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专题8　电荷的轨迹问题　电场的图像问题
学习目标　1. 能综合分析带电粒子在电场中运动时电场线、等势线特点及轨迹、运动、受力、能量等相关的问题.2. 理解带电粒子在电场中运动的v-t图像，能分析与φ-x、E-x等图像相关的问题．
活动一 分析带电粒子运动轨迹的相关问题
1 如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是(　　)
A. vM＜vN，aM＜aN
B. vM＜vN，φM＜φN
C. φM＜φN，EpM＜EpN
D. aM＜aN，EpM＜EpN
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1) 判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
(2) 判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．
①若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
②若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．
(3) 判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．
即时训练1 如图所示，虚线是某静电场的一簇等势线．实线是一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，A、B、C为轨迹上的三点．下列判断正确的是(　　)
A. 轨迹在一条电场线上
B. 粒子带负电
C. 场强EA>EC
D. 粒子的电势能EpA>EpC
电场线与等势面垂直，并指向电势降低的方向．
即时训练2 如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点．不计重力，下列说法错误的是(　　)
A. M带负电荷，N带正电荷
B. M在b点的动能小于它在a点的动能
C. N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D. N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
即时训练3 [2025全国卷]匀强电场中，一带正电的点电荷仅在电场力的作用下以某一初速度开始运动，则运动过程中，其(　　)
A. 所处位置的电势一定不断降低
B. 所处位置的电势一定不断升高
C. 轨迹可能是与电场线平行的直线
D. 轨迹可能是与电场线垂直的直线
活动二 分析电场中的图像问题
一、 v-t图像
2 如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上距离为L的两点，其中Q1带正电位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点与O点相距3L.现有一带正电的粒子Q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受电场力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是(　　)
甲 乙
A. Q2带负电且电荷量小于Q1
B. b点的场强比a点的场强大
C. a点的电势比b点的电势高
D. 粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
二、 φ-x图像
3 带电球体的半径为R，以球心为原点O建立坐标轴x，轴上各点电势φ随x的变化规律如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A. 球体带负电荷
B. 球内电场强度最大
C. 负电荷在B点的电势能比在C点的小
D. A、B两点电场强度相同
φ-x图像的应用要点
(1) φ-x图像描述电势φ随x变化的规律．在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定________的方向．
(2) 在φ-x图像上，某点切线的斜率表示该点的________；φ-x图像存在极值时，其切线的斜率为零，则对应位置处________为零．
即时训练4 [2025海南卷]某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x轴方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A. P点电场强度方向沿x轴负方向
B. M点的电场强度小于N点的电场强度
C. 电子在P点的动能小于在N点的动能
D. 电子在M点的电势能大于在P点的电势能
三、 Ep-x图像
4 一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中 O～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法不正确的是(　　)
A. x1处电场强度为零
B. x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2>φ3
C. 粒子在O～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
D. x2～x3段对应匀强电场
Ep-x图像某点的切线斜率大小等于__________．据电势能与电势的关系Ep＝qφ及电场强度大小与电势的关系 E＝ 得E＝__________．
四、 E-x图像
5 一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中 O～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法不正确的是(　　)
A. x1处电场强度为零
B. x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2>φ3
C. 粒子在O～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动
D. x2～x3段对应匀强电场
E-x图像的应用要点
(1) 描述电场强度E随x变化的规律．
(2) 判定电场强度E的方向：E＞0表示电场强度沿正方向，E＜0表示电场强度沿负方向．
(3) 在E-x图像上，图线与x轴所围成的面积表示________________．
即时训练5 如图所示，两个等大、平行放置的均匀带电圆环相距l0，所带电荷量分别为＋Q、－Q，圆心A、B连线垂直于圆环平面．以A点为坐标原点，沿AB方向建立x轴，将带正电的粒子(重力不计)从A点静止释放．粒子在从A运动到B的过程中，下列关于电势φ、电场强度E、粒子的动能Ek和电势能Ep随位移x的变化图线中，可能正确的是(　　)
A B C D
　　　　
　　　　
专题8　电荷的轨迹问题　电场的图像问题
【活动一】
例 1
D　电场线密的地方场强大，粒子受到的电场力大，所以aMφN，故B、C错误；又由Ep＝qφ和能量守恒知，带负电的粒子在电势越低的位置，具有的电势能越大，而动能越小，即EpMvN，故A错误，D正确．
