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广东省东莞市万江区翰林实验学校2024-2025学年八年级下学期期末数学复习试卷
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．内厝中学初三某学习小组7位同学，为学校家庭困难学生捐款，捐款金额分别为5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的众数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数值随着的增大而减小 B．点在该函数图象上
C．图象不经过第一象限 D．图象与轴的交点坐标为
5．下列命题中正确的是（　　）
A．矩形的对角线相互垂直 B．菱形的对角线相等
C．平行四边形是轴对称图形 D．正方形的对角线相等
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
9．下列哪幅图能最好地刻画小刚放学回家这段时间离家距离与时间之间的关系（　　）
A． B．
C． D．
10．如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
11．计算：　 　．
12．将一次函数的图象向上平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为　 　．
13．4月23日是世界读书日，学校举行了“珍爱生命，感恩挫折”演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为85，90，92，88，则她的最后得分是　 　分．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．如图四边形ABCD是“垂美”四边形，若，，则的值是　 　．
15．如图，在中，，，，点是平面内的一个动点，且，连接，点是线段的中点，则的最大值是　 　．
16．计算：．
17．如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数．
18．如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求m，n的值；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围．
19．如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且．
（1）试判断四边形的形状，并加以证明；
（2）若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积．
20．为了落实“双减”政策，丰富学生的课后延时服务活动，某中学开设了A：足球、B：篮球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若全校共有学生3000名，请你估计全校喜欢篮球的学生有多少名？
21．市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元．
（1）设市运往市机器台，求总运费关于的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？
（3）求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
22．如图，已知函数的图像与轴交于点，一次函数（）的图像经过点，与轴及函数的图像分别交于点，，且点的坐标为．
（1）直接写出________，________，________．
（2）求四边形的面积．
（3）轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在正方形中，过顶点A作直线，点B关于直线的对称点为点F，连接，直线交于点G．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，
①直接写出的度数为_____．
②请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，得，解得：．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、2不能再开方，是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对选项逐个判断即可．
3．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：依题意得：6是这组数据中出现次数最多的数，有2次，
所以这组数据的众数为6．
故选：A．
【分析】根据众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的，求解即可．
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，，
∴点在函数图象上，故B选项符合题意；
∵，
∴y随x的增大而增大，故A选项不符合题意；
∵，，
∴图象经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意；
当时，即，
解得：，
∴图象与轴的交点坐标为，故D不符合题意．
故选B．
【分析】根据一次函数的图象与性质，对选项逐个判断即可．
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、错误，矩形的对角线相等；
B、错误，菱形的对角线相互垂直；
C、错误，平行四边形是中心对称图形；
D、正确，正方形的对角线相等．
故选：D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形以及正方形的性质对选项逐个判断即可．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
【分析】
由于平行四边形的对角线互相平分，则由AC的长可知OA的长，利用勾股定理结合已知AB的长可求出OB的长，则BD可求．
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵如图，直线与直线交于点，
∴不等式的解集是．
故选：C．
【分析】根据函数图象，得到直线在直线上方时，自变量的取值范围解答即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BG的中点，连接MH，如图所示：
∵H是的中点，
∴为△GBE的中位线，
∴HM，HM∥BE，
∴∠GMH=∠CBE=90°，
由题意得：，
∴，
∴
∴
故选：B.
【分析】取BG的中点，连接MH，可知为的中位线，根据三角形的中位线定理求出MH，然后根据勾股定理求出CH 即可解答.
