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四川省眉山市仁寿县乡村学校 2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，把答案填涂在答题卡相应位置）
1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．“的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（　　）
A． B． C． D．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
4．下列说法中错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（　　）边形.
A．9 B．10 C．11 D．12
6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下列所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知关于的不等式组的解集为，则的值是（　　）
A． B．18 C．2 D．
10．利用边长相等的正三角形和正六边形地板砖镶嵌地面，在每个顶点周围有块正三角形和块正六边形地板砖，则的值为（　　）
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4
11．若的解集是，则必须满足是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡上相应位置）
13．如果是二元一次方程，则　 　，　 　．
14．有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为、，则原数表示为　 　，新数表示为　 　；故列方程组为　 　．
15．不等式的非负整数解有　 　个．
16．如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，若∠DNM＝75°，则∠AMD＝　 　．
17．若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是　 　．
18．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为　 　．
三、解答题（共8题，共78分）
19．（1）解方程：；
（2）解方程组：．
20．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点分别是格点．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；
（2）将△ABC先左移2个单位，再下移4个单位，画出平移后的．
22．若方程组的解满足，求k的取值范围．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
24．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
25．阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x＜n+．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…试解决下列问题：
（1）①＜π+2.4＞＝　　（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为　　；
（2）求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围．
26．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_______度，______度，______度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A不是轴对称图形，故不合题意；
选项B是轴对称图形，故符合题意；
选项C不是轴对称图形，故不合题意；
选项D不是轴对称图形，故不合题意.
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形定义进行依次分析即可．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：“的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：
故答案为：A.
【分析】x的2倍可表示为2x，x的2倍与3的和可表示为2x+3，非负数可用≥0表示，据此可列出不等式.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故符合题意；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用较小的两条线段之和大于第三条线段，即可 解答。
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故选项正确，不合题意；
B、若，则，故选项正确，不合题意；
C、若，若c=0，则，故选项错误，符合题意；
D、若，则，故选项正确，不合题意；
故选C．
【分析】
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据题意得：（n﹣2）×180 =1800 ，
解得：n=12.
故答案为：D.
【分析】利用n边形的内角和定理，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，在Rt△ACF中，由由直角三角形的性质可得∠DAC=20°， 则∠BAC=∠BAD+∠DAC=75° ．
7．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把，代入，得：，
解得：，
∴；
故选：B．
【分析】
将已知的方程组解代入原方程组，得到只含参数a、b的二元一次方程组，先解出a与b的值，最后将结果代入待求代数式计算即可得到最终答案.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：．
故选：D．
【分析】
根据"三人共车。两车空"和"二人共车，九人步"两个条件，分别列出关于人数和车辆数的方程，再组合成方程组即可.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：不等式组
由①得，x≥m+n，
由②得，x＜，
∴不等式组的解集为，
又∵不等式组的解集为，
∴
解得，
∴．
故选A．
【分析】
先分别解不等式组中的两个不等式，得到解集后与已知解集对比，列出关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，最后计算mn即可.
10．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
60°×4+120°=360°，或60°×2+120°×2=360°，
∴a=4，b=1或a=2，b=2，
①当a=4，b=1时，a+b=5；
②当a=2，b=2时，a+b=4．
故选B．
【分析】
先求出正三角形和正六边形的内角度数，根据平面镶嵌时顶点处各内角和为360°列出方程，再求正整数解得到a、b的值，最后计算a+b即可.
11．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵原不等式为，解集为，
∴，，
即，
去分母得，
即，
∵，
∴
故选：C．
【分析】
先根据不等式解集判断系数正负，再解关于a的不等式即可.
12．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【分析】
连接AC并延长，与EF相交于点M。根据平行线的性质，可以推出，，再通过等量代换可以得到，因此我们只需要先计算出的度数，就可以得到的度数.
13．【答案】3；0
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得：，
故答案为：3，0．
【分析】
根据二元一次方程的定义，确定未知数x和y的指数均为1，从而列出关于a和b的方程求解.
14．【答案】；；
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设个位上和十位上的数字分别为、，
则原数表示为，新数表示为，
由题意得，列方程组为，
故答案为：①；②；③．
【分析】
先根据两位数的数字组成表示出原数和新数，再依据数字之和为8及新数比原数小36列出方程组即可.
15．【答案】5
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴不等式的非负整数解为0，1，2，3，4，有5个．
故答案为：5．
【分析】
首先去分母，再移项合并同类项，求解不等式后找非负整数解即可.
