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第八章
静电场
第4讲　带电粒子在电场中的运动
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 能分析带电粒子在电场中的直线运动.
2. 能分析带电粒子在电场中的偏转运动.
3. 能分析带电粒子在三维空间中的运动．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　分析带电粒子在电场中的直线运动
如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则(　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　

A. 当增大两板间距离时，v增大
B. 当减小两板间距离时，v增大
C. 当改变两板间距离时，v也会变化
D. 当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间变长
1
D
(1) 是否考虑带电粒子的重力．(2) 粒子做直线运动的条件：粒子所受合外力等于零、速度不为零，粒子做匀速直线运动；粒子所受合外力不等于零且与初速度方向在同一条直线上，粒子做变速直线运动．(3) 根据题意和所求量，选择合适的观点(力、能量和动量的观点)求解．
[2024南京期末]如图所示，直线加速器由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，相邻圆筒间的距离相同，其中心轴线在同一直线上，A、B接在电压大小不变、极性随时间t周期性变化的交变电源上．粒子从序号为0的金属圆板的中心沿轴线进入圆筒．则粒子(　　)
A. 在加速器中一直做匀加速直线运动
B. 只在金属圆筒内做匀加速直线运动
C. 只在相邻两个金属圆筒间做匀加速直线运动
D. 在加速器中一直做加速度增大的变加速直线运动
1
C
【解析】 大小不变、极性随时间周期性变化的交变电源加在相邻两个金属圆筒之间，所以粒子在相邻两个金属圆筒间受恒定的电场力，做匀加速直线运动，金属圆筒中电场为零，粒子不受电场力，做匀速运动，C正确，A、B、D错误．
活动二　分析带电粒子在电场中的偏转运动
如图所示，一个电子由静止开始经加速电场加速后，又沿中心轴线从O点垂直射入偏转电场，并从另一侧射出打到荧光屏上的P点，O′点为荧光屏的中心．已知电子质量m，电荷量大小e，加速电场电压U0，偏转电场电压U，极板的长度L1，板间距离d，极板的末端到荧光屏的距离L2.求：
(1) 电子射入偏转电场时的初速度大小v0；
(2) 电子打在荧光屏上的P点到O′点的距离h；
(3) 电子经过偏转电场过程中电势能的增加量．
2
处理带电粒子的偏转问题的方法
(1) 运动的分解法：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的______________运动和垂直于电场力方向上的____________运动．
匀加速直线
匀速直线
初、末
要熟练掌握计算粒子打到屏上的位置离屏中心距离的1～2种方法(例如根据三角形相似求解)．
[2024南通二模]如图所示，质子和α粒子分别从O点由静止开始经过M、N板间的电场加速后，从P处垂直射入偏转电场．质子落在感光板上的S点，则α粒子(　　)
A. 落在S点，速度方向与质子的相同
B. 落在S点，速度方向与质子的不同
C. 落在S点左侧，速度方向与质子的相同
D. 落在S点右侧，速度方向与质子的不同
2
A
不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转量与偏转角度总是________的．
相同
[2025南通中学检测]示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出(初速度为零)，经加速电压U1加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立xOy坐标系．若在YY′电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是(　　)
甲
3
C
乙　 　 丙
A. 若在水平电极XX′不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像
B. 若在水平电极XX′不加电压，所有的电子打在荧光屏中心O点
C. 若在水平电极XX′加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线
D. 若在水平电极XX′加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆
【解析】 若在水平电极XX′不加电压，则电子仅在竖直方向偏转，图像为过O点的竖直线，故A、B错误；若在水平电极XX′加图丙所示电压，即电极XX′与电极YY′上所加电压均为正弦电压，则电子水平偏转位移和竖直偏转位移始终相等，图像为过O点的满足y＝x的倾斜的直线，故C正确，D错误．
[2025江苏卷]如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ.已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用．求：
(1) a运动到最高点的时间t；
(2) a到达最高点时，a、b间的距离H.
