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四川省绵阳富乐实验中学2025--2026学年上学期九年级入学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．下列各图中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB=CD
5．如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是
8．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．且 C． D．
9．已知和是方程的两个解，则的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
10．如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
11．如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
12．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：　 　
14．某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为　 　．
15．如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为　 　．
16．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　米．
17．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则　 　
18．如图，在菱形中，，，点，分别在和上，且，则的最小值为　 　．
三、解答题（共6题，共46分）
19．用指定方法解下列方程：
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
20．某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．．
甲队的成绩是：，，，，，，，，，．
乙队成绩在组中的数据是：，，．
甲、乙两队的成绩统计表
队伍 平均数 中位数 众数 方差
甲队
乙队
乙队成绩扇形统计图
某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述、、的值； ， ， ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由；
21．如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且．
（1）试判断四边形的形状，并加以证明；
（2）若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积．
22．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
23．已知正方形的边长为2，顶点A，C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是的中点，是线段上一动点(C点除外)，直线交的延长线于点D．
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
（2）当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
24．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B.
【分析】利用二次函数的顶点为解答．
2．【答案】B
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：因为10分出现了12次，出现的次数最多，
所以众数为10，
故答案为：B．
【分析】根据众数的定义“一组数据中，出现次数最多的数据叫众数”并结合题意即可求解．
3．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
∴选项B正确．
故答案为：B．
【分析】根据函数的定义“对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应”可知，函数反映在图象上简单的判断方法是：在x的取值范围内作垂直x轴的直线与函数图象只有一个交点．结合各选项即可判断求解.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形”逐项判断即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵如图，直线与直线交于点，
∴不等式的解集是．
故选：C．
【分析】根据函数图象，得到直线在直线上方时，自变量的取值范围解答即可．
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得，
故选：B．
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（40-2x），宽为（28-2x），然后根据矩形的面积等于矩形的长×宽即可列出关于x的方程．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
此时，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【分析】根据有两个相等的实数根得到，即可得到c的值，代入原方程，求出值判断方程根的情况即可．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"和一元二次方程的定义可得关于k的不等式组，解不等式组即可求解．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故选：D．
【分析】根据方程的解及根与系数关系可得，，然后把代数式化为，然后整体代入计算解答即可．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，
的面积先增大，再减小，
当点P运动到点时，的面积最大，
根据函数图象可得此时的面积为，
如图，
，
点D为边的中点，等腰直角三角形，
，
可得，
当点P运动到的中点时，如图，
，
点D为边的中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可求解．
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BG的中点，连接MH，如图所示：
∵H是的中点，
∴为△GBE的中位线，
∴HM，HM∥BE，
∴∠GMH=∠CBE=90°，
由题意得：，
∴，
∴
∴
故选：B.
【分析】取BG的中点，连接MH，可知为的中位线，根据三角形的中位线定理求出MH，然后根据勾股定理求出CH 即可解答.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为
∴当时，可有，故结论①正确；
∵，
∴该二次函数的图象开口向下，
∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，
∵对称轴为，
∵，，，
又∵，
∴，故结论②错误；
∵该函数图象的对称轴，
∴，
∵，即，
∴，
∵该二次函数的图象开口向下，
∴当时，该函数取最大值，
∴为任意实数，可有，
即，故结论③正确；
∵若且，
即有，
∵函数图象的对称轴为，
∴，即，故结论④错误；
∵方程的两实数根为，，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，
即该抛物线与轴的交点为，，
∵该抛物线开口向下，，
∴，，故结论⑤正确．
综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个．
故选：C．
【分析】把代入解析式计算判断①；由根据开口向下，离对称轴远的点的纵坐标小判断②；根据时函数值最大判断③；对称轴为直线，根据对称性判断④；根据抛物线的对称性得到该抛物线与轴的另一交点坐标判断⑤解答即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】用二次根式的性质化简各式，再合并同类二次根式即可求解.