16．【答案】30°
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DN∥AM，
∵∠DNM＝75°，
∴∠DNM＝∠BMN＝75°，
∵将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，
∴∠BMN＝∠NMD=75°，
∴∠BMD＝150°，
∴∠AMD＝30°，
故答案为：30°．
【分析】
利用矩形对边平行（ABCD），结合两直线平行，内错角相等，求出的度数，根据折叠前后图形全等，对应角相等得出=，最后利用平角定义计算最终结果.
17．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为 从而得到不等式组的整数解为2、3，则
故答案为：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案.
18．【答案】3秒或12秒或15秒
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：如下图，当AC∥DE时，设DF交AB于H，∵AC∥DE，∴∠ACB=∠CHD=90°．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∴∠HFD=90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3（秒）．
②如图3，当BC∥DE时，∵BC∥ED，∴∠BFE=∠E=30°，∴∠BFD=30°+90°=120°，∴t=120°÷10=12（秒）．
③如图4，当BA∥ED时，延长DF交DA于G．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∵BA∥ED，∴∠BGD=180°-∠D=120°，∴∠BFD=∠B+∠BGF=30°+120°=150°，∴t=150°÷10°=15（秒）．故答案为：3秒或12秒或15秒
【分析】根据△ABC的三条边分别与DE平行来分三种不同的情况讨论，第一种当AC∥DE，第二种当BC∥DE，第三种当BA平行ED，画出三种情况的图形，运用平行线的性质，旋转的性质，以及角度之间的等量关系可求解．
19．【答案】解：（1）
；
（2）
，得：
，
代入②，得：
解得：
∴方程组的解为：．
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可；
（2）利用加减消元法，先消去一个未知数求出另一个，再代入求剩余未知数即可.
20．【答案】解：
由①得：
由②得：
故不等式组的解集为：．
将不等式解集表示在数轴上如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求解不等式，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可.
21．【答案】（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）按照题目要求，分别找出原三角形的顶点关于点C的中心对称点，再将这三个对称点按顺序连接，得到的就是我们需要作的中心对称图形；
（2）根据题目的平移要求，将原三角形的三个顶点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到平移后的对应点，最后顺次连接这三个点，得到的就是平移后所求的三角形.
22．【答案】解：
①+②得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得．

【知识点】解一元一次不等式组；整体思想
【解析】【分析】
先观察这个方程组的特征，发现x和y的系数和相等，因此可以先将两个方程相加，用含k的代数式表示出，再将所得结果代入已知不等式，即可解出k的取值范围.
23．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∵∠ABC+∠CBD=180°．
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由补角的定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义求出∠CBE=∠CBD=65°，即可解答；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
24．【答案】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元.
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台.
依题意得：，
解得：，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=价格×数量，销售收=A种型号的销售收入+B种型号的销售收，据此列方程组求解；
（2）基本关系：利润=销售收入-进货成本，总利润=A型利润+B型利润，据此列不等式求解．
25．【答案】（1）①6，②2.5≤x＜3.5；
（2）解：∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，
则x＝k，
∴＜k＞＝k﹣1，
∴k﹣1﹣≤k＜k﹣1+，k≥0，
∴＜k≤，
∴k＝3，4，5，6，7，
则x＝，，4，，．
【知识点】一元一次不等式组的应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）①由题意可得：＜π+2.4＞＝6；
故答案为：6，
②∵＜x﹣1＞＝2，
∴1.5≤x﹣1＜2.5，
∴2.5≤x＜3.5；
故答案为：2.5≤x＜3.5；
【分析】
（1）①先计算+2.4的近似值，再根据新定义确定其四舍五入到个位的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）利用＜x＞＝x﹣1，设x＝k，k为整数，联立方程得出关于k的不等关系求解即可．
26．【答案】（1），90，35
（2）解：猜想：理由如下：
在中，，
，，
，
，
又在中，，
，
，
．

（3）判断（2）中的结论不成立，或或．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：，
，
又，
，
故答案为125，90，35
(3)
解：（2）中的结论不成立．理由如下：
①如图中，结论：
理由：设交于
，
，
②如图中，结论：证明方法类似①
③如图中，结论：
理由：，，
，
【分析】
（1）运用三角形内角和定理计算求解，解题的核心是牢记三角形内角和定理；
（2）猜想得到，再结合三角形内角和定理即可推证这个结论，解题的关键是掌握三角形内角和定理；
（3）需要分三种情况进行讨论： 、、，需要分别画出对应图形，再借助三角形内角和定理完成推导解答.
