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广东省江门市新会区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列选项中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
本题考查最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题关键.
最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
对于选项A：因为，所以含能开得尽方的因数2，所以不是最简二次根式，不符合题意；
对于选项B：被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，不符合题意；
对于选项C：不含分母或小数，也不含能开得尽的因数，同时满足两个条件，所以是最简二次根式，符合题意；
对于选项D：因为所以，既含有小数，又能开得尽方，不满足条件（1）和（2），所以不是最简二次根式，不符合题意；由此可得出答案．
2．若，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
因此，的值为．
故选：D．
【分析】
本题考查了平方差公式，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据平方差公式：将可分解为，再结合题意，直接代入计算即可得出答案．
3．以下列各组数为边长的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．1、、 B．1、1、 C．5、12、13 D．1、2、
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：边长为1、、．最大边为，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意．
选项B：边长为1、1、．最大边为，验证，与不相等，不满足勾股定理，不是直角三角形，符合题意．
选项C：边长为5、12、13．最大边为13，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意．
选项D：边长为1、2、．最大边为2，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理逆定理是解题的关键．
勾股定理逆定理：若三角形三边长分别是a，b，c，且满足则该三角形是直角三角形；
勾股定理逆定理判断直角三角形的核心方法是：判断“两条短边的平方和”是否等于“最长边的平方”，如果等于，则这三边可以构成直角三角形，如果不等于，则这三边不能构成直角三角形；
根据勾股定理的逆定理判断直角三角形的核心方法对每个选项逐一判断即可得出答案．
4．当时，函数的值是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，；
故答案为：B．
【分析】直接把x=-1代入函数关系式中，即可得出y=-3.
5．某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下： ， ， ， ，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据平均数和方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 ．
故答案为：B．
【分析】根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定，进行作答即可.
6．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】利用平行四边形的性质得到，，，再利用角平分线的定义，和平行线的性质得到， 再利用等角对等边得到，然后根据线段的和差解题即可．
7．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，
∴折断树的高度为AC=，
∴这棵树原来的高度．
即：这棵大树在折断前的高度为18m.
故选：D．
【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．
根据题意可知：BC⊥AB，BC=5cm，AB=12cm，AC为折断后倒下的树干长度（斜边），再根据勾股定理：在Rt△ABC中，代入数据可得：AC=13，所以折断前的高度=未折断部分 BC+折断部分AC，代入数据可得：总高度=5+13=18m，由此可得出答案．
8．如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数的函数值y随x的增大而减小，
，
，
函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【分析】
本题考查一次函数的性质和一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据一次函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，再结合题意可知：k＜0，所以对于函数y=-kx-1中x的系数-k＞0，所以y随x的增大而增大，所以直线斜向上，故排除选项CD，再根据函数y=-kx-1中与b=-1，即交于Y轴的负半轴，由此可排除选项A，由此可得出答案．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴，，，
∴，，，
∴的周长；
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行与第三边，并且等于第三边的一半”解题即可.
10．已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①∵
∴
又∵，
∵在和中，
∴；故①正确；
②∵，
∴，
∵
∴，
∴，即；
∵过点A作的垂线交于点P．若
∴是等腰直角三角形，即
∴故②正确；
③∵， ，
∴， ，
又∵②中，
∴ ，故③正确；
④如图：过B作，交的延长线于F，
又∵③中，
∴
∴
又∵，
∴ ，
∴
∴
如图，连接，
∵，
∴ ，
∴
，故④正确．
⑤∵正方形，
∴，故⑤错误；
综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个．
故选：C．
【分析】利用等角的余角相等可得，再利用“SAS”证明三角形全等，可判断出①是否正确；再利用全等三角形的性质以及是等腰直角三角形求出，判断出②是否正确；再利用勾股定理求出EB的长，判断出③是否正确；再 过B作，交的延长线于F，证出是等腰直角三角形，求出EF和AF的长，再利用三角形的面积公式及割补法求解判断出④是否正确；最后利用正方形的性质求出CD的长，可判断出⑤是否正确，从而得解.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-6≥0，
∴x≥6，
故答案为：x≥6.