3
【答案】 (1) 根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，对a粒子，根据牛顿第二定律有qE＝ma，
由运动学公式有v0sin θ＝at，
(2) 方法一：根据题意可知，两个粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两粒子一直在同一竖直线上，粒子a竖直方向上运动的位移为
[2022江苏卷改编]某装置用电场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．正方形ABCD区域内存在4层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化．一个质量为m、电量为q的带正电粒子在ABCD所在平面内，从AB中点M处射入电场，粒子的初动能为Ek＝4qEd，入射角为θ.不计粒子重力．
(1) 当θ＝θ0时，若粒子能从CD边射出，求粒子通过电场的时间t；
(2) 若粒子从CD边射出电场时与轴线MN的距离小于d，求入射角大小θ的范围．
4
(2) 若粒子从CD边射出电场时与轴线MN的距离小于d，设粒子进入电场初速度与水平方向的夹角为θ1时，粒子最高点恰好与电场边界相切，则在电场方向上有
－2ad＝0－(v0sin θ1)2，
根据牛顿第二定律可得qE＝ma，
活动三　分析带电粒子在三维空间中的运动
边长为2L的立方体空间内有竖直向下的匀强电场E.现有大量的同种粒子同时从立方体的中心O点射向空间各个方向，其中一个沿水平面内射出的粒子恰好击中C点．粒子均带正电，射出时速度的大小相等，粒子的比荷为k.不计粒子重力以及粒子间的相互作用．求：
4
(1) 粒子射出时的初速度的大小v0；
(2) 从O点竖直向上和竖直向下射出的两粒子飞离立方体的时间间隔Δt；
分析三维空间问题时常常降维到二维平面内分析粒子的运动情况．
如图所示在竖直放置的铅屏A的右表面上贴着能放射电子的仪器P，放射源放出的电子速度大小均为v0，各个方向均有，足够大的荧光屏M与铅屏A平行放置，相距d，其间有水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，已知电子电量e，电子质量取m，不计电子重力．求：
(1) 垂直射到荧光屏M上的电子的末速度大小；
(2) 荧光屏上的发光部分的面积有多大？
5
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Thank you for watching第4讲　带电粒子在电场中的运动
学习目标　1. 能分析带电粒子在电场中的直线运动.2. 能分析带电粒子在电场中的偏转运动．3. 能分析带电粒子在三维空间中的运动．
活动一 分析带电粒子在电场中的直线运动
1 如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则(　　)
A. 当增大两板间距离时，v增大
B. 当减小两板间距离时，v增大
C. 当改变两板间距离时，v也会变化
D. 当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间变长
(1) 是否考虑带电粒子的重力．(2) 粒子做直线运动的条件：粒子所受合外力等于零、速度不为零，粒子做匀速直线运动；粒子所受合外力不等于零且与初速度方向在同一条直线上，粒子做变速直线运动．(3) 根据题意和所求量，选择合适的观点（力、能量和动量的观点）求解．
即时训练1 [2024南京期末]如图所示，直线加速器由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，相邻圆筒间的距离相同，其中心轴线在同一直线上，A、B接在电压大小不变、极性随时间t周期性变化的交变电源上．粒子从序号为0的金属圆板的中心沿轴线进入圆筒．则粒子(　　)
A. 在加速器中一直做匀加速直线运动
B. 只在金属圆筒内做匀加速直线运动
C. 只在相邻两个金属圆筒间做匀加速直线运动
D. 在加速器中一直做加速度增大的变加速直线运动
活动二 分析带电粒子在电场中的偏转运动
2 如图所示，一个电子由静止开始经加速电场加速后，又沿中心轴线从O点垂直射入偏转电场，并从另一侧射出打到荧光屏上的P点，O′点为荧光屏的中心．已知电子质量m，电荷量大小e，加速电场电压U0，偏转电场电压U，极板的长度L1，板间距离d，极板的末端到荧光屏的距离L2.求：
(1) 电子射入偏转电场时的初速度大小v0；
(2) 电子打在荧光屏上的P点到O′点的距离h；
(3) 电子经过偏转电场过程中电势能的增加量．
处理带电粒子的偏转问题的方法
(1) 运动的分解法：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的__________运动和垂直于电场力方向上的__________运动．
(2) 功能关系：当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解，qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指________位置间的电势差．
要熟练掌握计算粒子打到屏上的位置离屏中心距离的1～2种方法(例如根据三角形相似求解）.)
