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专题9　带电粒子(体)在交变电场和复合场中的运动
学习目标　1. 能解决带电粒子在交变电场中的运动.2. 能解决带电体在复合场中的运动．
活动一 分析带电粒子在交变电场中的运动
1 如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上，则t0可能属于的时间段是(　　)
甲 乙
A. 0C. 1. 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等，常见的试题类型一般有三种情况：(1) 粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律求解）.(2) 粒子做往返运动（一般分段研究）.(3) 粒子做偏转运动（一般根据交变电场特点分段研究）.
2. 注重全面分析（分析受力特点和运动规律）：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
即时训练1 如图甲所示，真空室中加热的阴极K发出的电子(初速度不计)经电场加速后，由小孔S沿两平行金属板M、N的中心线OO′射入板间，加速电压为U0，M、N板长为L，两板相距.加在M、N两板间电压uMN随时间t变化的关系图线如图乙所示，变化周期为T0，M、N板间的电场可看成匀强电场，忽略板外空间的电场．在每个粒子通过电场区域的极短时间内，两板间电压可视作不变，板M、N右侧距板右端L处放置一足够大的荧光屏PQ，屏与OO′垂直，交点为O′.已知电子的质量为m、电荷量为e，单位时间内从小孔S进入的电子个数为n，忽略电子重力及电子间的相互作用，不考虑相对论效应．求：
(1) 电子加速至O点的速度大小v0；
(2) 电子刚好从M板的右边缘离开偏转电场时，M、N板间的电压U1；
(3) 在荧光屏上有电子区域的长度b和0～2T0时间内打到荧光屏的电子数目N.
甲 乙
活动二 分析带电体在复合场中的运动
解决带电体(计重力)在电场中的运动问题时，要认真分析受力特点、运动规律和功能关系，灵活选用力的观点、能量观点(动能定理、功能关系、能的转化和守恒定律)和动量观点(动量定理、动量守恒定律)分析解决问题，有些题目则同时运用上述几种观点才能解决．
一、 圆周运动
2 如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径．一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°.不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1) 电场强度E的大小；
(2) 若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件．
带电粒子在匀强电场中所受电场力与重力都是恒力，
处理方法有下列两种
(1) 正交分解法：应用这种方法可以将复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动．
(2) 等效“重力”法：将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解．求出重力与电场力的合力F合，将这个合力视为一个“等效重力”，F合的方向等效于“重力”的方向，将a＝ 视为“等效重力加速度”．小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”．注意这里的最高点不一定是竖直面内的最高点．
即时训练2 如图所示，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动．图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高．当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1) 电场强度E的大小；
(2) 小球在A、B两点的速度大小．
3 [2025南通海门调研]如图所示，两个竖直放置的同轴导体薄圆筒，其电容为C，筒半径为R，两筒间距为d(R d)，内、外筒分别与电源的正负极连接，在两筒之间靠近内筒有A、B两点，其连线与中央轴平行．一质量为m、电量为－q的粒子从A点以v0垂直于纸面方向进入，恰好能经过B点．已知重力加速度为g.求：
(1) 内、外筒之间的电场强度大小E；
(2) 内筒所带的电荷量Q；
(3) A、B两点间的高度h.
辐向电场可以提供带电粒子做匀速圆周运动的向心力．
二、 抛体运动
4 如图所示，竖直平面内，质量为m＝2×10-10 kg、q＝－2×10-10 C的带电油滴，自A点垂直于电场线方向以v0＝2 m/s进入匀强电场，它经过B点时vB＝ m/s，已知AB沿竖直方向的距离为0.15 m，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1) A、B两点的电势差UAB；
(2) 匀强电场的场强大小；
(3) 油滴从A至B运动过程中的最小速率．
专题9　带电粒子(体)在交变电场和复合场中的运动
【活动一】
例 1
B　设粒子的速度方向、位移方向向右为正．依题意得，粒子的速度方向时而为负，时而为正，最终打在A板上时位移为负，速度方向为负．作出t0＝0、、、 时粒子运动的速度图像如图所示．由于速度图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图像可知0T时情况类似．因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零，对照各选项可知只有B正确．
即时训练1 (1) 根据题意，电子加速到O点的过程，由动能定理有eU0＝mv，
解得v0＝.
(2) 设M、N两板间距离为d，电子在M、N板间运动时间为t，加速度大小为a，则水平方向上有L＝v0t，
竖直方向上有 d＝at2，
由牛顿第二定律有ma＝，
解得U1＝U0.