即时训练1 C　因为电场线与等势线垂直，所以轨迹不可能在一条电场线上，故A错误；电场线的方向大体上由C到A，粒子受到的力的方向大致向左，与电场线方向大体相同，所以粒子应该带正电，故B错误；A、B之间的距离小于B、C之间的距离，A、B与B、C之间的电势差相等，根据公式E＝ 可知场强EA>EC，故C正确；因为粒子带正电，A处的电势要比C处的电势低，根据公式Ep＝qφ，所以粒子的电势能EpA＜EpC，故D错误．
即时训练2 D　由粒子运动轨迹可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M带负电荷，N带正电荷，故A正确；M从a点到b点，电场力做负功，根据动能定理知，动能减小，则M在b点的动能小于它在a点的动能，故B正确；d点和e点在同一等势面上，电势相等，则N在d点的电势能等于它在e点的电势能，故C正确；N从c点运动到d点，电场力做正功，故D错误．故选D．
即时训练3 C　在匀强电场中，带正电的点电荷所受电场力恒定，方向与电场线方向一致，加速度恒定．若初速度方向与电场力方向相反(如初速度方向向左，电场力方向向右)，电荷会先减速至零再反向加速，在减速阶段，电荷沿电场线反方向运动，电势升高，因此电势不一定一直降低，故A错误；若初速度方向与电场力方向相同(如初速度方向向右，电场力方向向右)，电荷将一直加速，电势不断降低，因此电势不一定升高，故B错误；若初速度方向与电场力方向共线(同向或反向)，电荷将做匀变速直线运动，轨迹与电场线平行，故C正确；若轨迹与电场线垂直，则电荷初速度方向与电场力方向垂直．但电场力大小方向恒定，此时电荷将做类平抛运动，轨迹是曲线，故D错误．
【活动二】
例 2
A　由图像分析可知，粒子在b点前做减速运动，b点后做加速运动，可见b点的加速度为0，则在b点受到两点电荷的电场力平衡，可知b点的合场强为零，Q2带负电，且有 ＝，所以 Q1＞Q2，故A正确，B错误；该带电粒子从a点到b点，做减速运动，且该粒子带正电，电场力做负功，所以电势能增大，再据Ep＝ qφ知电势升高，所以b点电势较高，电势能较大，故C、D错误．
例 3
C　由图可知，从球体出发，向两侧方向电势降低，而电场线特点是从正电荷(或无穷远处)出发，沿着电场线方向电势降低，即球体带正电荷，故A错误；球是等势体，故球内部任意两点间的电势差为零，场强为零，故B错误；从B到C，电势降低，负电荷电势能升高，故C正确；A点与B点的电场强度大小相等，但方向相反，故D错误．
总结提升：(1) 电场强度　(2) 电场强度　电场强度
即时训练4 D　由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x轴正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度、方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确．
例 4
C　Ep-x图像切线的斜率大小等于，x1处切线斜率为零，则x1处电场强度为零，故A正确．由图可看出在O～x1 段图像切线的斜率不断减小，由A分析知电场强度减小，粒子所受的电场力减小，加速度减小，做非匀变速运动；x1～x2段图像切线的斜率不断增大，电场强度增大，粒子所受的电场力增大，做非匀变速运动；x2～x3段斜率不变，则电场强度大小和方向均不变，对应匀强电场，粒子所受的电场力不变，做匀变速直线运动，故C错误，D正确．根据粒子带负电，即q<0，则电势能越大，粒子所处的位置电势越低，所以有φ1>φ2>φ3，故B正确．故选C．
总结提升：电场力大小　·
例 5
C　Ep-x图像切线的斜率大小等于，x1处切线斜率为零，则x1处电场强度为零，故A正确．由图可看出在O～x1 段图像切线的斜率不断减小，由A分析知电场强度减小，粒子所受的电场力减小，加速度减小，做非匀变速运动；x1～x2段图像切线的斜率不断增大，电场强度增大，粒子所受的电场力增大，做非匀变速运动；x2～x3段斜率不变，则电场强度大小和方向均不变，对应匀强电场，粒子所受的电场力不变，做匀变速直线运动，故C错误，D正确．根据粒子带负电，即q<0，则电势能越大，粒子所处的位置电势越低，所以有φ1>φ2>φ3，故B正确．故选C．
总结提升：两点间电势差
即时训练5 C(共33张PPT)
第八章
静电场
专题8　电荷的轨迹问题　电场的图像问题
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 能综合分析带电粒子在电场中运动时电场线、等势线特点及轨迹、运动、受力、能量等相关的问题.
2. 理解带电粒子在电场中运动的v－t图像，能分析与φ－x、E－x等图像相关的问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　分析带电粒子运动轨迹的相关问题
如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN.下列判断正确的是(　　)
A. vM＜vN，aM＜aN
B. vM＜vN，φM＜φN
C. φM＜φN，EpM＜EpN
D. aM＜aN，EpM＜EpN
1
D
【解析】 电场线密的地方场强大，粒子受到的电场力大，所以aMφN，故B、C错误；又由Ep＝qφ和能量守恒知，带负电的粒子在电势越低的位置，具有的电势能越大，而动能越小，即EpMvN，故A错误，D正确．
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1) 判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
(2) 判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．
①若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．
②若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．
(3) 判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．
如图所示，虚线是某静电场的一簇等势线．实线是一带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，A、B、C为轨迹上的三点．
下列判断正确的是(　　)
A. 轨迹在一条电场线上 B. 粒子带负电
C. 场强EA>EC D. 粒子的电势能EpA>EpC
1
C
电场线与等势面垂直，并指向电势降低的方向．
如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点．不计重力，下列说法错误的是(　　)
A. M带负电荷，N带正电荷
B. M在b点的动能小于它在a点的动能
C. N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D. N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
2
D
【解析】 由粒子运动轨迹可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M带负电荷，N带正电荷，故A正确；M从a点到b点，电场力做负功，根据动能定理知，动能减小，则M在b点的动能小于它在a点的动能，故B正确；d点和e点在同一等势面上，电势相等，则N在d点的电势能等于它在e点的电势能，故C正确；N从c点运动到d点，电场力做正功，故D错误．故选D.