【分析】根据二次根式有意义的条件先求出x-6≥0，再求解即可。
12．如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　（只需写出一个）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，，即，
则可添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定是解题关键.
根据平行四边形的性质：对边平行可得：，再根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得添加条件为：AF=CE，由此可得出答案．
13．已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量=　 　（升）．
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】∵原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升
∴每千米耗油量：（升/千米）
∴行驶(千米)后油箱中的剩余油量为：（升）
故答案为：．
【分析】
本题考查一次函数的实际应用．
根据题意：油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升可知：行驶60千米时使用的油量为100-70=30升，即行驶60千米耗油30升，所以每千米的耗油量为(升/千米)， 所以油箱中的剩余油量=原来油量-行驶千米耗油量，代入数据可得：，由此可得出答案．
14．如图，若直线与直线相交于点，当时请写出x的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与直线相交于点，
，解得，
，
由图象可知，当时x的取值范围为
故答案为：
【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想是解题关键．
根据题意可知：点P在直线上，故将点代入可得：m=2，即P点的坐标为(2，4)，观察图象可知：两直线的交点P(2，4)是两条直线高低位置的分界点，即当时图像在点P的左侧，即x＜2，由此可得出答案．
15．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：设，交于点，如图
四边形是矩形，
，，
由作图过程可知：是的角平分线，
∴
∵，即=90°，
又∵
∴
∴，
，则，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的性质、作角平分线的步骤和特点、全等三角形的判断、勾股定理等知识。
首先根据“矩形的对角线互相平分”可以得出，然后由作图过程可以得出是的角平分线，此时可以利用ASA证明，得出，最后利用勾股定理计算即可。
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算与二次根式的性质，熟练掌握对应运算法则是解题关键.
（1）根据二次根式的性质：将二次根式化简可得：，再根据二次根式加减法运算法则：只有被开方数相同的“同类二次根式”，才能像合并同类项一样合并(系数相加减，根式部分不变)化简合并即可得出答案 ；
（2）根据二次根式混合运算的顺序：先乘方、再乘除，最后加减，如果有括号先算括号里的；根据完全平方公式：将展开得：
按照二次根式的混合运算的运算法则计算，即可得出答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
17．如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接AC，如下图
在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
S△ABC=AB BC=×6×8=24，
在△ACD中，
∵CD=24，AD=26，AC=10，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD=AC CD=×10×24=120．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=24+120=144．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．连接AC，根据勾股定理：在Rt ABC中，AC==10，再根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD是直角三角形，再根据三角形面积计算公式：代入公式可得：S△ABC=AB BC和S△ACD=AC CD，再代入数据可分别求出△ABC和△ACD的面积，最后根据组合图形的面积计算方法可得：四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=24+120=144，由此可得出答案．
18．《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识的掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息：
八年级10名学生的竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98．
九年级10名学生的竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97．
八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 85 84.5
九年级 85 93
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出的值；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？
【答案】（1）
（2）九年级学生国家版图知识竞赛成绩较好．理由如下（写出一条理由即可）：
①九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数86大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数84.5．
②九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数93大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数92．
（3）解：（名）
答：估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀的学生人数有240名．
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】
解（1）∵八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是92，
∴．
∵九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列排在第5和第6位的数是86，86，
∴；
【分析】
本题考查了平均数，中位数，众数，以及用样本估计总体．
（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，由八年级10名学生的竞赛成绩可看出：92出现了2次，其余数据出现的1次，所以众数a=92；再根据中位数的定义：将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，把九年级成绩已按升序排列：70， 71， 80， 81， 86， 86， 93， 93， 93， 97，共计10个数，中间两个数是第5个和第6个：86、86，所以中位数，由此可得出答案 ；