1 / 1四川省眉山市仁寿县乡村学校 2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，把答案填涂在答题卡相应位置）
1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A不是轴对称图形，故不合题意；
选项B是轴对称图形，故符合题意；
选项C不是轴对称图形，故不合题意；
选项D不是轴对称图形，故不合题意.
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形定义进行依次分析即可．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．“的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：“的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：
故答案为：A.
【分析】x的2倍可表示为2x，x的2倍与3的和可表示为2x+3，非负数可用≥0表示，据此可列出不等式.
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故符合题意；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用较小的两条线段之和大于第三条线段，即可 解答。
4．下列说法中错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故选项正确，不合题意；
B、若，则，故选项正确，不合题意；
C、若，若c=0，则，故选项错误，符合题意；
D、若，则，故选项正确，不合题意；
故选C．
【分析】
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（　　）边形.
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据题意得：（n﹣2）×180 =1800 ，
解得：n=12.
故答案为：D.
【分析】利用n边形的内角和定理，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，在Rt△ACF中，由由直角三角形的性质可得∠DAC=20°， 则∠BAC=∠BAD+∠DAC=75° ．
7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把，代入，得：，
解得：，
∴；
故选：B．
【分析】
将已知的方程组解代入原方程组，得到只含参数a、b的二元一次方程组，先解出a与b的值，最后将结果代入待求代数式计算即可得到最终答案.
8．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下列所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：．
故选：D．
【分析】
根据"三人共车。两车空"和"二人共车，九人步"两个条件，分别列出关于人数和车辆数的方程，再组合成方程组即可.
9．已知关于的不等式组的解集为，则的值是（　　）
A． B．18 C．2 D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：不等式组
由①得，x≥m+n，
由②得，x＜，
∴不等式组的解集为，
又∵不等式组的解集为，
∴
解得，
∴．
故选A．
【分析】
先分别解不等式组中的两个不等式，得到解集后与已知解集对比，列出关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，最后计算mn即可.
10．利用边长相等的正三角形和正六边形地板砖镶嵌地面，在每个顶点周围有块正三角形和块正六边形地板砖，则的值为（　　）
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
60°×4+120°=360°，或60°×2+120°×2=360°，
∴a=4，b=1或a=2，b=2，
①当a=4，b=1时，a+b=5；
②当a=2，b=2时，a+b=4．
故选B．
【分析】
先求出正三角形和正六边形的内角度数，根据平面镶嵌时顶点处各内角和为360°列出方程，再求正整数解得到a、b的值，最后计算a+b即可.
11．若的解集是，则必须满足是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵原不等式为，解集为，
∴，，
即，
去分母得，
即，
∵，
∴
故选：C．
【分析】
先根据不等式解集判断系数正负，再解关于a的不等式即可.
12．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【分析】
连接AC并延长，与EF相交于点M。根据平行线的性质，可以推出，，再通过等量代换可以得到，因此我们只需要先计算出的度数，就可以得到的度数.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡上相应位置）
13．如果是二元一次方程，则　 　，　 　．
【答案】3；0
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得：，
故答案为：3，0．
【分析】
根据二元一次方程的定义，确定未知数x和y的指数均为1，从而列出关于a和b的方程求解.
14．有一个两位数，其数字之和是8，个位上的数字与十位上的数字互换后所得新数比原数小36，求原数．分析：设个位上和十位上的数字分别为、，则原数表示为　 　，新数表示为　 　；故列方程组为　 　．
【答案】；；
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设个位上和十位上的数字分别为、，
则原数表示为，新数表示为，
由题意得，列方程组为，
故答案为：①；②；③．
【分析】
先根据两位数的数字组成表示出原数和新数，再依据数字之和为8及新数比原数小36列出方程组即可.
15．不等式的非负整数解有　 　个．
【答案】5
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴不等式的非负整数解为0，1，2，3，4，有5个．
故答案为：5．
【分析】
首先去分母，再移项合并同类项，求解不等式后找非负整数解即可.
16．如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，若∠DNM＝75°，则∠AMD＝　 　．
【答案】30°
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DN∥AM，
∵∠DNM＝75°，
∴∠DNM＝∠BMN＝75°，
∵将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，
∴∠BMN＝∠NMD=75°，
∴∠BMD＝150°，
∴∠AMD＝30°，
故答案为：30°．
【分析】
利用矩形对边平行（ABCD），结合两直线平行，内错角相等，求出的度数，根据折叠前后图形全等，对应角相等得出=，最后利用平角定义计算最终结果.