(3) 根据题意可知，电子刚好从M板的右边缘离开偏转电场时，垂直于中心线OO′方向的速度vy＝at，
偏转角度的正切tan θ＝，
由几何关系有b＝2(＋L tan θ)，
解得b＝L，
当|uMN|≤U0时，电子才能从两板间射出，
则有N＝T0n.
【活动二】
例 2
(1) 当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示．
则有 ＝tan θ，所以E＝.
(2) 小球所受重力与电场力的合力
F＝＝mg.
当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为 g的“重力场”中运动．若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q点．设当小球从P点出发的速度为vmin时，小球到达Q点时速度为零，在小球从P运动到Q的过程中，根据动能定理有－×mg×2r＝0－mv，
所以vmin＝，即小球的初速度应不小于.
即时训练2 (1) 由匀强电场中电势差与电场强度的关系，可得电场强度E＝.
(2) 在A点细线对小球的拉力为0，
根据牛顿第二定律得Eq－mg＝m，
A到B过程根据动能定理得qU－mgL＝mv－mv，
联立解得vA＝，vB＝.
例 3
(1) 由题意可知，粒子在水平面上的运动为匀速圆周运动，
粒子所受电场力提供向心力，则有qE＝m，
解得内、外筒之间的电场强度大小E＝.
(2) 由E＝，C＝，
解得内筒所带的电荷量Q＝.
(3) 粒子从A点到B点，水平方向上做匀速圆周运动，
周期T＝，
粒子运动的时间t＝nT＝(n＝1，2，3，…)，
竖直方向上粒子做自由落体运动，则有h＝gt2，
解得A、B两点间的高度h＝(n＝1，2，3，…).
例 4
(1) 根据动能定理有qUAB－mgh＝mv－mv，
解得UAB＝－0.5 V.
(2) 竖直方向有h＝v0t－gt2，
解得t＝0.1 s，或t＝0.3 s(舍)，
且vy＝v0－gt＝1 m/s，
水平方向有＝t，
解得E＝10 V/m.
(3) 由上述分析可知mg＝|q|E，
设油滴在B点的速度方向与水平方向的夹角为θ，油滴在B点的速度方向满足tan θ＝＝1，
即油滴在B点的速度方向与水平方向的夹角为45°，与合力方向垂直，此时速度最小，所以油滴从A至B运动过程中的最小速率为 m/s.(共31张PPT)
第八章
静电场
专题9　带电粒子(体)在交变电场和复合场中的运动
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 能解决带电粒子在交变电场中的运动.
2. 能解决带电体在复合场中的运动．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　分析带电粒子在交变电场中的运动
如图甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上，则t0可能属于的时间段是(　　)
甲 　　 乙
1
B
1. 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等，常见的试题类型一般有三种情况：(1) 粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．(2) 粒子做往返运动(一般分段研究)．(3) 粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．
2. 注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
1
(1) 电子加速至O点的速度大小v0；
(2) 电子刚好从M板的右边缘离开偏转电场时，M、N板间的电压U1；
(3) 在荧光屏上有电子区域的长度b和0～2T0时间内打到荧光屏的电子数目N.
甲　 乙
(3) 根据题意可知，电子刚好从M板的右边缘离开偏转电场时，垂直于中心线OO′方向的速度vy＝at，
活动二　分析带电体在复合场中的运动
解决带电体(计重力)在电场中的运动问题时，要认真分析受力特点、运动规律和功能关系，灵活选用力的观点、能量观点(动能定理、功能关系、能的转化和守恒定律)和动量观点(动量定理、动量守恒定律)分析解决问题，有些题目则同时运用上述几种观点才能解决．
一、 圆周运动
如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径．一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°.不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
2
(1) 电场强度E的大小；
(2) 若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件．
带电粒子在匀强电场中所受电场力与重力都是恒力，
处理方法有下列两种
(1) 正交分解法：应用这种方法可以将复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动．
如图所示，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动．图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高．当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1) 电场强度E的大小；
(2) 小球在A、B两点的速度大小．
2
[2025南通海门调研]如图所示，两个竖直放置的同轴导体薄圆筒，其电容为C，筒半径为R，两筒间距为d(R d)，内、外筒分别与电源的正负极连接，在两筒之间靠近内筒有A、B两点，其连线与中央轴平行．一质量为m、电量为－q的粒子从A点以v0垂直于纸面
方向进入，恰好能经过B点．已知重力加速度为
g.求：
(1) 内、外筒之间的电场强度大小E；
(2) 内筒所带的电荷量Q；
(3) A、B两点间的高度h.
3
辐向电场可以提供带电粒子做匀速圆周运动的向心力．
二、 抛体运动
4
(1) A、B两点的电势差UAB；
(2) 匀强电场的场强大小；
(3) 油滴从A至B运动过程中的最小速率．
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