（2）观察八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表可知：两个年级的平均数都是 85，因此可以从中位数、众数来比较：
角度 1：中位数 ：九年级中位数 86 > 八年级中位数 84.5，说明九年级中间水平的学生成绩更高；角度 2：众数：九年级众数 93 > 八年级众数 92，说明九年级高分段的 “典型成绩” 更高；选择其中一种说明即可；
（3）根据优秀标准：x≥90由此可知：八年级10名成绩中≥90分的共有3个，所以样本优秀率为，八年级共有400名学生，估计优秀人数为：九年级10名成绩中≥90分的共有4个，所以样本优秀率为，九年级共有300名学生，估计优秀人数为：所以合计优秀人数为120+120=240（人），由此可得出答案．
（1）∵八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是92，
∴．
∵九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列排在第5和第6位的数是86，86，
∴；
（2）九年级学生国家版图知识竞赛成绩较好．理由如下（写出一条理由即可）：
①九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数86大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数84.5．
②九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数93大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数92．
（3）（名）
答：估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀的学生人数有240名．
19．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴
∴；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，
∴在中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等分面积模型；等积变换
【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，等面积法，熟知菱形的性质是解题关键．
（1）由菱形的性质：四边相等可得：DA=DC，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可得：∠DAC=∠ACD=30°，由此可得出答案；
（2）根据菱形的性质：对角线互相垂直平分可得：，，，再Rt△AOB中，由勾股定理可得：，再根据菱形面积的计算公式：代入公式可得：，，进而由等面积法可得：，从而解得：，即可得出答案．
（1）解：∵四边形是菱形，
∴
∴；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，
∴在中，
∵，
∴，
∴．
20．如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象．
（1）放入的长方体的高度为 ；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
【答案】（1）20
（2）解：设所在直线的函数表达式为：，
则代入得：，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为.
（3）解：当时，则，
解得：，
∴该容器注满水所用的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由函数图象得，当时，，
3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体，
∴放入的长方体的高度为，
故答案为：20.
【分析】（1）根据函数图象中的数据分析求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将y=50代入解析式求出x的值即可.
（1）解：由函数图象得，当时，，
3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体，
∴放入的长方体的高度为，
故答案为：20；
（2）解：设所在直线的函数表达式为：，
则代入得：，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为；
（3）解：当时，则，
解得：，
∴该容器注满水所用的时间为．
21．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下的探索：
设（其中均为正整数），
则有，
．
这样小明就找到了一种把部分化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空：____+____（____+___）；
（3）若，且均为正整数，求a的值．
【答案】（1），
（2）7，2，1，1（答案不唯一）
（3）解∶，
，
，
均为正整数，
或，
当时，，
当时，，
综上，a的值为21或9
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）解∶，
，
故答案为∶，；
（2）解∶设，，
由（1）知：，，
故答案为：7，2，1，1（答案不唯一）；
【分析】
本题考查完全平方公式，熟知完全平方公式是解题关键.
（1）根据完全平方公式将展开得：，再让有理数部分和无理数部分分别对应相等。 即可得出a，b的式子，由此可得出答案；
（2）根据（1）的结论，取一组简单的正整数m，n的值代入计算即可得出答案；
（3）先仿照前面的方法展开等式右边，让等式两边的无理数部分系数相等，求出m，n的正整数解，再代入有理数部分求a的值即可得出答案．
（1）解∶，
，
故答案为∶，；
（2）解∶设，，
由（1）知：，，
故答案为：7，2，1，1（答案不唯一）；
（3）解∶，
，
，
均为正整数，
或，
当时，，
当时，，
综上，a的值为21或9
22．根据以下思考，探索完成任务．
曼哈顿距离的思考
问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．
素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有．
素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达．
任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；
任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号） A． B． C． D． E．
任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值．
【答案】解：任务1：∵，
∴，
∴，
∴，
∴消防站的位置为或；
任务2：ABE；
任务3：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
当时，，
∴此时当时，有最小值；
当时，，
∴此时，
综上所述，得到最小值．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：任务2：当选作为D点时，
∵，，
∴，，
∴；
同理当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
∴当选则或或时最小，
故答案为：ABE；
【分析】任务1：利用题干中的定义可得，再求出n的值即可；
任务2：利用题干中的定义分析求出五个点作为D点时的值，再判断即可；
任务3：先利用待定系数法求出直线EF的解析式，再设，分类讨论：①当时，②当时，再分别求出dDH的值，从而可得答案.
