④，得a>d；由⑤-①，得e>b，则 E卡片上的数字最大 ；
（3）根据（2）中过程建立方程组，得，代入到①，得；代入到②，得；代入到③，得；
．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4．
（1）若，则的取值范围为________；
（2）求的面积；
（3）已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵的横坐标为4，且在上，∴，
∴，
当时，，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴的面积为：；
（3）解：存在．如图所示：
根据题意设点，则，．
∴．
分两种情况：
①当时，，
解得．
所以点M的坐标为；
②当时，，
解得．
所以点M的坐标为．
综上，满足条件的所有点M的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵直线与相交于点，点的横坐标为4，
由图象得：当时，的图象在的图象的下方，
∴当，的取值范围为，
故答案为：；
【分析】（1）根据交点结合图象，当 时，x<4；
（2）由，，利用待定系数法，得，得，则的面积为：；
（3）如图所示，设点，则，．
∴，分两种情况：①当时，②当时，满足条件的所有点M的坐标为或．
（1）解：∵直线与相交于点，点的横坐标为4，
由图象得：当时，的图象在的图象的下方，
∴当，的取值范围为，
故答案为：；
（2）∵的横坐标为4，且在上，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴的面积为：；
（3）解：存在．
如图所示：
根据题意设点，则，．
∴．
分两种情况：
①当时，，
解得．
所以点M的坐标为；
②当时，，
解得．
所以点M的坐标为．
综上，满足条件的所有点M的坐标为或．
25．如图1，直线，点是直线上一点，，垂足为，点是线段的中点，以为边作正方形．线段沿方向平移，得到对应线段．
【操作判断】
（1）如图2，若，判断四边形的形状为________（不需证明）；
【问题探索】
（2）在（1）的条件下，连接交于点．连接，如图2．探究与的数量关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，若，．连接，点为的中点，连接．求的长．
【答案】（1）矩形；
（2）解：，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
设，
∵正方形，，，
∴，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延长交于点F，作交于点G，过点Q作交于点H，交于点I，
∵正方形，， 点是线段的中点，
∴，，，
∵，
，
由（1）可知四边形为矩形，
∴，，
延长交于点F，
∴
∴，
∴四边形、为矩形，
∴，，
∴，
∵，
，，
，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形、为矩形，
，；
点为的中点，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴点G为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵线段沿方向平移，得到对应线段，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
故答案为：矩形；
【分析】（1）由平行线性质，得，，由平移的性质得，，三个角是直角的四边形是矩形，得四边形为矩形；
（2）矩形的性质得，设，得，，则，在Rt△DPM，由勾股定理得
（3）如图，延长交于点F，作交于点G，过点Q作交于点H，交于点I，
由（1）可知四边形为矩形， 得，，，证，则=1，是△EAF的中位线，得，在Rt△DQG中，由勾股定理得．
1 / 1

展开更多......

收起↑