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第七章
机械振动与机械波
第2讲　单摆　受迫振动和共振
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 理解单摆的模型特征，掌握单摆的周期公式，能解决与单摆相关的综合问题.
2. 认识受迫振动的特点，了解产生共振的条件及其利用与防止．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　理解单摆的模型特征，掌握单摆的周期公式
单摆是理想化模型，下列关于单摆的说法不正确的是(　　)
A. 单摆的细线越短越好
B. 尽量选择细且不可伸长的线
C. 尽量选择质量大、体积小的小球
D. 摆动过程中所受到的空气阻力可以忽略不计
1
A
[2025教材习题改编]如图所示，质量为m的小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间来回运动，P为平衡位置，重力加速度为g.
(1) 请画出小球在A位置的受力示意图，并写出此位置小球的重力沿圆弧切线方向的分力大小的表达式；
2
【答案】 (1) 小球受力示意图如图所示，
重力G沿圆弧切线方向的分力为F2＝mgsin θ.
[2025南通一模]如图所示，光滑圆弧轨道ABC竖直固定，与水平面相切于A点，B为圆弧上一点，C为圆弧最高点，弧长AC远小于半径．质量相等的小球甲、乙分别从B、C位置由静止同时释放，则两球从开始至运动到A点的过程中(　　)
A. 甲球比乙球运动的时间短
B. 两球可能在A点右侧相撞
C. 两球动量的改变量相等
D. 两球重力的冲量相等
1
D
[2025无锡期末]如图甲所示是游乐场常见的秋千的示意图，图乙中绳长为L，轻绳与水平固定杆的夹角为α，在秋千做小角度自由摆动时(未坐人)，座椅每次经过最低点的时间间隔可表示为(　　)
甲　 　 乙
3
D
某同学借鉴伽利略研究自由落体运动“冲淡重力”的方法，探究单摆周期与重力加速度的关系，如图所示，让摆球在光滑斜面上运动，实验中应仅改变(　　)

A. 斜面的倾角 B. 摆球的质量
C. 摆球的振幅 D. 摆线的长度
2
A
[2025苏州中学模拟]正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下，某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为l＝1 m．他打开窗户，让小球在垂直于墙面的竖直平面内做小角度摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第21次通过B点共用时40 s．重力加速度g取π2 m/s2，根据以上数据，求：
3
(1) 该单摆的周期；
(2) 房顶到窗上沿的高度h.
活动二　认识自由振动、阻尼振动、受迫振动和共振
一单摆做阻尼振动的位移—时间图像如图所示，比较摆球在P与N对应时刻的下列物理量，正确的是(　　)
A. 速率vP＝vN
B. 受到的拉力FP>FN
C. 重力势能EpP>EpN
D. 机械能EP4
B
【解析】 由于单摆在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减小，摆球的机械能逐渐减少，所以摆球在P点所对应时刻的机械能大于在N点所对应时刻的机械能，摆球的重力势能是由摆球相对于零势能点的高度h和摆球的质量m共同决定的(Ep＝mgh)．单摆摆球的质量是定值，由于P、N两时刻摆球的位移大小相同，故在这两个时刻摆球相对零势能点的高度相同，重力势能也相同，但由于P点的机械能大于N点的机械能，所以P点对应时刻的动能大于N点对应时刻的动能，可得P点速率大，故A、C、D错误；
如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等．当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．观察B、C、D摆的振动发现(　　)
A. C摆的频率最小 B. D摆的周期最大
C. B摆的摆角最大 D. B、C、D的摆角相同
5
C
1. 自由振动的周期由系统本身性质决定，即固有周期．受迫振动的周期与驱动力的周期、物体的固有周期之间的关系：受迫振动的周期(或频率)等于__________的周期(或频率)，而与物体的________周期(或频率)无关．
2. 做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，发生共振现象．共振曲线如图所示．
驱动力
固有
一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法中错误的是(　　)
A. 此单摆的固有周期约为2 s
B. 此单摆的摆长约为1 m
C. 若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动
D. 若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
4
C
[2025苏锡常镇一模]某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯．关于这一现象，下列说法中正确的是(　　)
A. 声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B. 声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C. 需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D. 在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
5
【解析】 发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，则用声音震碎玻璃杯需声音的驱动频率与玻璃杯的固有频率相等，即共振与否仅与频率有关，与音量的大小无关．D正确．
D
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学习目标　1. 理解单摆的模型特征，掌握单摆的周期公式，能解决与单摆相关的综合问题.2. 认识受迫振动的特点，了解产生共振的条件及其利用与防止．
活动一 理解单摆的模型特征，掌握单摆的周期公式
1 单摆是理想化模型，下列关于单摆的说法不正确的是(　　)
A. 单摆的细线越短越好
B. 尽量选择细且不可伸长的线
C. 尽量选择质量大、体积小的小球
D. 摆动过程中所受到的空气阻力可以忽略不计
2 [2025教材习题改编]如图所示，质量为m的小球在半径为R的光滑球面上的A、B之间来回运动，P为平衡位置，重力加速度为g.