23．已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为．
（1）如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由．
（2）如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明．
（3）如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：点E横纵坐标之间的函数关系为：
理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为
是等腰直角三角形，
，，
在和中，，
，
，
设点E坐标为，
，，
故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为
（2）解：结论：证明：如图，延长，使，连接
根据题意可知，，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
（3）解：由（1）可知，点E横纵坐标满足函数关系式
点H为线段的中点，
点H横纵坐标为：，，
，
代入得：
点H在直线上．
当点H位于直线与的交点时，存在最小值，为的长度．
设此时点H的坐标为，
，，，
点H坐标为，
，，
由（1）知：，
，
点D的坐标为．
【知识点】点的坐标；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，灵活构造全等三角形证明关键边和角相等是解答本题的关键．
（1）过点E作EF⊥x轴于点F，根据正方形的性质：四边相等可知：BC=OC=OA=AB，根据等腰直角三角形的性质：两腰相等可知：CD=DE，再根据余角的性质：同角的余角相等可知：∠CDO=∠DEF，由全等三角形的判定定理AAS可证得：△CDO≌△DEF，由全等三角形的性质：对应边相等可知：OD=EF，CO=DF=OA=8，设点E的坐标为(x，y)，即x=y+8，化简得：y=x-8，由此可得出答案．
（2）延长AB至点G，使BG=OD，连接CG，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△COD≌△DBG，再由全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：CD=CG，∠DCO=∠GCB，再根据等腰直角三角形的性质：两底角相等可知：∠DCF=∠DEC=45°，根据角的和差运算可知：∠GCF=∠GCB+∠BCF=∠DCO+∠BCF=45°，等量代换得：∠DCF=∠GCF，再结合CD=CG，CF=CF，由全等三角形的判定定理SAS可证得：△DCF≌△GCF，由全等三角形的性质：对应边相等可知：FG=DF，再根据线段的和差运算可得：OD+BF=DF，由此可证得结论．
（3）先根据（1）中结论得出点H的轨迹，然后确定当点H在线段上时有最小值，再根据的面积求出点H的坐标，进而求出点E的纵坐标，然后根据（1）中即可求解．
（1）解：点E横纵坐标之间的函数关系为：
理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为
是等腰直角三角形，
，，
在和中，，
，
，
设点E坐标为，
，，
故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为
（2）解：结论：
证明：如图，延长，使，连接
根据题意可知，，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
（3）解：由（1）可知，点E横纵坐标满足函数关系式
点H为线段的中点，
点H横纵坐标为：，，
，
代入得：
点H在直线上．
当点H位于直线与的交点时，存在最小值，为的长度．
设此时点H的坐标为，
，，，
点H坐标为，
，，
由（1）知：，
，
点D的坐标为．
1 / 1广东省江门市新会区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列选项中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．以下列各组数为边长的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．1、、 B．1、1、 C．5、12、13 D．1、2、
4．当时，函数的值是（　　）
A． B． C． D．3
5．某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下： ， ， ， ，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点C处折断，大树顶端的着地点A与大树底端B的距离为，则这棵大树折断前的高度为（　　）
A． B． C． D．
8．如果一次函数的函数值y随x的增大而减小，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
10．已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　（只需写出一个）．
13．已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量=　 　（升）．
14．如图，若直线与直线相交于点，当时请写出x的取值范围为　 　．
15．如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线．若，，则　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：
（1）
（2）
17．如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
18．《全国版图知识竞赛（中小学组）》有助于增强学生国家主权意识和民族自豪感．某校为了解学生国家版图等知识的掌握情况，从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生参加国家版图知识竞赛，对数据（百分制）进行整理和分析．下面给出了相关信息：
八年级10名学生的竞赛成绩是：72，75，80，83，84，85，89，92，92，98．
九年级10名学生的竞赛成绩是：70，71，80，81，86，86，93，93，93，97．
八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 85 84.5