17．若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为 从而得到不等式组的整数解为2、3，则
故答案为：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案.
18．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为　 　．
【答案】3秒或12秒或15秒
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：如下图，当AC∥DE时，设DF交AB于H，∵AC∥DE，∴∠ACB=∠CHD=90°．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∴∠HFD=90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3（秒）．
②如图3，当BC∥DE时，∵BC∥ED，∴∠BFE=∠E=30°，∴∠BFD=30°+90°=120°，∴t=120°÷10=12（秒）．
③如图4，当BA∥ED时，延长DF交DA于G．∵∠E=30°，∴∠D=60°，∵BA∥ED，∴∠BGD=180°-∠D=120°，∴∠BFD=∠B+∠BGF=30°+120°=150°，∴t=150°÷10°=15（秒）．故答案为：3秒或12秒或15秒
【分析】根据△ABC的三条边分别与DE平行来分三种不同的情况讨论，第一种当AC∥DE，第二种当BC∥DE，第三种当BA平行ED，画出三种情况的图形，运用平行线的性质，旋转的性质，以及角度之间的等量关系可求解．
三、解答题（共8题，共78分）
19．（1）解方程：；
（2）解方程组：．
【答案】解：（1）
；
（2）
，得：
，
代入②，得：
解得：
∴方程组的解为：．
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可；
（2）利用加减消元法，先消去一个未知数求出另一个，再代入求剩余未知数即可.
20．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：
【答案】解：
由①得：
由②得：
故不等式组的解集为：．
将不等式解集表示在数轴上如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求解不等式，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可.
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点分别是格点．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；
（2）将△ABC先左移2个单位，再下移4个单位，画出平移后的．
【答案】（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）按照题目要求，分别找出原三角形的顶点关于点C的中心对称点，再将这三个对称点按顺序连接，得到的就是我们需要作的中心对称图形；
（2）根据题目的平移要求，将原三角形的三个顶点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到平移后的对应点，最后顺次连接这三个点，得到的就是平移后所求的三角形.
22．若方程组的解满足，求k的取值范围．
【答案】解：
①+②得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得．

【知识点】解一元一次不等式组；整体思想
【解析】【分析】
先观察这个方程组的特征，发现x和y的系数和相等，因此可以先将两个方程相加，用含k的代数式表示出，再将所得结果代入已知不等式，即可解出k的取值范围.
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∵∠ABC+∠CBD=180°．
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念；补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由补角的定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义求出∠CBE=∠CBD=65°，即可解答；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
24．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
【答案】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元.
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台.
依题意得：，
解得：，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=价格×数量，销售收=A种型号的销售收入+B种型号的销售收，据此列方程组求解；
（2）基本关系：利润=销售收入-进货成本，总利润=A型利润+B型利润，据此列不等式求解．
25．阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣≤x＜n+．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…试解决下列问题：
（1）①＜π+2.4＞＝　　（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为　　；
（2）求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围．
【答案】（1）①6，②2.5≤x＜3.5；
（2）解：∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，
则x＝k，
∴＜k＞＝k﹣1，
∴k﹣1﹣≤k＜k﹣1+，k≥0，
∴＜k≤，
∴k＝3，4，5，6，7，
则x＝，，4，，．
【知识点】一元一次不等式组的应用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）①由题意可得：＜π+2.4＞＝6；
故答案为：6，
②∵＜x﹣1＞＝2，
∴1.5≤x﹣1＜2.5，
∴2.5≤x＜3.5；
故答案为：2.5≤x＜3.5；
【分析】
（1）①先计算+2.4的近似值，再根据新定义确定其四舍五入到个位的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）利用＜x＞＝x﹣1，设x＝k，k为整数，联立方程得出关于k的不等关系求解即可．
26．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_______度，______度，______度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
【答案】（1），90，35
（2）解：猜想：理由如下：
在中，，
，，
，
，
又在中，，
，
，
．

（3）判断（2）中的结论不成立，或或．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：，
，
又，
，
故答案为125，90，35
(3)
解：（2）中的结论不成立．理由如下：
①如图中，结论：
理由：设交于
，
，
②如图中，结论：证明方法类似①
③如图中，结论：
理由：，，
，
【分析】
（1）运用三角形内角和定理计算求解，解题的核心是牢记三角形内角和定理；
（2）猜想得到，再结合三角形内角和定理即可推证这个结论，解题的关键是掌握三角形内角和定理；
（3）需要分三种情况进行讨论： 、、，需要分别画出对应图形，再借助三角形内角和定理完成推导解答.
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