14．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：他的总分为：，
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可求解．
15．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先由勾股定理求出AB的值，再由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，由等角对等边可得，然后由线段的和差可求解．
16．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米，
故答案为：1．
【分析】1. 模型转化：把种植区域抽象为矩形，用含 的式子表示其长和宽.
2. 方程建立：根据面积条件列出一元二次方程.
3. 求解验证：解出方程的根后，结合实际意义（ 宽度为正、不超原矩形尺寸 ）舍去不合理根，得到答案.
17．【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴
∴，整理得：，
解得：或，
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
故答案为：或．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“一元二次方程的两个根为，，则，”可得，，再整体代入可得关于m的方程，解方程并检验即可求解．
18．【答案】
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点作，且使，连接，
≌，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点作，且使，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，由题意易得是等腰直角三角形，然后用勾股定理即可求解．
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
∴ ．
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，用配方法即可求解；
（2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的情况，再根据一元二次方程的球根公式“x=”计算即可求解.
（1）解：，
，
，
，
所以 ．
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
20．【答案】（1），，
（2）解：学校应选派甲队，理由如下：
∵甲队的方差为，
∵两队的平均数相同，但甲队的方差小于乙队的方差，
∴这次竞赛中甲队的成绩更稳定；
∴学校应选派甲队．
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：∵乙队组占的百分比为，
∴，
；
甲队名学生的成绩，从小到大排列为，，，，，，，，，，第和位置的数是和，
中位数；
甲队名学生成绩中，分出现的次数最多，
众数；
故答案为：，，；
【分析】
本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据．
（1）根据乙队组的百分数求，根据中位数定义“中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)”和众数的定义“众数是出现次数最多的数据”求和的值；
（2）根据题意求出甲队的方差，由方差越小成绩越稳定并结合方差的大小即可判断求解．
（1）解：∵乙队组占的百分比为，
∴，
；
甲队名学生的成绩，从小到大排列为，，，，，，，，，，第和位置的数是和，
中位数；
甲队名学生成绩中，分出现的次数最多，
众数；
故答案为：，，；
（2）解：学校应选派甲队，理由如下：
∵甲队的方差为，
∵两队的平均数相同，但甲队的方差小于乙队的方差，
∴这次竞赛中甲队的成绩更稳定；
∴学校应选派甲队．
21．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：连接，交于点O，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，菱形的边长为5，
∴，
∴，
∴菱形的面积：．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，，，再由可得，即可求证；
（2）根据线段的和差关系可得，再由勾股定理可得，根据菱形的面积公式求解即可．
22．【答案】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量的月平均增长率为x，根据“2月份到4月份销售量从256变成400”列方程解答即可；
（2）设该款徽章降价m元，根据总利润为=单利润×销售量列方程解答即可．
（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
23．【答案】（1）解：∵M是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（2）①当时，则，
∴，
解得；
②当时，过点P作于点H，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
综上可得，m的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由已知条件，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得BD=PC，然后用线段的和差AD=AB+BD可将的长度分别用含m的代数式表示出来，则可得D的坐标；
（2）由等腰三角形的性质可分两钟情况讨论：①；②，结合勾股定理和等腰三角形的性质即可求解．
（1）∵M是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（2）①当时，则，
∴，
解得；
②当时，过点P作于点H，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
综上可得，m的值为或．
24．【答案】（1）解：设抛物线为
把代入得：得：
抛物线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为
把、代入得：
解得：
直线的解析式为
设，则，
，
解得（舍去），
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
设，，，，
当为对角线时，
PQ的中点坐标为：
BC的中点坐标为：
∴
，
同理：
当为对角线时
则
，
当为对角线时
则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意设两根式：，再代，即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设出点D的坐标，因为，得出点E，F的坐标，再根据，得出：所以，解得，得，即可；
（3）结合平行四边形的性质，根据中点坐标公式：已知：则AB的中点坐标为：进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
1 / 1四川省绵阳富乐实验中学2025--2026学年上学期九年级入学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B.