九年级 85 93
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出的值；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的国家版图知识竞赛成绩较好？并说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有400名学生、九年级有300名学生参加此次国家版图知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀（）的学生人数有多少名？
19．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
20．如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象．
（1）放入的长方体的高度为 ；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）求该容器注满水所用的时间．
21．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下的探索：
设（其中均为正整数），
则有，
．
这样小明就找到了一种把部分化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空：____+____（____+___）；
（3）若，且均为正整数，求a的值．
22．根据以下思考，探索完成任务．
曼哈顿距离的思考
问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．
素材1 如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有．
素材2 在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达．
任务1 探求消防站位置 若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；
任务2 选择最适合位置 若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号） A． B． C． D． E．
任务3 拟定最短曼距方案 如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值．
23．已知，四边形是正方形，，D是x轴上一点，以D为直角顶点向右侧构造等腰直角三角形，设点D的坐标为．
（1）如图1，点E的横纵坐标之间是否满足某种函数关系？若有请写出并证明，若无请说明理由．
（2）如图2，若点D是线段上一点（不与O、A重合）且与交于点F，连接请判断线段，，的数量关系并证明．
（3）如图3，若点G，H分别是线段，的中点，连接，，是否存在最小值，若存在请求出最小值时点D坐标，若不存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
本题考查最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题关键.
最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
对于选项A：因为，所以含能开得尽方的因数2，所以不是最简二次根式，不符合题意；
对于选项B：被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，不符合题意；
对于选项C：不含分母或小数，也不含能开得尽的因数，同时满足两个条件，所以是最简二次根式，符合题意；
对于选项D：因为所以，既含有小数，又能开得尽方，不满足条件（1）和（2），所以不是最简二次根式，不符合题意；由此可得出答案．
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
因此，的值为．
故选：D．
【分析】
本题考查了平方差公式，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据平方差公式：将可分解为，再结合题意，直接代入计算即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：边长为1、、．最大边为，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意．
选项B：边长为1、1、．最大边为，验证，与不相等，不满足勾股定理，不是直角三角形，符合题意．
选项C：边长为5、12、13．最大边为13，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意．
选项D：边长为1、2、．最大边为2，验证，与相等，是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理逆定理是解题的关键．
勾股定理逆定理：若三角形三边长分别是a，b，c，且满足则该三角形是直角三角形；
勾股定理逆定理判断直角三角形的核心方法是：判断“两条短边的平方和”是否等于“最长边的平方”，如果等于，则这三边可以构成直角三角形，如果不等于，则这三边不能构成直角三角形；
根据勾股定理的逆定理判断直角三角形的核心方法对每个选项逐一判断即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，；
故答案为：B．
【分析】直接把x=-1代入函数关系式中，即可得出y=-3.
5．【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据平均数和方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 ．
故答案为：B．
【分析】根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定，进行作答即可.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】利用平行四边形的性质得到，，，再利用角平分线的定义，和平行线的性质得到， 再利用等角对等边得到，然后根据线段的和差解题即可．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，
∴折断树的高度为AC=，
∴这棵树原来的高度．
即：这棵大树在折断前的高度为18m.