9．【答案】D
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：小刚放学回家这段时间离家距离随时间的增大而减少，到家时距离为，故选项D符合题意．
故选：D．
【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示所剩路程，路程随时间的增大而减少判断即可．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，
的面积先增大，再减小，
当点P运动到点时，的面积最大，
根据函数图象可得此时的面积为，
如图，
，
点D为边的中点，等腰直角三角形，
，
可得，
当点P运动到的中点时，如图，
，
点D为边的中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可求解．
11．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的求解方法，直接求解即可．
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数的图象向上平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象的平移的口诀，“左加右减，上加下减”，求解即可．
13．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：她的最后得分是分，
故答案为：88．
【分析】根据加权平均数的公式，求解计算即可．
14．【答案】29
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
，
在和中，根据勾股定理得，，
，
，
，
故答案为：29．
【分析】由勾股定理可得得，两式相加可得，再由勾股定理可得，最后求得，即可求解．
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接，，
∵在中，，，，
∴
∴
∵是的中点，是的中点，
∴
∵
∴的最大值为
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，，根据勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，根据中位线的性质可得，再根据三角形三边关系可得，即可求解．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值，负整数指数幂和二次根式的运算法则，化简每个式子，然后求解即可．
17．【答案】解： ，
，
在 中，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，由勾股定理得出，由勾股定理的逆定理得出，即可得出的度数．
18．【答案】（1）解：把点代入得，，∴，
把点代入得，，
解得；
（2）
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：由图可得，当时，．
【分析】（1）把点代入可得，再把B点坐标代入，即可求解；
（2）由 可得的图象在的图象上方，结合函数图象求解即可．
（1）解：把点代入得，，
∴，
把点代入得，，
解得；
（2）解：由图可得，当时，．
19．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：连接，交于点O，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，菱形的边长为5，
∴，
∴，
∴菱形的面积：．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，，，再由可得，即可求证；
（2）根据线段的和差关系可得，再由勾股定理可得，根据菱形的面积公式求解即可．
20．【答案】（1）解：由题意得，(名)，
答：这次调查中，一共调查了200名学生；
（2）解：(名)，
补全条形统计图如下：
（3）解：(名)，
答：若全校共有学生3000名，估计全校喜欢篮球的大约有1050名学生．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据喜欢足球的人数和百分比，即可求出调查的总人数；
（2）根据所占的百分比以及总人数，求出喜欢的人数，补全统计图即可；
（3）根据总人数，以及样本中喜欢篮球的学生所占比例，即可求解．
21．【答案】（1）解：由题意可知：
由此．
由题意得：，
，且为整数；
（，且为整数）；
（2）解：由题意得，
．
，
，且为整数，
可取，，，
有种调运方案；
（3）解：，且随的值增大而增大，
当时，的值最小，最小值是元．
此时的调运方案是：
市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据A市运往D市机器数量，结合A、B两市库存及C、D两市需求，分别表示出A运往C、B运往C、B运往D的机器数量，再依据各自运费列出总运费关于的函数关系式，同时根据数量非负确定的取值范围．
（2）根据（1）中的关系式，结合总运费不超过元的条件列出不等式，结合的取值范围确定整数解，从而得调运方案数量．
（3）根据一次函数性质（值正负判断增减性 ），结合的取值范围确定使总运费最低的值，进而得最低运费及调运方案．
（1）解：由题意可知：
由此．
由题意得：，
，且为整数；
（2）解：由题意得，
．
，
，且为整数，
可取，，，
有种调运方案；
（3）解：，且随的值增大而增大，
当时，的值最小，最小值是元．
此时的调运方案是：
市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元．
22．【答案】（1），，
（2）解：过作轴，垂足为，如图1所示，
由（1）可知：直线的解析式为，
∴令，解得：，
∴，
，
；
（3）解：设，∵，
∴，，，
①当时，则，
∴，即，
∴，
∴或（与点B重合，舍去），
∴；
②当时，则，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
③当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述点P的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：对于直线，令，得到，即，
把代入中，得：，
把代入得：，即，
把坐标代入中得：，即；
故答案为：，，
【分析】（1）将点的坐标代入相应的函数解析式，求得对应点的坐标以及未知数的值，确定点的坐标，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）过作垂直于轴，将四边形面积转化为梯形面积减去三角形面积，然后求解即可；
（3）设，则，，，分三种情况，列出方程求解即可．
（1）解：对于直线，令，得到，即，
把代入中，得：，
把代入得：，即，
把坐标代入中得：，即；
（2）解：过作轴，垂足为，如图1所示，
由（1）可知：直线的解析式为，
∴令，解得：，
∴，
，
；
（3）解：设，
∵，
∴，，，
①当时，则，
∴，即，
∴，
∴或（与点B重合，舍去），
∴；
②当时，则，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
③当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述点P的坐标为或或或．
23．【答案】（1）解：如图，连接，
点B，点F，关于直线对称，
垂直平分，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
；
（2）①；
解：②，理由如下：
由①可知，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】①，理由如下：
如图，延长交于点H，过点A作于点P，
点B，点F，关于直线对称，