即时训练2 [2024南通二模]如图所示，质子和α粒子分别从O点由静止开始经过M、N板间的电场加速后，从P处垂直射入偏转电场．质子落在感光板上的S点，则α粒子(　　)
A. 落在S点，速度方向与质子的相同
B. 落在S点，速度方向与质子的不同
C. 落在S点左侧，速度方向与质子的相同
D. 落在S点右侧，速度方向与质子的不同
不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转量与偏转角度总是________的．
即时训练3 [2025南通中学检测]示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图甲所示，通电后电子枪有电子逸出(初速度为零)，经加速电压U1加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上，荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立xOy坐标系．若在YY′电极上输入图乙所示的电压，下列说法正确的是(　　)
甲
乙 丙
A. 若在水平电极XX′不加电压，荧光屏上的图像为正弦图像
B. 若在水平电极XX′不加电压，所有的电子打在荧光屏中心O点
C. 若在水平电极XX′加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一条直线
D. 若在水平电极XX′加图丙所示电压，荧光屏上的图像是一个圆
3 [2025江苏卷]如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ.已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用．求：
(1) a运动到最高点的时间t；
(2) a到达最高点时，a、b间的距离H.
即时训练4 [2022江苏卷改编]某装置用电场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．正方形ABCD区域内存在4层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化．一个质量为m、电量为q的带正电粒子在ABCD所在平面内，从AB中点M处射入电场，粒子的初动能为Ek＝4qEd，入射角为θ.不计粒子重力．
(1) 当θ＝θ0时，若粒子能从CD边射出，求粒子通过电场的时间t；
(2) 若粒子从CD边射出电场时与轴线MN的距离小于d，求入射角大小θ的范围．
活动三 分析带电粒子在三维空间中的运动
4 边长为2L的立方体空间内有竖直向下的匀强电场E.现有大量的同种粒子同时从立方体的中心O点射向空间各个方向，其中一个沿水平面内射出的粒子恰好击中C点．粒子均带正电，射出时速度的大小相等，粒子的比荷为k.不计粒子重力以及粒子间的相互作用．求：
(1) 粒子射出时的初速度的大小v0；
(2) 从O点竖直向上和竖直向下射出的两粒子飞离立方体的时间间隔Δt；
(3) 若粒子从O点正上方L处的O′射出，立方体上表面有粒子到达的面积S.
分析三维空间问题时常常降维到二维平面内分析粒子的运动情况．
即时训练5 如图所示在竖直放置的铅屏A的右表面上贴着能放射电子的仪器P，放射源放出的电子速度大小均为v0，各个方向均有，足够大的荧光屏M与铅屏A平行放置，相距d，其间有水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，已知电子电量e，电子质量取m，不计电子重力．求：
(1) 垂直射到荧光屏M上的电子的末速度大小；
(2) 荧光屏上的发光部分的面积有多大？
第4讲　带电粒子在电场中的运动
【活动一】
例 1
D　电子从静止开始运动，根据动能定理，从A板运动到B板，动能的变化量等于电场力做的功．因为保持两个极板间的电势差不变，所以末速度不变，当两板间距离增加时，E＝ 变小，又a＝，a变小，由d＝at2 知t＝，所以电子在两板间运动的时间变长，故D正确．
即时训练1 C　大小不变、极性随时间周期性变化的交变电源加在相邻两个金属圆筒之间，所以粒子在相邻两个金属圆筒间受恒定的电场力，做匀加速直线运动，金属圆筒中电场为零，粒子不受电场力，做匀速运动，C正确，A、B、D错误．
【活动二】
例 2
(1) 电子在电场中加速过程有eU0＝mv，
解得v0＝.