故选：D．
【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．
根据题意可知：BC⊥AB，BC=5cm，AB=12cm，AC为折断后倒下的树干长度（斜边），再根据勾股定理：在Rt△ABC中，代入数据可得：AC=13，所以折断前的高度=未折断部分 BC+折断部分AC，代入数据可得：总高度=5+13=18m，由此可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数的函数值y随x的增大而减小，
，
，
函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【分析】
本题考查一次函数的性质和一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据一次函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，再结合题意可知：k＜0，所以对于函数y=-kx-1中x的系数-k＞0，所以y随x的增大而增大，所以直线斜向上，故排除选项CD，再根据函数y=-kx-1中与b=-1，即交于Y轴的负半轴，由此可排除选项A，由此可得出答案．
9．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴，，，
∴，，，
∴的周长；
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行与第三边，并且等于第三边的一半”解题即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①∵
∴
又∵，
∵在和中，
∴；故①正确；
②∵，
∴，
∵
∴，
∴，即；
∵过点A作的垂线交于点P．若
∴是等腰直角三角形，即
∴故②正确；
③∵， ，
∴， ，
又∵②中，
∴ ，故③正确；
④如图：过B作，交的延长线于F，
又∵③中，
∴
∴
又∵，
∴ ，
∴
∴
如图，连接，
∵，
∴ ，
∴
，故④正确．
⑤∵正方形，
∴，故⑤错误；
综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个．
故选：C．
【分析】利用等角的余角相等可得，再利用“SAS”证明三角形全等，可判断出①是否正确；再利用全等三角形的性质以及是等腰直角三角形求出，判断出②是否正确；再利用勾股定理求出EB的长，判断出③是否正确；再 过B作，交的延长线于F，证出是等腰直角三角形，求出EF和AF的长，再利用三角形的面积公式及割补法求解判断出④是否正确；最后利用正方形的性质求出CD的长，可判断出⑤是否正确，从而得解.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-6≥0，
∴x≥6，
故答案为：x≥6.
【分析】根据二次根式有意义的条件先求出x-6≥0，再求解即可。
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，，即，
则可添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定是解题关键.
根据平行四边形的性质：对边平行可得：，再根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得添加条件为：AF=CE，由此可得出答案．
13．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】∵原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升
∴每千米耗油量：（升/千米）
∴行驶(千米)后油箱中的剩余油量为：（升）
故答案为：．
【分析】
本题考查一次函数的实际应用．
根据题意：油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升可知：行驶60千米时使用的油量为100-70=30升，即行驶60千米耗油30升，所以每千米的耗油量为(升/千米)， 所以油箱中的剩余油量=原来油量-行驶千米耗油量，代入数据可得：，由此可得出答案．
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与直线相交于点，
，解得，
，
由图象可知，当时x的取值范围为
故答案为：
【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想是解题关键．
根据题意可知：点P在直线上，故将点代入可得：m=2，即P点的坐标为(2，4)，观察图象可知：两直线的交点P(2，4)是两条直线高低位置的分界点，即当时图像在点P的左侧，即x＜2，由此可得出答案．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：设，交于点，如图
四边形是矩形，
，，
由作图过程可知：是的角平分线，
∴
∵，即=90°，
又∵
∴
∴，
，则，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的性质、作角平分线的步骤和特点、全等三角形的判断、勾股定理等知识。
首先根据“矩形的对角线互相平分”可以得出，然后由作图过程可以得出是的角平分线，此时可以利用ASA证明，得出，最后利用勾股定理计算即可。
16．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算与二次根式的性质，熟练掌握对应运算法则是解题关键.