垂直平分，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
是的一个外角，
，
，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）连接，由题意可得垂直平分，可得，在正方形中，，，从而得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）①延长交于点H，过点A作于点P，由题意可得垂直平分，在正方形中，，，从而得到，根据等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质得，根据三角形内角和得到，，从而得到，利用三角形内角和即可求出结果；
②根据题意可得，在中，由勾股定理可得，从而得到，进一步得到，最后得出．
1 / 1广东省东莞市万江区翰林实验学校2024-2025学年八年级下学期期末数学复习试卷
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，得，解得：．
2．下列各数中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、2不能再开方，是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对选项逐个判断即可．
3．内厝中学初三某学习小组7位同学，为学校家庭困难学生捐款，捐款金额分别为5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的众数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：依题意得：6是这组数据中出现次数最多的数，有2次，
所以这组数据的众数为6．
故选：A．
【分析】根据众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的，求解即可．
4．关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数值随着的增大而减小 B．点在该函数图象上
C．图象不经过第一象限 D．图象与轴的交点坐标为
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，，
∴点在函数图象上，故B选项符合题意；
∵，
∴y随x的增大而增大，故A选项不符合题意；
∵，，
∴图象经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意；
当时，即，
解得：，
∴图象与轴的交点坐标为，故D不符合题意．
故选B．
【分析】根据一次函数的图象与性质，对选项逐个判断即可．
5．下列命题中正确的是（　　）
A．矩形的对角线相互垂直 B．菱形的对角线相等
C．平行四边形是轴对称图形 D．正方形的对角线相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、错误，矩形的对角线相等；
B、错误，菱形的对角线相互垂直；
C、错误，平行四边形是中心对称图形；
D、正确，正方形的对角线相等．
故选：D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形以及正方形的性质对选项逐个判断即可．
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
【分析】
由于平行四边形的对角线互相平分，则由AC的长可知OA的长，利用勾股定理结合已知AB的长可求出OB的长，则BD可求．
7．如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵如图，直线与直线交于点，
∴不等式的解集是．
故选：C．
【分析】根据函数图象，得到直线在直线上方时，自变量的取值范围解答即可．
8．如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BG的中点，连接MH，如图所示：
∵H是的中点，
∴为△GBE的中位线，
∴HM，HM∥BE，
∴∠GMH=∠CBE=90°，
由题意得：，
∴，
∴
∴
故选：B.
【分析】取BG的中点，连接MH，可知为的中位线，根据三角形的中位线定理求出MH，然后根据勾股定理求出CH 即可解答.
9．下列哪幅图能最好地刻画小刚放学回家这段时间离家距离与时间之间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：小刚放学回家这段时间离家距离随时间的增大而减少，到家时距离为，故选项D符合题意．
故选：D．
【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示所剩路程，路程随时间的增大而减少判断即可．
10．如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，
的面积先增大，再减小，
当点P运动到点时，的面积最大，
根据函数图象可得此时的面积为，
如图，
，
点D为边的中点，等腰直角三角形，
，
可得，
当点P运动到的中点时，如图，
，
点D为边的中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据运动轨迹可得的面积先增大，再减小，当点P运动到点时，的面积最大，此时的面积为，即可求得，再利用三角形中位线定理即可求解．
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】根据算术平方根的求解方法，直接求解即可．
12．将一次函数的图象向上平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将一次函数的图象向上平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象的平移的口诀，“左加右减，上加下减”，求解即可．
13．4月23日是世界读书日，学校举行了“珍爱生命，感恩挫折”演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为85，90，92，88，则她的最后得分是　 　分．
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：她的最后得分是分，
故答案为：88．
【分析】根据加权平均数的公式，求解计算即可．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．如图四边形ABCD是“垂美”四边形，若，，则的值是　 　．
【答案】29
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
，
在和中，根据勾股定理得，，
，
，
，
故答案为：29．
【分析】由勾股定理可得得，两式相加可得，再由勾股定理可得，最后求得，即可求解．
15．如图，在中，，，，点是平面内的一个动点，且，连接，点是线段的中点，则的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接，，
∵在中，，，，
∴
∴
∵是的中点，是的中点，
∴
∵
∴的最大值为
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，，根据勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，根据中位线的性质可得，再根据三角形三边关系可得，即可求解．
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值，负整数指数幂和二次根式的运算法则，化简每个式子，然后求解即可．
17．如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数．
【答案】解： ，
，
在 中，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，由勾股定理得出，由勾股定理的逆定理得出，即可得出的度数．