(2) 设电子在偏转电场中运动的时间为t，电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量为y.
电子在水平方向做匀速直线运动，有L1＝v0t，
电子在竖直方向上做匀加速直线运动，有y＝at2，
根据牛顿第二定律有 ＝ma，
解得y＝，
电子离开偏转电场时速度的反向延长线过偏转电场的中点，则 ＝，
解得h＝.
(3) 电子在偏转电场运动的过程中电场力对它做的功
W＝eEy＝e y，
ΔEp＝－W＝－.
总结提升：(1) 匀加速直线　匀速直线　(2) 初、末
即时训练2 A　设粒子的质量为m，电荷量为q，M、N板电压为U，偏转电场的场强为E；粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得qU＝mv，可得v0＝，粒子进入偏转电场做类平抛运动，则有x＝v0t，y＝at2＝·t2，联立可得y＝，可知粒子在偏转电场中的轨迹与粒子的质量和电荷量均无关，则α粒子和质子在偏转电场中的运动轨迹相同，即α粒子落在S点，速度方向与质子的相同．A正确．
总结提升：相同
即时训练3 C　若在水平电极XX′不加电压，则电子仅在竖直方向偏转，图像为过O点的竖直线，故A、B错误；若在水平电极XX′加图丙所示电压，即电极XX′与电极YY′上所加电压均为正弦电压，则电子水平偏转位移和竖直偏转位移始终相等，图像为过O点的满足y＝x的倾斜的直线，故C正确，D错误．
例 3
(1) 根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，对a粒子，根据牛顿第二定律有qE＝ma，
由运动学公式有v0sin θ＝at，
联立解得a运动到最高点的时间，t＝.
(2) 方法一：根据题意可知，两个粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两粒子一直在同一竖直线上，粒子a竖直方向上运动的位移为
x1＝＝，
粒子b竖直方向上运动位移为
x2＝v0t sinθ＋at2＝＋，
则粒子a到达最高点时与粒子b之间的距离
x＝x1＋x2＝.
方法二：两个粒子均受到相同电场力，以a粒子为参考系，b粒子以2v0sinθ的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离H＝2v0t sin θ＝.
即时训练4(1) 设粒子的初速度大小为v0，则有
Ek＝4qEd＝mv，
解得v0＝，
粒子垂直于电场方向做匀速直线运动，粒子能从CD边射出，则有4d＝v0t cos θ0，
解得粒子在电场中的运动时间为t＝＝.
(2) 若粒子从CD边射出电场时与轴线MN的距离小于d，设粒子进入电场初速度与水平方向的夹角为θ1时，粒子最高点恰好与电场边界相切，则在电场方向上有
－2ad＝0－(v0sin θ1)2，
根据牛顿第二定律可得qE＝ma，
解得sin θ1＝，
可得θ1＝30°，
故入射角大小的范围为－30°<θ<30°.
【活动三】
例 4
(1) 沿水平面内射出的粒子恰好击中C点，根据类平抛运动规律可知L＝at2，L＝v0t，
其中a＝，
解得v0＝.
(2) 从O点竖直向上的粒子，根据速度—位移关系可知
v＝2ax，
解得x＝可知该粒子从下表面飞出，则两粒子飞离立方体的时间间隔为Δt＝＝.
(3) 设粒子与水平方向的夹角为θ，粒子恰好飞出上表面，则满足 ＝L，
此时水平方向的位移为x＝v0t cos θ，
根据速度—时间公式有v0sin θ＝at，
联立解得x＝L，
则面积为S＝πx2＝.
即时训练5 (1) 由动能定理得－eEd＝mv2－mv，
解得v＝.
(2) 如图所示，由动能定理可知荧光屏上距中心最远的电子的速率为v，方向与屏平行；
d＝at2，a＝，
解得t＝，
r＝vt＝，
所以有S＝πr2＝－4πd2.

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