【分析】利用二次函数的顶点为解答．
2．某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：因为10分出现了12次，出现的次数最多，
所以众数为10，
故答案为：B．
【分析】根据众数的定义“一组数据中，出现次数最多的数据叫众数”并结合题意即可求解．
3．下列各图中，能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
∴选项B正确．
故答案为：B．
【分析】根据函数的定义“对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应”可知，函数反映在图象上简单的判断方法是：在x的取值范围内作垂直x轴的直线与函数图象只有一个交点．结合各选项即可判断求解.
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OB＝OD，OA＝OC B．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB=CD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形”逐项判断即可得出答案．
5．如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵如图，直线与直线交于点，
∴不等式的解集是．
故选：C．
【分析】根据函数图象，得到直线在直线上方时，自变量的取值范围解答即可．
6．如图是一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得，
故选：B．
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（40-2x），宽为（28-2x），然后根据矩形的面积等于矩形的长×宽即可列出关于x的方程．
7．小马在解关于x的一元二次方程时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程为，
此时，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【分析】根据有两个相等的实数根得到，即可得到c的值，代入原方程，求出值判断方程根的情况即可．
8．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"和一元二次方程的定义可得关于k的不等式组，解不等式组即可求解．
9．已知和是方程的两个解，则的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故选：D．
【分析】根据方程的解及根与系数关系可得，，然后把代数式化为，然后整体代入计算解答即可．
10．如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，
的面积先增大，再减小，
当点P运动到点时，的面积最大，
根据函数图象可得此时的面积为，
如图，
，
点D为边的中点，等腰直角三角形，
，
可得，
当点P运动到的中点时，如图，
，
点D为边的中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可求解．
11．如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BG的中点，连接MH，如图所示：
∵H是的中点，
∴为△GBE的中位线，
∴HM，HM∥BE，
∴∠GMH=∠CBE=90°，
由题意得：，
∴，
∴
∴
故选：B.
【分析】取BG的中点，连接MH，可知为的中位线，根据三角形的中位线定理求出MH，然后根据勾股定理求出CH 即可解答.
12．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如下图，
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为
∴当时，可有，故结论①正确；
∵，
∴该二次函数的图象开口向下，
∴函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，
∵对称轴为，
∵，，，
又∵，
∴，故结论②错误；
∵该函数图象的对称轴，
∴，
∵，即，
∴，
∵该二次函数的图象开口向下，
∴当时，该函数取最大值，
∴为任意实数，可有，
即，故结论③正确；
∵若且，
即有，
∵函数图象的对称轴为，
∴，即，故结论④错误；
∵方程的两实数根为，，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为，，
由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，
即该抛物线与轴的交点为，，
∵该抛物线开口向下，，
∴，，故结论⑤正确．
综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个．
故选：C．
【分析】把代入解析式计算判断①；由根据开口向下，离对称轴远的点的纵坐标小判断②；根据时函数值最大判断③；对称轴为直线，根据对称性判断④；根据抛物线的对称性得到该抛物线与轴的另一交点坐标判断⑤解答即可．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：　 　
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】用二次根式的性质化简各式，再合并同类二次根式即可求解.
14．某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为　 　．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：他的总分为：，
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可求解．
15．如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为　 　．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先由勾股定理求出AB的值，再由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，由等角对等边可得，然后由线段的和差可求解．
16．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　米．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米，
故答案为：1．
【分析】1. 模型转化：把种植区域抽象为矩形，用含 的式子表示其长和宽.
2. 方程建立：根据面积条件列出一元二次方程.
3. 求解验证：解出方程的根后，结合实际意义（ 宽度为正、不超原矩形尺寸 ）舍去不合理根，得到答案.