[2025全国卷]匀强电场中，一带正电的点电荷仅在电场力的作用下以某一初速度开始运动，则运动过程中，其(　　)
A. 所处位置的电势一定不断降低
B. 所处位置的电势一定不断升高
C. 轨迹可能是与电场线平行的直线
D. 轨迹可能是与电场线垂直的直线
3
C
【解析】 在匀强电场中，带正电的点电荷所受电场力恒定，方向与电场线方向一致，加速度恒定．若初速度方向与电场力方向相反(如初速度方向向左，电场力方向向右)，电荷会先减速至零再反向加速，在减速阶段，电荷沿电场线反方向运动，电势升高，因此电势不一定一直降低，故A错误；若初速度方向与电场力方向相同(如初速度方向向右，电场力方向向右)，电荷将一直加速，电势不断降低，因此电势不一定升高，故B错误；若初速度方向与电场力方向共线(同向或反向)，电荷将做匀变速直线运动，轨迹与电场线平行，故C正确；若轨迹与电场线垂直，则电荷初速度方向与电场力方向垂直．但电场力大小方向恒定，此时电荷将做类平抛运动，轨迹是曲线，故D错误．
活动二　分析电场中的图像问题
一、 v－t图像
如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上距离为L的两点，其中Q1带正电位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点与O点相距3L.现有一带正电的粒子Q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受电场力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是(　　)
2
A
甲　　 　 乙
A. Q2带负电且电荷量小于Q1
B. b点的场强比a点的场强大
C. a点的电势比b点的电势高
D. 粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
二、 φ－x图像
带电球体的半径为R，以球心为原点O建立坐标轴x，轴上各点电势φ随x的变化规律如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A. 球体带负电荷
B. 球内电场强度最大
C. 负电荷在B点的电势能比在C点的小
D. A、B两点电场强度相同
3
C
【解析】 由图可知，从球体出发，向两侧方向电势降低，而电场线特点是从正电荷(或无穷远处)出发，沿着电场线方向电势降低，即球体带正电荷，故A错误；球是等势体，故球内部任意两点间的电势差为零，场强为零，故B错误；从B到C，电势降低，负电荷电势能升高，故C正确；A点与B点的电场强度大小相等，但方向相反，故D错误．
φ－x图像的应用要点
(1) φ－x图像描述电势φ随x变化的规律．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定____________的方向．
(2) 在φ－x图像上，某点切线的斜率表示该点的____________；φ－x图像存在极值时，其切线的斜率为零，则对应位置处____________为零．
电场强度
电场强度
电场强度
[2025海南卷]某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x轴方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A. P点电场强度方向沿x轴负方向
B. M点的电场强度小于N点的电场强度
C. 电子在P点的动能小于在N点的动能
D. 电子在M点的电势能大于在P点的电势能
4
D
【解析】 由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x轴正方向，故A错误；φ－x图像斜率表示电场强度，由图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度、方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确．
三、 Ep－x图像
一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中 O～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法不正确的是(　　)
A. x1处电场强度为零
B. x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2>φ3
C. 粒子在O～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速
直线运动
D. x2～x3段对应匀强电场
4
C
电场力大小
四、 E－x图像
一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法不正确的是(　　)
A. x1处电场强度为零
B. x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2>φ3
C. 粒子在O～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速
直线运动
D. x2～x3段对应匀强电场
5
C
E－x图像的应用要点
(1) 描述电场强度E随x变化的规律．
(2) 判定电场强度E的方向：E＞0表示电场强度沿正方向，E＜0表示电场强度沿负方向．
(3) 在E－x图像上，图线与x轴所围成的面积表示________________.
两点间电势差
如图所示，两个等大、平行放置的均匀带电圆环相距l0，所带电荷量分别为＋Q、－Q，圆心A、B连线垂直于圆环平面．以A点为坐标原点，沿AB方向建立x轴，将带正电的粒子(重力不计)从A点静止释放．粒子在从A运动到B的过程中，下列关于电势φ、电场强度E、粒子的动能Ek和电势能Ep随位移x的变化图线中，可能正确的是(　　)
A　　 　　 B C　　　 　 D
5
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