(1) 请画出小球在A位置的受力示意图，并写出此位置小球的重力沿圆弧切线方向的分力大小的表达式；
(2) 若 R，请从简谐运动受力角度推理说明小球做的是简谐运动．
即时训练1 [2025南通一模]如图所示，光滑圆弧轨道ABC竖直固定，与水平面相切于A点，B为圆弧上一点，C为圆弧最高点，弧长AC远小于半径．质量相等的小球甲、乙分别从B、C位置由静止同时释放，则两球从开始至运动到A点的过程中(　　)
A. 甲球比乙球运动的时间短
B. 两球可能在A点右侧相撞
C. 两球动量的改变量相等
D. 两球重力的冲量相等
3 [2025无锡期末]如图甲所示是游乐场常见的秋千的示意图，图乙中绳长为L，轻绳与水平固定杆的夹角为α，在秋千做小角度自由摆动时(未坐人)，座椅每次经过最低点的时间间隔可表示为(　　)
甲 乙
A. Δt＝2π B. Δt＝π
C. Δt＝2π D. Δt＝π
单摆的周期公式为T＝2π)，周期T只与l和g有关，与摆球质量m和振幅无关．公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l＝l线＋r球，g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
即时训练2 某同学借鉴伽利略研究自由落体运动“冲淡重力”的方法，探究单摆周期与重力加速度的关系，如图所示，让摆球在光滑斜面上运动，实验中应仅改变(　　)
A. 斜面的倾角 B. 摆球的质量
C. 摆球的振幅 D. 摆线的长度
即时训练3 [2025苏州中学模拟]正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿下，某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为l＝1 m．他打开窗户，让小球在垂直于墙面的竖直平面内做小角度摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第21次通过B点共用时40 s．重力加速度g取π2 m/s2，根据以上数据，求：
(1) 该单摆的周期；
(2) 房顶到窗上沿的高度h.
活动二 认识自由振动、阻尼振动、受迫振动和共振
4 一单摆做阻尼振动的位移—时间图像如图所示，比较摆球在P与N对应时刻的下列物理量，正确的是(　　)
A. 速率vP＝vN
B. 受到的拉力FP>FN
C. 重力势能EpP>EpN
D. 机械能EP5 如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等．当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．观察B、C、D摆的振动发现(　　)
A. C摆的频率最小 B. D摆的周期最大
C. B摆的摆角最大 D. B、C、D的摆角相同
1. 自由振动的周期由系统本身性质决定，即固有周期．受迫振动的周期与驱动力的周期、物体的固有周期之间的关系：受迫振动的周期(或频率)等于________的周期(或频率)，而与物体的________周期(或频率)无关．
2. 做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，发生共振现象．共振曲线如图所示．
即时训练4 一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法中错误的是(　　)
A. 此单摆的固有周期约为2 s
B. 此单摆的摆长约为1 m
C. 若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动
D. 若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
即时训练5 [2025苏锡常镇一模]某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯．关于这一现象，下列说法中正确的是(　　)
A. 声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B. 声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C. 需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D. 在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
第2讲　单摆　受迫振动和共振
【活动一】
例 1
A
例 2
(1) 小球受力示意图如图所示，
重力G沿圆弧切线方向的分力为F2＝mg sin θ.
(2) F2充当回复力．当θ很小时，圆弧　的长度可认为与小球的位移x大小相等，则有sin θ≈θ＝≈，
回复力F2与位移x的方向相反，则F2可表示为
F2＝－x，
此题给定的情境中 为定值，可以用一个常量k表示，即
F2＝－kx，
故小球在运动弧度不大，偏角很小的情况下做简谐运动．
即时训练1 D　由于弧长AC远小于半径，可认为小球甲、乙在光滑圆弧轨道做简谐运动，根据单摆周期公式可得周期为T＝2π，小球甲、乙分别从B、C位置由静止同时释放，两球从开始至运动到A点的运动时间均为t＝＝，可知两球在A点相撞，A、B错误；根据IG＝mgt，由于两球质量相等，可知两球重力的冲量相等，D正确；根据动能定理可得mgh＝mv2，可得小球到达A点的速度大小为v＝，则小球的动量变化量为Δp＝mv－0＝m，由于两球释放高度不同，所以两球动量的改变量不相等，C错误．
例 3
D　秋千做小角度自由摆动时的有效摆长为L sin α，秋千在一个周期内两次经过最低点，周期为T＝2π，座椅每次经过最低点的时间间隔Δt＝π，故D正确．
即时训练2 A
即时训练3 (1) 从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第21次通过B点共用时40 s.
则周期为T＝ s＝4 s.
(2) 球心到窗上沿的距离l＝1 m，由于该单摆在左右两侧摆动的摆长变化，故周期公式为
T＝(T1＋T2)＝(2π＋2π)，
代入数据解得房顶到窗上沿的高度h＝8 m.
【活动二】
例 4
B　由于单摆在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减小，摆球的机械能逐渐减少，所以摆球在P点所对应时刻的机械能大于在N点所对应时刻的机械能，摆球的重力势能是由摆球相对于零势能点的高度h和摆球的质量m共同决定的(Ep＝mgh).单摆摆球的质量是定值，由于P、N两时刻摆球的位移大小相同，故在这两个时刻摆球相对零势能点的高度相同，重力势能也相同，但由于P点的机械能大于N点的机械能，所以P点对应时刻的动能大于N点对应时刻的动能，可得P点速率大，故A、C、D错误；由于M、N两时刻摆球的位移大小相同，所以其细线拉力与竖直方向上的夹角θ也相等，对单摆受力分析，根据牛顿第二定律得F＝mg cos θ＋m，所以FP>FN，故B正确．
例 5
C
总结提升：1. 驱动力　固有
即时训练4 C　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动．故A、B、D正确，C错误．故选C．
即时训练5 D　发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，则用声音震碎玻璃杯需声音的驱动频率与玻璃杯的固有频率相等，即共振与否仅与频率有关，与音量的大小无关．D正确．

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