17．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则　 　
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴
∴，整理得：，
解得：或，
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
当时，原方程为，有实数根，符合题意；
故答案为：或．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“一元二次方程的两个根为，，则，”可得，，再整体代入可得关于m的方程，解方程并检验即可求解．
18．如图，在菱形中，，，点，分别在和上，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点作，且使，连接，
≌，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点作，且使，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，由题意易得是等腰直角三角形，然后用勾股定理即可求解．
三、解答题（共6题，共46分）
19．用指定方法解下列方程：
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
【答案】（1）解：，
，
，
，
∴ ．
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）由题意，用配方法即可求解；
（2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的情况，再根据一元二次方程的球根公式“x=”计算即可求解.
（1）解：，
，
，
，
所以 ．
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
20．某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．．
甲队的成绩是：，，，，，，，，，．
乙队成绩在组中的数据是：，，．
甲、乙两队的成绩统计表
队伍 平均数 中位数 众数 方差
甲队
乙队
乙队成绩扇形统计图
某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述、、的值； ， ， ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由；
【答案】（1），，
（2）解：学校应选派甲队，理由如下：
∵甲队的方差为，
∵两队的平均数相同，但甲队的方差小于乙队的方差，
∴这次竞赛中甲队的成绩更稳定；
∴学校应选派甲队．
【知识点】中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：∵乙队组占的百分比为，
∴，
；
甲队名学生的成绩，从小到大排列为，，，，，，，，，，第和位置的数是和，
中位数；
甲队名学生成绩中，分出现的次数最多，
众数；
故答案为：，，；
【分析】
本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据．
（1）根据乙队组的百分数求，根据中位数定义“中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)”和众数的定义“众数是出现次数最多的数据”求和的值；
（2）根据题意求出甲队的方差，由方差越小成绩越稳定并结合方差的大小即可判断求解．
（1）解：∵乙队组占的百分比为，
∴，
；
甲队名学生的成绩，从小到大排列为，，，，，，，，，，第和位置的数是和，
中位数；
甲队名学生成绩中，分出现的次数最多，
众数；
故答案为：，，；
（2）解：学校应选派甲队，理由如下：
∵甲队的方差为，
∵两队的平均数相同，但甲队的方差小于乙队的方差，
∴这次竞赛中甲队的成绩更稳定；
∴学校应选派甲队．
21．如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且．
（1）试判断四边形的形状，并加以证明；
（2）若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：连接，交于点O，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，菱形的边长为5，
∴，
∴，
∴菱形的面积：．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，，，再由可得，即可求证；
（2）根据线段的和差关系可得，再由勾股定理可得，根据菱形的面积公式求解即可．
22．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量的月平均增长率为x，根据“2月份到4月份销售量从256变成400”列方程解答即可；
（2）设该款徽章降价m元，根据总利润为=单利润×销售量列方程解答即可．
（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
23．已知正方形的边长为2，顶点A，C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，M是的中点，是线段上一动点(C点除外)，直线交的延长线于点D．
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
（2）当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1）解：∵M是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（2）①当时，则，
∴，
解得；
②当时，过点P作于点H，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
综上可得，m的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由已知条件，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得BD=PC，然后用线段的和差AD=AB+BD可将的长度分别用含m的代数式表示出来，则可得D的坐标；
（2）由等腰三角形的性质可分两钟情况讨论：①；②，结合勾股定理和等腰三角形的性质即可求解．
（1）∵M是的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（2）①当时，则，
∴，
解得；
②当时，过点P作于点H，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
综上可得，m的值为或．
24．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线为
把代入得：得：
抛物线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为
把、代入得：
解得：
直线的解析式为
设，则，
，
解得（舍去），
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
设，，，，
当为对角线时，
PQ的中点坐标为：
BC的中点坐标为：
∴
，
同理：
当为对角线时
则
，
当为对角线时
则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意设两根式：，再代，即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设出点D的坐标，因为，得出点E，F的坐标，再根据，得出：所以，解得，得，即可；
（3）结合平行四边形的性质，根据中点坐标公式：已知：则AB的中点坐标为：进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
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