（1）根据二次根式的性质：将二次根式化简可得：，再根据二次根式加减法运算法则：只有被开方数相同的“同类二次根式”，才能像合并同类项一样合并(系数相加减，根式部分不变)化简合并即可得出答案 ；
（2）根据二次根式混合运算的顺序：先乘方、再乘除，最后加减，如果有括号先算括号里的；根据完全平方公式：将展开得：
按照二次根式的混合运算的运算法则计算，即可得出答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
17．【答案】解：连接AC，如下图
在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
S△ABC=AB BC=×6×8=24，
在△ACD中，
∵CD=24，AD=26，AC=10，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD=AC CD=×10×24=120．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=24+120=144．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．连接AC，根据勾股定理：在Rt ABC中，AC==10，再根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD是直角三角形，再根据三角形面积计算公式：代入公式可得：S△ABC=AB BC和S△ACD=AC CD，再代入数据可分别求出△ABC和△ACD的面积，最后根据组合图形的面积计算方法可得：四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=24+120=144，由此可得出答案．
18．【答案】（1）
（2）九年级学生国家版图知识竞赛成绩较好．理由如下（写出一条理由即可）：
①九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数86大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数84.5．
②九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数93大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数92．
（3）解：（名）
答：估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀的学生人数有240名．
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】
解（1）∵八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是92，
∴．
∵九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列排在第5和第6位的数是86，86，
∴；
【分析】
本题考查了平均数，中位数，众数，以及用样本估计总体．
（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，由八年级10名学生的竞赛成绩可看出：92出现了2次，其余数据出现的1次，所以众数a=92；再根据中位数的定义：将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，把九年级成绩已按升序排列：70， 71， 80， 81， 86， 86， 93， 93， 93， 97，共计10个数，中间两个数是第5个和第6个：86、86，所以中位数，由此可得出答案 ；
（2）观察八、九年级各抽取10名学生党赛成绩统计表可知：两个年级的平均数都是 85，因此可以从中位数、众数来比较：
角度 1：中位数 ：九年级中位数 86 > 八年级中位数 84.5，说明九年级中间水平的学生成绩更高；角度 2：众数：九年级众数 93 > 八年级众数 92，说明九年级高分段的 “典型成绩” 更高；选择其中一种说明即可；
（3）根据优秀标准：x≥90由此可知：八年级10名成绩中≥90分的共有3个，所以样本优秀率为，八年级共有400名学生，估计优秀人数为：九年级10名成绩中≥90分的共有4个，所以样本优秀率为，九年级共有300名学生，估计优秀人数为：所以合计优秀人数为120+120=240（人），由此可得出答案．
（1）∵八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的是92，
∴．
∵九年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列排在第5和第6位的数是86，86，
∴；
（2）九年级学生国家版图知识竞赛成绩较好．理由如下（写出一条理由即可）：
①九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数86大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的中位数84.5．
②九年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数93大于八年级被抽取的学生国家版图知识竞赛成绩的众数92．
（3）（名）
答：估计该校八、九年级参加此次国家版图知识竞赛成绩优秀的学生人数有240名．
19．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴
∴；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，
∴在中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等分面积模型；等积变换
【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，等面积法，熟知菱形的性质是解题关键．
（1）由菱形的性质：四边相等可得：DA=DC，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可得：∠DAC=∠ACD=30°，由此可得出答案；
（2）根据菱形的性质：对角线互相垂直平分可得：，，，再Rt△AOB中，由勾股定理可得：，再根据菱形面积的计算公式：代入公式可得：，，进而由等面积法可得：，从而解得：，即可得出答案．
（1）解：∵四边形是菱形，
∴
∴；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，，
∴在中，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）20
（2）解：设所在直线的函数表达式为：，
则代入得：，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为.
（3）解：当时，则，
解得：，
∴该容器注满水所用的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由函数图象得，当时，，
3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体，
∴放入的长方体的高度为，
故答案为：20.
【分析】（1）根据函数图象中的数据分析求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将y=50代入解析式求出x的值即可.
（1）解：由函数图象得，当时，，
3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体，
∴放入的长方体的高度为，
故答案为：20；
（2）解：设所在直线的函数表达式为：，
则代入得：，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为；
（3）解：当时，则，
解得：，
∴该容器注满水所用的时间为．
21．【答案】（1），
（2）7，2，1，1（答案不唯一）
（3）解∶，
，
，
均为正整数，
或，
当时，，
当时，，
综上，a的值为21或9
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）解∶，
，
故答案为∶，；
（2）解∶设，，
由（1）知：，，
故答案为：7，2，1，1（答案不唯一）；
【分析】
本题考查完全平方公式，熟知完全平方公式是解题关键.