18．如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点．
（1）求m，n的值；
（2）当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：把点代入得，，∴，
把点代入得，，
解得；
（2）
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：由图可得，当时，．
【分析】（1）把点代入可得，再把B点坐标代入，即可求解；
（2）由 可得的图象在的图象上方，结合函数图象求解即可．
（1）解：把点代入得，，
∴，
把点代入得，，
解得；
（2）解：由图可得，当时，．
19．如图，菱形中，为对角线，点E、F是直线上的不同的两个点，且．
（1）试判断四边形的形状，并加以证明；
（2）若，菱形的边长为5，，试求菱形的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：连接，交于点O，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，菱形的边长为5，
∴，
∴，
∴菱形的面积：．
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，，，再由可得，即可求证；
（2）根据线段的和差关系可得，再由勾股定理可得，根据菱形的面积公式求解即可．
20．为了落实“双减”政策，丰富学生的课后延时服务活动，某中学开设了A：足球、B：篮球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若全校共有学生3000名，请你估计全校喜欢篮球的学生有多少名？
【答案】（1）解：由题意得，(名)，
答：这次调查中，一共调查了200名学生；
（2）解：(名)，
补全条形统计图如下：
（3）解：(名)，
答：若全校共有学生3000名，估计全校喜欢篮球的大约有1050名学生．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据喜欢足球的人数和百分比，即可求出调查的总人数；
（2）根据所占的百分比以及总人数，求出喜欢的人数，补全统计图即可；
（3）根据总人数，以及样本中喜欢篮球的学生所占比例，即可求解．
21．市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元．
（1）设市运往市机器台，求总运费关于的函数关系式；
（2）若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？
（3）求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【答案】（1）解：由题意可知：
由此．
由题意得：，
，且为整数；
（，且为整数）；
（2）解：由题意得，
．
，
，且为整数，
可取，，，
有种调运方案；
（3）解：，且随的值增大而增大，
当时，的值最小，最小值是元．
此时的调运方案是：
市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据A市运往D市机器数量，结合A、B两市库存及C、D两市需求，分别表示出A运往C、B运往C、B运往D的机器数量，再依据各自运费列出总运费关于的函数关系式，同时根据数量非负确定的取值范围．
（2）根据（1）中的关系式，结合总运费不超过元的条件列出不等式，结合的取值范围确定整数解，从而得调运方案数量．
（3）根据一次函数性质（值正负判断增减性 ），结合的取值范围确定使总运费最低的值，进而得最低运费及调运方案．
（1）解：由题意可知：
由此．
由题意得：，
，且为整数；
（2）解：由题意得，
．
，
，且为整数，
可取，，，
有种调运方案；
（3）解：，且随的值增大而增大，
当时，的值最小，最小值是元．
此时的调运方案是：
市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元．
22．如图，已知函数的图像与轴交于点，一次函数（）的图像经过点，与轴及函数的图像分别交于点，，且点的坐标为．
（1）直接写出________，________，________．
（2）求四边形的面积．
（3）轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：过作轴，垂足为，如图1所示，
由（1）可知：直线的解析式为，
∴令，解得：，
∴，
，
；
（3）解：设，∵，
∴，，，
①当时，则，
∴，即，
∴，
∴或（与点B重合，舍去），
∴；
②当时，则，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
③当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述点P的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：对于直线，令，得到，即，
把代入中，得：，
把代入得：，即，
把坐标代入中得：，即；
故答案为：，，
【分析】（1）将点的坐标代入相应的函数解析式，求得对应点的坐标以及未知数的值，确定点的坐标，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）过作垂直于轴，将四边形面积转化为梯形面积减去三角形面积，然后求解即可；
（3）设，则，，，分三种情况，列出方程求解即可．
（1）解：对于直线，令，得到，即，
把代入中，得：，
把代入得：，即，
把坐标代入中得：，即；
（2）解：过作轴，垂足为，如图1所示，
由（1）可知：直线的解析式为，
∴令，解得：，
∴，
，
；
（3）解：设，
∵，
∴，，，
①当时，则，
∴，即，
∴，
∴或（与点B重合，舍去），
∴；
②当时，则，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
③当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述点P的坐标为或或或．
23．在正方形中，过顶点A作直线，点B关于直线的对称点为点F，连接，直线交于点G．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，
①直接写出的度数为_____．
②请探究线段之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：如图，连接，
点B，点F，关于直线对称，
垂直平分，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
；
（2）①；
解：②，理由如下：
由①可知，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】①，理由如下：
如图，延长交于点H，过点A作于点P，
点B，点F，关于直线对称，
垂直平分，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
是的一个外角，
，
，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）连接，由题意可得垂直平分，可得，在正方形中，，，从而得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）①延长交于点H，过点A作于点P，由题意可得垂直平分，在正方形中，，，从而得到，根据等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质得，根据三角形内角和得到，，从而得到，利用三角形内角和即可求出结果；
②根据题意可得，在中，由勾股定理可得，从而得到，进一步得到，最后得出．
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