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新疆喀什地区莎车县2025-2026学年第二学期阶段性练习题高一数学
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．化简 ( )
A． B． C． D．
3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
4．如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C．8 D．
6．已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
8．在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是纯虚数 B．
C． D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．存在实数，使得与共线
11．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的外接圆半径为8
B．若，则为钝角三角形
C．若，则
D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题
12．已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________．
13．若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____.
14．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为__________.
四、解答题
15．已知复数（为虚数单位）
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若复数对应的点在第四象限，求的取值范围.
16．已知，且与的夹角为，
(1)求的值；
(2)若，求的值．
17．已知平面内三个向量，，.
(1)若，求实数，的值；
(2)若，求实数的值；
(3)已知，求的最小值.
18．如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm．

(1)求四棱台的表面积；
(2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积．
19．在中，
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
参考答案
1．B
【详解】，所以的虚部为.
2．D
【详解】.
3．C
【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示，
由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，
又平面平面，
平面分别与平面和相交于，
所以，同理，
又，所以互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选：C
4．C
【详解】因为，所以，
则，
因为，所以，即，
则.
故选：C
5．B
【详解】如图，的直观图是，则，
则的面积为.
故选：B
6．A
【详解】已知单位向量，满足，设与的夹角为
则，解得，
因为，故.
7．B
【详解】
设长方体的长、宽、高分别为，易知长方体的体积为.
不妨令.
由长方体，易知两两垂直，
所以，
于是.
故剩下几何体的体积，
因此， .
故选：B.
8．D
【详解】根据正弦定理得，化简得.
根据余弦定理知，，所以.
因为，所以.
因为，所以，解得，
所以的面积为.
故选：D.
9．ABD
【详解】
对于A，，为纯虚数，A正确；
对于B，，B正确：
对于C，，C错误：
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【详解】对于A，由图可知，，故A正确；
对于B，，则，
，故B正确；
对于C，，即不垂直，故C错误；
对于D，，，
由，解得，
因此当时，与共线，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【详解】对于A，由知，所以的外接圆半径为，故A错误；
对于B，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，故B正确；
对于C，由可得，即，
又，所以，故C正确；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确．
12．
【详解】因为：.
故答案为：
13．
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以另一个根为，
故.
故答案为：.
14．
【详解】球的表面积为，可得其半径，
圆柱的底面直径为，半径为，
在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为．
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，复数为纯虚数，所以，解得.
（2）复数对应的点在第四象限，所以，解得.
故的取值范围是.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，且与的夹角为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
即.
17．(1)
(2)
(3).
【详解】（1），又，，，
即，
，解得.
（2）因为，，
又，
，即，解得.
（3）因为，
所以，
所以当时，取最小值.
18．(1)；
(2).
【详解】（1）正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
分别取中点，连接，作交于，
如图所示，因为，，且，则四边形为矩形，
则，，，，
所以，
所以四棱台的表面积为．

（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高，
则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高，
则圆台的体积为．
19．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，则，
则，
因为，所以，
则有，解得，则.
（2）由题意得，其中，
则，解得，
由余弦定理得，
因为，则，
则的周长为.

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