（1）根据完全平方公式将展开得：，再让有理数部分和无理数部分分别对应相等。 即可得出a，b的式子，由此可得出答案；
（2）根据（1）的结论，取一组简单的正整数m，n的值代入计算即可得出答案；
（3）先仿照前面的方法展开等式右边，让等式两边的无理数部分系数相等，求出m，n的正整数解，再代入有理数部分求a的值即可得出答案．
（1）解∶，
，
故答案为∶，；
（2）解∶设，，
由（1）知：，，
故答案为：7，2，1，1（答案不唯一）；
（3）解∶，
，
，
均为正整数，
或，
当时，，
当时，，
综上，a的值为21或9
22．【答案】解：任务1：∵，
∴，
∴，
∴，
∴消防站的位置为或；
任务2：ABE；
任务3：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
当时，，
∴此时当时，有最小值；
当时，，
∴此时，
综上所述，得到最小值．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：任务2：当选作为D点时，
∵，，
∴，，
∴；
同理当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
∴当选则或或时最小，
故答案为：ABE；
【分析】任务1：利用题干中的定义可得，再求出n的值即可；
任务2：利用题干中的定义分析求出五个点作为D点时的值，再判断即可；
任务3：先利用待定系数法求出直线EF的解析式，再设，分类讨论：①当时，②当时，再分别求出dDH的值，从而可得答案.
23．【答案】（1）解：点E横纵坐标之间的函数关系为：
理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为
是等腰直角三角形，
，，
在和中，，
，
，
设点E坐标为，
，，
故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为
（2）解：结论：证明：如图，延长，使，连接
根据题意可知，，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
（3）解：由（1）可知，点E横纵坐标满足函数关系式
点H为线段的中点，
点H横纵坐标为：，，
，
代入得：
点H在直线上．
当点H位于直线与的交点时，存在最小值，为的长度．
设此时点H的坐标为，
，，，
点H坐标为，
，，
由（1）知：，
，
点D的坐标为．
【知识点】点的坐标；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，灵活构造全等三角形证明关键边和角相等是解答本题的关键．
（1）过点E作EF⊥x轴于点F，根据正方形的性质：四边相等可知：BC=OC=OA=AB，根据等腰直角三角形的性质：两腰相等可知：CD=DE，再根据余角的性质：同角的余角相等可知：∠CDO=∠DEF，由全等三角形的判定定理AAS可证得：△CDO≌△DEF，由全等三角形的性质：对应边相等可知：OD=EF，CO=DF=OA=8，设点E的坐标为(x，y)，即x=y+8，化简得：y=x-8，由此可得出答案．
（2）延长AB至点G，使BG=OD，连接CG，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△COD≌△DBG，再由全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知：CD=CG，∠DCO=∠GCB，再根据等腰直角三角形的性质：两底角相等可知：∠DCF=∠DEC=45°，根据角的和差运算可知：∠GCF=∠GCB+∠BCF=∠DCO+∠BCF=45°，等量代换得：∠DCF=∠GCF，再结合CD=CG，CF=CF，由全等三角形的判定定理SAS可证得：△DCF≌△GCF，由全等三角形的性质：对应边相等可知：FG=DF，再根据线段的和差运算可得：OD+BF=DF，由此可证得结论．
（3）先根据（1）中结论得出点H的轨迹，然后确定当点H在线段上时有最小值，再根据的面积求出点H的坐标，进而求出点E的纵坐标，然后根据（1）中即可求解．
（1）解：点E横纵坐标之间的函数关系为：
理由：如图，过点E向x轴作垂线，垂足为
是等腰直角三角形，
，，
在和中，，
，
，
设点E坐标为，
，，
故点E的横纵坐标所满足的函数关系式为
（2）解：结论：
证明：如图，延长，使，连接
根据题意可知，，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
（3）解：由（1）可知，点E横纵坐标满足函数关系式
点H为线段的中点，
点H横纵坐标为：，，
，
代入得：
点H在直线上．
当点H位于直线与的交点时，存在最小值，为的长度．
设此时点H的坐标为，
，，，
点H坐标为，
，，
由（1）知：，
，
点D的坐标为．
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